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人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线，共20页。试卷主要包含了不论m如何变化，直线，不论k为何值，直线，直线l，已知直线，不论m为何值，直线，当a为任意实数时，直线等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线
一．选择题（共14小题）
1．不论m如何变化，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒过定点（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
2．a，b满足2a+b＝2，则直线ax+2y+b＝0必过定点（ ）
A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
3．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒过的一个定点是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
4．直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
5．已知m∈R，过定点A的动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0交于点P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（ ）
A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
8．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．已知直线ax+y+a+1＝0，不论a取何值，该直线恒过的定点是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
10．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
11．直线y+2＝k （x+1）恒过点（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
12．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
13．已知是k∈R，直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
14．直线y＝ax+a﹣1（a∈R）所过定点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
二．填空题（共18小题）
15．已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点 ．
16．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．
17．直线y＝kx+3k+1经过的定点为 ．
18．直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点 ；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为 ．
19．已知直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 ．
20．已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出当m变化时，点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为 ．
21．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）过定点P，则点P的坐标为 ．
22．已知直线l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，则当k变化时，直线l恒过定点 ．
23．直线y＝k（x+3）﹣2与直线y＝﹣x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是 ．
24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直线恒过定点 ．
25．不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点 ．
26．直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点 ．
27．若直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点 ．
28．设λ∈R，动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则|PA|•|PB|的最大值为 ．
29．直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为 ．
30．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，则直线mx﹣3y+n＝0必过定点 ．
31．已知直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，则直线l过定点 ，当k变动时，原点到直线l的距离的最大值为 ．
32．不论m为何实数，直线x﹣my﹣1+2m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
33．已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PA+PB取最小值时，求直线的方程．
34．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．
35．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直线l恒过定点的坐标；
（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
36．已知直线l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及点P（1，3）．
（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
37．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；
（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
38．不论m、n取什么值，直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必过一定点，试证明，并求此定点．
39．已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．不论m如何变化，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒过定点（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，令，解出即可．
【解答】解：直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣2．
因此不论实数m取何值，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0都经过定点（﹣1，﹣2）．
故选：B．
2．a，b满足2a+b＝2，则直线ax+2y+b＝0必过定点（ ）
A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
【分析】根据条件方程2a+b＝2化为a×2+2×（﹣1）+b＝0，即可得出直线ax+2y+b＝0恒过定点．
【解答】解：∵2a+b＝2，∴a×2+2×（﹣1）+b＝0，
∴直线ax+2y+b＝0恒过定点（2，﹣1）．
故选：D．
3．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒过的一个定点是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
【分析】方法1：不论k为何值直线恒过定点，即跟参数k无关，原直线方程可整理为（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0，k的系数为0，解方程组即可．
方法2：因为是选择题，跟k无关，不妨取两个特殊值，确定两条直线求交点即可．
【解答】解：方法1：直线方程（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0
变形为（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0
∵直线过定点，与k无关
∴
解得 故选B
方法2：（特殊值法）
无论k取何值，不妨取k＝，得y＝3
取k＝2，得x＝2
而直线x＝2与y＝3的交点为（2，3）
故选：B．
4．直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【分析】直线l化为：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，由此能求出直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（1，﹣1）．
【解答】解：∵直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0，
∴直线l：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，
∴，
解得x＝1，y＝﹣1，
∴直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（1，﹣1）．
故选：B．
5．已知m∈R，过定点A的动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0交于点P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（﹣3，﹣1）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝10．三角换元后，由三角函数的知识可得．
【解答】解：由题意可知，动直线mx+y＝0经过定点A（0，0），
动直线x﹣my﹣m+3＝0即﹣m（y+1）x+3＝0，经过点定点B（﹣3，﹣1），
∵动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0满足m×1+1×（﹣m）＝0，∴两直线始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sinθ，|PB|＝cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]
则＝sinθ+•cosθ＝2sin（），
∵θ+∈[，]，∴sin（），
∴2sin（），2]，
故选：D．
6．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，令，解得此直线恒过定点P（4，1），可得m，n．再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，
令，解得x＝4，y＝1．
∴此直线恒过定点P（4，1），即m＝4，n＝1．
∵正实数a，b满足+＝1，∴+＝1．
则a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．
∴a+b的最小值为9．
故选：A．
7．不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（ ）
A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【解答】解：直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0可为变为m（x+3）+（﹣2x﹣y+2）＝0
令 解得：
故不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（﹣3，8）
故选：C．
8．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1＝0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得mn的最大值．
【解答】解：整理直线方程得y＝k（x﹣1）+1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1＝0（m，n＞0）上，
∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2，m＝n时取等号，
∴mn≤，
即mn的最大值为，
故选：B．
9．已知直线ax+y+a+1＝0，不论a取何值，该直线恒过的定点是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
【分析】由直线ax+y+a+1＝0变形为a（x+1）+y+1＝0，令，解得即可．
【解答】解：由直线ax+y+a+1＝0变形为a（x+1）+y+1＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣1，
∴该直线过定点（﹣1，1），
故选：A．
10．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
【分析】直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0是直线系方程，先求出定点P即得．
【解答】解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点P，
则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）＝0，
对于a为任意实数时，
此式恒成立有
得，
故定点坐标是（﹣2，3）．
故选：B．
11．直线y+2＝k （x+1）恒过点（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接由直线的点斜式方程可得．
【解答】解：∵直线y+2＝k （x+1），
∴由直线的点斜式方程可知直线恒过点（﹣1，﹣2）．
故选：C．
12．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
【分析】对于任意实数k，直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒过定点，则与k的取值无关，则将方程转化为（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0．让k的系数和常数项为零即可．
【解答】解：方程2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0可化为（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0，
∵对于任意实数k，当时，直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒过定点，
由当，得 x＝0，y＝2．
故定点坐标是（0，2）．
故选：B．
13．已知是k∈R，直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
【分析】利用直线的点斜式方程进行分析求解即可．
【解答】解：直线y﹣3＝k（x+2），
当x＝﹣2时，y＝3，
故直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（﹣2，3）．
故选：B．
14．直线y＝ax+a﹣1（a∈R）所过定点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线所过定点的坐标．
【解答】解：直线y＝ax+a﹣1（a∈R），即 a（x+1）﹣y﹣1＝0，令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝﹣1，
可得直线所过定点的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：A．
二．填空题（共18小题）
15．已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点 （﹣2，1） ．
【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y﹣1＝k（x+2），可得直线的斜率为k且经过定点（﹣2，1），从而得到答案．
【解答】解：将直线y＝kx+2k+1化简为点斜式，可得y﹣1＝k（x+2），
∴直线经过定点（﹣2，1），且斜率为k．
即直线y＝kx+2k+1恒过定点（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
16．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0，进而有x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0，由此即可得到结论．
【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0
∴x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0
∴x＝﹣1，y＝2
∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）
17．直线y＝kx+3k+1经过的定点为 （﹣3，1） ．
【分析】根据题意，将直线的方程变形为点斜式形式，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线y＝kx+3k+1，变形可得y﹣1＝k（x+3），
恒过定点（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）．
18．直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点 （﹣1，2） ；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为 x﹣2y＝0 ．
【分析】直接由直线系方程求直线l1所过定点P；求出OP的斜率，利用两直线垂直与斜率的关系得到直线l2的斜率，则方程可求．
【解答】解：由2mx+（m﹣2）y+4＝0，得m（2x+y）﹣2y+4＝0，
联立，解得．
∴直线l1过定点P（﹣1，2）；
∵直线l2过原点，
∴当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的斜率为k＝，
则直线l2的方程为y＝，即x﹣2y＝0．
故答案为：（﹣1，2）；x﹣2y＝0．
19．已知直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 y＝2x ．
【分析】由直线ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0，从而可得定点坐标，进而可求直线方程．
【解答】解：由直线ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0
令，可得x＝﹣1，y＝﹣2
∴直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点（﹣1，﹣2），
∴过这一定点和原点的直线方程是，即y＝2x
故答案为：y＝2x．
20．已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出当m变化时，点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为 2 ．
【分析】根据题意，将直线l的方程变形为m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，则有，解出x、y的值，即可得直线l恒过定点（﹣1，﹣2），设M（﹣1，﹣2），求出|MQ|的值，又由点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为|MQ|，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设Q（3，4）到直线l的距离为d，
直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，变形可得m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，
则有，解可得，则直线l恒过定点（﹣1，﹣2），
设M（﹣1，﹣2），又由Q（3，4），
则|MQ|＝＝2，
而d≤|MQ|，即点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为2，
故答案为：2．
21．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）过定点P，则点P的坐标为 （2，1） ．
【分析】kx﹣y+1﹣2k＝0，化为y﹣1＝k（x﹣2），即可得出直线经过的定点．
【解答】解：kx﹣y+1﹣2k＝0，化为y﹣1＝k（x﹣2），
∵k∈R，∴，解得x＝2，y＝1．
∴点P的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
22．已知直线l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，则当k变化时，直线l恒过定点 ．
【分析】直接利用恒过定点的直线系建立方程组，进一步求出交点的坐标．
【解答】解：直线方程（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0可化为k（2x+2y﹣1）﹣x+3y＝0，
因为直线所过的定点与k的取值无关，
所以，
解得，
所以直线恒过定点．
故答案为：．
23．直线y＝k（x+3）﹣2与直线y＝﹣x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是 （，1） ．
【分析】联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定k的取值范围即可．
【解答】解：联立，解之可得交点（，），
由题意可得，，
解之可得＜k＜1，故k的取值范围是（，1）
故答案为：（，1）
24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直线恒过定点 （﹣1，2） ．
【分析】分离a，得到关于x，y的方程组，求出定点的坐标即可．
【解答】解：方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0，
即 a（x﹣y+3）﹣（x+1）＝0，
由，解得定点坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
25．不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点 （﹣3，1） ．
【分析】将直线方程化为m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，解方程组，可得所求定点．
【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0即为m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，
可得x+2y+1＝0，且﹣x﹣3y＝0，
解得x＝﹣3，y＝1，
所以直线恒过定点（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
26．直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点 （﹣1，1） ．
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，可得定点坐标．
【解答】解：直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0，即 λ（3x﹣y+4）+（x+2y﹣1）＝0，
显然，它经过直线3x﹣y+4＝0 和直线x+2y﹣1＝0的交点．
由，求得，
可得直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
27．若直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点 （﹣2，4） ．
【分析】在直线l2恒上任意取一点A（x，y），根据题意以及直线关于某个点对称的性质，求得直线l2的方程，可得直线l2恒过定点的坐标．
【解答】解：在直线l2恒上任意取一点A（x，y），则点A关于点（2，1）的对称点（4﹣x，2﹣y）在直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2上，
故有2﹣y＝k（4﹣x﹣6）﹣2，即 kx﹣y+2k+4＝0，即 k（x+2）﹣y+4＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝4，可得直线l2恒过定点（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
28．设λ∈R，动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则|PA|•|PB|的最大值为 10 ．
【分析】先求出动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A的坐标和动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B的坐标，由题意可知l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆上，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA||PB|，从而求出|PA||PB|≤10．
【解答】解：∵动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，∴点A（﹣1，0），
∵动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，∴点B（3，2），
由题意可知l1⊥l2，∴点P在以AB为直径的圆上，
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA|•|PB|，
∴|PA||PB|≤10，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，
故答案为：10．
29．直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】把已知方程变形，化为m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0，联立，求解得答案．
【解答】解：由（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，得
mx+2x﹣2my+y﹣3m+4＝0，即m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0．
联立，解得．
∴M的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
30．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，则直线mx﹣3y+n＝0必过定点 （﹣2，） ．
【分析】将n＝2m﹣1代入直线方程进行化简，由求解即可．
【解答】解：因为2m﹣n＝1，
则n＝2m﹣1，
代入方程可得，mx﹣3y+2m﹣1＝0，即（x+2）m+（﹣3y﹣1）＝0，
则，解得x＝﹣2，y＝，
所以直线mx﹣3y+n＝0必过定点（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
31．已知直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，则直线l过定点 （3，1） ，当k变动时，原点到直线l的距离的最大值为 ．
【分析】现在直线的方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l过定点的坐标．当直线和OM垂直时，原点到直线l的距离的最大，为OM线段的长度，计算求得结果．
【解答】解：直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，即直线l：k（x﹣3）﹣y+1＝0，令x﹣3＝0，求得x＝3，y＝1，
可得直线l过定点M（3，1）．
当直线和OM垂直时，原点到直线l的距离的最大，为OM线段的长度，即＝，
故答案为：（3，1）；．
32．不论m为何实数，直线x﹣my﹣1+2m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为 （1，2） ．
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得这个定点的坐标．
【解答】解：直线x﹣my﹣1+2m＝0，即 x﹣1+m（2﹣y）＝0，令y＝2，求得x＝1，可得它恒过一个定点（1，2），
故答案为：（1，2）．
三．解答题（共7小题）
33．已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PA+PB取最小值时，求直线的方程．
【分析】（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可求；
（2）设直线的方程，满足①可得，联立可解a，b，即可得方程；若满足②，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求．
（3）利用直线的倾斜角表示PA+PB，利用换元法，结合三角函数的性质及函数的单调性可求．
【解答】解：（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x＝，y＝2，
故直线恒过定点P（，2），
（2）设直线方程为，（a＞0，b＞0），
若满足条件（1），则a+b+＝12，①
又∵直线过点P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
解得，或．
∴所求直线的方程为或＝1，
即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0．
若满足条件②，则ab＝12，③
由题意得，＝1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍），
∴所求直线的方程为，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0．
综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程，为3x+4y﹣12＝0，
（3）由题意可知直线的倾斜角，
所以PA＝，PB＝﹣，
所以PA+PB＝﹣＝，
令t＝cosα﹣sinα＝，
由可得，cos（），t，
PA+PB＝﹣＝＝在[﹣，﹣1）上单调递增，
当t＝﹣即时，上式取得最小值4，此时直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣），
化简可得，直线方程为3x+3y﹣10＝0．
34．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．
【分析】设出P的坐标，求出PC的方程，判断求解即可．
【解答】解：设A（a，0），则P（a，m﹣a），a∈（0，m），
则B（0，m﹣a），
PC的斜率为：，
PC的方程为：y﹣（m﹣a）＝（x﹣a），
即：（m﹣a）y﹣（m﹣a）（m﹣a）﹣a（x﹣a）＝0，
即：my﹣ay﹣m2+2am﹣ax＝0，
可得my﹣m2﹣a（x+y﹣2m）＝0，
由，可得，
直线PC恒过（m，m）．
35．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直线l恒过定点的坐标；
（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
【分析】（1）在直线方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（2）先求出直线l与x轴负半轴和y轴正半轴的交点，再根据它与坐标轴围成的三角形面积为，求得k的值．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，即 k（x+2）﹣y+1＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝1，该直线经过点（﹣2，1）．
（2）直线l：kx﹣y+1+2k＝0与x轴负半轴交点为（﹣，0），和y轴正半轴交点为（0，1+2k），
故1+2k＞0，且﹣＜0，解得k＞0．
直线l坐标轴围成的三角形面积为 •（）•（1+2k）＝，即 4k2﹣5k+1＝0，
求得k＝1，或k＝．
36．已知直线l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及点P（1，3）．
（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【分析】（1）变形后令a，b的系数为0，解方程组可得；
（2）当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为 a（2x+y+1）+b（﹣x+y﹣1）＝0，
由，
得，所以直线l恒过定点（﹣，）．
（2）由（1）知直线l恒过定点A（﹣，），
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率k＝＝，所以直线l的斜率kl＝﹣．
故直线l的方程为y﹣＝﹣（x+），
即15x+24y+2＝0．
37．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；
（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
【分析】（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可求．
（2）先求kOA，然后根据直线垂直与斜率的关系即可求解．
【解答】解：（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，
结合直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点A（3，1），
（2）∵OA⊥l，且kOA＝1，
∴直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0的斜率k＝﹣1．
38．不论m、n取什么值，直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必过一定点，试证明，并求此定点．
【分析】直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化为：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，令，解出即可得出．
【解答】证明：直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化为：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，
令，解得，
因此在直线必过一定点，
39．已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
【分析】（1）令参数的系数等于零可得P点坐标；（2）两直线平行得到两斜率相等进而建立等式求解m．
【解答】解：（1）由（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，化简得
m（x+y﹣10）+（﹣x+3y+6）＝0，
令，
故直线l恒过定点P（9，1）．
（2）由题得 （m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，与直线 3x﹣4y+2＝0 平行，
∴3（m+3）+4（m﹣1）＝0，即 ．
人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线
一．选择题（共14小题）
1．不论m如何变化，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒过定点（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
2．a，b满足2a+b＝2，则直线ax+2y+b＝0必过定点（ ）
A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
3．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒过的一个定点是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
4．直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
5．已知m∈R，过定点A的动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0交于点P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（ ）
A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
8．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．已知直线ax+y+a+1＝0，不论a取何值，该直线恒过的定点是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
10．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
11．直线y+2＝k （x+1）恒过点（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
12．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
13．已知是k∈R，直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
14．直线y＝ax+a﹣1（a∈R）所过定点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
二．填空题（共18小题）
15．已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点 ．
16．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．
17．直线y＝kx+3k+1经过的定点为 ．
18．直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点 ；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为 ．
19．已知直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 ．
20．已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出当m变化时，点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为 ．
21．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）过定点P，则点P的坐标为 ．
22．已知直线l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，则当k变化时，直线l恒过定点 ．
23．直线y＝k（x+3）﹣2与直线y＝﹣x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是 ．
24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直线恒过定点 ．
25．不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点 ．
26．直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点 ．
27．若直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点 ．
28．设λ∈R，动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则|PA|•|PB|的最大值为 ．
29．直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为 ．
30．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，则直线mx﹣3y+n＝0必过定点 ．
31．已知直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，则直线l过定点 ，当k变动时，原点到直线l的距离的最大值为 ．
32．不论m为何实数，直线x﹣my﹣1+2m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
33．已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PA+PB取最小值时，求直线的方程．
34．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．
35．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直线l恒过定点的坐标；
（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
36．已知直线l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及点P（1，3）．
（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
37．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；
（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
38．不论m、n取什么值，直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必过一定点，试证明，并求此定点．
39．已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
人教版2021届一轮复习打地基练习 恒过定点的直线
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．不论m如何变化，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒过定点（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，令，解出即可．
【解答】解：直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣2．
因此不论实数m取何值，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0都经过定点（﹣1，﹣2）．
故选：B．
2．a，b满足2a+b＝2，则直线ax+2y+b＝0必过定点（ ）
A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
【分析】根据条件方程2a+b＝2化为a×2+2×（﹣1）+b＝0，即可得出直线ax+2y+b＝0恒过定点．
【解答】解：∵2a+b＝2，∴a×2+2×（﹣1）+b＝0，
∴直线ax+2y+b＝0恒过定点（2，﹣1）．
故选：D．
3．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒过的一个定点是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
【分析】方法1：不论k为何值直线恒过定点，即跟参数k无关，原直线方程可整理为（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0，k的系数为0，解方程组即可．
方法2：因为是选择题，跟k无关，不妨取两个特殊值，确定两条直线求交点即可．
【解答】解：方法1：直线方程（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0
变形为（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0
∵直线过定点，与k无关
∴
解得 故选B
方法2：（特殊值法）
无论k取何值，不妨取k＝，得y＝3
取k＝2，得x＝2
而直线x＝2与y＝3的交点为（2，3）
故选：B．
4．直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【分析】直线l化为：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，由此能求出直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（1，﹣1）．
【解答】解：∵直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0，
∴直线l：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，
∴，
解得x＝1，y＝﹣1，
∴直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点（1，﹣1）．
故选：B．
5．已知m∈R，过定点A的动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0交于点P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（﹣3，﹣1）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝10．三角换元后，由三角函数的知识可得．
【解答】解：由题意可知，动直线mx+y＝0经过定点A（0，0），
动直线x﹣my﹣m+3＝0即﹣m（y+1）x+3＝0，经过点定点B（﹣3，﹣1），
∵动直线mx+y＝0和过定点B的动直线x﹣my﹣m+3＝0满足m×1+1×（﹣m）＝0，∴两直线始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sinθ，|PB|＝cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]
则＝sinθ+•cosθ＝2sin（），
∵θ+∈[，]，∴sin（），
∴2sin（），2]，
故选：D．
6．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，令，解得此直线恒过定点P（4，1），可得m，n．再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，
令，解得x＝4，y＝1．
∴此直线恒过定点P（4，1），即m＝4，n＝1．
∵正实数a，b满足+＝1，∴+＝1．
则a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．
∴a+b的最小值为9．
故选：A．
7．不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（ ）
A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【解答】解：直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0可为变为m（x+3）+（﹣2x﹣y+2）＝0
令 解得：
故不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（﹣3，8）
故选：C．
8．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1＝0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得mn的最大值．
【解答】解：整理直线方程得y＝k（x﹣1）+1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1＝0（m，n＞0）上，
∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2，m＝n时取等号，
∴mn≤，
即mn的最大值为，
故选：B．
9．已知直线ax+y+a+1＝0，不论a取何值，该直线恒过的定点是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
【分析】由直线ax+y+a+1＝0变形为a（x+1）+y+1＝0，令，解得即可．
【解答】解：由直线ax+y+a+1＝0变形为a（x+1）+y+1＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣1，
∴该直线过定点（﹣1，1），
故选：A．
10．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
【分析】直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0是直线系方程，先求出定点P即得．
【解答】解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点P，
则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）＝0，
对于a为任意实数时，
此式恒成立有
得，
故定点坐标是（﹣2，3）．
故选：B．
11．直线y+2＝k （x+1）恒过点（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接由直线的点斜式方程可得．
【解答】解：∵直线y+2＝k （x+1），
∴由直线的点斜式方程可知直线恒过点（﹣1，﹣2）．
故选：C．
12．设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
【分析】对于任意实数k，直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒过定点，则与k的取值无关，则将方程转化为（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0．让k的系数和常数项为零即可．
【解答】解：方程2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0可化为（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0，
∵对于任意实数k，当时，直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒过定点，
由当，得 x＝0，y＝2．
故定点坐标是（0，2）．
故选：B．
13．已知是k∈R，直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
【分析】利用直线的点斜式方程进行分析求解即可．
【解答】解：直线y﹣3＝k（x+2），
当x＝﹣2时，y＝3，
故直线y﹣3＝k（x+2）总经过点（﹣2，3）．
故选：B．
14．直线y＝ax+a﹣1（a∈R）所过定点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线所过定点的坐标．
【解答】解：直线y＝ax+a﹣1（a∈R），即 a（x+1）﹣y﹣1＝0，令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝﹣1，
可得直线所过定点的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：A．
二．填空题（共18小题）
15．已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点 （﹣2，1） ．
【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y﹣1＝k（x+2），可得直线的斜率为k且经过定点（﹣2，1），从而得到答案．
【解答】解：将直线y＝kx+2k+1化简为点斜式，可得y﹣1＝k（x+2），
∴直线经过定点（﹣2，1），且斜率为k．
即直线y＝kx+2k+1恒过定点（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
16．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0，进而有x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0，由此即可得到结论．
【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0
∴x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0
∴x＝﹣1，y＝2
∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都过一个定点A（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）
17．直线y＝kx+3k+1经过的定点为 （﹣3，1） ．
【分析】根据题意，将直线的方程变形为点斜式形式，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线y＝kx+3k+1，变形可得y﹣1＝k（x+3），
恒过定点（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）．
18．直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点 （﹣1，2） ；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为 x﹣2y＝0 ．
【分析】直接由直线系方程求直线l1所过定点P；求出OP的斜率，利用两直线垂直与斜率的关系得到直线l2的斜率，则方程可求．
【解答】解：由2mx+（m﹣2）y+4＝0，得m（2x+y）﹣2y+4＝0，
联立，解得．
∴直线l1过定点P（﹣1，2）；
∵直线l2过原点，
∴当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的斜率为k＝，
则直线l2的方程为y＝，即x﹣2y＝0．
故答案为：（﹣1，2）；x﹣2y＝0．
19．已知直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 y＝2x ．
【分析】由直线ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0，从而可得定点坐标，进而可求直线方程．
【解答】解：由直线ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0
令，可得x＝﹣1，y＝﹣2
∴直线ax+y+a+2＝0恒经过一个定点（﹣1，﹣2），
∴过这一定点和原点的直线方程是，即y＝2x
故答案为：y＝2x．
20．已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出当m变化时，点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为 2 ．
【分析】根据题意，将直线l的方程变形为m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，则有，解出x、y的值，即可得直线l恒过定点（﹣1，﹣2），设M（﹣1，﹣2），求出|MQ|的值，又由点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为|MQ|，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设Q（3，4）到直线l的距离为d，
直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，变形可得m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，
则有，解可得，则直线l恒过定点（﹣1，﹣2），
设M（﹣1，﹣2），又由Q（3，4），
则|MQ|＝＝2，
而d≤|MQ|，即点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为2，
故答案为：2．
21．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）过定点P，则点P的坐标为 （2，1） ．
【分析】kx﹣y+1﹣2k＝0，化为y﹣1＝k（x﹣2），即可得出直线经过的定点．
【解答】解：kx﹣y+1﹣2k＝0，化为y﹣1＝k（x﹣2），
∵k∈R，∴，解得x＝2，y＝1．
∴点P的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
22．已知直线l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，则当k变化时，直线l恒过定点 ．
【分析】直接利用恒过定点的直线系建立方程组，进一步求出交点的坐标．
【解答】解：直线方程（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0可化为k（2x+2y﹣1）﹣x+3y＝0，
因为直线所过的定点与k的取值无关，
所以，
解得，
所以直线恒过定点．
故答案为：．
23．直线y＝k（x+3）﹣2与直线y＝﹣x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是 （，1） ．
【分析】联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定k的取值范围即可．
【解答】解：联立，解之可得交点（，），
由题意可得，，
解之可得＜k＜1，故k的取值范围是（，1）
故答案为：（，1）
24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直线恒过定点 （﹣1，2） ．
【分析】分离a，得到关于x，y的方程组，求出定点的坐标即可．
【解答】解：方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0，
即 a（x﹣y+3）﹣（x+1）＝0，
由，解得定点坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
25．不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点 （﹣3，1） ．
【分析】将直线方程化为m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，解方程组，可得所求定点．
【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0即为m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，
可得x+2y+1＝0，且﹣x﹣3y＝0，
解得x＝﹣3，y＝1，
所以直线恒过定点（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
26．直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点 （﹣1，1） ．
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，可得定点坐标．
【解答】解：直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0，即 λ（3x﹣y+4）+（x+2y﹣1）＝0，
显然，它经过直线3x﹣y+4＝0 和直线x+2y﹣1＝0的交点．
由，求得，
可得直线（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒过定点（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
27．若直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点 （﹣2，4） ．
【分析】在直线l2恒上任意取一点A（x，y），根据题意以及直线关于某个点对称的性质，求得直线l2的方程，可得直线l2恒过定点的坐标．
【解答】解：在直线l2恒上任意取一点A（x，y），则点A关于点（2，1）的对称点（4﹣x，2﹣y）在直线l1：y＝k（x﹣6）﹣2上，
故有2﹣y＝k（4﹣x﹣6）﹣2，即 kx﹣y+2k+4＝0，即 k（x+2）﹣y+4＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝4，可得直线l2恒过定点（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
28．设λ∈R，动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则|PA|•|PB|的最大值为 10 ．
【分析】先求出动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A的坐标和动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B的坐标，由题意可知l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆上，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA||PB|，从而求出|PA||PB|≤10．
【解答】解：∵动直线l1：λx﹣y+λ＝0过定点A，∴点A（﹣1，0），
∵动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0过定点B，∴点B（3，2），
由题意可知l1⊥l2，∴点P在以AB为直径的圆上，
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA|•|PB|，
∴|PA||PB|≤10，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，
故答案为：10．
29．直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】把已知方程变形，化为m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0，联立，求解得答案．
【解答】解：由（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，得
mx+2x﹣2my+y﹣3m+4＝0，即m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0．
联立，解得．
∴M的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
30．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，则直线mx﹣3y+n＝0必过定点 （﹣2，） ．
【分析】将n＝2m﹣1代入直线方程进行化简，由求解即可．
【解答】解：因为2m﹣n＝1，
则n＝2m﹣1，
代入方程可得，mx﹣3y+2m﹣1＝0，即（x+2）m+（﹣3y﹣1）＝0，
则，解得x＝﹣2，y＝，
所以直线mx﹣3y+n＝0必过定点（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
31．已知直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，则直线l过定点 （3，1） ，当k变动时，原点到直线l的距离的最大值为 ．
【分析】现在直线的方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l过定点的坐标．当直线和OM垂直时，原点到直线l的距离的最大，为OM线段的长度，计算求得结果．
【解答】解：直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，即直线l：k（x﹣3）﹣y+1＝0，令x﹣3＝0，求得x＝3，y＝1，
可得直线l过定点M（3，1）．
当直线和OM垂直时，原点到直线l的距离的最大，为OM线段的长度，即＝，
故答案为：（3，1）；．
32．不论m为何实数，直线x﹣my﹣1+2m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为 （1，2） ．
【分析】先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得这个定点的坐标．
【解答】解：直线x﹣my﹣1+2m＝0，即 x﹣1+m（2﹣y）＝0，令y＝2，求得x＝1，可得它恒过一个定点（1，2），
故答案为：（1，2）．
三．解答题（共7小题）
33．已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PA+PB取最小值时，求直线的方程．
【分析】（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可求；
（2）设直线的方程，满足①可得，联立可解a，b，即可得方程；若满足②，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求．
（3）利用直线的倾斜角表示PA+PB，利用换元法，结合三角函数的性质及函数的单调性可求．
【解答】解：（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x＝，y＝2，
故直线恒过定点P（，2），
（2）设直线方程为，（a＞0，b＞0），
若满足条件（1），则a+b+＝12，①
又∵直线过点P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
解得，或．
∴所求直线的方程为或＝1，
即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0．
若满足条件②，则ab＝12，③
由题意得，＝1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍），
∴所求直线的方程为，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0．
综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程，为3x+4y﹣12＝0，
（3）由题意可知直线的倾斜角，
所以PA＝，PB＝﹣，
所以PA+PB＝﹣＝，
令t＝cosα﹣sinα＝，
由可得，cos（），t，
PA+PB＝﹣＝＝在[﹣，﹣1）上单调递增，
当t＝﹣即时，上式取得最小值4，此时直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣），
化简可得，直线方程为3x+3y﹣10＝0．
34．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．
【分析】设出P的坐标，求出PC的方程，判断求解即可．
【解答】解：设A（a，0），则P（a，m﹣a），a∈（0，m），
则B（0，m﹣a），
PC的斜率为：，
PC的方程为：y﹣（m﹣a）＝（x﹣a），
即：（m﹣a）y﹣（m﹣a）（m﹣a）﹣a（x﹣a）＝0，
即：my﹣ay﹣m2+2am﹣ax＝0，
可得my﹣m2﹣a（x+y﹣2m）＝0，
由，可得，
直线PC恒过（m，m）．
35．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直线l恒过定点的坐标；
（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
【分析】（1）在直线方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（2）先求出直线l与x轴负半轴和y轴正半轴的交点，再根据它与坐标轴围成的三角形面积为，求得k的值．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，即 k（x+2）﹣y+1＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝1，该直线经过点（﹣2，1）．
（2）直线l：kx﹣y+1+2k＝0与x轴负半轴交点为（﹣，0），和y轴正半轴交点为（0，1+2k），
故1+2k＞0，且﹣＜0，解得k＞0．
直线l坐标轴围成的三角形面积为 •（）•（1+2k）＝，即 4k2﹣5k+1＝0，
求得k＝1，或k＝．
36．已知直线l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及点P（1，3）．
（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【分析】（1）变形后令a，b的系数为0，解方程组可得；
（2）当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为 a（2x+y+1）+b（﹣x+y﹣1）＝0，
由，
得，所以直线l恒过定点（﹣，）．
（2）由（1）知直线l恒过定点A（﹣，），
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率k＝＝，所以直线l的斜率kl＝﹣．
故直线l的方程为y﹣＝﹣（x+），
即15x+24y+2＝0．
37．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；
（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
【分析】（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可求．
（2）先求kOA，然后根据直线垂直与斜率的关系即可求解．
【解答】解：（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，
结合直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点A（3，1），
（2）∵OA⊥l，且kOA＝1，
∴直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0的斜率k＝﹣1．
38．不论m、n取什么值，直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必过一定点，试证明，并求此定点．
【分析】直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化为：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，令，解出即可得出．
【解答】证明：直线（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化为：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，
令，解得，
因此在直线必过一定点，
39．已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
【分析】（1）令参数的系数等于零可得P点坐标；（2）两直线平行得到两斜率相等进而建立等式求解m．
【解答】解：（1）由（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，化简得
m（x+y﹣10）+（﹣x+3y+6）＝0，
令，
故直线l恒过定点P（9，1）．
（2）由题得 （m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，与直线 3x﹣4y+2＝0 平行，
∴3（m+3）+4（m﹣1）＝0，即 ．
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