河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含答案

原阳县第三高级中学2020-2021学年度高二数学第一次月考考试卷

理科试卷

考试范围：必修五第一章~第二章；考试时间：120分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．若A，B是△ABC的内角，且sinAsinB，则A与B的关系正确的是（　　）

A．AB B．AB C．A+B D．无法确定

2．已知△ABC的角A，B，C所对的边为，则a＝（    ）

A． B．2 C． D．3

3．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S9＝18，am＝2，则m＝（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（   ）

A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．28尺

5．在中，一定成立的等式是（    ）

A．  B．

C． D．

6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若abcosC，则△ABC的形状为（   ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

7．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km B． a km

C． akm D．2akm

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（    ）

A．13 B．14

C．15 D．16

9．设是等比数列，则下列结论中正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知数列{an}中，a1=2，an=1﹣（n≥2），则a2017等于（　　）

A．﹣ B． C．﹣1 D．2

11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，，且A、B、C成等差数列，则C的大小为（    ）

A． B． C． D．

12．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ）

①存在实数，使得为等差数列；

②存在实数，使得为等比数列；

③若存在使得，则实数唯一.

A．① B．①② C．①③ D．①②③

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．的周长等于，则其外接圆直径等于__________．

14．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为______.

15．中，角的对边分别为，当最大时，__________．

16．等比数列满足，且，则__________．

三、解答题

17．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．

（1）求sinB的值；

（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．

18．如图，在四边形中，，，，．

（1）求的值；

（2）若，求的长．

19．已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

21．如图，在中，，点在边上，且.

（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.

22．已知数列满足，（，），

（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；

（2）数列的前项和为，求证：对任意，.

参考答案

1．B

【分析】

根据正弦定理转化为ab，利用大角对大边的性质进行判断即可．

【详解】

由正弦定理可知：，

又当 但A+B，故Ｃ错误

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数角的大小比较，结合正弦定理以及大边对大角是解决本题的关键．

2．B

【分析】

直接根据余弦定理化简可得，解方程得到a的值，得到答案.

【详解】

由余弦定理可得 ：cosC＝，

即＝，

整理可得，

解可得a＝2，a＝(舍去).

故选：B.

【点睛】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，尤其注意的是增根的讨论，属于基础题型.

3．B

【分析】

根据等差数列的性质和求和公式可得

【详解】

解：S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，

∵am＝2，∴m＝5，

故选：B．

【点评】

本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题．

4．C

【分析】

根据题意利用等差数列前项和公式列方程，解方程求得第30天织布.

【详解】

依题意可知，织布数量是首项为，公差的等差数列，且，即，解得（尺）.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.

5．D

【分析】

利用特殊值排除A、B、C，利用正弦定理判断D

【详解】

如果为直角三角形且，则，此时A、B、C均不成立，

由正弦定理可得，故，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查对基础知识理解.

6．B

【分析】

利用余弦定理，将，转化为，化简即可判断△ABC的形状.

【详解】

因为，则，得，

所以为直角三角形.

故选：B

【点睛】

本题主要考查余弦定理的应用，三角形形状的判断，属于基础题.

7．B

【分析】

先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．

【详解】

在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．

8．B

【分析】

由已知条件利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数．

【详解】

设第一天织尺，从第二天起每天比第一天多织尺，

由已知得

解得： ，

∴第十四日所织尺数为 ．

故选：B ．

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．

9．D

【解析】

，

则

故选

10．D

【解析】

,,……由此可知周期为3,易知

故选D

11．C

【分析】

先根据三角形面积公式得出，再由等差数列求出，由余弦定理得到，联立上式即可得出a、b、c之间的关系，再用余弦定理即可求出结果.

【详解】

根据题意，在△ABC中，A+C＝π﹣B，则sin（A+C）＝sinB，

又由，则有，变形可得：①

若A、B、C成等差数列，则，则，

变形可得②，

联立①②可得：，即，

又由，则，即，

则＝，故.

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和三角形面积公式，涉及到等差数列等差中项问题，解题的关键是对公式的熟练应用.

12．A

【分析】

假设为等差数列，根据，求得，得到，使得恒成立，可判定①正确；假设为等比数列，求得，可判定②不是真命题；由，可得，， ，，各式相加得到，进而得到，可判定③不是真命题.

【详解】

①中，假设为等差数列，则，

则，

可得，显然当时，可得，

使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；

②中，假设数列为等比数列，则

则，可得，

即，即，

该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；

③中，由，可得，， ，

，

将上述各式相加，可得

，

即，即，

若存在这样的实数，则有，

从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.

故选：A.

【点睛】

与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

13．3

【分析】

根据正弦定理求解.

【详解】

因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．8

【解析】

，则

即

，由二次函数的对称轴为可知，当时，取最小值。

故答案为

15．

【解析】

,

当且仅当，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=,，

∴.

故答案为

16．9

【详解】

因为数列为等比数列，根据等比数列性质，

，故填9．

17．（1）；

（2）3.

【分析】

（1）利用余弦定理可求得，再根据正弦定理求得；（2）根据同角三角函数关系求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.

【详解】

（1）由余弦定理可得：

由正弦定理可得：

（2）为锐角   

由余弦定理得：

又   

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常考题型.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）设，，由余弦定理求出，，再由正弦定理能求出；

（2）由可得，由此可得，再利用正弦定理能求出．

【详解】

解：（1）因为，

所以可设，，．又，，

所以由余弦定理，得，解得,

所以，，．

（2）因为，

所以，

所以，

因为，

所以．

19．（1）见证明；（2）

【分析】

（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．

【详解】

（1）证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

（2）解：由（1）可得，

所以

．

【点睛】

证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）由，得到，结合，即可求解；

（2）由（1）和正弦定理，得到，，进而化简，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

（1）由题意知，可得，

又因为，可得，所以，所以.

（2）由（1）知，且，

根据正弦定理，可得，

所以，.

所以

，

因为为锐角三角形，可得，所以，

所以，所以，

即的取值范围为.

21．(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：（1）由，进而得，然后利用正弦定理求边长；（2）由，得，.，利用余弦定理得，从而

试题解析：

（Ⅰ）在中，∵.∴ .

在中，由正弦定理得，即，解得.

（Ⅱ）∵，∴，解得，∴，在中，，在中，.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

22．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解

（2）放缩，再利用等比数列求和得解.

【详解】

（1）由有，∴

∴数列是首项为，公比为2的等比数列.

∴，∴

（2），

∴，

.

【点睛】

本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.