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人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程，共12页。试卷主要包含了过点，原点O，已知直线l的倾斜角是l'，已知三角形的三个顶点A，设点A，点M为线段AB的中点，数学家欧拉在1765年提出定理等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程
一．选择题（共6小题）
1．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线所在的直线相交于（0，1），若边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，则边AB的对边CD所在直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
2．过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
3．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
4．已知直线l的倾斜角是l'：x﹣y+3＝0倾斜角的2倍，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为（ ）
A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
5．已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（ ）
A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
6．与直线2x﹣y+1＝0平行且在y轴上的截距为﹣4的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
二．填空题（共6小题）
7．直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为 ．
8．设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为 ．
9．如果直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，则a＝ ．
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 ．
11．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（5，0），C（2，4），则该三角形的欧拉线方程为 ．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0． （判断对错）
三．解答题（共8小题）
13．已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
14．三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上高线AD所在直线的方程．
15．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）过A点且平行于BC的直线方程．
（2）AC边上的高所在的直线方程．
16．求满足下列条件的直线方程；
（1）过点（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程；
（2）过点（3，4），且与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程；
（3）过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
17．已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求证△ABC为等腰直角三角形；
（2）若直线3x﹣y＝0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．
18．已知P（3，2），一直线l过点P，
①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；
②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．
19．写出满足下列条件的直线的方程．
（1）经过点A（3，2），且与直线2x+y﹣3＝0垂直；
（2）经过点B（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
20．已知直线l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l关于x轴对称的直线方程；
（2）求l关于y轴对称的直线方程．
人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线所在的直线相交于（0，1），若边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，则边AB的对边CD所在直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】设边AB的对边CD所在直线的方程为x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，根据H（0，1），可得H到AB、CD的距离相等，求得m的值，可得边CD所在直线的方程．
【解答】解：∵▱ABCD中，边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，
设边AB的对边CD所在直线的方程为x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，
则根据▱ABCD的对角线所在的直线相交于H（0，1），
可得H到AB、CD的距离相等，
可得＝，求得m＝﹣2（舍去），或 m＝6，
故边CD所在直线的方程为x﹣2y+6＝0，
故选：B．
2．过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
【分析】根据直线平行求出直线方程，利用代入法进行求解即可．
【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，（c≠3），
∵直线过点（﹣1，3），
∴代入直线方程的﹣1﹣2×3+c＝0，
得c＝7，
则所求直线方程为x﹣2y+7＝0，
故选：B．
3．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．
【解答】解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．
求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为 ＝﹣，故直线l的斜率为2，
故直线l的方程为 y﹣1＝2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5＝0．
故选：B．
4．已知直线l的倾斜角是l'：x﹣y+3＝0倾斜角的2倍，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为（ ）
A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
【分析】原点到直线l的距离等于2，直线l倾斜角为90°，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：∵直线l的倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的2倍，直线x﹣y+3＝0的斜率k＝1，则倾斜角为45°，
∴直线l倾斜角为90°，
∵原点到直线l的距离等于2，
∴直线l的方程为x＝2或x＝﹣2．
故选：A．
5．已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（ ）
A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
【分析】由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．
【解答】解：由斜率公式可得kAB＝＝，
∵CD⊥AB，∴kCD＝﹣5，
∴直线CD的方程为：y+3＝﹣5（x﹣1），
化为一般式可得5x+y﹣2＝0．
故选：A．
6．与直线2x﹣y+1＝0平行且在y轴上的截距为﹣4的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
【分析】设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线为2x﹣y+m＝0，根据它在y轴上的截距为m＝﹣4，得出结论．
【解答】解：设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线为2x﹣y+m＝0，
根据它在y轴上的截距为m＝﹣4，
故要求的直线方程是2x﹣y﹣4＝0，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为 x＝﹣2或4x+3y+5＝0 ．
【分析】当直线l斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为4x+3y+5＝0；当直线与x轴垂直时，l方程为x＝﹣2也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．
【解答】解：设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0
∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，
∴＝1，解之得k＝﹣，
得l的方程为4x+3y+5＝0．
当直线与x轴垂直时，方程为x＝﹣2，点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，
∴直线l的方程的方程为x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
故答案为：x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
8．设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为 3x+y+3＝0 ．
【分析】利用中点坐标公式、相互平行的直线的充要条件即可得出．
【解答】解：M（﹣2，3），
设与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为：3x+y+m＝0，
把点M的坐标代入可得：﹣6+3+m＝0，解得m＝3．
故所求的直线方程为：3x+y+3＝0．
故答案为：3x+y+3＝0．
9．如果直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，则a＝ 1或 ．
【分析】两直线垂直，x与y的系数乘积之和为0，由此能求出结果．
【解答】解：∵直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，
∴3a﹣1﹣2a2＝0，
解得a1＝1，a2＝，
故答案是：1或．
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 x﹣2y+3＝0 ．
【分析】直接利用直线的垂直的充要条件和定义性问题的应用求出结果．
【解答】解：由题意知：线段AB的中点M（1，2）所以kAB＝﹣2，
所以线段AB的垂直平分线为y﹣2＝，即x﹣2y+3＝0．
由于AC＝BC，所以△ABC的重心，外心垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线方程为x﹣2y+3＝0．
故答案为：x﹣2y+3＝0．
11．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（5，0），C（2，4），则该三角形的欧拉线方程为 x+2y﹣5＝0 ．
【分析】由重心坐标公式可得：重心G（），根据垂直平分线的性质设出外心M（），再根据|MA|＝|MC|，求出外心M（），再求出直线MG的斜率，利用点斜式方程即可求解．
【解答】解：由重心坐标公式可得：重心G（），即G（），
设外心为M（，a），因为|MA|＝|MC|，
所以＝，
解得a＝，即M（），
所以直线MG的斜率为k，
故欧拉线方程为：y﹣，
即：x+2y﹣5＝0，
故答案为：x+2y﹣5＝0．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0． 正确 （判断对错）
【分析】直接利用中点坐标公式和直线方程的求法求出结果．
【解答】解：由B（1，0），C（﹣1，0）求出中点的坐标为D（0，0），
所以：过点D（0，0）和A（0，1）的直线方程为x＝0，
故答案为：正确；
三．解答题（共8小题）
13．已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；
（2）首先求得顶点C到直线AD的距离，中线AD的长度，然后由三角形的面积求法进行解答．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴BC中点D（0，1），
∴kAD＝﹣3
∴AD直线方程为3x+y﹣1＝0；
，
，
．
14．三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上高线AD所在直线的方程．
【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；
（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．
【解答】解：（1）BC边所在直线的方程为：
＝，
即x+2y﹣4＝0；
（2）∵BC的斜率K1＝﹣，
∴BC边上的高AD的斜率K＝2，
∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．
15．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）过A点且平行于BC的直线方程．
（2）AC边上的高所在的直线方程．
【分析】（1）求得直线BC的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，以及点斜式方程即可得到所求直线方程；
（2）求得AC的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1）∵，
∴直线为，
整理得x﹣2y﹣4＝0；
（2）∵，
AC边的高过B（8，10）点，且斜率为，
∴y﹣10＝（x﹣8），
整理得AC边的高所在直线方程为2x﹣3y+14＝0．
16．求满足下列条件的直线方程；
（1）过点（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程；
（2）过点（3，4），且与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程；
（3）过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【分析】（1）根据平行直线的斜率相同即可求解；
（2）根据互相垂线直线的斜率乘积为﹣1，从而求解直线方程；
（3）由截距相等，可得x+y＝m，带入坐标解得m，从而可得方程．当直线过原点时也是截距相等；
【解答】解：（1）设与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0；
由于所求直线过点（﹣1，3），带入可得c＝7，
∴所求的直线方程为x﹣2y+7＝0；
（2）设与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程为x+3y+n＝0；
由于所求直线过点（3，4），带入可得n＝﹣15，
∴所求的直线方程为x+3y﹣15＝0；
（3）由截距相等，可得直线方程为x+y＝m，
由于所求直线过点（1，2），带入可得m＝3，
∴所求的直线方程为x+y﹣3＝0；
当直线过原点时也是截距相等，此时直线方程为：2x﹣y＝0．
17．已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求证△ABC为等腰直角三角形；
（2）若直线3x﹣y＝0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）利用两点间距公式，求出三边可证得：△ABC为等腰直角三角形；
（2）由AB＝AC且△PAC面积与△PAB面积相等，故P到直线AB和直线AC的距离相等，进而得到答案．
【解答】证明：（1）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
∴AB＝2，AC＝2，BC＝2，
即AB＝AC，BC2＝AB2+AC2，
即△ABC为等腰直角三角形；
解：（2）直线AB的方程为：，即x﹣2y+3＝0，
直线AC的方程为：，即2x+y﹣4＝0，
∵P在直线3x﹣y＝0上，故设P坐标为（a，3a），
∵AB＝AC且△PAC面积与△PAB面积相等，
故P到直线AB和直线AC的距离相等，
即＝，
即|5a﹣3|＝|5a﹣4|，
解得：a＝，
故P点的坐标为：（，）．
18．已知P（3，2），一直线l过点P，
①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；
②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．
【分析】设斜率为k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出k，从而得出直线l的方程．
【解答】解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y＝k（x﹣3）+2，
令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．
∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．
∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．
②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，
∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．
∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2．
19．写出满足下列条件的直线的方程．
（1）经过点A（3，2），且与直线2x+y﹣3＝0垂直；
（2）经过点B（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
【分析】（1）利用两条直线垂直的性质，求出直线的斜率，再用点斜式求得直线的方程．
（2）分类讨论，用待定系数法求直线的方程．
【解答】解：（1）因为直线2x+y﹣3＝0的斜率为﹣2，直线与2x+y﹣3＝0垂直，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即x﹣2y+1＝0．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
把点B（﹣5，2）代入可得，，
此时，直线的方程为2x+5y＝0．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点B（﹣5，2）代入可得，
此时直线的方程为x+2y+1＝0．
综上，满足条件的直线方程为2x+5y＝0或x+2y+1＝0．
20．已知直线l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l关于x轴对称的直线方程；
（2）求l关于y轴对称的直线方程．
【分析】（1）先求出l和x轴的交点，再求出要求直线的斜率，用点斜式求得要求直线的方程．
（2）先求出l和y轴的交点，再求出要求直线的斜率，用点斜式求得要求直线的方程．
【解答】解：（1）直线l：3x﹣2y+1＝0与x轴的交点为（﹣，0），
且直线l关于x轴对称的直线a的倾斜角和直线l的倾斜角互补，
故它们的斜率相反．
由于直线l的斜率为，故直线a的斜率为﹣，
故直线a的方程为y﹣0＝﹣（x+），
即3x+2y+1＝0．
（2）直线l：3x﹣2y+1＝0与y轴的交点为（0，），
且直线l关于y轴对称的直线b的倾斜角和直线l的倾斜角互补，
故它们的斜率相反．
由于直线l的斜率为，故直线b的斜率为﹣，
故直线b的方程为y﹣＝﹣（x﹣0），即 3x+2y﹣1＝0．
人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程
一．选择题（共6小题）
1．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线所在的直线相交于（0，1），若边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，则边AB的对边CD所在直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
2．过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
3．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
4．已知直线l的倾斜角是l'：x﹣y+3＝0倾斜角的2倍，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为（ ）
A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
5．已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（ ）
A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
6．与直线2x﹣y+1＝0平行且在y轴上的截距为﹣4的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
二．填空题（共6小题）
7．直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为 ．
8．设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为 ．
9．如果直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，则a＝ ．
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 ．
11．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（5，0），C（2，4），则该三角形的欧拉线方程为 ．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0． （判断对错）
三．解答题（共8小题）
13．已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
14．三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上高线AD所在直线的方程．
15．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）过A点且平行于BC的直线方程．
（2）AC边上的高所在的直线方程．
16．求满足下列条件的直线方程；
（1）过点（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程；
（2）过点（3，4），且与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程；
（3）过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
17．已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求证△ABC为等腰直角三角形；
（2）若直线3x﹣y＝0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．
18．已知P（3，2），一直线l过点P，
①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；
②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．
19．写出满足下列条件的直线的方程．
（1）经过点A（3，2），且与直线2x+y﹣3＝0垂直；
（2）经过点B（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
20．已知直线l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l关于x轴对称的直线方程；
（2）求l关于y轴对称的直线方程．
人教版2021届一轮复习打地基练习 待定系数法求直线方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线所在的直线相交于（0，1），若边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，则边AB的对边CD所在直线的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】设边AB的对边CD所在直线的方程为x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，根据H（0，1），可得H到AB、CD的距离相等，求得m的值，可得边CD所在直线的方程．
【解答】解：∵▱ABCD中，边AB所在直线的方程为x﹣2y﹣2＝0，
设边AB的对边CD所在直线的方程为x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，
则根据▱ABCD的对角线所在的直线相交于H（0，1），
可得H到AB、CD的距离相等，
可得＝，求得m＝﹣2（舍去），或 m＝6，
故边CD所在直线的方程为x﹣2y+6＝0，
故选：B．
2．过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
【分析】根据直线平行求出直线方程，利用代入法进行求解即可．
【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，（c≠3），
∵直线过点（﹣1，3），
∴代入直线方程的﹣1﹣2×3+c＝0，
得c＝7，
则所求直线方程为x﹣2y+7＝0，
故选：B．
3．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．
【解答】解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．
求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为 ＝﹣，故直线l的斜率为2，
故直线l的方程为 y﹣1＝2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5＝0．
故选：B．
4．已知直线l的倾斜角是l'：x﹣y+3＝0倾斜角的2倍，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为（ ）
A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
【分析】原点到直线l的距离等于2，直线l倾斜角为90°，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：∵直线l的倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的2倍，直线x﹣y+3＝0的斜率k＝1，则倾斜角为45°，
∴直线l倾斜角为90°，
∵原点到直线l的距离等于2，
∴直线l的方程为x＝2或x＝﹣2．
故选：A．
5．已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（ ）
A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
【分析】由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．
【解答】解：由斜率公式可得kAB＝＝，
∵CD⊥AB，∴kCD＝﹣5，
∴直线CD的方程为：y+3＝﹣5（x﹣1），
化为一般式可得5x+y﹣2＝0．
故选：A．
6．与直线2x﹣y+1＝0平行且在y轴上的截距为﹣4的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
【分析】设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线为2x﹣y+m＝0，根据它在y轴上的截距为m＝﹣4，得出结论．
【解答】解：设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线为2x﹣y+m＝0，
根据它在y轴上的截距为m＝﹣4，
故要求的直线方程是2x﹣y﹣4＝0，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为 x＝﹣2或4x+3y+5＝0 ．
【分析】当直线l斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为4x+3y+5＝0；当直线与x轴垂直时，l方程为x＝﹣2也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．
【解答】解：设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0
∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，
∴＝1，解之得k＝﹣，
得l的方程为4x+3y+5＝0．
当直线与x轴垂直时，方程为x＝﹣2，点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，
∴直线l的方程的方程为x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
故答案为：x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
8．设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为 3x+y+3＝0 ．
【分析】利用中点坐标公式、相互平行的直线的充要条件即可得出．
【解答】解：M（﹣2，3），
设与直线3x+y﹣2＝0平行的直线方程为：3x+y+m＝0，
把点M的坐标代入可得：﹣6+3+m＝0，解得m＝3．
故所求的直线方程为：3x+y+3＝0．
故答案为：3x+y+3＝0．
9．如果直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，则a＝ 1或 ．
【分析】两直线垂直，x与y的系数乘积之和为0，由此能求出结果．
【解答】解：∵直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，
∴3a﹣1﹣2a2＝0，
解得a1＝1，a2＝，
故答案是：1或．
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 x﹣2y+3＝0 ．
【分析】直接利用直线的垂直的充要条件和定义性问题的应用求出结果．
【解答】解：由题意知：线段AB的中点M（1，2）所以kAB＝﹣2，
所以线段AB的垂直平分线为y﹣2＝，即x﹣2y+3＝0．
由于AC＝BC，所以△ABC的重心，外心垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线方程为x﹣2y+3＝0．
故答案为：x﹣2y+3＝0．
11．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（5，0），C（2，4），则该三角形的欧拉线方程为 x+2y﹣5＝0 ．
【分析】由重心坐标公式可得：重心G（），根据垂直平分线的性质设出外心M（），再根据|MA|＝|MC|，求出外心M（），再求出直线MG的斜率，利用点斜式方程即可求解．
【解答】解：由重心坐标公式可得：重心G（），即G（），
设外心为M（，a），因为|MA|＝|MC|，
所以＝，
解得a＝，即M（），
所以直线MG的斜率为k，
故欧拉线方程为：y﹣，
即：x+2y﹣5＝0，
故答案为：x+2y﹣5＝0．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0． 正确 （判断对错）
【分析】直接利用中点坐标公式和直线方程的求法求出结果．
【解答】解：由B（1，0），C（﹣1，0）求出中点的坐标为D（0，0），
所以：过点D（0，0）和A（0，1）的直线方程为x＝0，
故答案为：正确；
三．解答题（共8小题）
13．已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；
（2）首先求得顶点C到直线AD的距离，中线AD的长度，然后由三角形的面积求法进行解答．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴BC中点D（0，1），
∴kAD＝﹣3
∴AD直线方程为3x+y﹣1＝0；
，
，
．
14．三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上高线AD所在直线的方程．
【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；
（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．
【解答】解：（1）BC边所在直线的方程为：
＝，
即x+2y﹣4＝0；
（2）∵BC的斜率K1＝﹣，
∴BC边上的高AD的斜率K＝2，
∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．
15．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）过A点且平行于BC的直线方程．
（2）AC边上的高所在的直线方程．
【分析】（1）求得直线BC的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，以及点斜式方程即可得到所求直线方程；
（2）求得AC的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1）∵，
∴直线为，
整理得x﹣2y﹣4＝0；
（2）∵，
AC边的高过B（8，10）点，且斜率为，
∴y﹣10＝（x﹣8），
整理得AC边的高所在直线方程为2x﹣3y+14＝0．
16．求满足下列条件的直线方程；
（1）过点（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程；
（2）过点（3，4），且与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程；
（3）过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【分析】（1）根据平行直线的斜率相同即可求解；
（2）根据互相垂线直线的斜率乘积为﹣1，从而求解直线方程；
（3）由截距相等，可得x+y＝m，带入坐标解得m，从而可得方程．当直线过原点时也是截距相等；
【解答】解：（1）设与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0；
由于所求直线过点（﹣1，3），带入可得c＝7，
∴所求的直线方程为x﹣2y+7＝0；
（2）设与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程为x+3y+n＝0；
由于所求直线过点（3，4），带入可得n＝﹣15，
∴所求的直线方程为x+3y﹣15＝0；
（3）由截距相等，可得直线方程为x+y＝m，
由于所求直线过点（1，2），带入可得m＝3，
∴所求的直线方程为x+y﹣3＝0；
当直线过原点时也是截距相等，此时直线方程为：2x﹣y＝0．
17．已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求证△ABC为等腰直角三角形；
（2）若直线3x﹣y＝0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）利用两点间距公式，求出三边可证得：△ABC为等腰直角三角形；
（2）由AB＝AC且△PAC面积与△PAB面积相等，故P到直线AB和直线AC的距离相等，进而得到答案．
【解答】证明：（1）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
∴AB＝2，AC＝2，BC＝2，
即AB＝AC，BC2＝AB2+AC2，
即△ABC为等腰直角三角形；
解：（2）直线AB的方程为：，即x﹣2y+3＝0，
直线AC的方程为：，即2x+y﹣4＝0，
∵P在直线3x﹣y＝0上，故设P坐标为（a，3a），
∵AB＝AC且△PAC面积与△PAB面积相等，
故P到直线AB和直线AC的距离相等，
即＝，
即|5a﹣3|＝|5a﹣4|，
解得：a＝，
故P点的坐标为：（，）．
18．已知P（3，2），一直线l过点P，
①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；
②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．
【分析】设斜率为k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出k，从而得出直线l的方程．
【解答】解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y＝k（x﹣3）+2，
令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．
∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．
∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．
②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，
∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．
∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2．
19．写出满足下列条件的直线的方程．
（1）经过点A（3，2），且与直线2x+y﹣3＝0垂直；
（2）经过点B（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
【分析】（1）利用两条直线垂直的性质，求出直线的斜率，再用点斜式求得直线的方程．
（2）分类讨论，用待定系数法求直线的方程．
【解答】解：（1）因为直线2x+y﹣3＝0的斜率为﹣2，直线与2x+y﹣3＝0垂直，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即x﹣2y+1＝0．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
把点B（﹣5，2）代入可得，，
此时，直线的方程为2x+5y＝0．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点B（﹣5，2）代入可得，
此时直线的方程为x+2y+1＝0．
综上，满足条件的直线方程为2x+5y＝0或x+2y+1＝0．
20．已知直线l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l关于x轴对称的直线方程；
（2）求l关于y轴对称的直线方程．
【分析】（1）先求出l和x轴的交点，再求出要求直线的斜率，用点斜式求得要求直线的方程．
（2）先求出l和y轴的交点，再求出要求直线的斜率，用点斜式求得要求直线的方程．
【解答】解：（1）直线l：3x﹣2y+1＝0与x轴的交点为（﹣，0），
且直线l关于x轴对称的直线a的倾斜角和直线l的倾斜角互补，
故它们的斜率相反．
由于直线l的斜率为，故直线a的斜率为﹣，
故直线a的方程为y﹣0＝﹣（x+），
即3x+2y+1＝0．
（2）直线l：3x﹣2y+1＝0与y轴的交点为（0，），
且直线l关于y轴对称的直线b的倾斜角和直线l的倾斜角互补，
故它们的斜率相反．
由于直线l的斜率为，故直线b的斜率为﹣，
故直线b的方程为y﹣＝﹣（x﹣0），即 3x+2y﹣1＝0．
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