2019-2020学年河北省石家庄市某校初三（上）期中考试数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省石家庄市某校初三（上）期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0中的a=2，b=0，c=−1，则这个一元二次方程是（ ）
A.2x2−1=0B.2x2+1=0C.2x2+x=0D.2x2−x=0

2. 已知2x=3y，则xy等于（ ）
A.2B.3C.23D.32

3. 已知2sinA=2，则锐角A的度数为（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘

4. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：​∘C），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A.22​∘C，26​∘CB.22​∘C，20​∘CC.21​∘C，26​∘CD.21​∘C，20​∘C

5. 若方程 x2+9x−a=0 有两个相等的实数根，则( )
A.a=81B.a=−81C.a=814D.a=−814

6. 一元二次方程x2−2x−5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A.(x−1)2=6B.(x+1)2=6C.(x+2)2=9D.(x−2)2=9

7. 已知两个相似三角形的周长比为4:9，则它们的面积比为( )
A.4:9B.2:3C.8:18D.16:81

8.
在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是( )
、4.70、4.75、4.75、4.70

9. 如图，在一块长为20m，宽为15m的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为546m2，如果设小路的宽度为x m，那么下列方程正确的是( )

A.(20−x)(15−x)=546B.(20+x)(15+x)=546
C.(20−2x)(15−2x)=546D.(20+2x)(15+2x)=546

10. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）

A.AD:AB=2:3B.AE:AC=2:5C.AD:DB=2:3D.CE:AE=3:2

11. 若点A(a, b)在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab−4的值为（ ）
A.0B.2C.−2D.−6

12. 在反比例函数y=−2x图象上有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1A.0
13. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=45，则csB的值等于( )
A.35B.45C.34D.55

14. 在方差的计算公式s2=110[(x1−20)2+(x2−20)2+...+(x10−20)2]中，数字10和20分别表示的意义可以是（ ）
A.数据的个数和方差B.平均数和数据个数
C.数据的个数和平均数D.数据的方差和平均数

15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，tanB=33，则k的值为( )

A.−6B.−1C.−3D.−4

16. 已知直线l1 // l2 // l3 // l4，相邻两条平行线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )

A.23B.34C.43D.32
二、填空题

如图，点A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C(2, 0)，BD=3，S△BCD=3，则k的值为________，S△AOC为________．

三、解答题

解方程：
(1)x2−4x=0 ;

(2)x2+3x+1=0.

(3)(x−3)(x+1)=5.

为了倡导“节约用水，从我做起”，县政府决定对县直机关500户家庭的用水情况做一次调查，县政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计县直机关500户家庭中平均用水量不超过12吨的约有多少户？

如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D是BC边上的一点，CD=6，cs∠ADC=35，tanB=23．
(1)求AC和AB的长；

(2)求sin∠BAD的值．

东台市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
(1)求平均每年投资增长的百分率；

(2)按此增长率，计算2020年投资额能否达到1360万？

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1的图象与反比例函数y2的图象交于第二、四象限内的A,B两点，与x轴交于点C,与y轴交于点D，点B的坐标是(m,−4) ，连接AO, AO=5, sin∠AOC=35.
(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB，求△AOB的面积；

(3)根据图象直接写出当y1
已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD，BC相交于点E．求证：
(1)△ACE∼△BDE；

(2)BE⋅DC=AB⋅DE．

如图，已知直线y=kx(k>0)与双曲线y=8x交于A，B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点P(1, a)，过点P作PQ // y轴交直线AB于点Q．

(1)直接写出k的值及点B的坐标；

(2)求线段PQ的长；

(3)如果在直线y=kx上有一点M，且满足△BPM的面积等于12，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
2019-2020学年河北省石家庄市某校初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
把a、b、c的值代入一元二次方程ax2+bx+c=0即可．
【解答】
解：把a=2，b=0，c=−1代入一元二次方程ax2+bx+c=0，得
2x2−1=0．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
比例的性质
【解析】
根据比例的性质，将等积式转化为比例式，2x=3y，可得x:y=3:2．
【解答】
解：∵ 2x=3y，
∴ xy=32．
对比选项，可知D选项正确.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
根据45∘角的正弦值等于22解答．
【解答】
解：∵ sinA=22，
∴ A=45∘．
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
众数
中位数
【解析】
首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和众数定义即可求出．
【解答】
解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20，20，21，23，26，
∴ 中位数为21，众数为20．
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
根的判别式
【解析】
根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【解答】
解：∵ 方程x2+9x−a=0有两个相等的实数根，
∴92−4×1×−a=0，
解得：a=−814.
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
把常数项−5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．
【解答】
解：把方程x2−2x−5=0的常数项移到等号的右边，得到x2−2x=5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x+(−1)2=5+(−1)2，
配方得(x−1)2=6．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的性质可知：这两个相似三角形的相似比为4:9，那么面积比是相似比的平方．
【解答】
解：∵ 两个相似三角形的周长比为4:9，
∴ 这两个相似三角形的相似比为4:9，
∴ 面积比为16:81．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
众数
中位数
【解析】
根据中位数、众数的定义即可解决问题．
【解答】
解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳远成绩为4.70m，故中位数为4.70；
跳远成绩为4.75m的人数最多，故跳远成绩的众数为4.75.
对比选项只有C符合题意.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
根据矩形面积公式为新的长×新的宽=546，由此可列方程．
【解答】
解：依题意得，建成后矩形的长为20+2x，宽为15+2x，
则有(20+2x)(15+2x)=546．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
通过灵活运用平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可以解答此题．
【解答】
解：∵ ∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴ △ADE∼△ABC，
∴ AD:AB=DE:BC=2:3．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
先把点(a, b)代入反比例函数y=2x求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】
解：∵ 点(a, b)反比例函数y=2x上，
∴ b=2a，即ab=2，
∴ 原式=2−4=−2．
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
反比例函数的系数为−3<0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】
解：∵ −2<0，
∴ 图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵ x1∴ 图象在二象限，
∴ 0故选A．
13.
【答案】
B
【考点】
互余两角三角函数的关系
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90∘，则∠A+∠B=90∘，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘，
则csB=sinA=45．
故选B．
14.
【答案】
C
【考点】
方差
【解析】
根据方差的计算公式：S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2，可以知道样本的容量和平均数．
【解答】
解：由于方差s2=110[(x1−20)2+(x2−20)2+...+(x10−20)2]，
故可知数字10和20分别表示的意义是数据的个数和平均数．
故选C．
15.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质与判定
解直角三角形
反比例函数综合题
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
【解答】
解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
则∠BDO=∠ACO=90∘，
则∠BOD+∠OBD=90∘，
∵ OA⊥OB，
∴ ∠BOD+∠AOC=90∘，
∴ ∠OBD=∠AOC，
∴ △OBD∼△AOC，
∴ S△OBDS△AOC=(OBOA)2=(1tanB)2=3，
又∵ S△AOC=12×2=1，
∴ S△OBD=3，
∴ k=−6．
故选A．
16.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行线之间的距离
矩形的性质
锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义--利用三角形相似比例
【解析】
过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠DCF，利用两角对应相等的两三角形相似证明△BEC∽△CFD，再由相似三角形对应边成比例可得BE=32h，然后在Rt△BCE中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F．
在矩形ABCD中，∠BCD=90∘，
∵ ∠α+∠BCE=90∘，∠BCE+∠DCF=180∘−90∘=90∘，
∴ ∠α=∠DCF，
又∵ ∠BEC=∠CFD=90∘，
∴ △BEC∼△CFD，
∴ BECF=BCCD，即BEh=64，
∴ BE=32h．
在Rt△BCE中，∵ ∠BEC=90∘，
∴ tanα=CEBE=2h32h=43．
故选C．
二、填空题
【答案】
12,6
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可．
【解答】
解：∵ BD⊥CD，BD=3，
∴ S△BCD=12BD⋅CD=3，即CD=2，
∵ C(2, 0)，即OC=2，
∴ OD=OC+CD=2+2=4，
∴ B(4,3)，
代入反比例解析式得：k=12，即y=12x，
则S△AOC=6.
故答案为：12；6.
三、解答题
【答案】
解：(1)x2−4x=0 ，
x(x−4)=0，
解得x1=0，x2=4；
(2)∵ Δ=b2−4ac=9−4=5>0，
∴ x=−b±b2−4ac2a=−3±52，
∴ x1=−3+52，x2=−3−52；
(3)原方程可化为x2+x−3x−3=5，
则x2−2x−8=0，
(x+2)(x−4)=0，
解得x1=−2，x2=4.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x2−4x=0 ，
x(x−4)=0，
解得x1=0，x2=4；
(2)∵ Δ=b2−4ac=9−4=5>0，
∴ x=−b±b2−4ac2a=−3±52，
∴ x1=−3+52，x2=−3−52；
(3)原方程可化为x2+x−3x−3=5，
则x2−2x−8=0，
(x+2)(x−4)=0，
解得x1=−2，x2=4.
【答案】
解：(1)根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100−20−10−20−10=40（户），
如图所示：
(2)平均数为：
1100(20×10+40×11+12×10+13×20+10×14)=11.6，
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11，
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
(3)样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），
答：县直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×70100=350（户）.
【考点】
条形统计图
加权平均数
中位数
众数
用样本估计总体
【解析】
（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；
（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】
解：(1)根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100−20−10−20−10=40（户），
如图所示：
(2)平均数为：
1100(20×10+40×11+12×10+13×20+10×14)=11.6，
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11，
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
(3)样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），
答：黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×70100=350（户）.
【答案】
解：(1)在Rt△ACD中，∵ ∠ACD=90∘，CD=6，cs∠ADC=35，
∴ CDAD=35，即6AD=35，
则AD=10，
∴ 由勾股定理知，AC=AD2−CD2=102−62=8，
又∵ tanB=23，
∴ ACBC=23，即8BC=23，
则BC=12，
∴ 在Rt△ABC中，利用勾股定理知，
AB=AC2+BC2=82+122=413．
综上所述，AC=8，AB=413；
(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由(1)易知，BD=6．
∵ tanB=23，
∴ DEBE=23．则BE=32DE．
则由勾股定理得到：62=DE2+94DE2，
解得 DE=121313，
∴ sin∠BAD=DEAD=12131310=61365．
【考点】
解直角三角形
锐角三角函数的定义
勾股定理
【解析】
（1）通过解Rt△ACD得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt△ABC可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度．
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，构建Rt△ADE，通过解该直角三角形来求sin∠BAD的值．
【解答】
解：(1)在Rt△ACD中，∵ ∠ACD=90∘，CD=6，cs∠ADC=35，
∴ CDAD=35，即6AD=35，
则AD=10，
∴ 由勾股定理知，AC=AD2−CD2=102−62=8，
又∵ tanB=23，
∴ ACBC=23，即8BC=23，
则BC=12，
∴ 在Rt△ABC中，利用勾股定理知，
AB=AC2+BC2=82+122=413．
综上所述，AC=8，AB=413；
(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由(1)易知，BD=6．
∵ tanB=23，
∴ DEBE=23．则BE=32DE．
则由勾股定理得到：62=DE2+94DE2，
解得 DE=121313，
∴ sin∠BAD=DEAD=12131310=61365．
【答案】
解：(1)设平均每年投资增长的百分率是x，
由题意得1000(1+x)2=1210，
解得x1=0.1，x2=−2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
(2)∵ 1210×(1+10%)=1331<1360，
故不能达到．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
(1)利用2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元，进而得出等式求出即可；
(2)利用(1)中所求，得出2017年投资额即可．
【解答】
解：(1)设平均每年投资增长的百分率是x，
由题意得1000(1+x)2=1210，
解得x1=0.1，x2=−2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
(2)∵ 1210×(1+10%)=1331<1360，
故不能达到．
【答案】
解：(1)过点A作AE⊥x轴于E，
∴ ∠AEO=90∘，
∴ 在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEOA，
∴ AE=OA⋅sin∠AOC=5×35=3，
∴ OE=AO2−AE2=52−32=4，
∴ 点A的坐标为(−4, 3)，
设所求反比例函数解析式为y=kx，则3=k−4，
∴ k=−12，
∴ 所求反比例函数解析式为y=−12x；
(2)∵ 在y=−12x中，当y=−4时，x=3，
∴ 点B的坐标为(3, −4)，
由A(−4, 3)，B(3, −4)可得AB所在直线为：y=−x−1，
∵ 在上式中当x=0时，y=−1，
∴ 点D的坐标为(0, −1)，
∴ OD=1，
∴ S△AOB=S△ODA+S△ODB
=12×1×4+12×1×3=72；
(3)根据函数图象易得当−43时，一次函数 y1的图象在反比例函数y2的图象的下方，满足y1【考点】
反比例函数与一次函数的综合
三角形的面积
锐角三角函数的定义
【解析】
（1）根据题意求出点A的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数解析式，从而求出k的值．
（2）求出点D的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】
解：(1)过点A作AE⊥x轴于E，
∴ ∠AEO=90∘，
∴ 在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEOA，
∴ AE=OA⋅sin∠AOC=5×35=3，
∴ OE=AO2−AE2=52−32=4，
∴ 点A的坐标为(−4, 3)，
设所求反比例函数解析式为y=kx，则3=k−4，
∴ k=−12，
∴ 所求反比例函数解析式为y=−12x；
(2)∵ 在y=−12x中，当y=−4时，x=3，
∴ 点B的坐标为(3, −4)，
由A(−4, 3)，B(3, −4)可得AB所在直线为：y=−x−1，
∵ 在上式中当x=0时，y=−1，
∴ 点D的坐标为(0, −1)，
∴ OD=1，
∴ S△AOB=S△ODA+S△ODB
=12×1×4+12×1×3=72；
(3)根据函数图象易得当−43时，一次函数 y1的图象在反比例函数y2的图象的下方，满足y1【答案】
解：(1)∵ ∠ADB=∠ACB，
∴ ∠BDE=∠ACE，
又∠E=∠E，
∴ △ACE∼△BDE；
(2)∵ △ACE∼△BDE，
∴ BEAE=EDEC，
∵ ∠E=∠E，
∴ △ECD∼△EAB，
∴ AEEC=ABCD，
∴ BEED=ABCD，
∴ BE⋅DC=AB⋅DE．
【考点】
相似三角形的性质与判定
相似三角形的判定
【解析】
（1）根据邻补角的定义得到∠BDE＝∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BEAE=EDEC，由于∠E＝∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到AEEC=ABCD，等量代换得到BEED=ABCD，即可得到结论．
【解答】
解：(1)∵ ∠ADB=∠ACB，
∴ ∠BDE=∠ACE，
又∠E=∠E，
∴ △ACE∼△BDE；
(2)∵ △ACE∼△BDE，
∴ BEAE=EDEC，
∵ ∠E=∠E，
∴ △ECD∼△EAB，
∴ AEEC=ABCD，
∴ BEED=ABCD，
∴ BE⋅DC=AB⋅DE．
【答案】
解：(1)∵ A在双曲线y=8x上，且A的纵坐标为4，
∴ A坐标为(2, 4)，
代入直线y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A，B关于原点对称，
∴ 点B的坐标为(−2, −4)．
(2)∵ 点P(1, a)在双曲线上，
∴ 代入y=8x，可得点P的坐标为(1, 8)．
∵ PQ // y轴，且点Q在直线AB上，
∴ 可设点Q的坐标为(1, b)．
代入y=2x，得点Q的坐标为(1, 2)．
∴ PQ=8−2=6．
(3)设点M的坐标为(m, 2m)，
且易知S△BPQ=12×6×3=9．
①当点M在BQ的延长线上时，S△BPM=S△BPQ+S△MPQ，12=9+12×6×(m−1)，m=2．
点M的坐标为(2, 4)．
②当点M在QB的延长线上时，S△BPM=S△MPQ−S△BPQ，12=12×6×(1−m)−9，m=−6．
点M的坐标为(−6, −12)．
综上所述：点M的坐标为(2, 4)，(−6, −12)．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
三角形的面积
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）先求得A点坐标，再代入直线解析式可求得k的值，根据对称性可求得B点坐标；
（2）由反比例函数解析式可求得P点坐标，由直线解析式可求得Q点坐标，可求得PQ的长；
（3）可设M坐标为(m, 2m)，分点M在线段BQ的延长线上和线段QB的延长线上两种情况，分别表示出△BPM的面积，可求得m的值，可求得M的坐标．
【解答】
解：(1)∵ A在双曲线y=8x上，且A的纵坐标为4，
∴ A坐标为(2, 4)，
代入直线y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A，B关于原点对称，
∴ 点B的坐标为(−2, −4)．
(2)∵ 点P(1, a)在双曲线上，
∴ 代入y=8x，可得点P的坐标为(1, 8)．
∵ PQ // y轴，且点Q在直线AB上，
∴ 可设点Q的坐标为(1, b)．
代入y=2x，得点Q的坐标为(1, 2)．
∴ PQ=8−2=6．
(3)设点M的坐标为(m, 2m)，
且易知S△BPQ=12×6×3=9．
①当点M在BQ的延长线上时，S△BPM=S△BPQ+S△MPQ，12=9+12×6×(m−1)，m=2．
点M的坐标为(2, 4)．
②当点M在QB的延长线上时，S△BPM=S△MPQ−S△BPQ，12=12×6×(1−m)−9，m=−6．
点M的坐标为(−6, −12)．
综上所述：点M的坐标为(2, 4)，(−6, −12)．成绩（米）
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1