人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教案

22.2　二次函数与一元二次方程

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解二次函数与一元二次方程的关系．

2．会判断抛物线与x轴的交点个数．

3．掌握方程与函数间的转化．

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，进一步体会数形结合思想．

【情感态度与价值观】

通过对小球飞行问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数与一元二次方程的关系．

【教学难点】

用图象法求解一元二次方程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P43～P46的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

(1)方程x2＋x－2＝0的根是__x1＝－2，x2＝1__；

(2)方程x2－6x＋9＝0的根是__x1＝x2＝3__；

(3)方程x2－x＋1＝0的根是__无实根__.

2．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是__没有交点__.

3．一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：

(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝__x0___时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个__根__；

(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：__没有__实数根，有两个__相等__的实数根，有两个__不等__的实数根．

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生互学)

【例1】求二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标．

【互动探索】(引发学生思考)怎样求二次函数与x轴的交点坐标？二次函数与一元二次方程有什么关系？

【解答】令－(x－2)2＋1＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．

【例2】小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，求方程的另一个近似根(精确到0.1)．

【互动探索】(引发学生思考)求一元二次方程的另一个近似根，如何将要求的这个根与已知的图象信息联系起来？

【解答】∵抛物线与x轴的一个交点为(－3.4,0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴另一个交点坐标为(1.4,0)，则方程的另一个近似根为1.4.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的另一个近似根，可以根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，即可得到方程的另一个近似根．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__－3__ ，x2＝ __1__.

2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．

解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.

3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过点(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1.∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

【互动探索】(引发学生思考)要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高，如何确定四边形的底和高？

【解答】(1)证明：y＝x2－(a－1)x＋a－2.

∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，

∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，

∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．

(2)由题可知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.

∵y＝x2－3x＋2＝2－，

∴A.

当y＝0时，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∴B(1,0)、D(2,0)．

当x＝0时，y＝2，

∴C(0,2)．

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

3．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

请完成本课时对应练习！