计数原理与排列组合专题训练

这是一份计数原理与排列组合专题训练，共21页。
例1 (1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为 ．
解：当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.故填13.
(2)(上海市2020届高三上一模冲刺练习)语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“清水池里池水清” “中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的四位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有 个．
解：设符合题意的四位数为xyyx，
则当x＝1时，y＝0，2，3，…，9，共9个；
当x＝2时，y＝0，1，3，…，9，共9个；
…
当x＝9时，y＝0，1，2，…，8，共9个．
由分类加法计数原理可知满足条件的四位数有9×9＝81个．故填81.
(3)(2018·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有 种．
解：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24＝16种不同的走法．故填16.
（4）解下列各题：
(Ⅰ)要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
(Ⅱ)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(Ⅲ)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有一人）
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
（5）用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(Ⅰ)可以组成多少个各位数字不重复的三位数?
(Ⅱ)可以组成多少个各位数字不重复的三位的奇数?
(Ⅲ)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?
【答案】（Ⅰ）分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法，由分步乘法计数原理知所求不同三位数共有5×5×4=100（个）.
（Ⅱ）分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所求三位奇数共有3×4×4=48（个）.
（Ⅲ）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25（个）；③三位数，共有5×5×4=100（个），因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131（个）.
变式1 (1)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
解：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．故选D.
(2)(2019·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为；五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有 种．
解：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生考虑，每个学生有4种报名方法，共有45＝1 024种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一考虑，每个冠军有5种获得的可能性，共有54＝625种获得冠军的可能性．故填1 024；625.
(3)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 ．


解：1，2，4两两相邻，5仅与4相邻，故按区域1与3是否同色分类：
①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有Aeq \\al(3,3)种方法．
所以区域1与3同色时，共有4Aeq \\al(3,3)＝24种方法．
②区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有Aeq \\al(2,4)种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．
所以共有Aeq \\al(2,4)×2×1×3＝72种方法．
故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96.故填96.
（4）三个比赛项目，六人报名参加。
(Ⅰ)每人参加一项有多少种不同的方法？
(Ⅱ)每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？
(Ⅲ)每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
(5)用这个数字，可以组成的无重复数字的四位偶数的个数为________
(6)用这个数字，可以组成____个大于，小于的数字不重复的四位数．
【答案】(5) 符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个．
(6) 分四类：
①千位数字为3，4之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）；
②千位数字为4，百位数字为0,1,2,3之一时，共有（个）；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，共有（个）；
④最后还有5420也满足条件．
所以，所求四位数共有120+48+6+1=175（个）．
考点二 排列数与组合数公式
例2 (1)解方程：3Aeq \\al(3,x)＝2Aeq \\al(2,x＋1)＋6Aeq \\al(2,x).
解：由3Aeq \\al(3,x)＝2Aeq \\al(2,x＋1)＋6Aeq \\al(2,x)得
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5或eq \f(2,3)(舍去)．
即原方程的解为x＝5.
(2)解不等式：eq \f(1,Ceq \\al(3,n))－eq \f(1,Ceq \\al(4,n))