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人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程，共18页。试卷主要包含了圆C，已知圆心，已知圆C经过原点O，已知O为坐标原点，P为圆C等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程
一．选择题（共15小题）
1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0的半径为（ ）
A．4 B． C．11 D．
2．圆x2+y2﹣2x+4y＝0的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知直线过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
4．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
5．圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣2，3），5 B． C．（2，﹣3），5 D．
6．已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣4x+2y＝0
7．圆x2﹣2x+ay2﹣y＝0的半径是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知圆C经过原点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3）三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣3y＝0 B．x2+y2﹣x+3y＝0
C．x2+y2﹣5x﹣5＝0 D．x2+y2﹣7x+y＝0
9．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知O为坐标原点，P为圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5上的动点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．3
11．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
12．圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0 B．x2+y2﹣4x+2y+2＝0
C．x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 D．x2+y2+4x﹣2y+2＝0
13．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（）
14．若方程x2+y2+4x﹣6y+1﹣2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣6，+∞） B．（6，+∞） C．（﹣7，+∞） D．（7，+∞）
15．已知圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
二．多选题（共1小题）
16．已知方程x2+y2+3ax+ay++a﹣1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
三．填空题（共16小题）
17．过圆C：x2+y2+2x﹣1＝0的圆心，且斜率为1的直线方程为 ．
18．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则y﹣x的最大值为 ．
19．若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为 ．
20．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 ．
21．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为 ．
22．已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，则的取值范围是 ．
23．已知m∈R，若方程x2+y2+2x+2y+m＝0表示圆，则圆心坐标为 ；则m的取值范围是 ．
24．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为 ．
25．已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 ．
26．已知圆的一条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是 ．
27．经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，且过点（1，0）的圆的方程为 ．
28．若圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的一条弦AB的中点为P（0，1），则垂直于AB的直径所在直线的一般式方程为 ．
29．圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0的半径长为 ．
30．直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3）的圆的方程为 ．
31．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 ．
32．方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
33．已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称．
（1）求直线AC的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程．
34．已知圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），且圆心E在直线y＝﹣x上．
（Ⅰ）求圆E的一般方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝4和圆E相交于点M，N，求线段MN的长．
35．（1）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．
36．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0．
（1）求的最值；
（2）求y﹣x的最值；
（3）求x2+y2的最值．
37．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？
（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0的半径为（ ）
A．4 B． C．11 D．
【分析】利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，再求出半径．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝11，
则半径为．
故选：D．
2．圆x2+y2﹣2x+4y＝0的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】把圆方程化为标准方程得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y＝0化为标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5，则半径为．
故选：D．
3．已知直线过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
【分析】根据题意，由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），
直线l与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则直线l的斜率为2，
则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．
故选：D．
4．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，
其圆心为（1，0），半径r＝3，
故选：D．
5．圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣2，3），5 B． C．（2，﹣3），5 D．
【分析】由标准方程即可得到圆的圆心坐标和半径．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标是（2，﹣3），半径是，
故选：D．
6．已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣4x+2y＝0
【分析】根据题意，设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），由中点坐标公式可得a、b的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），
圆心C为点（﹣2，1），
由中点坐标公式得，，
解得a＝﹣4，b＝2．
∴半径r＝，
∴圆的方程是：（x+2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2+4x﹣2y＝0．
故选：C．
7．圆x2﹣2x+ay2﹣y＝0的半径是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据方程x2﹣2x+ay2﹣y＝0表示圆求出a的值，再把圆的方程化为标准方程，从而求出圆的半径．
【解答】解：方程x2﹣2x+ay2﹣y＝0表示圆，则a＝1，
所以圆的方程为x2﹣2x+y2﹣y＝0，可化为（x﹣1）2+＝，
所以圆的半径是．
故选：B．
8．已知圆C经过原点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3）三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣3y＝0 B．x2+y2﹣x+3y＝0
C．x2+y2﹣5x﹣5＝0 D．x2+y2﹣7x+y＝0
【分析】利用待定系数法，求出圆C的方程．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
∵圆C经过三个点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3），
∴，
解得D＝﹣7，E＝1，F＝0，
即圆C的方程x2+y2﹣7x+y＝0．
故选：D．
9．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出圆的方程，再由已知求解圆的方程，然后取y＝﹣1求得x值，则答案可求．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则B（10，0），C（0，4），
设圆拱所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
则，解得b＝﹣，．
∴圆的方程为．
取y＝﹣1，得＝120，
∴x＝．
则当水面下降1米后，桥在水面的跨度为米．
故选：C．
10．已知O为坐标原点，P为圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5上的动点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．3
【分析】根据题意，分析圆C的圆心和半径，求出|OC|的值，由点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5，其圆心C（2，﹣4），半径r＝，
则|OC|＝＝2，
则|PO|的最小值为|OC|﹣r＝；
故选：A．
11．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据题意，将x2+y2+4x﹣6y+12＝0变形为（x+2）2+（y﹣3）2＝1，则有﹣1≤x+2≤1，分析可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2+4x﹣6y+12＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝1，
则有﹣1≤x+2≤1，解可得﹣3≤x≤﹣1，
即x的最大值是﹣1，
故选：C．
12．圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0 B．x2+y2﹣4x+2y+2＝0
C．x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 D．x2+y2+4x﹣2y+2＝0
【分析】根据题意，由圆的圆心与半径写出圆的标准方程，变形为一般方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，
变形可得x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，
故选：A．
13．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（）
【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得1+1﹣4×（﹣2m）＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，
则有1+1﹣4×（﹣2m）＞0，
解可得m＞﹣，即m的取值范围为（﹣，+∞）；
故选：C．
14．若方程x2+y2+4x﹣6y+1﹣2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣6，+∞） B．（6，+∞） C．（﹣7，+∞） D．（7，+∞）
【分析】根据圆的一般方程成立的条件建立不等式进行求解即可．
【解答】解：若方程表示圆，则42+62﹣4（1﹣2m）＞0，
即16+36﹣4+8m＞0，
得8m＞﹣48，
得m＞﹣6．
故选：A．
15．已知圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【分析】直接利用圆成立的充要条件的应用求出参数的范围．
【解答】解：圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，整理得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣m，
所以2﹣m＞0，解得m＜2．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
16．已知方程x2+y2+3ax+ay++a﹣1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【分析】若方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示圆，则D2+E2﹣4F＞0．
【解答】解：因为方程表示圆，
所以，
解得a＜1，
所以满足条件的只有﹣2与0．
故选：AB．
三．填空题（共16小题）
17．过圆C：x2+y2+2x﹣1＝0的圆心，且斜率为1的直线方程为 x﹣y+1＝0 ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标，代入点斜式方程求解即可．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣1＝0化为（x+1）2+y2＝2，则圆心为（﹣1，0），
∴经过圆心（﹣1，0）且斜率为1的直线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
18．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则y﹣x的最大值为 ﹣2 ．
【分析】利用配方法求出圆心和半径，利用直线和圆相切的条件建立方程进行求解即可．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝3，圆心为C（2，0），半径r＝，
设y﹣x＝t，即x﹣y+t＝0，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝，
即|t+2|＝，得t+2＝或t+2＝﹣，
得t＝﹣2或t＝﹣﹣2，
则t的最大值为﹣2，
故答案为：﹣2．
19．若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为 （﹣∞，1）∪（4，+∞） ．
【分析】根据题意，先由圆的一般方程可得λ＝0，由此圆的方程变形可得（x+k）2+（y+2）2＝k2﹣5k+4，则有k2﹣5k+4＞0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，
则λ＝0，方程为x2+y2+2kx+4y+5k＝0，即（x+k）2+（y+2）2＝k2﹣5k+4，
必有k2﹣5k+4＞0，解可得k＜1或k＞4，
即k的取值范围为（﹣∞，1）∪（4，+∞），
故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
20．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 6π ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出半径，可得该圆的周长．
【解答】解：平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，即 （x+1）2+（y+3）2＝9，
故该圆的半径为3，故该圆的周长为2π×3＝6π，
故答案为：6π．
21．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为 ．
【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y＝kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2＝1，
∴圆心C（﹣4，0），半径r＝1，
∵直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴圆心（﹣4，0）到直线y＝kx﹣2的距离d＝，
解得：≤k≤0．
故答案为：．
22．已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，则的取值范围是 [，+∞） ．
【分析】变形可得，所求式子表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，利用直线和圆相切的性质求得k的范围，可得结论．
【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．
则＝＝1+，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．
当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．
当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．
设AB的方程为y+3＝k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k﹣3＝0，由CB＝1，可得＝1，求得k＝．
而AE的方程为x＝1，
故k+1的范围为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
23．已知m∈R，若方程x2+y2+2x+2y+m＝0表示圆，则圆心坐标为 （﹣1，﹣1） ；则m的取值范围是 （﹣∞，2） ．
【分析】根据题意，将方程变形可得（x+1）2+（y+1）2＝2﹣m，分析可得若其表示圆，则有2﹣m＞0，解可得m的取值范围，由圆的标准方程可得圆心坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2+2x+2y+m＝0，变形可得（x+1）2+（y+1）2＝2﹣m，
若其表示圆，则有2﹣m＞0，解可得m＜2，即m的取值范围为（﹣∞，2），
圆心的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1），（﹣∞，2）．
24．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为 （0，1） ．
【分析】先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．
【解答】解：方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0化为标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝a﹣a2，
则圆心坐标为（a，2a），
因为方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，
所以，解得0＜a＜1，
所以实数a的范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
25．已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 （﹣3，4） ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 [2，8] ．
【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标；再根据以AB为直径的圆和圆C有交点，求得m的范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，则圆心C的坐标为（﹣3，4）；
设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，
则以AB为直径的圆和圆C有交点，
故故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和．
而以AB为直径的圆的圆心为原点，半径为m，
∴|3﹣m|≤≤m+3，即|3﹣m|≤5≤m+3，
求得2≤m≤8，
故答案为：（﹣3，4）；[2，8]．
26．已知圆的一条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是 （x﹣2）2+（y+1）2＝1 ．
【分析】根据条件求出圆心和半径即可得到结论．
【解答】解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．
∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），
则半径r＝1，
则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝1
27．经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，且过点（1，0）的圆的方程为 x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0 ．
【分析】根据题意，设要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+λ（x﹣2y）＝0，将点（1，0）代入圆的方程，计算可得λ的值，将圆的方程变形可得答案．
【解答】解：根据题意，要求圆经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，设要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+λ（x﹣2y）＝0，
又由要求圆经过点（1，0），
则有1﹣4﹣4+λ＝0，解可得λ＝7，
则要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+7（x﹣2y）＝0，变形可得x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0，
故答案为：x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0．
28．若圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的一条弦AB的中点为P（0，1），则垂直于AB的直径所在直线的一般式方程为 x+y﹣1＝0 ．
【分析】设圆心为C，利用CP⊥AB，求出AB的斜率，进而可求直线AB的方程，从而得到垂直于AB的直径所在直线的方程为x+y﹣1＝0．
【解答】解：设圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的圆心为C，
则C的坐标为：（﹣1，2）
∵AB的中点为P（O，1），
∴垂直于AB的直径所在的直线就是CP，
∵kCP＝＝﹣1，
∴直线CP的方程为y＝﹣x+1，
即垂直于AB的直径所在直线的方程为x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
29．圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0的半径长为 2|a|（a≠0） ．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0即x2+（y﹣a）2＝4a2，
则圆的半径为2|a|，（a≠0）
故答案为：2|a|，（a≠0）
30．直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3）的圆的方程为 x2+y2﹣2y﹣24＝0 ．
【分析】根据题意，设要求圆上任意一点为M，分析可得（x+3）（x﹣3）+（y﹣5）（y+3）＝0，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆上任意一点为M，其坐标为（x，y），
直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3），则有（x+3）（x﹣3）+（y﹣5）（y+3）＝0，
变形可得：x2+y2﹣2y﹣24＝0，
故答案为：x2+y2﹣2y﹣24＝0．
31．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 （﹣25，+∞） ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，
则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，
解可得k＞﹣25，
即k的取值范围为（﹣25，+∞），
故答案为：（﹣25，+∞）．
32．方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是 （﹣2，） ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（2a）2+a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，变形解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，
则有（2a）2+a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，变形可得3a2+4a﹣4＜0，
解可得：﹣2＜a＜，即a的取值范围为（﹣2，），
故答案为：（﹣2，）．
四．解答题（共5小题）
33．已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称．
（1）求直线AC的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程．
【分析】（1）用点斜式求出经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行直线的方程．
（2）设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，把A（1，1），B（2，4），（﹣1，3）的坐标代入，求出d、e、f的值，可得△ABC外接圆的方程．
【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为y﹣4＝1•（x﹣2），即x﹣y+2＝0．
∵A（1，1），点A和点C关于直线l对称，故点C的坐标为（﹣1，3），
故直线AC的方程为＝，即x+y﹣2＝0．
（2）设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，把A（1，1），B（2，4），（﹣1，3）的坐标代入，
可得，求得 ，
∴△ABC外接圆的方程为 x2+y2﹣x﹣y+5＝0，即 +＝．
34．已知圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），且圆心E在直线y＝﹣x上．
（Ⅰ）求圆E的一般方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝4和圆E相交于点M，N，求线段MN的长．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推知该圆的圆心是直线x＝﹣2与直线y＝﹣x的交点，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；
（Ⅱ）由方程x2+y2＝4与x2+y2+4x﹣4y﹣12＝0消去二次项得，x﹣y﹣2＝0，再求得圆心O到直线x﹣y﹣2＝0的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得线段MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）由圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），得圆心E在直线x＝﹣2上．
又∵圆心E在直线y＝﹣x上，
∴圆心E的坐标为（﹣2，2）．
设圆E的半径为r，则．
故圆E的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝20．
化成一般方程为x2+y2+4x﹣4y﹣12＝0．
（Ⅱ）圆O与圆E的方程联立，得到方程组
①﹣②，得x﹣y﹣2＝0，即为直线MN的方程．
原点O到直线MN的距离．
又圆O的半径为2，
∴由勾股定理，得．
故．
35．（1）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．
【分析】（1）由题意可得圆心坐标为A，B的中点坐标，半径为|AB|的一半，可得圆的标准方程．
（2）由题意设圆心C的坐标（a，﹣a），又过A，B点，可得r＝|AC|＝|BC|，求出a的值，进而求出半径，求出圆的标准方程．
【解答】解：（1）由题意可得圆的圆心（1，﹣3），半径r＝|AB|＝＝，
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝29；
（2）由题意设圆的圆心坐标为C（a，﹣a），可得|AC|＝|BC|，即＝解得：a＝3，
即圆心坐标（3，﹣3），半径为＝，
所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y+3）2＝10．
36．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0．
（1）求的最值；
（2）求y﹣x的最值；
（3）求x2+y2的最值．
【分析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（2）令y﹣x＝t，得到动直线l：x﹣y+t＝0，将直线l进行平移，当l与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相切时，t达到最大或最小值．由此结合点到直线的距离公式加以计算，即可得到t的最大值和最小值，从而求出y﹣x的最大值．
（3）满足x2+y2﹣4x+1＝0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为的圆上，而x2+y2＝|OP|2．因此当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值．由此结合点到直线的距离公式，即可求出x2+y2的最大值和最小值；
【解答】解：（1）实数x，y满足x2+y2﹣4x+1＝0，可化成（x﹣2）2+y2＝3表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，由圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，
由＝，解得k2＝3．
∴kmax＝，kmin＝﹣，
则的最大值为，最小值为﹣．
（2）令y﹣x＝t，即x﹣y+t＝0对应直线l
将直线l平移，当l与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相切时，t达到最大或最小值
由d＝＝，得t＝﹣2±
∴t的最小值为﹣2﹣，最大值为﹣2+；
（3）满足x2+y2﹣4x+1＝0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为的圆上，x2+y2＝|OP|2，
∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值
∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC|+＝2+，
得到x2+y2的最大值为（2+）2＝7+4；
当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|﹣＝2﹣
得到x2+y2的最大值为（2﹣）2＝7﹣4．
综上所述，x2+y2的最大值为7+4；最小值为7﹣4．
37．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？
（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）把此圆的方程化为标准式，根据半径大于零，求得m的取值范围．
（Ⅱ）当m变化时，根据OM⊥ON，求得16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0 ①，把直线x+2y﹣4＝0代入圆的方程，由△大于零求得m的范围，再把它代入①得m的值．
【解答】解：（Ⅰ）原方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，∵此方程表示圆，∴5﹣m＞0，解得：m＜5．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＝4﹣2y1，x2＝4﹣2y2，∴OM⊥ON，∴x1x2+y1y2＝0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0 ①，
由 得，5y2﹣16y+m+8＝0，
由△＝162﹣20（8+m）＞0，解得，∴，，
代入①得，满足，即存在满足条件的圆，且．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程
一．选择题（共15小题）
1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0的半径为（ ）
A．4 B． C．11 D．
2．圆x2+y2﹣2x+4y＝0的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知直线过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
4．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
5．圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣2，3），5 B． C．（2，﹣3），5 D．
6．已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣4x+2y＝0
7．圆x2﹣2x+ay2﹣y＝0的半径是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知圆C经过原点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3）三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣3y＝0 B．x2+y2﹣x+3y＝0
C．x2+y2﹣5x﹣5＝0 D．x2+y2﹣7x+y＝0
9．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知O为坐标原点，P为圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5上的动点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．3
11．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
12．圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0 B．x2+y2﹣4x+2y+2＝0
C．x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 D．x2+y2+4x﹣2y+2＝0
13．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（）
14．若方程x2+y2+4x﹣6y+1﹣2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣6，+∞） B．（6，+∞） C．（﹣7，+∞） D．（7，+∞）
15．已知圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
二．多选题（共1小题）
16．已知方程x2+y2+3ax+ay++a﹣1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
三．填空题（共16小题）
17．过圆C：x2+y2+2x﹣1＝0的圆心，且斜率为1的直线方程为 ．
18．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则y﹣x的最大值为 ．
19．若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为 ．
20．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 ．
21．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为 ．
22．已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，则的取值范围是 ．
23．已知m∈R，若方程x2+y2+2x+2y+m＝0表示圆，则圆心坐标为 ；则m的取值范围是 ．
24．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为 ．
25．已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 ．
26．已知圆的一条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是 ．
27．经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，且过点（1，0）的圆的方程为 ．
28．若圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的一条弦AB的中点为P（0，1），则垂直于AB的直径所在直线的一般式方程为 ．
29．圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0的半径长为 ．
30．直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3）的圆的方程为 ．
31．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 ．
32．方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
33．已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称．
（1）求直线AC的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程．
34．已知圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），且圆心E在直线y＝﹣x上．
（Ⅰ）求圆E的一般方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝4和圆E相交于点M，N，求线段MN的长．
35．（1）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．
36．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0．
（1）求的最值；
（2）求y﹣x的最值；
（3）求x2+y2的最值．
37．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？
（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的一般方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0的半径为（ ）
A．4 B． C．11 D．
【分析】利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，再求出半径．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝11，
则半径为．
故选：D．
2．圆x2+y2﹣2x+4y＝0的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】把圆方程化为标准方程得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y＝0化为标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5，则半径为．
故选：D．
3．已知直线过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
【分析】根据题意，由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），
直线l与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则直线l的斜率为2，
则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．
故选：D．
4．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，
其圆心为（1，0），半径r＝3，
故选：D．
5．圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（﹣2，3），5 B． C．（2，﹣3），5 D．
【分析】由标准方程即可得到圆的圆心坐标和半径．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2＝5的圆心坐标是（2，﹣3），半径是，
故选：D．
6．已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣4x+2y＝0
【分析】根据题意，设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），由中点坐标公式可得a、b的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），
圆心C为点（﹣2，1），
由中点坐标公式得，，
解得a＝﹣4，b＝2．
∴半径r＝，
∴圆的方程是：（x+2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2+4x﹣2y＝0．
故选：C．
7．圆x2﹣2x+ay2﹣y＝0的半径是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据方程x2﹣2x+ay2﹣y＝0表示圆求出a的值，再把圆的方程化为标准方程，从而求出圆的半径．
【解答】解：方程x2﹣2x+ay2﹣y＝0表示圆，则a＝1，
所以圆的方程为x2﹣2x+y2﹣y＝0，可化为（x﹣1）2+＝，
所以圆的半径是．
故选：B．
8．已知圆C经过原点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3）三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣3y＝0 B．x2+y2﹣x+3y＝0
C．x2+y2﹣5x﹣5＝0 D．x2+y2﹣7x+y＝0
【分析】利用待定系数法，求出圆C的方程．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
∵圆C经过三个点O（0，0），A（4，3），B（1，﹣3），
∴，
解得D＝﹣7，E＝1，F＝0，
即圆C的方程x2+y2﹣7x+y＝0．
故选：D．
9．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出圆的方程，再由已知求解圆的方程，然后取y＝﹣1求得x值，则答案可求．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则B（10，0），C（0，4），
设圆拱所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
则，解得b＝﹣，．
∴圆的方程为．
取y＝﹣1，得＝120，
∴x＝．
则当水面下降1米后，桥在水面的跨度为米．
故选：C．
10．已知O为坐标原点，P为圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5上的动点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．3
【分析】根据题意，分析圆C的圆心和半径，求出|OC|的值，由点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y+4）2＝5，其圆心C（2，﹣4），半径r＝，
则|OC|＝＝2，
则|PO|的最小值为|OC|﹣r＝；
故选：A．
11．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据题意，将x2+y2+4x﹣6y+12＝0变形为（x+2）2+（y﹣3）2＝1，则有﹣1≤x+2≤1，分析可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2+4x﹣6y+12＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝1，
则有﹣1≤x+2≤1，解可得﹣3≤x≤﹣1，
即x的最大值是﹣1，
故选：C．
12．圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0 B．x2+y2﹣4x+2y+2＝0
C．x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 D．x2+y2+4x﹣2y+2＝0
【分析】根据题意，由圆的圆心与半径写出圆的标准方程，变形为一般方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆心为（2，﹣1），半径为3的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，
变形可得x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，
故选：A．
13．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（）
【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得1+1﹣4×（﹣2m）＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，
则有1+1﹣4×（﹣2m）＞0，
解可得m＞﹣，即m的取值范围为（﹣，+∞）；
故选：C．
14．若方程x2+y2+4x﹣6y+1﹣2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣6，+∞） B．（6，+∞） C．（﹣7，+∞） D．（7，+∞）
【分析】根据圆的一般方程成立的条件建立不等式进行求解即可．
【解答】解：若方程表示圆，则42+62﹣4（1﹣2m）＞0，
即16+36﹣4+8m＞0，
得8m＞﹣48，
得m＞﹣6．
故选：A．
15．已知圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【分析】直接利用圆成立的充要条件的应用求出参数的范围．
【解答】解：圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+m＝0，整理得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣m，
所以2﹣m＞0，解得m＜2．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
16．已知方程x2+y2+3ax+ay++a﹣1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【分析】若方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示圆，则D2+E2﹣4F＞0．
【解答】解：因为方程表示圆，
所以，
解得a＜1，
所以满足条件的只有﹣2与0．
故选：AB．
三．填空题（共16小题）
17．过圆C：x2+y2+2x﹣1＝0的圆心，且斜率为1的直线方程为 x﹣y+1＝0 ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标，代入点斜式方程求解即可．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣1＝0化为（x+1）2+y2＝2，则圆心为（﹣1，0），
∴经过圆心（﹣1，0）且斜率为1的直线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
18．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则y﹣x的最大值为 ﹣2 ．
【分析】利用配方法求出圆心和半径，利用直线和圆相切的条件建立方程进行求解即可．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝3，圆心为C（2，0），半径r＝，
设y﹣x＝t，即x﹣y+t＝0，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝，
即|t+2|＝，得t+2＝或t+2＝﹣，
得t＝﹣2或t＝﹣﹣2，
则t的最大值为﹣2，
故答案为：﹣2．
19．若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为 （﹣∞，1）∪（4，+∞） ．
【分析】根据题意，先由圆的一般方程可得λ＝0，由此圆的方程变形可得（x+k）2+（y+2）2＝k2﹣5k+4，则有k2﹣5k+4＞0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，
则λ＝0，方程为x2+y2+2kx+4y+5k＝0，即（x+k）2+（y+2）2＝k2﹣5k+4，
必有k2﹣5k+4＞0，解可得k＜1或k＞4，
即k的取值范围为（﹣∞，1）∪（4，+∞），
故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
20．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 6π ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出半径，可得该圆的周长．
【解答】解：平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，即 （x+1）2+（y+3）2＝9，
故该圆的半径为3，故该圆的周长为2π×3＝6π，
故答案为：6π．
21．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为 ．
【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y＝kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2＝1，
∴圆心C（﹣4，0），半径r＝1，
∵直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴圆心（﹣4，0）到直线y＝kx﹣2的距离d＝，
解得：≤k≤0．
故答案为：．
22．已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，则的取值范围是 [，+∞） ．
【分析】变形可得，所求式子表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，利用直线和圆相切的性质求得k的范围，可得结论．
【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．
则＝＝1+，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．
当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．
当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．
设AB的方程为y+3＝k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k﹣3＝0，由CB＝1，可得＝1，求得k＝．
而AE的方程为x＝1，
故k+1的范围为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
23．已知m∈R，若方程x2+y2+2x+2y+m＝0表示圆，则圆心坐标为 （﹣1，﹣1） ；则m的取值范围是 （﹣∞，2） ．
【分析】根据题意，将方程变形可得（x+1）2+（y+1）2＝2﹣m，分析可得若其表示圆，则有2﹣m＞0，解可得m的取值范围，由圆的标准方程可得圆心坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2+2x+2y+m＝0，变形可得（x+1）2+（y+1）2＝2﹣m，
若其表示圆，则有2﹣m＞0，解可得m＜2，即m的取值范围为（﹣∞，2），
圆心的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1），（﹣∞，2）．
24．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为 （0，1） ．
【分析】先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．
【解答】解：方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0化为标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝a﹣a2，
则圆心坐标为（a，2a），
因为方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，
所以，解得0＜a＜1，
所以实数a的范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
25．已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 （﹣3，4） ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 [2，8] ．
【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标；再根据以AB为直径的圆和圆C有交点，求得m的范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，则圆心C的坐标为（﹣3，4）；
设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，
则以AB为直径的圆和圆C有交点，
故故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和．
而以AB为直径的圆的圆心为原点，半径为m，
∴|3﹣m|≤≤m+3，即|3﹣m|≤5≤m+3，
求得2≤m≤8，
故答案为：（﹣3，4）；[2，8]．
26．已知圆的一条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是 （x﹣2）2+（y+1）2＝1 ．
【分析】根据条件求出圆心和半径即可得到结论．
【解答】解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．
∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），
则半径r＝1，
则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝1
27．经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，且过点（1，0）的圆的方程为 x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0 ．
【分析】根据题意，设要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+λ（x﹣2y）＝0，将点（1，0）代入圆的方程，计算可得λ的值，将圆的方程变形可得答案．
【解答】解：根据题意，要求圆经过直线x﹣2y＝0与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的交点，设要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+λ（x﹣2y）＝0，
又由要求圆经过点（1，0），
则有1﹣4﹣4+λ＝0，解可得λ＝7，
则要求圆的方程为x2+y2﹣4x+2y﹣4+7（x﹣2y）＝0，变形可得x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0，
故答案为：x2+y2+3x﹣12y﹣4＝0．
28．若圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的一条弦AB的中点为P（0，1），则垂直于AB的直径所在直线的一般式方程为 x+y﹣1＝0 ．
【分析】设圆心为C，利用CP⊥AB，求出AB的斜率，进而可求直线AB的方程，从而得到垂直于AB的直径所在直线的方程为x+y﹣1＝0．
【解答】解：设圆x2+y2+2x﹣4y+m＝0（m＜3）的圆心为C，
则C的坐标为：（﹣1，2）
∵AB的中点为P（O，1），
∴垂直于AB的直径所在的直线就是CP，
∵kCP＝＝﹣1，
∴直线CP的方程为y＝﹣x+1，
即垂直于AB的直径所在直线的方程为x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
29．圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0的半径长为 2|a|（a≠0） ．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2ay﹣3a2＝0即x2+（y﹣a）2＝4a2，
则圆的半径为2|a|，（a≠0）
故答案为：2|a|，（a≠0）
30．直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3）的圆的方程为 x2+y2﹣2y﹣24＝0 ．
【分析】根据题意，设要求圆上任意一点为M，分析可得（x+3）（x﹣3）+（y﹣5）（y+3）＝0，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆上任意一点为M，其坐标为（x，y），
直径的两个端点是（﹣3，5），（3，﹣3），则有（x+3）（x﹣3）+（y﹣5）（y+3）＝0，
变形可得：x2+y2﹣2y﹣24＝0，
故答案为：x2+y2﹣2y﹣24＝0．
31．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 （﹣25，+∞） ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，
则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，
解可得k＞﹣25，
即k的取值范围为（﹣25，+∞），
故答案为：（﹣25，+∞）．
32．方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则a的取值范围是 （﹣2，） ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（2a）2+a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，变形解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，
则有（2a）2+a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，变形可得3a2+4a﹣4＜0，
解可得：﹣2＜a＜，即a的取值范围为（﹣2，），
故答案为：（﹣2，）．
四．解答题（共5小题）
33．已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称．
（1）求直线AC的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程．
【分析】（1）用点斜式求出经过点B且与直线x﹣y+1＝0平行直线的方程．
（2）设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，把A（1，1），B（2，4），（﹣1，3）的坐标代入，求出d、e、f的值，可得△ABC外接圆的方程．
【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为y﹣4＝1•（x﹣2），即x﹣y+2＝0．
∵A（1，1），点A和点C关于直线l对称，故点C的坐标为（﹣1，3），
故直线AC的方程为＝，即x+y﹣2＝0．
（2）设△ABC外接圆的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，把A（1，1），B（2，4），（﹣1，3）的坐标代入，
可得，求得 ，
∴△ABC外接圆的方程为 x2+y2﹣x﹣y+5＝0，即 +＝．
34．已知圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），且圆心E在直线y＝﹣x上．
（Ⅰ）求圆E的一般方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝4和圆E相交于点M，N，求线段MN的长．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推知该圆的圆心是直线x＝﹣2与直线y＝﹣x的交点，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；
（Ⅱ）由方程x2+y2＝4与x2+y2+4x﹣4y﹣12＝0消去二次项得，x﹣y﹣2＝0，再求得圆心O到直线x﹣y﹣2＝0的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得线段MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）由圆E经过点A（﹣6，0），B（2，0），得圆心E在直线x＝﹣2上．
又∵圆心E在直线y＝﹣x上，
∴圆心E的坐标为（﹣2，2）．
设圆E的半径为r，则．
故圆E的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝20．
化成一般方程为x2+y2+4x﹣4y﹣12＝0．
（Ⅱ）圆O与圆E的方程联立，得到方程组
①﹣②，得x﹣y﹣2＝0，即为直线MN的方程．
原点O到直线MN的距离．
又圆O的半径为2，
∴由勾股定理，得．
故．
35．（1）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4）的圆的方程．
【分析】（1）由题意可得圆心坐标为A，B的中点坐标，半径为|AB|的一半，可得圆的标准方程．
（2）由题意设圆心C的坐标（a，﹣a），又过A，B点，可得r＝|AC|＝|BC|，求出a的值，进而求出半径，求出圆的标准方程．
【解答】解：（1）由题意可得圆的圆心（1，﹣3），半径r＝|AB|＝＝，
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝29；
（2）由题意设圆的圆心坐标为C（a，﹣a），可得|AC|＝|BC|，即＝解得：a＝3，
即圆心坐标（3，﹣3），半径为＝，
所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y+3）2＝10．
36．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0．
（1）求的最值；
（2）求y﹣x的最值；
（3）求x2+y2的最值．
【分析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（2）令y﹣x＝t，得到动直线l：x﹣y+t＝0，将直线l进行平移，当l与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相切时，t达到最大或最小值．由此结合点到直线的距离公式加以计算，即可得到t的最大值和最小值，从而求出y﹣x的最大值．
（3）满足x2+y2﹣4x+1＝0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为的圆上，而x2+y2＝|OP|2．因此当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值．由此结合点到直线的距离公式，即可求出x2+y2的最大值和最小值；
【解答】解：（1）实数x，y满足x2+y2﹣4x+1＝0，可化成（x﹣2）2+y2＝3表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，由圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，
由＝，解得k2＝3．
∴kmax＝，kmin＝﹣，
则的最大值为，最小值为﹣．
（2）令y﹣x＝t，即x﹣y+t＝0对应直线l
将直线l平移，当l与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相切时，t达到最大或最小值
由d＝＝，得t＝﹣2±
∴t的最小值为﹣2﹣，最大值为﹣2+；
（3）满足x2+y2﹣4x+1＝0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为的圆上，x2+y2＝|OP|2，
∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值
∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC|+＝2+，
得到x2+y2的最大值为（2+）2＝7+4；
当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|﹣＝2﹣
得到x2+y2的最大值为（2﹣）2＝7﹣4．
综上所述，x2+y2的最大值为7+4；最小值为7﹣4．
37．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围？
（Ⅱ）当m变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）把此圆的方程化为标准式，根据半径大于零，求得m的取值范围．
（Ⅱ）当m变化时，根据OM⊥ON，求得16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0 ①，把直线x+2y﹣4＝0代入圆的方程，由△大于零求得m的范围，再把它代入①得m的值．
【解答】解：（Ⅰ）原方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，∵此方程表示圆，∴5﹣m＞0，解得：m＜5．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＝4﹣2y1，x2＝4﹣2y2，∴OM⊥ON，∴x1x2+y1y2＝0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0 ①，
由 得，5y2﹣16y+m+8＝0，
由△＝162﹣20（8+m）＞0，解得，∴，，
代入①得，满足，即存在满足条件的圆，且．
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