人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与圆的方程的应用

这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与圆的方程的应用，共37页。试卷主要包含了已知半圆C，过直线l，已知点P，已知圆C，过点等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与圆的方程的应用
一．选择题（共14小题）
1．已知半圆C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ＝，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，]
C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]
2．过直线l：y＝2x+a上的点作圆C：x2+y2＝1的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣10，10] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
3．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
4．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
5．曲线与直线y＝kx﹣4k+5有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知圆C：x2+y2﹣2y＝0，则的最大值为（　　）
A．4 B．13 C．+1 D．2+11
7．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦长为（　　）
A． B．1 C． D．
8．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
9．设直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝（　　）
A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
10．在平面直角坐标系xOy中，两动圆O1，O2均过定点（1，0），它们的圆心分别为（a1，0）（a2，0）（a1≠0，a2≠0），且与y轴正半轴分别交于点（0，y1），（0．y2）．若y1＝，则＝（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
11．点P是直线x+y﹣2＝0上的动点，点Q是圆x2+y2＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
12．已知圆C的方程为x2﹣2x+y2＝0，直线l：kx﹣y+2﹣2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k为（　　）
A．1 B．6 C．1或7 D．2或6
13．已知圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，则圆C关于直线y＝﹣x﹣4的对称圆的方程是（　　）
A．（x+4）2+（y+6）2＝1 B．（x+6）2+（y+4）2＝1
C．（x+5）2+（y+7）2＝1 D．（x+7）2+（y+5）2＝1
14．由直线x＝0上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．3
二．填空题（共15小题）
15．若曲线恰有三个点到直线y＝x﹣b的距离为1，则b的取值范围为　 　
16．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为　 　．
17．过点P（，1）的直线L与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线的方程为 　 　．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，﹣1），点P为圆（x﹣4）2+y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是　 　．
19．若直线y＝x+b与曲线y＝有公共点，则实数b的取值范围是　 　
20．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与直线l：y＝x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是　 　．
21．若直线l：ax+y﹣4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为　 　．
22．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是　 　．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，直线l：y＝x+a，过直线l上点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A、B，若存在点P使得，则实数a的取值范围是　 　．
24．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝2，直线l：kx﹣y﹣2＝0与y轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若，则实数k的取值范围是　 　．
25．已知圆O：x2+y2＝9，点A（﹣5，0），若在直线OA上（O为坐标原点），存在异于A的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数．则点B的坐标是　 　．
26．若A（﹣3，y0）是直线l：x+y+a＝0（a＞0）上的点，直线l与圆C：（x﹣）2+（y+2）2＝12相交于M、N两点，若△MCN为等边三角形，则过点A作圆C的切线，切点为P，则|AP|＝　 　．
27．已知圆C：（x﹣7）2+y2＝16，过点M（5，0）作直线交圆C于A，B两点．若P（2，5），则的最小值为　 　．
28．圆C：（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距离为，则a的值为　 　．
29．已知a，b为正数，若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则的最大值是　 　．
三．解答题（共9小题）
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线．
①求圆C的方程；
②求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

31．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），直线l：y＝x+4，设⊙C的半径为2，圆心在直线l上．
（Ⅰ）若⊙C与直线y＝﹣2x﹣8相交于E，F两点，且|AE|＝|AF|，求⊙C的方程；
（Ⅱ）若⊙C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
32．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
33．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若t＝1，求切线所在直线方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．

34．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2＝1，直线l的方程为x﹣3y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

35．在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x＝2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点．
（1）若BC＝，求圆K的方程；
（2）求证：点B始终在某定圆上．
（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．
36．已知点A，B分别是射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝﹣x（x≥0）上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2．
（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（II）过点N（0，2）作直线l，与曲线C交于不同的两点P，Q，与射线l1，l2分别交于点R，S，若点P，Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．
37．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．
38．已知⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0与⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0交于P、Q两点，M（2，t）是直线PQ上的一个动点．
（1）求⊙C1的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆C3的方程；
（3）过点C2作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，请判断线段ON的长是否为定值？若是定值求出这个定值；若不是请说明理由．

人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与圆的方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知半圆C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ＝，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，]
C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]
【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|＝|PB|＝|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ＝，则在Rt△PBT中，
|BT|＝|PB|＝|t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值﹣，
t＝0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[﹣，0）∪（0，]；
故选：A．

2．过直线l：y＝2x+a上的点作圆C：x2+y2＝1的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣10，10] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（0，0）到直线l的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．
【解答】解：圆C：x2+y2＝1，圆心为：（0，0），半径为1，
∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ＝90°，
∴在直线l上存在一点M，使得M到C（0，0）的距离等于，
∴只需C（0，0）到直线l：y＝2x+a的距离小于或等于，
故，解得﹣≤a≤，
故选：B．
3．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1），半径是r＝1，
由圆的性质知：S四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值＝1＝rd（d是切线长）∴d最小值＝2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k＝2
故选：D．
4．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，
则圆的圆心为（1，﹣2），半径r＝，
设圆心为M，
则|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，
则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，
且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7＝0的距离，|MP|最小值＝＝2，
则|PA|最小值＝＝，
故选：B．
5．曲线与直线y＝kx﹣4k+5有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，将曲线的方程变形可得（x﹣1）2+y2＝9，（x≥1），分析可得其为圆（x﹣1）2+y2＝9的右半部分，而直线y＝kx﹣4k+5，变形可得y﹣5＝k（x﹣4），恒过定点（4，5），作出直线与圆的图形，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，曲线，变形可得（x﹣1）2+y2＝9，（x≥1），
为圆（x﹣1）2+y2＝9的右半部分，设A（1，﹣3），C（4，0），
直线y＝kx﹣4k+5，变形可得y﹣5＝k（x﹣4），恒过定点（4，5），设P（4，5），
且KPA＝＝，PC与x轴垂直，如图
若曲线与直线y＝kx﹣4k+5有两个不同的交点时，必有k≥，
则k的取值范围为[，+∞）；
故选：C．

6．已知圆C：x2+y2﹣2y＝0，则的最大值为（　　）
A．4 B．13 C．+1 D．2+11
【分析】表示的是：圆C上的点（x，y）到点（1，﹣2）的距离，要求其最大值，只需算出圆心到点（1，﹣2）的距离，再加上半径即可．
【解答】解：d＝＝，
该式子表示圆C上的点（x，y）到点（1，﹣2）的距离，因为圆C：x2+（y﹣1）2＝1，圆心C（0，1），半径r＝1．
显然dmax＝+r＝．
故选：C．
7．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦长为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】根据题意，设过点（1，0）且倾斜角为30°的直线为l，设直线l与圆交于点AB，由直线的点斜式方程可得直线l的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离d，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设过点（1，0）且倾斜角为30°的直线为l，
其方程为y＝tan30°（x﹣1），即y＝（x﹣1），变形可得x﹣y﹣1＝0；
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径r＝1，
设直线l与圆交于点AB，
圆心到直线的距离d＝＝，
则AB＝2×＝，
故选：C．
8．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），其图象为圆（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，直线x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直线与半圆有公共点，结合图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝﹣，变形可得（x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），
其图象为圆（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，如图：
直线x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直线与半圆有公共点，
当m＝﹣2﹣1时，直线x﹣2y+m＝0在圆心的下方且与圆相切，
当m＝1时，直线经过点（﹣1，0），
则m的取值范围为[﹣2﹣1，1]；
故选：B．

9．设直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝（　　）
A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线x﹣y+a＝0的距离d，又由点到直线的距离公式可得d＝＝，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y+2＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝3，圆心C（﹣1，2），半径r＝，
若|AB|＝2，则圆心到直线x﹣y+a＝0的距离d＝＝，
又由C（﹣1，2），则有d＝＝，解可得a＝5或1；
故选：B．
10．在平面直角坐标系xOy中，两动圆O1，O2均过定点（1，0），它们的圆心分别为（a1，0）（a2，0）（a1≠0，a2≠0），且与y轴正半轴分别交于点（0，y1），（0．y2）．若y1＝，则＝（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据点的距离公式可得y12＝1﹣2a1，y22＝1﹣2a2，根据对数的运算性质即可得到y1y2＝1，可得＝2，
【解答】解：因为r1＝|1﹣a1|＝，则y12＝1﹣2a1，
同理可得y22＝1﹣2a2，
又因为y1y2＝1，
则（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，
即2a1a2＝a1+a2，
则＝2，
故选：C．
11．点P是直线x+y﹣2＝0上的动点，点Q是圆x2+y2＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，
圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，
则线段PQ长的最小值为﹣1；
故选：A．
12．已知圆C的方程为x2﹣2x+y2＝0，直线l：kx﹣y+2﹣2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k为（　　）
A．1 B．6 C．1或7 D．2或6
【分析】根据题意，由圆的半径分析圆心与半径，分析可得当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，求出圆心到直线的距离，进而可得＝，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C的方程为x2﹣2x+y2＝0，即为（x﹣1）2+y2＝1，则圆半径r＝1，圆心C（1，0），
直线l：kx﹣y+2﹣2k＝0与圆C交于A，B两点，
当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，
此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝，
则有＝，
解可得k＝1或7；
故选：C．
13．已知圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，则圆C关于直线y＝﹣x﹣4的对称圆的方程是（　　）
A．（x+4）2+（y+6）2＝1 B．（x+6）2+（y+4）2＝1
C．（x+5）2+（y+7）2＝1 D．（x+7）2+（y+5）2＝1
【分析】根据题意，设要求圆的圆心为C′，其坐标为（a，b），由C与C′关于直线y＝﹣x﹣4对称，则有，解可得a、b的值，即可得圆的圆心，由圆的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为C′，其坐标为（a，b），
圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，其圆心为（2，0），半径r＝1，
C与C′关于直线y＝﹣x﹣4对称，则有，解可得，
则要求圆的圆心为（﹣4，﹣6），半径r′＝1，
其方程为（x+4）2+（y+6）2＝1；
故选：A．
14．由直线x＝0上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】根据题意，设直线x＝0上的一点到圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心的距离为d，由切线长公式可得过该点引圆（x﹣3）2+y2＝1的切线的长度为l＝＝，分析可得当d最小时，切线长的最小，求出d的最小值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径r＝1，设直线x＝0上的一点到圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心的距离为d，
则过该点引圆（x﹣3）2+y2＝1的切线的长度为l＝＝，
分析可得：当d最小时，切线长的最小，
又由d的最小值为圆心（3，0）到直线x＝0的距离，则dmin＝3，
则切线长的最小值为＝2；
故选：C．
二．填空题（共15小题）
15．若曲线恰有三个点到直线y＝x﹣b的距离为1，则b的取值范围为　[2﹣，）　
【分析】曲线表示圆x2+y2＝4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．
【解答】解：曲线示圆x2+y2＝4的右半部分，直线y＝x﹣b的斜率为1，（如图），
设满足条件的两条临界直线分别为m和l，
根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y＝x﹣b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，﹣2））和直线l″之间，
设（0，﹣2）到直线m的距离为1，可得＝1，
解得b＝2﹣，或b＝2+（舍去），
∴直线m的截距为﹣2，
设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x﹣y﹣2＝0，
由l到l″的距离为1可得＝1，
解方程可得b＝，即直线l的截距为，
（2，0）到直线y＝x﹣b的距离为1时，，
解得b∈[2﹣，2+]
根据题意可知，直线在m和l之间，
∴b的取值范围为：[2﹣，）．
故答案为：[2﹣，）．

16．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为　4　．
【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，
用余弦定理求出|PQ|．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0 可化为 （x﹣3）2+（y﹣4）2＝5，
圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα＝，
∴cos∠PO1Q＝2cos2α﹣1＝﹣，
∴|PQ|2＝（）2+（）2+2×（）2×＝16．∴|PQ|＝4．
故答案为：4．

17．过点P（，1）的直线L与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线的方程为 　2x﹣4y+3＝0　．
【分析】研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CP垂直，故先求直线CP的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．
【解答】解：验证知点在圆内，
当∠ACB最小时，直线l与CP垂直，
由圆的方程，圆心C（1，0）
∵kCP＝＝﹣2，
∴kl＝
∴l：y﹣1＝（x﹣），整理得2x﹣4y+3＝0
故应填2x﹣4y+3＝0
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，﹣1），点P为圆（x﹣4）2+y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是　2﹣　．
【分析】利用三角形面积公式化面积比为正弦比，从而找到相切位置为最优解，求解比较容易．
【解答】解：
＝
＝
显然，当OP与圆C：（x﹣4）2+y2＝4相切时，比值最小．
在Rt△OPC中，OC＝4，CP＝2，
∴∠COP＝30°，
结合A，B两点坐标，
易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，
∴＝
＝tan15°＝2﹣，
故答案为：2﹣．
19．若直线y＝x+b与曲线y＝有公共点，则实数b的取值范围是　[﹣2，2]　
【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求得b的取值范围．
【解答】解：由y＝，得x2+y2＝4（y≥0）．
如图，

当直线y＝x+b与圆x2+y2＝4切于第二象限时，b＝2．
∴若直线y＝x+b与曲线y＝有公共点，则b的取值范围是[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
20．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与直线l：y＝x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是　4+4　．
【分析】由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r＝2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y＝﹣x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．
【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，
则PC所在直线的方程为x+y＝1，与直线y＝x+3联立求得P（﹣1，2），
再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r＝2；
由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y＝﹣x+1对称，如图所示，
因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，
即（x+1）2+（y﹣2）2＝R2与圆C内切时，
的最小值即为2R，
由相切条件易知2R＝2（|CP|+2）＝2（2+2）＝4+4．
故答案为：4+4．

21．若直线l：ax+y﹣4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为　[﹣，]　．
【分析】根据题意，由直角三角形的性质分析可得C到AB的距离为＝1，结合直线与圆的位置关系可得圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若△ABC为等腰直角三角形，其中C为直角顶点且|AB|＝2，
则C到AB的距离为＝1，
若圆O：x2+y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，
则圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，
解可得：﹣≤a≤，即a的取值范围[﹣，]；
故答案为：[﹣，]．
22．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是　18π　．
【分析】根据题意，由直线l的方程分析可得直线l恒过定点（﹣1，2），设M（﹣1，2），分析圆C1的方程可得圆心C1的坐标以及半径r，分析可得当|AB|最小时，圆C2的面积的最小；结合直线与圆的位置关系可得当MC1与直线l垂直，即M为AB的中点时，|AB|最小，求出此时的值，由圆的面积公式即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0即m（x+y﹣1）+（x+2y﹣3）＝0，
，解可得，则直线l恒过定点（﹣1，2），设M（﹣1，2），
圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36，圆心C1为（2，﹣1），半径r＝6，|MC1|＝＝3，
若直线l与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，
当|AB|最小时，圆C2的面积的最小；
当MC1与直线l垂直，即M为AB的中点时，|AB|最小，
此时＝＝3，
此时圆C2的面积S＝（3）2×π＝18π，
故答案为：18π．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，直线l：y＝x+a，过直线l上点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A、B，若存在点P使得，则实数a的取值范围是　[﹣2，2]　．
【分析】设PO与AB交于H，运用直角三角形的射影定理以及向量共线定理可得PA2＝PO2，设P（m，n），可得P在直线y＝x+a上，又在圆x2+y2＝4上，由直线和圆有交点的条件：d≤r，解不等式可得所求范围．
【解答】解：设PO与AB交于H，
在直角三角形PAO中，由射影定理可得PA2＝PH•PO，
，且+＝2，
即＝，
则PA2＝PO2，
设P（m，n），可得m2+n2﹣1＝（m2+n2），
即为m2+n2＝4，
可得P在直线y＝x+a上，又在圆x2+y2＝4上，
可得≤2，即﹣2≤a≤2，
故答案为：[﹣2，2]．

24．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝2，直线l：kx﹣y﹣2＝0与y轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若，则实数k的取值范围是　或　．
【分析】根据题意，设P（x，y），求出A的坐标，分析可得若，则|PA|2＝2|PT|2，即x2+（y+2）2＝2[x2+（y﹣2）2﹣2]，变形可得P的轨迹方程，进而原问题可转化为直线l与圆x2+（y﹣6）2＝36有公共点，结合直线与圆的位置关系可得d＝≤6，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设P（x，y），直线l：kx﹣y﹣2＝0即y＝kx﹣2与y轴交于点A，则A（0，﹣2）
若，则|PA|2＝2|PT|2，即x2+（y+2）2＝2[x2+（y﹣2）2﹣2]，
变形可得：x2+y2﹣12y＝0，变形可得x2+（y﹣6）2＝36，
即点P的轨迹是圆x2+（y﹣6）2＝36，
则原问题可转化为直线l与圆x2+（y﹣6）2＝36有公共点，
则有圆心（0，6）到直线l的距离d＝≤6，解可得或；
即k的取值范围为或；
故答案为：或．
25．已知圆O：x2+y2＝9，点A（﹣5，0），若在直线OA上（O为坐标原点），存在异于A的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数．则点B的坐标是　（﹣，0）　．
【分析】根据题意，假设存在这样的点B（t，0）满足题意，设＝λ，结合圆的方程变形可得（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，据此分析可得，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（﹣5，0）在x轴的负半轴上，直线OA即x轴，
假设存在这样的点B（t，0），使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数，这个常数为λ，即＝λ，变形可得则PB2＝λ2PA2，
则有（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，
将y2＝9﹣x2代入得：x2﹣2xt+t2+9﹣x2＝λ2（x2+10x+25+9﹣x2），
即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9＝0对x∈[﹣3，3]恒成立，
则有，解可得t＝﹣；
故B的坐标为（﹣，0）；
故答案为：（﹣，0）．
26．若A（﹣3，y0）是直线l：x+y+a＝0（a＞0）上的点，直线l与圆C：（x﹣）2+（y+2）2＝12相交于M、N两点，若△MCN为等边三角形，则过点A作圆C的切线，切点为P，则|AP|＝　6　．
【分析】根据等边三角形的性质求出点C到直线l的距离为3，根据点到直线的距离公式求出a＝5，即可求出A点的坐标，根据切线的性质和勾股定理即可求出．
【解答】解：如图所示∵MCN为等边三角形，
过点C做CD⊥MN，
∴CM＝2，
∴CD＝2×＝3，
∴C（，﹣2）到直线x+y+a＝0的距离为3，
∴＝3，
解得a＝5，
∵是直线x+y+5＝0的点，
∴y0＝4，
∴A（﹣3，4），
∴AC2＝（+3）2+（﹣2﹣4）2＝84，
∵过点A作圆C的切线，切点为P，
∴CP2＝12，
∴AP2＝AC2﹣CP2＝84﹣12＝72，
∴|AP|＝6，
故答案为：6

27．已知圆C：（x﹣7）2+y2＝16，过点M（5，0）作直线交圆C于A，B两点．若P（2，5），则的最小值为　　．
【分析】根据题意，设AB的中点H，连接CH，分析可得H的轨迹为以CM为直径的圆，分析该圆的圆心和半径，由向量的中点表示和圆外一点与圆上的点的距离的最值性质，计算可得所求最小值．
【解答】解：根据题意，如图：设AB的中点H，连接CH，
则有CH⊥AB，故中点H的轨迹为以CM为直径的圆，
设该圆为N，则其圆心N为（6，0），半径r＝1，
H为AB的中点，则+＝2，则有|+|＝2||，
则|PN|＝＝，
点P到圆N上点的距离最小值为﹣r＝﹣1，
则的最小值为2（﹣1）＝2﹣2，
故答案为：．

28．圆C：（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距离为，则a的值为　1　．
【分析】根据题意，求出圆C的圆心，由点到直线的距离公式可得d＝＝，解可得a的值，结合a的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），
又由圆C的圆心到直线l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距离为，则有d＝＝，
变形可得：|1+a|＝2，
解可得a＝1或﹣3，
又由a＞0，则a＝1；
故答案为：1．
29．已知a，b为正数，若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则的最大值是　　．
【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝1，由点到直线的距离公式可得＝1，即4a2+b2＝4，又由＝×，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝1，
又由圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝＝，则有＝1，即4a2+b2＝4，
则＝×≤×＝×＝；
则的最大值是；
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线．
①求圆C的方程；
②求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

【分析】（1）求出圆心C为（3，2），圆C的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k即可得到切线方程．
（2）设圆心C为（a，2a﹣4），圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2＝1，设M为（x，y）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．
【解答】解：（1）由得圆心C为（3，2），
∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
∴∴，
∴2k（4k+3）＝0∴k＝0或者，
∴所求圆C的切线方程为：y＝3或者．
即y＝3或者3x+4y﹣12＝0．
（2）∵圆C的圆心在在直线l：y＝2x﹣4上，
所以，设圆心C为（a，2a﹣4），
则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2＝1，
又∵MA＝2MO，
∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2＝4设为圆D，
∴点M应该既在圆C上又在圆D上
即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，
∴，
由5a2﹣12a+8≥0得a∈R，
由5a2﹣12a≤0得，
综上所述，a的取值范围为：．
31．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），直线l：y＝x+4，设⊙C的半径为2，圆心在直线l上．
（Ⅰ）若⊙C与直线y＝﹣2x﹣8相交于E，F两点，且|AE|＝|AF|，求⊙C的方程；
（Ⅱ）若⊙C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设EF的中点为G，连结AE，AF，CE，CF，AG，CG，求出直线AC的方程为，圆心C坐标，即可求解圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x，y），整理得：（x﹣1）2+y2＝4，列出|2﹣2|≤≤|2+2|，然后求解a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设EF的中点为G，连结AE，AF，CE，CF，AG，CG，
由已知得AG⊥EF，
又CE＝CF，所以CG⊥EF，则可得AC⊥EF，
则直线AC的方程为，
圆心C满足，，解得C（﹣5，﹣1），
则圆C的方程为（x+5）2+（y+1）2＝4．
（Ⅱ）∵⊙C的圆心在在直线l：y＝x+4上，设圆心C为（a，a+4），则⊙C的方程为（x﹣a）2+[y﹣（a+4）]2＝4，
又∵|MA|＝2|MO|，设M（x，y），整理得：（x﹣1）2+y2＝4，
设此为⊙D，
∴点M应该既在⊙C上又在⊙D上即⊙C和⊙D有交点，
∴，
由2a2+6a+17≥0得a∈R，
由2a2+6a+1≤0得，
终上所述，a的取值范围为：．

32．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
【分析】（1）圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得m的取值范围；
（2）直线方程与圆方程联立，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；
（3）写出以MN为直径的圆的方程，代入条件可得结论．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＝4﹣2y1，x2＝4﹣2y2，得x1x2＝16﹣8（y1+y2）+4y1y2，
∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2＝0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0①，
由，得5y2﹣16y+m+8＝0，
∴，．
代入①得．
（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，
即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y＝0，
∴所求圆的方程为．
33．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若t＝1，求切线所在直线方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．

【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；
（2）连接PM，AB交于N，利用∠MPA＝∠MAN，结合正余弦可得最值；
（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．
【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，
可设切线方程为y﹣1＝k（x+1），
即kx﹣y+k+1＝0，
则圆心M到切线的距离d＝＝1，
解得k＝0或﹣，
故所求切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0；
（2）
连接PM，AB交于点N，
设∠MPA＝∠MAN＝θ，
则|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ，
在Rt△MAP中，sinθ＝＝，
∵|PM|≥3，
∴（sinθ）max＝，
∴（cosθ）min＝，
∴|AB|min＝；
（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，
PA，PB的斜率为k1，k2，
故圆心M到切线的距离d＝＝1，
得8k2+6kt+t2﹣1＝0，
∴k1+k2＝﹣，k1k2＝，
在切线方程中令x＝0可得y＝k+t，
故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|
＝
＝，
∴|ST|min＝，此时t＝0．
故|ST|的最小值为．

34．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2＝1，直线l的方程为x﹣3y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

【分析】（1）设P（3m，m），连接MP，分析易得MP＝2MA＝2，即有（3m）2+（m﹣2）2＝4，解可得m的值，即可得答案；
（2）根据题意，分析易得S四边形PAMB＝2S△APM＝MA•AP＝AP，又由AP2＝MP2﹣MA2＝MP2﹣1，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设出P的坐标，则有＝﹣3，解可得n的值，进而分析MP的最小值，求出四边形PAMB面积，即可得答案；
（3）根据题意，分析可得：过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为（3m，m），用m表示过A，P，M三点的圆为x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0，结合直线与圆位置关系，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，点P在直线l上，
设P（3m，m），连接MP，
因为圆M的方程为x2+（y﹣2）2＝1，
所以圆心M（0，2），半径r＝1．
因为过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B；
则有PA⊥MA，PB⊥MB，且MA＝MB＝r＝1，
易得△APM≌△BPM，
又由∠APB＝60°，即∠APM＝30°，
则MP＝2MA＝2，
即有（3m）2+（m﹣2）2＝4，
解可得：m＝0或m＝，
即P的坐标为（0，0）或（，）；
（2）根据题意，△APM≌△BPM，则S四边形PAMB＝2S△APM＝MA•AP＝AP，
又由AP2＝MP2﹣MA2＝MP2﹣1，
当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，
设此时P的坐标为（3n，n）；有＝﹣3，解可得n＝，
即P的坐标为（，）；
此时MP＝＝，则四边形PAMB面积的最小值为＝；
（3）根据题意，PA是圆M的切线，则PA⊥MA，则过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，
设P的坐标为（3m，m），M（0，2），
则以MP为直径的圆为（x﹣0）（x﹣3m）+（y﹣m）（y﹣2）＝0，
变形可得：x2+y2﹣3mx﹣（m+2）y+2m＝0，即x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0；
则有，解可得：或；
则当x＝0、y＝2和x＝、y＝时，x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0恒成立，
则经过A，P，M三点的圆必过定点，且定点的坐标为（0，2）和（，）．

35．在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x＝2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点．
（1）若BC＝，求圆K的方程；
（2）求证：点B始终在某定圆上．
（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为，通过圆心到直线BC的距离，可得t＝±2，从而得圆K的方程；
（2）设B（x0，y0），利用 消去参数t，即得点B的轨迹方程；
（3）设点Q（a，b）， （c为常数），利用x2+y2＝2计算（x﹣a）2+（y﹣b）2＝c[（x﹣1）2+y2]即可．
【解答】解：（1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为，
直线OP的斜率为，又OP⊥BC，所以BC的斜率，
从而BC的方程为，即2x+ty﹣2＝0，
则圆心K（1，）到直线BC的距离为，
由（）2+（）2＝，解得t＝±2，
所以圆K的方程为（x﹣1）2+（y±1）2＝2；
（2）设B（x0，y0），由 得，
消去参数t，得，
所以点B的轨迹方程为圆：x2+y2＝2；
（3）设点Q（a，b）， （c为常数），
则（x﹣a）2+（y﹣b）2＝c[（x﹣1）2+y2]，
整理，得（c﹣1）（x2+y2）+2（a﹣c）x+2by+c﹣a2﹣b2＝0，
由于x2+y2＝2，所以2（a﹣c）x+2by+3c﹣a2﹣b2﹣2＝0，
从而，解得 或（舍），
所以存在定点Q（2，0），使得．
36．已知点A，B分别是射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝﹣x（x≥0）上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2．
（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（II）过点N（0，2）作直线l，与曲线C交于不同的两点P，Q，与射线l1，l2分别交于点R，S，若点P，Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．
【分析】（I）通过设A（x1，x1），B（x2，﹣x2），M（x，y），建立M与AB的关系，继而转化为x与y的关系，整理即可得到所以点M的轨迹方程．
（II）根据题意，因为l斜率存在，故设出直线方程．根据xP，xQ＞0以及由于P，Q为RS的三等分点分别得出一个等式，最后通过两个等式分别化简即可得出l的斜率．此时，直线方程即可得到．
【解答】解：（I）由题可设A（x1，x1），B（x2，﹣x2），M（x，y），其中x1＞0，x2＞0．
则
∵△OAB的面积为定值2，
∴
（1）2﹣（2）2，消去x1，x2，
得：x2﹣y2＝2．
由于x1＞0，x2＞0，
∴x＞0，
所以点M的轨迹方程为x2﹣y2＝2（x＞0）．

（II）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+2．
由
消去y得：（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6＝0，
设点P、Q、R、S的横坐标分别是xP、xQ、xR、xs，
∴由xP，xQ＞0得
解之得：．
∴．
由消去y得：，
由消去y得：，
∴．
由于P，Q为RS的三等分点，
∴|xR﹣xS|＝3|xP﹣xQ|．
解之得．
经检验，此时P，Q恰为RS的三等分点，
故所求直线方程为．
37．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．
【分析】（1）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合圆的标准方程的形式可得，解可得a、b、r的值，代入圆的标准方程中即可得答案；
（2）根据题意，①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有＝5，分别求出直线l的方程，综合2种情况即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则其标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，
分2种情况讨论：
①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，
解可得：k＝﹣，此时直线l的方程为y＝﹣x；
②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有＝5，解可得m＝7+5或7﹣5，
此时直线l的方程为x+y+5﹣7＝0或x+y﹣5﹣7＝0；
综合可得：直线l的方程为y＝﹣x或x+y+5﹣7＝0或x+y﹣5﹣7＝0．
38．已知⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0与⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0交于P、Q两点，M（2，t）是直线PQ上的一个动点．
（1）求⊙C1的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆C3的方程；
（3）过点C2作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，请判断线段ON的长是否为定值？若是定值求出这个定值；若不是请说明理由．
【分析】（1）根据题意，有⊙C1与⊙C2的方程，计算可得直线PQ的方程，分析可得a﹣2＝2，解可得a的值，将a的值代入⊙C1的方程，即可得答案；
（2）设OM的中点为E，用t可以表示圆E的方程，由直线与圆的位置关系分析可得1+＝1+，解可得t的值，将t的代入圆的方程即可得答案；
（3）根据题意，设N的坐标为（m，n），解可得题意分析可得m2+n2＝2m+tn①和t＝②，联立两个式子分析可得m2+n2＝2，结合两点间距离公式可得|ON|＝＝，即可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0与⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0，
则两圆交线的方程为：x＝a﹣2，即直线PQ的方程为x＝a﹣2，
又由M（2，t）是直线PQ上的一个动点，则有a﹣2＝2，解可得a＝4，
⊙C1的方程为x2+y2﹣x﹣4＝0，变形可得（x﹣）2+y2＝；
（2）根据题意，设OM的中点为E，又由M（2，t），则OM的中点E为（1，），
以OM为直径的圆的圆心为E（1，），半径r＝|OM|＝|OE|＝，
又由圆E被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2，
圆心E到直线的距离d＝＝
则有1+＝1+，
解可得：t＝4或﹣；
则圆C3的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5或（x﹣1）2+（y+）2＝；
（3）根据题意，设N的坐标为（m，n），
由（2）的结论，以OM为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝1+，
变形可得：x2+y2﹣2x﹣ty＝0，
又由N在圆上，则有m2+n2＝2m+tn，①
⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0，其圆心C2为（1，0），
又由NC2⊥OM，则有＝﹣，变形可得t＝，②
将②代入①可得：m2+n2＝2m+t×＝2，
则有|ON|＝＝，
即ON的长为定值．