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人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面垂直
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人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面垂直
一．选择题（共18小题）
1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论错误的是（ ）
A．AC⊥BC1
B．存在点D，使得AC1∥平面CDB1
C．不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B
D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值
2．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（ ）
A．53 B．25 C．35 D．52
3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（ ）
A．22+6 B．2+26 C．32+6 D．32+26
4．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（ ）
A．存在点G，使PG⊥EF成立
B．存在点G，使FG⊥EP成立
C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
5．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（ ）
A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD
6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．423 B．1639 C．16327 D．32327
8．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
9．已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A′F与直线DE互相垂直；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值；
④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD＝PD，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（ ）
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
12．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝23，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A．13+1 B．13+2 C．15+1 D．15+2
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）
A．平面CBP⊥平面BB1P B．AP⊥平面CPD1
C．AP⊥BC D．AP∥平面DD1C1C
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．6 B．23 C．32 D．64
17．如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，AF∩DE＝G，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是（ ）
A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A'GF⊥平面BCDE
C．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A'E与BD不可能垂直
18．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二．填空题（共7小题）
19．如图，四面体P﹣ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则PC＝ ．
20．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于 ．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是 ．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为
23．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 ．
24．过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为A．B，将坐标平面沿x轴翻折，使平面POA⊥平面POB，
（I）则翻折后线段AB的长度为 ；
（I）则翻折后点B所在半圆上的点到切线PA距离的最大值为 ．
25．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 三角形．
三．解答题（共4小题）
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
27．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．
28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：
（1）OK∥平面AB1D1；
（2）平面AMD⊥平面BMC．
29．如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM=13DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论错误的是（ ）
A．AC⊥BC1
B．存在点D，使得AC1∥平面CDB1
C．不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B
D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值
【分析】对于A，推导出AC⊥CC1，AC⊥CB，从而AC⊥平面BCC1B1，进而AC⊥BC1；对于B，设BC1∩B1C＝O，连结OD，当D是AB中点时，OD∥AC1，从而存在AB中点D，使得AC1∥平面CDB1；对于C，当CD⊥AB时，存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B；对于D，△A1B1C的面积是定值，由AB∥A1B1，知AB∥平面A1B1C，D到平面A1B1C的距离是定值，进而三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值．
【解答】解：对于A，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴AC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CB＝C，CC1⊂平面BCC1B1，CB⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，故A正确；
对于B，设BC1∩B1C＝O，则O是BC1中点，连结OD，
则D是AB中点时，OD∥AC1，
∵AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，
∴存在AB中点D，使得AC1∥平面CDB1，故B正确；
对于C，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴AA1⊥CD，∴当CD⊥AB时，由AA1，AB是平面AA1B1B中的相交线，得到CD⊥平面AA1B1B，
∵CD⊂平面CDB1，∴存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B，故C错误；
对于D，∵△A1B1C的面积是定值，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C，∴D到平面A1B1C的距离是定值，∴三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值，故D正确．
故选：C．
2．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（ ）
A．53 B．25 C．35 D．52
【分析】构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．
【解答】解：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
则a2+b2+c2＝32+42+52＝50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP＝52．
故选：D．
3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（ ）
A．22+6 B．2+26 C．32+6 D．32+26
【分析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面α，运用勾股定理，计算可得所求值．
【解答】解：取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，DD1，
取AD的中点G，连接EG，连接EF，并延长，与A1B1的延长线交于H，
取C1D1的中点M，连接MH，交B1C1于N，连接FN，GM，
可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，
又AB＝BC，可得BD⊥AC，
AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，
可得EG⊥平面AA1C1C，
由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，
则平面EGMNF即为平面α，
由EG=12BD=22，GM=4+2=6，MN=12B1D1=22，NF=1+1=2，FE=2，
可得所得截面周长为22+6+22+2+2=32+6．
故选：C．
4．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（ ）
A．存在点G，使PG⊥EF成立
B．存在点G，使FG⊥EP成立
C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．
【解答】解：对于A，取正三棱锥A﹣BCD中，AC⊥BD，
若PG⊥EF，则AC⊥平面ABD，∴不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；
对于B，∵PE∥BF，∴只需考虑∠BFG，
在△BFD中，∵BF＝FD=7，BD＝3，
∴cos∠BFD=7+7−92×7＞0，∴∠BFD是锐角，故∠BFG≤∠BFD，
∴不垂直，故B错误．
对于C，由题意知BT⊥平面ACD，
∴若平面EFG⊥平面ACD，则BT∥平面EFG，这不可能，
∴不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；
对于D，当G为BD中点时，平面EFG⊥平面ABD，
∴存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．
故选：C．
5．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（ ）
A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD
【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，证明BD⊥平面SAC，即可得出结论．
【解答】解：∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AC＝A，
∴BD⊥平面SAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面SAC．
故选：B．
6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．
【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，
A．直线BE与直线CF共面，正确，
∵E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
∴EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B．直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C．∵△PAB是等腰三角形，BE⊥PA，但是BE与AD不垂直，
故BE与平面PAD不垂直，∴平面BCE⊥平面PAD不正确．
D．∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故选：C．
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．423 B．1639 C．16327 D．32327
【分析】取PB中点M，连结CM，推导出AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，则CM⊥PB，CM=4−x2，从而S△PBC=12×2x×4−x2=x4−x2，VA﹣PBC=13×(x4−x2)×2x=2x24−x23，设t=4−x2，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，从而VA﹣PBC=2t(4−2)2=8t−2t33，（0＜t＜2），关于t求导，得V′(t)=8−6t23，利用导数性质能求出三棱锥P﹣ABC体积的最大值．
【解答】解：如图，取PB中点M，连结CM，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
AC⊂平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，
∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，
∴CM⊥PB，CM=4−x2，
解得S△PBC=12×2x×4−x2=x4−x2，
VA﹣PBC=13×(x4−x2)×2x=2x24−x23，
设t=4−x2，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，
∴VA﹣PBC=2t(4−2)2=8t−2t33，（0＜t＜2），
关于t求导，得V′(t)=8−6t23，令V′（t）＝0，解得t=233或t=−233（舍），
由V（t）单调性得当t=233时，（VA﹣PBC）max=32327．
故选：D．
8．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．
【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，
可得AD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；
若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，
可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；
若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C错误；
若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．
故选：A．
9．已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A′F与直线DE互相垂直；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值；
④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由线面垂直的判定定理、性质定理由三棱锥的体积公式等进行判断．
【解答】解：因为已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG，
所以DE⊥A′F；故①正确；
②由①得DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正确；
③三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故③正确；
故选：C．
10．如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD＝PD，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（ ）
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
【分析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD．利用面面相互垂直的判定定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，
其中底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD．
该几何体的互相垂直的面有5对：平面PCD，平面ABCD，平面PDA两两相互垂直，
平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC．
故选：C．
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
【分析】对四个结论分别加以判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，
∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；
对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；
对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；
对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，
故选：D．
12．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝23，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A．13+1 B．13+2 C．15+1 D．15+2
【分析】依题意，∠MBC=π3，取BC的中点E，作OE⊥平面ABCD，OF⊥平面SAB，则O是人锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝DE＝3，AF＝2，设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R，则R2＝SF2+OF2＝13，OE＝DF＝1，由此当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，能求出当d的最大值．
【解答】解：依题意，∠MBC=π3，取BC的中点E，
则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是△SAD的外心，
作OE⊥平面ABCD，OF⊥平面SAB，
则O是人锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝DE＝3，AF＝2，
设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R，
则R2＝SF2+OF2＝13，
则OE＝DF＝1，
∴当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，
dmax=R+OE=13+1．
故选：A．
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）
A．平面CBP⊥平面BB1P B．AP⊥平面CPD1
C．AP⊥BC D．AP∥平面DD1C1C
【分析】根据题意，分别证明选项A、C、D中的结论正确，说明选项B中的结论错误即可．
【解答】解：对于A，因为CB⊥BB1，CB⊥BP，BB1∩BP＝B，
所以CB⊥平面BB1P，
又CB⊂平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，所以A正确；
对于B，当P为A1B的中点时，AP⊥A1B，AP⊥BC，且A1B∩BC＝B，所以AP⊥平面CPD1，
否则，AP与平面CPD1不垂直，所以B错误；
对于C，因为BC⊥AB，BC⊥A1A，且A1A∩AB＝A，所以BC⊥平面A1AB，
又AP⊂平面A1AB，所以BC⊥AP，选项C正确；
对于D，平面A1ABB1∥D1DCC1，AP⊂平面A1ABB1，所以AP∥平面A1ABB1，选项D正确．
故选：B．
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
故选：C．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC
【分析】由已知证明AB⊥平面PAD，说明选项AC正确，同理证明CD⊥平面PAD，说明选项B正确，再由反证法说明D错误．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C正确；
又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确．
同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B正确．
若平面PAD⊥平面PBC，已知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，
∴BC⊥平面PAD，则BC⊥AD，与已知BC∥AD矛盾，故D错误．
故选：D．
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．6 B．23 C．32 D．64
【分析】如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，证明AC1∥平面B1D1F，再进行求解即可．
【解答】解：如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，
则EF∥AC1，易知AC1⊥平面A1DB，∴EF⊥平面A1DB，EF⊥平面A1DB．
∵EF⊂面B1D1F，∴△B1D1F为平面α截该正方体所得截面，∴在△B1D1F中，B1D1＝22，EF=3，B1D1⊥EF，
∴平面α截该正方体所得截面的面积为：12×22×3=6．
故选：A．
17．如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，AF∩DE＝G，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是（ ）
A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A'GF⊥平面BCDE
C．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A'E与BD不可能垂直
【分析】由等边三角形的性质和线面垂直的判定，推得DE⊥平面A'FG，由面面垂直的判定定理可得平面A'GF⊥平面BCED，可判断B；再由面面垂直的性质可判断A；由棱锥的体积公式和数形结合可判断C；由异面直线所成角的定义和三角形的性质可判断D．
【解答】解在等边三角形ABC中，AG⊥DE，FG⊥DE，
由A'G⊥DE，FG⊥DE，且A'G∩FG＝G，
可得DE⊥平面A'FG，
而DE⊂平面BCED，
则平面A'GF⊥平面BCED，
过A'在平面A'FG内，作A'H⊥平面ABC，
由面面垂直的性质可得A'在平面ABC上的射影在线段AF上，
故A，B正确；
又VA'﹣EFD=13A'H•S△EFD，由于S△EFD为定值，
当A'H＝A'G时，三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值，故C正确；
在△ABC中，EF∥AB，可得异面直线A'E与BD所成角为∠A'EF（或补角），
设等边三角形ABC的边长为2，若∠A'EF＝90°，则A'E＝FE＝1，A'F=2，
由A'G＝FG=32，A'F=2，可得△A'FG存在，故D不正确．
故选：D．
18．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据线面垂直找出面面垂直即可．
【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD，
同理可得：平面PAD⊥平面ABCD，
由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PA＝A，
∴AD⊥平面PAB，又AD⊂平面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD⊥平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB，
同理可得：平面PCD⊥平面PAD，
故共有5对互相垂直的平面，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
19．如图，四面体P﹣ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则PC＝ 13cm ．
【分析】取AB中点E，连接PE，EC，证明PE⊥平面ABC，可得PE⊥CE，在直角△PEC中，可求PC的长．
【解答】解：取AB中点E，连接PE，EC，则
∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴CE＝5cm，
∵PA＝PB＝13cm，E是AB中点
∴PE＝12cm，PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，
∵CE⊂平面ABC，
∴PE⊥CE
在直角△PEC中，PC=PE2+CE2=13cm
故答案为：13cm．
20．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于 6 ．
【分析】首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步利用勾股定理求出线段MN的长．
【解答】解：已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
取CD的中点G，连接MG，NG，
由于M，G分别是AB，CD的中点，
所以MG∥BC，
平面ABCD⊥平面DCEF，
BC⊥CD，MG∥BC，
所以MG⊥平面DCEF，
又GN⊂平面DCEF，
所以MG⊥GN，
所以△MGN是直角三角形．
所以MN2＝MG2+NG2，
因为CD＝2，所以MG＝2，GD＝DN＝1，所以NG=2，
所以MN=6．
故答案为：6．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是 （5，3] ．
【分析】依题意可得只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．求得AE，AF，即可得线段AP长度的取值范围．
【解答】解：依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，
取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．
AE=22+12=5，AF=22+22+12=3．
∴线段AP长度的取值范围是（5，3]．
故答案为：（5，3]．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为 2
【分析】先找二面角A1﹣BD﹣A的平面角，在△A1OA中，∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角
【解答】解：连接AC交BD与点O如图所示，
因为AA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，
在△A1OA中，AA1＝a，AO=22a，
所以二面角A1﹣BD﹣A的正切值为2
故答案为2
23．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 4 ．
【分析】取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，从而∠AOC是平面ABD与平面CBD所成角的二面角，进而∠AOC＝90°，由此能求出空间四边形ABCD的对角线AC的长．
【解答】解：取BD中点O，连接AO，CO，
∵把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是平面ABD与平面CBD所成角的二面角，
∵平面ABD⊥平面CBD，∴∠AOC＝90°，
∵AO＝CO=12BD=1216+16=22，
∴空间四边形ABCD的对角线AC的长为：
AC=(22)2+(22)2=4．
故答案为：4．
24．过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为A．B，将坐标平面沿x轴翻折，使平面POA⊥平面POB，
（I）则翻折后线段AB的长度为 62 ；
（I）则翻折后点B所在半圆上的点到切线PA距离的最大值为 213 ．
【分析】（1）设AB交x轴于C，则翻折后△AOB为等腰直角三角形，计算BC长度即可得出AB长度；
（2）设M为半圆上一点，构造平面MNE，使得PA⊥平面MNE，利用勾股定理表示出ME关于N点横坐标的式子，从而得出最大值．
【解答】解：（I）OA＝OB＝1，OP＝2，故PA＝PB=3，
连接AB交x轴于C，则AC⊥x轴，BC=OB⋅PBOP=32，
∴翻折后△ABC为等腰直角三角形，故AB的长度为32×2=62．
（II）设M为所在半圆上的点，过M做MN⊥x轴于N，过N向直线PA作垂线NE，垂足为E，
∵平面POA⊥平面POB，平面POA∩平面POB＝OP，
∴MN⊥平面POA，∴MN⊥PA，
又PA⊥NE，MN∩NE＝N，
∴PA⊥平面MNE，∴ME⊥PA，即ME为点M到直线PA的距离．
设N的横坐标为y，则NE=12PN=12（2﹣y）＝1−y2，且x2+y2＝1．
∴ME=MN2+NE2=x2+(1−y2)2=−34y2−y+2=−34(y+23)2+73，
∴当y=−23时，ME取得最大值73=213．
故答案为：62，213．
25．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 直角 三角形．
【分析】设P在平面ABC上的射影为O，确定O是△ABC的外心，且是AB的中点，O∈AB，即可得出结论．
【解答】解：设P在平面ABC上的射影为O，则
∵PA＝PB＝PC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∵平面PAB⊥底面ABC，
∴O∈AB，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
三．解答题（共4小题）
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=2a，PO=22a，由四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求出a＝2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，
∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD=a2+a2=2a，PO=22a，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为83，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴VP﹣ABCD=13×S四边形ABCD×PO
=13×AB×AD×PO=13×a×2a×22a=13a3=83，
解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PO=2，
∴PB＝PC=4+4=22，
∴该四棱锥的侧面积：
S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×PB2−(BC2)2
=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×22×8−2
＝6+23．
27．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，得AG＝GC=32x，GB＝GD=x2，
∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，
∴EG=12AC＝AG=32x，
则BE=EG2−BG2=22x，
∵三棱锥E﹣ACD的体积V=13×12AC⋅GD⋅BE=624x3=63，
解得x＝2，即AB＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC＝4+4﹣2×2×2×(−12)=12，
即AC=12=23，
在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE＝EC＝ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，
则AE2+EC2＝AC2＝12，
即2AE2＝12，
∴AE2＝6，
则AE=6，
∴从而得AE＝EC＝ED=6，
∴△EAC的面积S=12×EA⋅EC=12×6×6=3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，
则AE=6，AF=12AD=12×2=1，
则EF=(6)2−12=5，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=12×2×5=5，
故该三棱锥的侧面积为3+25．
28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：
（1）OK∥平面AB1D1；
（2）平面AMD⊥平面BMC．
【分析】（1）可以由面面平行的判定定理推得平面AB1D1∥平面C1BD，再由面面平行的性质定理可得结论；
（2）先由线面垂直的判定定理推得DM⊥平面BMC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．
【解答】（1）证明：设A1C交平面AB1D1于点N，连接AN，
因为D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1BD，DB⊂平面C1BD，
可得D1B1∥平面C1BD，
同理由AD1∥BC1，可得AD1∥平面C1BD，
又D1B1∩AD1＝D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD，
因为OK是平面A1AC与平面C1BD的交线，
所以OK∥AN，
又AN⊂平面AB1D1，OK⊄平面AB1D1，
所以OK∥平面AB1D1；
（2）证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以∠DMC＝90°，即DM⊥MC，
因为BC⊥平面DCC1D1，DM⊂平面DCC1D1，
所以BC⊥DM，CB∩MC＝C，
所以DM⊥平面BMC，
因为DM⊂平面AMD，
所以平面AMD⊥平面BMC．
29．如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM=13DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定和性质，推得BC⊥平面ACE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）由等积法和面面垂直的性质，结合棱锥的体积公式计算可得所求值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB为△ABC的外接圆O的直径，
所以AC⊥BC，
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC，
又AC∩EC＝C，
所以BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED，
所以平面AEC⊥平面BCDE．
（Ⅱ）因为DM=13DE，所以VD−ACM=12VE−ACM=12VM−ACE，
因为平面AEC⊥平面BCDE，
过M作MN垂直于CE，交CE于N，
则MN为锥体的高且MN=23BC=23，AC=4−1=3，
所以VM−ACE=13⋅123⋅2⋅23=239⇒VD−ACM=39．
人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面垂直
一．选择题（共18小题）
1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论错误的是（ ）
A．AC⊥BC1
B．存在点D，使得AC1∥平面CDB1
C．不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B
D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值
2．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（ ）
A．53 B．25 C．35 D．52
3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（ ）
A．22+6 B．2+26 C．32+6 D．32+26
4．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（ ）
A．存在点G，使PG⊥EF成立
B．存在点G，使FG⊥EP成立
C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
5．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（ ）
A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD
6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．423 B．1639 C．16327 D．32327
8．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
9．已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A′F与直线DE互相垂直；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值；
④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD＝PD，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（ ）
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
12．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝23，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A．13+1 B．13+2 C．15+1 D．15+2
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）
A．平面CBP⊥平面BB1P B．AP⊥平面CPD1
C．AP⊥BC D．AP∥平面DD1C1C
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．6 B．23 C．32 D．64
17．如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，AF∩DE＝G，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是（ ）
A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A'GF⊥平面BCDE
C．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A'E与BD不可能垂直
18．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二．填空题（共7小题）
19．如图，四面体P﹣ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则PC＝ ．
20．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于 ．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是 ．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为
23．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 ．
24．过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为A．B，将坐标平面沿x轴翻折，使平面POA⊥平面POB，
（I）则翻折后线段AB的长度为 ；
（I）则翻折后点B所在半圆上的点到切线PA距离的最大值为 ．
25．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 三角形．
三．解答题（共4小题）
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
27．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．
28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：
（1）OK∥平面AB1D1；
（2）平面AMD⊥平面BMC．
29．如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM=13DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点．下列结论错误的是（ ）
A．AC⊥BC1
B．存在点D，使得AC1∥平面CDB1
C．不存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B
D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值
【分析】对于A，推导出AC⊥CC1，AC⊥CB，从而AC⊥平面BCC1B1，进而AC⊥BC1；对于B，设BC1∩B1C＝O，连结OD，当D是AB中点时，OD∥AC1，从而存在AB中点D，使得AC1∥平面CDB1；对于C，当CD⊥AB时，存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B；对于D，△A1B1C的面积是定值，由AB∥A1B1，知AB∥平面A1B1C，D到平面A1B1C的距离是定值，进而三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值．
【解答】解：对于A，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴AC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CB＝C，CC1⊂平面BCC1B1，CB⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，故A正确；
对于B，设BC1∩B1C＝O，则O是BC1中点，连结OD，
则D是AB中点时，OD∥AC1，
∵AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，
∴存在AB中点D，使得AC1∥平面CDB1，故B正确；
对于C，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
∴AA1⊥CD，∴当CD⊥AB时，由AA1，AB是平面AA1B1B中的相交线，得到CD⊥平面AA1B1B，
∵CD⊂平面CDB1，∴存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B，故C错误；
对于D，∵△A1B1C的面积是定值，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C，∴D到平面A1B1C的距离是定值，∴三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值，故D正确．
故选：C．
2．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（ ）
A．53 B．25 C．35 D．52
【分析】构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．
【解答】解：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
则a2+b2+c2＝32+42+52＝50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP＝52．
故选：D．
3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（ ）
A．22+6 B．2+26 C．32+6 D．32+26
【分析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面α，运用勾股定理，计算可得所求值．
【解答】解：取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，DD1，
取AD的中点G，连接EG，连接EF，并延长，与A1B1的延长线交于H，
取C1D1的中点M，连接MH，交B1C1于N，连接FN，GM，
可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，
又AB＝BC，可得BD⊥AC，
AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，
可得EG⊥平面AA1C1C，
由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，
则平面EGMNF即为平面α，
由EG=12BD=22，GM=4+2=6，MN=12B1D1=22，NF=1+1=2，FE=2，
可得所得截面周长为22+6+22+2+2=32+6．
故选：C．
4．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（ ）
A．存在点G，使PG⊥EF成立
B．存在点G，使FG⊥EP成立
C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．
【解答】解：对于A，取正三棱锥A﹣BCD中，AC⊥BD，
若PG⊥EF，则AC⊥平面ABD，∴不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；
对于B，∵PE∥BF，∴只需考虑∠BFG，
在△BFD中，∵BF＝FD=7，BD＝3，
∴cos∠BFD=7+7−92×7＞0，∴∠BFD是锐角，故∠BFG≤∠BFD，
∴不垂直，故B错误．
对于C，由题意知BT⊥平面ACD，
∴若平面EFG⊥平面ACD，则BT∥平面EFG，这不可能，
∴不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；
对于D，当G为BD中点时，平面EFG⊥平面ABD，
∴存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．
故选：C．
5．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（ ）
A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD
【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，证明BD⊥平面SAC，即可得出结论．
【解答】解：∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AC＝A，
∴BD⊥平面SAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面SAC．
故选：B．
6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．
【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，
A．直线BE与直线CF共面，正确，
∵E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
∴EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B．直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C．∵△PAB是等腰三角形，BE⊥PA，但是BE与AD不垂直，
故BE与平面PAD不垂直，∴平面BCE⊥平面PAD不正确．
D．∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故选：C．
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．423 B．1639 C．16327 D．32327
【分析】取PB中点M，连结CM，推导出AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，则CM⊥PB，CM=4−x2，从而S△PBC=12×2x×4−x2=x4−x2，VA﹣PBC=13×(x4−x2)×2x=2x24−x23，设t=4−x2，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，从而VA﹣PBC=2t(4−2)2=8t−2t33，（0＜t＜2），关于t求导，得V′(t)=8−6t23，利用导数性质能求出三棱锥P﹣ABC体积的最大值．
【解答】解：如图，取PB中点M，连结CM，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
AC⊂平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，
∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，
∴CM⊥PB，CM=4−x2，
解得S△PBC=12×2x×4−x2=x4−x2，
VA﹣PBC=13×(x4−x2)×2x=2x24−x23，
设t=4−x2，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，
∴VA﹣PBC=2t(4−2)2=8t−2t33，（0＜t＜2），
关于t求导，得V′(t)=8−6t23，令V′（t）＝0，解得t=233或t=−233（舍），
由V（t）单调性得当t=233时，（VA﹣PBC）max=32327．
故选：D．
8．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．
【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，
可得AD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；
若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，
可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；
若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C错误；
若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．
故选：A．
9．已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A′F与直线DE互相垂直；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值；
④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由线面垂直的判定定理、性质定理由三棱锥的体积公式等进行判断．
【解答】解：因为已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG，
所以DE⊥A′F；故①正确；
②由①得DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正确；
③三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故③正确；
故选：C．
10．如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD＝PD，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（ ）
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
【分析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD．利用面面相互垂直的判定定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，
其中底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD．
该几何体的互相垂直的面有5对：平面PCD，平面ABCD，平面PDA两两相互垂直，
平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC．
故选：C．
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
【分析】对四个结论分别加以判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，
∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；
对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；
对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；
对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，
故选：D．
12．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝23，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A．13+1 B．13+2 C．15+1 D．15+2
【分析】依题意，∠MBC=π3，取BC的中点E，作OE⊥平面ABCD，OF⊥平面SAB，则O是人锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝DE＝3，AF＝2，设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R，则R2＝SF2+OF2＝13，OE＝DF＝1，由此当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，能求出当d的最大值．
【解答】解：依题意，∠MBC=π3，取BC的中点E，
则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是△SAD的外心，
作OE⊥平面ABCD，OF⊥平面SAB，
则O是人锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝DE＝3，AF＝2，
设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R，
则R2＝SF2+OF2＝13，
则OE＝DF＝1，
∴当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，
dmax=R+OE=13+1．
故选：A．
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）
A．平面CBP⊥平面BB1P B．AP⊥平面CPD1
C．AP⊥BC D．AP∥平面DD1C1C
【分析】根据题意，分别证明选项A、C、D中的结论正确，说明选项B中的结论错误即可．
【解答】解：对于A，因为CB⊥BB1，CB⊥BP，BB1∩BP＝B，
所以CB⊥平面BB1P，
又CB⊂平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，所以A正确；
对于B，当P为A1B的中点时，AP⊥A1B，AP⊥BC，且A1B∩BC＝B，所以AP⊥平面CPD1，
否则，AP与平面CPD1不垂直，所以B错误；
对于C，因为BC⊥AB，BC⊥A1A，且A1A∩AB＝A，所以BC⊥平面A1AB，
又AP⊂平面A1AB，所以BC⊥AP，选项C正确；
对于D，平面A1ABB1∥D1DCC1，AP⊂平面A1ABB1，所以AP∥平面A1ABB1，选项D正确．
故选：B．
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
故选：C．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC
【分析】由已知证明AB⊥平面PAD，说明选项AC正确，同理证明CD⊥平面PAD，说明选项B正确，再由反证法说明D错误．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C正确；
又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确．
同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B正确．
若平面PAD⊥平面PBC，已知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，
∴BC⊥平面PAD，则BC⊥AD，与已知BC∥AD矛盾，故D错误．
故选：D．
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．6 B．23 C．32 D．64
【分析】如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，证明AC1∥平面B1D1F，再进行求解即可．
【解答】解：如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，
则EF∥AC1，易知AC1⊥平面A1DB，∴EF⊥平面A1DB，EF⊥平面A1DB．
∵EF⊂面B1D1F，∴△B1D1F为平面α截该正方体所得截面，∴在△B1D1F中，B1D1＝22，EF=3，B1D1⊥EF，
∴平面α截该正方体所得截面的面积为：12×22×3=6．
故选：A．
17．如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，AF∩DE＝G，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是（ ）
A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A'GF⊥平面BCDE
C．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A'E与BD不可能垂直
【分析】由等边三角形的性质和线面垂直的判定，推得DE⊥平面A'FG，由面面垂直的判定定理可得平面A'GF⊥平面BCED，可判断B；再由面面垂直的性质可判断A；由棱锥的体积公式和数形结合可判断C；由异面直线所成角的定义和三角形的性质可判断D．
【解答】解在等边三角形ABC中，AG⊥DE，FG⊥DE，
由A'G⊥DE，FG⊥DE，且A'G∩FG＝G，
可得DE⊥平面A'FG，
而DE⊂平面BCED，
则平面A'GF⊥平面BCED，
过A'在平面A'FG内，作A'H⊥平面ABC，
由面面垂直的性质可得A'在平面ABC上的射影在线段AF上，
故A，B正确；
又VA'﹣EFD=13A'H•S△EFD，由于S△EFD为定值，
当A'H＝A'G时，三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值，故C正确；
在△ABC中，EF∥AB，可得异面直线A'E与BD所成角为∠A'EF（或补角），
设等边三角形ABC的边长为2，若∠A'EF＝90°，则A'E＝FE＝1，A'F=2，
由A'G＝FG=32，A'F=2，可得△A'FG存在，故D不正确．
故选：D．
18．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据线面垂直找出面面垂直即可．
【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD，
同理可得：平面PAD⊥平面ABCD，
由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PA＝A，
∴AD⊥平面PAB，又AD⊂平面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD⊥平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB，
同理可得：平面PCD⊥平面PAD，
故共有5对互相垂直的平面，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
19．如图，四面体P﹣ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则PC＝ 13cm ．
【分析】取AB中点E，连接PE，EC，证明PE⊥平面ABC，可得PE⊥CE，在直角△PEC中，可求PC的长．
【解答】解：取AB中点E，连接PE，EC，则
∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴CE＝5cm，
∵PA＝PB＝13cm，E是AB中点
∴PE＝12cm，PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，
∵CE⊂平面ABC，
∴PE⊥CE
在直角△PEC中，PC=PE2+CE2=13cm
故答案为：13cm．
20．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于 6 ．
【分析】首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步利用勾股定理求出线段MN的长．
【解答】解：已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
取CD的中点G，连接MG，NG，
由于M，G分别是AB，CD的中点，
所以MG∥BC，
平面ABCD⊥平面DCEF，
BC⊥CD，MG∥BC，
所以MG⊥平面DCEF，
又GN⊂平面DCEF，
所以MG⊥GN，
所以△MGN是直角三角形．
所以MN2＝MG2+NG2，
因为CD＝2，所以MG＝2，GD＝DN＝1，所以NG=2，
所以MN=6．
故答案为：6．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是 （5，3] ．
【分析】依题意可得只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．求得AE，AF，即可得线段AP长度的取值范围．
【解答】解：依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，
取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．
AE=22+12=5，AF=22+22+12=3．
∴线段AP长度的取值范围是（5，3]．
故答案为：（5，3]．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为 2
【分析】先找二面角A1﹣BD﹣A的平面角，在△A1OA中，∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角
【解答】解：连接AC交BD与点O如图所示，
因为AA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，
在△A1OA中，AA1＝a，AO=22a，
所以二面角A1﹣BD﹣A的正切值为2
故答案为2
23．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 4 ．
【分析】取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，从而∠AOC是平面ABD与平面CBD所成角的二面角，进而∠AOC＝90°，由此能求出空间四边形ABCD的对角线AC的长．
【解答】解：取BD中点O，连接AO，CO，
∵把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD．
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是平面ABD与平面CBD所成角的二面角，
∵平面ABD⊥平面CBD，∴∠AOC＝90°，
∵AO＝CO=12BD=1216+16=22，
∴空间四边形ABCD的对角线AC的长为：
AC=(22)2+(22)2=4．
故答案为：4．
24．过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为A．B，将坐标平面沿x轴翻折，使平面POA⊥平面POB，
（I）则翻折后线段AB的长度为 62 ；
（I）则翻折后点B所在半圆上的点到切线PA距离的最大值为 213 ．
【分析】（1）设AB交x轴于C，则翻折后△AOB为等腰直角三角形，计算BC长度即可得出AB长度；
（2）设M为半圆上一点，构造平面MNE，使得PA⊥平面MNE，利用勾股定理表示出ME关于N点横坐标的式子，从而得出最大值．
【解答】解：（I）OA＝OB＝1，OP＝2，故PA＝PB=3，
连接AB交x轴于C，则AC⊥x轴，BC=OB⋅PBOP=32，
∴翻折后△ABC为等腰直角三角形，故AB的长度为32×2=62．
（II）设M为所在半圆上的点，过M做MN⊥x轴于N，过N向直线PA作垂线NE，垂足为E，
∵平面POA⊥平面POB，平面POA∩平面POB＝OP，
∴MN⊥平面POA，∴MN⊥PA，
又PA⊥NE，MN∩NE＝N，
∴PA⊥平面MNE，∴ME⊥PA，即ME为点M到直线PA的距离．
设N的横坐标为y，则NE=12PN=12（2﹣y）＝1−y2，且x2+y2＝1．
∴ME=MN2+NE2=x2+(1−y2)2=−34y2−y+2=−34(y+23)2+73，
∴当y=−23时，ME取得最大值73=213．
故答案为：62，213．
25．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 直角 三角形．
【分析】设P在平面ABC上的射影为O，确定O是△ABC的外心，且是AB的中点，O∈AB，即可得出结论．
【解答】解：设P在平面ABC上的射影为O，则
∵PA＝PB＝PC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∵平面PAB⊥底面ABC，
∴O∈AB，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
三．解答题（共4小题）
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=2a，PO=22a，由四棱锥P﹣ABCD的体积为83，求出a＝2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，
∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD=a2+a2=2a，PO=22a，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为83，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴VP﹣ABCD=13×S四边形ABCD×PO
=13×AB×AD×PO=13×a×2a×22a=13a3=83，
解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PO=2，
∴PB＝PC=4+4=22，
∴该四棱锥的侧面积：
S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×PB2−(BC2)2
=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×22×8−2
＝6+23．
27．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，得AG＝GC=32x，GB＝GD=x2，
∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，
∴EG=12AC＝AG=32x，
则BE=EG2−BG2=22x，
∵三棱锥E﹣ACD的体积V=13×12AC⋅GD⋅BE=624x3=63，
解得x＝2，即AB＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC＝4+4﹣2×2×2×(−12)=12，
即AC=12=23，
在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE＝EC＝ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，
则AE2+EC2＝AC2＝12，
即2AE2＝12，
∴AE2＝6，
则AE=6，
∴从而得AE＝EC＝ED=6，
∴△EAC的面积S=12×EA⋅EC=12×6×6=3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，
则AE=6，AF=12AD=12×2=1，
则EF=(6)2−12=5，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=12×2×5=5，
故该三棱锥的侧面积为3+25．
28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：
（1）OK∥平面AB1D1；
（2）平面AMD⊥平面BMC．
【分析】（1）可以由面面平行的判定定理推得平面AB1D1∥平面C1BD，再由面面平行的性质定理可得结论；
（2）先由线面垂直的判定定理推得DM⊥平面BMC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．
【解答】（1）证明：设A1C交平面AB1D1于点N，连接AN，
因为D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1BD，DB⊂平面C1BD，
可得D1B1∥平面C1BD，
同理由AD1∥BC1，可得AD1∥平面C1BD，
又D1B1∩AD1＝D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD，
因为OK是平面A1AC与平面C1BD的交线，
所以OK∥AN，
又AN⊂平面AB1D1，OK⊄平面AB1D1，
所以OK∥平面AB1D1；
（2）证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以∠DMC＝90°，即DM⊥MC，
因为BC⊥平面DCC1D1，DM⊂平面DCC1D1，
所以BC⊥DM，CB∩MC＝C，
所以DM⊥平面BMC，
因为DM⊂平面AMD，
所以平面AMD⊥平面BMC．
29．如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝BD＝1．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面BCED．
（Ⅱ）若DM=13DE，求三棱锥D﹣ACM的体积．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定和性质，推得BC⊥平面ACE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）由等积法和面面垂直的性质，结合棱锥的体积公式计算可得所求值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB为△ABC的外接圆O的直径，
所以AC⊥BC，
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC，
又AC∩EC＝C，
所以BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED，
所以平面AEC⊥平面BCDE．
（Ⅱ）因为DM=13DE，所以VD−ACM=12VE−ACM=12VM−ACE，
因为平面AEC⊥平面BCDE，
过M作MN垂直于CE，交CE于N，
则MN为锥体的高且MN=23BC=23，AC=4−1=3，
所以VM−ACE=13⋅123⋅2⋅23=239⇒VD−ACM=39．
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