人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数最值

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数最值，共23页。试卷主要包含了若函数f，已知函数f，函数f，已知f，已知A是函数f等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数最值
一．选择题（共13小题）
1．若函数f（x）＝2sin（ωx−π6）在区间[0，π3]上存在最小值﹣2，则非零实数ω的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[5，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
2．已知函数f（x）＝cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）的一条对称轴为x=π4
B．f（x）在（π6，π2）上是单调递减函数
C．f（x）的对称中心为（π2，0）
D．f（x）的最大值为1
3．函数f（x）＝sin（2x+π12）在区间[t−π4，t]，t∈R上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A．[1−22，1] B．[1，2] C．[22，1] D．[1−22，2]
4．已知f（x）=3sinxcosx+sin2x−12（x∈[0，π2]），则f（x）的值域是（　　）
A．[−12，12] B．[﹣1，12] C．[−12，1] D．[﹣1，1]
5．定义一种运算a⊕b=a，a≤bb，a＞b，令f（x）＝（cos2x+sinx）⊕54，且x∈[0，π2]，则函数f（x−π2）的最大值是（　　）
A．54 B．1 C．﹣1 D．−54
6．已知函数f（x）＝cos（12x+π4），如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），那么|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A．π4 B．π2 C．π D．2π
7．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+π6）+cos（2020x−π3）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（　　）
A．π1010 B．π2020 C．π3030 D．π4040
8．函数f（x）＝sin2x+cosx（x∈[0，π2]）的最大值为（　　）
A．1 B．54 C．32 D．2
9．函数y=2sinx(sinx+3cosx)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（　　）
A．（2，π） B．（3，π） C．（3，2π） D．（2，2π）
10．函数f（x）＝sin2x+cosx﹣1的值域为（　　）
A．[−2，14] B．[0，14] C．[−14，14] D．[−1，14]
11．已知函数f(x)=3sin(π2x+2)，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．12 D．2
12．已知函数f（x）＝sinx+acosx，当x=π4时，f（x）取得最大值，则a的值为（　　）
A．−3 B．﹣1 C．1 D．3
13．已知函数f（x）＝3sinαx2﹣2（sinα﹣sinβ+1）x﹣sinβ，记x∈[﹣1，1]时f（x）的最大值为M（α，β），则对任意的α，β∈R，M（α，β）的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
二．多选题（共1小题）
14．对于函数f（x）=sinx，sinx≥cosxcosx，sinx＜cosx，下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，f（x）取得最大值1
C．当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f（x）取得最小值−22
D．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+3π2(k∈Z)时，f（x）＜0
三．填空题（共18小题）
15．函数y＝sinx+cosx+2sinxcosx的最大值为　 　．
16．已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x=π6对称，若对任意x1∈[0，2π3]，总存在x2∈[0，2π3]，使得f（x1）+f（x2）＝0，则ω的最小值为 　 　，当ω取得最小值时，f(2x+π3)≥f(x)对x∈[m，n]恒成立，则n﹣m的最大值为 　 　．
17．已知函数f（x）＝sinx﹣cos2x，则该函数的最大值为 　 　．
18．函数y＝cos2x﹣2sinx的值域是　 　．
19．函数f（x）＝sin2x+2cos(x+π4)的最大值是　 　．
20．定义一种运算a⊗b=a，a≤bb，a＞b令f(x)=(cos2x+sinx)⊗54，且x∈[0，π2]，则函数f(x−π2)的最大值是　 　．
21．若实数a、b满足a2+b2﹣4b+3＝0，函数f（x）＝a•sin2x+b•cos2x+1的最大值为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为　 　．
22．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是　 　．
23．若π4＜x＜π2，则函数y＝2tan2xtan3x的最大值为　 　．
24．已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cosx．
（1）f(π3)=　 　；
（2）x∈[−π2，π2]时，f（x）的最小值为 　 　．
25．已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)，ω＞0，A，B是函数y＝f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=25，则f（1）＝　 　．
26．函数f（x）＝3cos2x−3sinxcosx在区间[0，π2]上的最大值为　 　．
27．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM＝23，asinA﹣bsinB＝（a﹣c）sinC，则BC+AB的最大值是　 　．
28．函数f（x）＝cos2x+6cos（π﹣x）的最大值为　 　．
29．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最大值是　 　．
30．已知当x＝θ时，函数f(x)=(a+1)sinx2cosx2−(a−1)cos2x2+a2−2（a∈R且a＞1）取得最小值，则tan2θ=43时，a的值为　 　．
31．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）min＝　 　；若函数g（x）＝|f（x）|+|f（π2+x）|，则g（x）max＝　 　．
32．设函数f(x)=asin(x+π6)+3bsin(x−π3)（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则1a−2b的最小值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
33．已知函数f(x)=2cos(2x−π4)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[−π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
34．已知函数f（x）＝﹣2sin2x+23sinxcosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[−π6，π3]求 f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值．
35．已知向量a→=(cos3x4，sin3x4)，b→=(cos(x4+π3)，−sin(x4+π3))
（1）令f（x）＝（a→+b→）2，求f（x）解析式及单调递增区间．
（2）若x∈[−π6，5π6]，求函数f（x）的最大值和最小值．
36．已知点M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y=OM→⋅ON→（O为坐标原点）
（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，π2]上的最小值．
37．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1．
（1）求f(π4)的值及函数的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[−π2，0]上的最值及对应的x值．

人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数最值
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．若函数f（x）＝2sin（ωx−π6）在区间[0，π3]上存在最小值﹣2，则非零实数ω的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[5，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【分析】可讨论ω的符号：ω＞0时，可得出ωx−π6∈[−π6，π3ω−π6]，从而可根据题意得出π3ω−π6≥3π2；ω＜0时，可根据题意得出π3ω−π6≤−π2，然后解出ω的范围即可．
【解答】解：①ω＞0时，由x∈[0，π3]得，ωx−π6∈[−π6，π3ω−π6]，
∵f（x）在[0，π3]上存在最小值﹣2，
∴π3ω−π6≥3π2，解得ω≥5；
②当ω＜0时，由x∈[0，π3]得，ωx−π6∈[π3ω−π6，−π6]，
∵f（x）在[0，π3]上存在最小值﹣2，
∴π3ω−π6≤−π2，解得ω≤﹣1，
∴综上得，非零实数ω的取值范围是：（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）．
故选：C．
2．已知函数f（x）＝cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）的一条对称轴为x=π4
B．f（x）在（π6，π2）上是单调递减函数
C．f（x）的对称中心为（π2，0）
D．f（x）的最大值为1
【分析】由f（π2−x）是否等于f（x），即可判断选项A；对f（x）求导，利用导数与单调性的关系，即可判断选项B；由f（π﹣x）+f（x）是否等于0，即可判断选项C；利用换元法及二次函数的性质，求得f（x）的最大值，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，f（π2−x）＝cos2（π2−x）+sin（π2−x）
＝cos（π﹣2x）+cosx＝﹣cos2x+cosx≠f（x），
所以x=π4不是f（x）的对称轴，故A错误；
对于B，f′（x）＝﹣2sin2x+cosx＝﹣4sinxcosx+cosx＝cosx（1﹣4sinx），
当x∈（π6，π2）时，cosx＞0，12＜sinx＜1，所以﹣3＜1﹣4sinx＜﹣1，
所以f′（x）＜0，f（x）单调递减，故B正确；
对于C，f（π﹣x）+f（x）＝cos2（π﹣x）+sin（π﹣x）+cos2x+sinx
＝2cos2x+2sinx＝2f（x）≠0，
所以（π2，0）不是f（x）的对称中心，故C错误；
对于D，f（x）＝cos2x+sinx＝1﹣2sin2x+sinx，
令t＝sinx∈[﹣1，1]，则y＝﹣2t2+t+1，
当t=14时，函数取得最大值为﹣2×(14)2+14+1=98，
所以f（x）的最大值为98，故D错误．
故选：B．
3．函数f（x）＝sin（2x+π12）在区间[t−π4，t]，t∈R上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A．[1−22，1] B．[1，2] C．[22，1] D．[1−22，2]
【分析】当函数f（x）在区间[t−π4，t]，t∈R上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴x＝t0在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．
【解答】解：当对称轴不在[t−π4，t]，t∈R上时，函数f（x）在[t−π4，t]，t∈R上单调，不妨设函数f（x）在[t−π4，t]，t∈R上单调递增，
设函数f（x）＝sin（2x+π12）在区间[t−π4，t]，t∈R上的最大值与最小值之差为g（t），
则g（t）＝f（t）﹣f（t−π4）＝sin（2t+π12）﹣sin[2（t−π4）+π12）＝sin（2t+π12）+cos（2t+π12）=2sin(2t+π3)≤2，
当对称轴在区间[t−π4，t]，t∈R上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数f（x）的最小值为f（t−π4）或f（t），
显然当对称轴经过区间[t−π4，t]，t∈R中点时，g（t）有最小值，
不妨设2×(t−π4)+t2+π12=π2+2kπ，k∈Z，
则t=π3+kπ，k∈Z，
f（t）＝sin[2（π3+kπ）+π12]＝sin（3π4+2kπ）=22，
∴g（t）的最小值为1−22，
综上，函数f（x）＝sin（2x+π12）在区间[t−π4，t]，t∈R上的最大值与最小值之差的取值范围是[1−22，2]，
故选：D．
4．已知f（x）=3sinxcosx+sin2x−12（x∈[0，π2]），则f（x）的值域是（　　）
A．[−12，12] B．[﹣1，12] C．[−12，1] D．[﹣1，1]
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）的值域．
【解答】解：f（x）=32sin2x+1−cos2x2−12=32sin2x−12cos2x＝sin（2x−π6），
∵x∈[0，π2]，∴2x−π6∈[−π6，5π6]，∴sin（2x−π6）∈[−12，1]，
∴f（x）的值域为[−12，1]．
故选：C．
5．定义一种运算a⊕b=a，a≤bb，a＞b，令f（x）＝（cos2x+sinx）⊕54，且x∈[0，π2]，则函数f（x−π2）的最大值是（　　）
A．54 B．1 C．﹣1 D．−54
【分析】先比较cos2x+sinx与54的大小，来确定应用哪一段解析式，再研究函数f（x−π2）的类型选择方法求最大值．
【解答】解：由于cos2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx−12）2+54≤54
∴f（x）＝（cos2x+sinx）⊗54=cos2x+sinx，
函数f（x−π2）中，0≤x−π2≤π2，则π2≤x≤π，
f（x−π2）＝cos2（x−π2）+sin（x−π2）＝sin2x﹣cosx＝﹣（cos2x+cosx+14）+1+14=−（cosx+12）2+54≤54
故选：A．
6．已知函数f（x）＝cos（12x+π4），如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），那么|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A．π4 B．π2 C．π D．2π
【分析】计算f（x）的最小正周期T，则|x1﹣x2|的最小值为T2．
【解答】解：f（x）的周期T=2π12=4π，
由题意可知f（x1）为f（x）的最小值，f（x2）为f（x）的最大值，
∴|x1﹣x2|的最小值为T2=2π．
故选：D．
7．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+π6）+cos（2020x−π3）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（　　）
A．π1010 B．π2020 C．π3030 D．π4040
【分析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1+x2|的最小值，从而可得答案．
【解答】解：f（x）＝f（x）＝sin（2020x+π6）+cos（2020x−π3），
=32sin2020x+12cos2020x+12cos2020x+32sin2020x，
=3sin2020x+cos2020x
＝2sin（2020x+π6），
∴A＝f（x）max＝2，
又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，
由图象可知|x1+x22|的最小值为函数f（x）的最大负零点x0的绝对值|x0|，则x0=−φω=−π62020，
|x1+x2|的最小值为T=12=π2020，又A＝2|（−π62020）×2|=π3030，
故最小值为：π3030，
故选：C．
8．函数f（x）＝sin2x+cosx（x∈[0，π2]）的最大值为（　　）
A．1 B．54 C．32 D．2
【分析】利用同角三角函数基本关系式以及二次函数的性质求解函数的最大值即可．
【解答】解：f(x)=sin2x+cosx=−cos2x+cosx+1=−(cosx−12)2+54，
因为x∈[0，π2]，所以cosx∈[0，1]，所以f(x)max=54，
故选：B．
9．函数y=2sinx(sinx+3cosx)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（　　）
A．（2，π） B．（3，π） C．（3，2π） D．（2，2π）
【分析】利用二倍角与差角公式化简f（x）的解析式，从而得出最值与周期．
【解答】解：y＝2sin2x+23sinxcosx＝1﹣cos2x+3sin2x＝1+2sin（2x−π6），
∴函数的最大值为M＝1+2＝3，
函数的最小正周期为T=2π2=π．
故选：B．
10．函数f（x）＝sin2x+cosx﹣1的值域为（　　）
A．[−2，14] B．[0，14] C．[−14，14] D．[−1，14]
【分析】首先把三角函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的最大值和最小值，最后确定函数的值域．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cosx﹣1＝1﹣cos2x+cosx﹣1＝﹣cos2x+cosx=−(cosx−12)2+14，
当cosx=12时，f(x)max=14，
当cosx＝﹣1时，f（x）min＝﹣2，
所以函数f（x）的值域为[﹣2，14]．
故选：A．
11．已知函数f(x)=3sin(π2x+2)，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．12 D．2
【分析】直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果．
【解答】解：函数f(x)=3sin(π2x+2)，所以函数的周期T=2ππ2=4．
对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，﹣3≤f（x）≤3．
则|x1﹣x2|的最小值为T2=2．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝sinx+acosx，当x=π4时，f（x）取得最大值，则a的值为（　　）
A．−3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据已知条件，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝sinx+acosx=1+a2sin(x+φ)，其中tanφ＝a，
∴f(x)max=1+a2，
又∵当x=π4时，f（x）取得最大值，
∴f(π4)=sinπ4+acosπ4=1+a2，化简可得，a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．
故选：C．
13．已知函数f（x）＝3sinαx2﹣2（sinα﹣sinβ+1）x﹣sinβ，记x∈[﹣1，1]时f（x）的最大值为M（α，β），则对任意的α，β∈R，M（α，β）的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】先令a=sinα，b=sinβ，换元，则f（x）＝3ax2﹣2（a﹣b+1）x﹣b，再对当x∈[﹣1，1]时f（x）的范围进行讨论即，可求出f（x）的最大值为M（α，β）的最大值．
【解答】解：令a=sinα，b=sinβ，则f（x）＝3ax2﹣2（a﹣b+1）x﹣b，
因为a＝sinα∈[﹣1，1]，b＝sinβ∈[﹣1，1]，
所以当a＝0 时，f（x）＝0﹣2（0﹣b+1）x﹣b＝2（b﹣1）x﹣b∈[b﹣2，2﹣3b]，
所以此时|f（x）|⩽5，
当a＜0 时，由﹣1≤a＜0，﹣1≤b≤1，可得对称轴 x=a−b+13a⩽13，
①当a−b+13a⩽−1 时，即 b⩽1+4a 时，
f（x）∈[a+b﹣2，5a﹣3b+2]，
此时﹣4⩽f（x）⩽5，即|f（x）|⩽5；
②当a−b+13a＞−1 时，即 b＞1+4a 时，
f(x)⩽−b−(a+b+1)23a＜−b−3a⩽4，
又f（x）⩾min{a﹣b+2，5a﹣3b+2}⩾﹣6，
所以|f（x）|⩽6，
当a＞0 时，对称轴 x=a−b+13a⩾13，
（i）当a−b+13a⩾1时，即 b＜1﹣2a 时，f（x）⩽5a﹣3b+2⩽10，
所以f（x）⩾a+b﹣2⩾﹣3，所以|f（x）|⩽10；
（ii）当a−b+13a＜1 时，即 b＞1﹣2a 时，
f（x）⩽5a﹣3b+2⩽10，f(x)⩾−b−(a+b+1)23a⩾−b−3a⩾−4，
所以|f（x）|⩽10，
所以M 最大值为10．
故选：D．
二．多选题（共1小题）
14．对于函数f（x）=sinx，sinx≥cosxcosx，sinx＜cosx，下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，f（x）取得最大值1
C．当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f（x）取得最小值−22
D．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+3π2(k∈Z)时，f（x）＜0
【分析】作出函数f（x）的图象，然后逐一核对各个选项得答案．
【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象如图所示：

由图可知：f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，故A正确；
x＝2kπ或2kπ+π2，k∈Z时，f（x）的最大值是1，故B错误；
当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f（x）取得最小值−22，故C正确；
x∈（2kπ+π，2kπ+3π2）（k∈Z）时，f（x）＜0，故D正确；
故选：ACD．
三．填空题（共18小题）
15．函数y＝sinx+cosx+2sinxcosx的最大值为　2+1　．
【分析】直接利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出最值即可．
【解答】解：设t＝sinx+cosx，则2sinxcosx＝t2﹣1，
y＝t2+t﹣1＝（t+12）2−54（−2≤t≤2）
t=2时，ymax=2+1．
故答案为：2+1．
16．已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x=π6对称，若对任意x1∈[0，2π3]，总存在x2∈[0，2π3]，使得f（x1）+f（x2）＝0，则ω的最小值为 　2　，当ω取得最小值时，f(2x+π3)≥f(x)对x∈[m，n]恒成立，则n﹣m的最大值为 　2π3　．
【分析】由已知可得f（x）在[π6，2π3]内至少有半个周期，才能满足f（x1）＝﹣f（x2），从而可求得T≤π，进而可得ω≥2，当ω取最小值2时，满足题意，即可得解；当ω取得最小值时求得f（x）的解析式，解不等式，即可求得n﹣m的最大值．
【解答】解：因为T=2πω，又因为f（x）的图象关于直线x=π6对称，
所以f（x）在[π6，2π3]内至少有半个周期，才能满足f（x1）＝﹣f（x2），
故2π3−π6≥12T，即T≤π，所以ω≥2，
当ω＝2时，因为f（x）的图像关于直线x=π6对称，
所以f(0)=f(π3)，解得a=3，
此时f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，满足题意，
所以ω的最小值为2，
由f(2x+π3)≥f(x)得sin(4x+5π6)≥sin(2x+π6)，即cos(4x+π3)≥sin(2x+π6)，
所1−2sin2(2x+π6)≥sin(2x+π6)，即2sin2(2x+π6)+sin(2x+π6)−1≤0．
所以[sin(2x+π6)+1][2sin(2x+π6)−1]≤0，所以sin(2x+π6)≤12，
所2kπ−7π6≤2x+π6≤2kπ+π6，k∈Z，即kπ−2π3≤x≤kπ，k∈Z．
所以n﹣m的最大值为2π3．
故答案为：2；2π3．
17．已知函数f（x）＝sinx﹣cos2x，则该函数的最大值为 　2　．
【分析】由二倍角的余弦公式可得f（x）＝2（sinx+14）2−98，由sinx∈[﹣1，1]，结合二次函数的性质即可求解f（x）的最大值．
【解答】解：f（x）＝sinx﹣cos2x＝sinx+2sin2x﹣1＝2（sinx+14）2−98，
∵sinx∈[﹣1，1]，
∴当sinx＝1时，f（x）max＝2（1+14）2−98=2，
∴函数的最大值为2．
故答案为：2．
18．函数y＝cos2x﹣2sinx的值域是　[﹣2，2]　．
【分析】换元sinx＝t，则函数化成y＝（1﹣t2）﹣2t＝﹣（t+1）2+2，其中t∈[﹣1，1]．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数y＝cos2x﹣2sinx的值域．
【解答】解：设sinx＝t，则cos2x＝1﹣t2，
∴y＝cos2x﹣2sinx＝（1﹣t2）﹣2t＝﹣（t+1）2+2
∵t＝sinx∈[﹣1，1]
∴当t＝﹣1时，ymax＝2；当t＝1时，ymin＝﹣2
因此，函数y＝cos2x﹣2sinx的值域是[﹣2，2]
故答案为：[﹣2，2]
19．函数f（x）＝sin2x+2cos(x+π4)的最大值是　54　．
【分析】利用两角和的余弦展开，令t＝cosx﹣sinx换元，转化为二次函数求最值解答．
【解答】解：f（x）＝sin2x+2cos(x+π4)=sin2x+2(cosxcosπ4−sinxsinπ4)
＝sin2x+2(22cosx−22sin2x)=2sinxcosx+cosx﹣sinx．
令t＝cosx﹣sinx，则t∈[−2，2]，
∴t2＝1﹣2sinxcosx，2sinxcosx＝1﹣t2．
原函数化为y＝﹣t2+t+1，t∈[−2，2]，
对称轴方程为t=12，∴当t=12时函数有最大值为54．
故答案为：54．
20．定义一种运算a⊗b=a，a≤bb，a＞b令f(x)=(cos2x+sinx)⊗54，且x∈[0，π2]，则函数f(x−π2)的最大值是　54　．
【分析】先根据已知求函数f（x），然后进一步求f（x−π2）的解析式，结合二次函数的值域求解可求结果．
【解答】解：∵0≤x≤π2，∴0≤sinx≤1
∴y＝cos2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1=−(sinx−12)2+54≤54
由题意可得，f（x）＝cos2x+sinx
f（x−π2）=sin2x−cosx=−(cosx+12)2+54
函数的最大值54
故答案为：54
21．若实数a、b满足a2+b2﹣4b+3＝0，函数f（x）＝a•sin2x+b•cos2x+1的最大值为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为　2　．
【分析】利用已知的等式，得到点（a，b）在圆a2+（b﹣2）2＝1上，然后将将φ（a，b）转化为原点到点（a，b）的距离再加上1，求解圆上的点到原点距离的最小值即可．
【解答】解：因为实数a，b满足a2+b2﹣4b+3＝0，
所以a2+（b﹣2）2＝1，表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆，
因为f（x）＝a•sin2x+b•cos2x+1的最大值为φ（a，b），
则φ（a，b）=a2+b2+1，它表示原点到点（a，b）的距离再加上1，
由点（a，b）在圆a2+（b﹣2）2＝1上，
所以原点到圆心（0，2）的距离为2，
故圆上的点到原点的距离的最小值为1，
所以φ（a，b）的最小值为2．
故答案为：2．
22．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是　98　．
【分析】利用二倍角公式将函数f（x）化简，利用换元法及二次函数的性质即可求得最大值，
【解答】解：f（x）＝sinx+cos2x＝﹣2sin2x+sinx+1，
设t＝sinx∈[﹣1，1]，
则y＝﹣2t2+t+1＝﹣2（t−14）2+98，
所以当t=14时，函数取得最大值为98．
故答案为：98．
23．若π4＜x＜π2，则函数y＝2tan2xtan3x的最大值为　﹣16　．
【分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：若π4＜x＜π2，则tanx∈（1，+∞），
另tan2x=2tanx1−tan2x，
设tanx＝t，（t＞1），
则y=4t41−t2=4(1t2)2−1t2=4(1t2−12)2−14≤−16，
当且仅当t=2时，等号成立．
故答案为：﹣16．
24．已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cosx．
（1）f(π3)=　−94　；
（2）x∈[−π2，π2]时，f（x）的最小值为 　−73　．
【分析】（1）把x=π3代入解析式计算；（2）利用二倍角公式和和差角公式化简解析式，再通过换元t＝cosx把问题转化为一元二次函数的最值．
【解答】解：（1）f(π3)=2cos2π3+(sinπ3)2−4cosπ3=2×(−12)+(32)2−4×12=−94．
（2）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx＝3cos2x﹣4cosx﹣1，
令t＝cosx，当x∈[−π2，π2]时，t∈[0，1]．所以函数转化为y＝3t2﹣4t﹣1，t∈[0，1]
开口向上，且对称轴为t=23．所以当t=23时，有最小值为3×(23)2−4×23−1=−73．
故答案为：−94，−73．
25．已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)，ω＞0，A，B是函数y＝f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=25，则f（1）＝　1　．
【分析】利用函数y＝f（x）图象上相邻的最高点和最低点和|AB|=25，利用勾股定理求三角函数的周期从而求出ω，可计算f（1）的答案．
【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx+π3)，ω＞0，A，B是函数y＝f（x）图象上相邻的最高点和最低点，
可知：函数振幅为2即函数最高点到平衡位置的距离，
若|AB|=25，则有最高点到相邻的最高点和最低点的函数图象与x轴交点的距离为5，
由勾股定理可计算出：(5)2−22=1为14T的距离；
14T＝1，即：T＝4=2πω，ω=π2；
所以：函数y＝f（x）＝2sin（π2x+π3），
f（1）＝2sin（π2+π3）＝1，
故答案为：1．
26．函数f（x）＝3cos2x−3sinxcosx在区间[0，π2]上的最大值为　3　．
【分析】利用二倍角公式，两角和的余弦公式化简函数解析式，依题意可求2x+π6∈[π6，7π6]，结合三角函数的图象及性质即可求得最值．
【解答】解：因为f（x）＝3cos2x−3sinxcosx＝3×1+cos2x2−32sin2x=3cos（2x+π6）+32，
∵x∈[0，π2]，可得2x+π6∈[π6，7π6]，
∴当2x+π6=π6，即x＝0时，函数f（x）取得最大值为3×32+32=3．
故答案为：3．
27．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM＝23，asinA﹣bsinB＝（a﹣c）sinC，则BC+AB的最大值是　47　．
【分析】通过余弦定理求出B，利用正弦定理求出BC+AB的表达式，然后求解最值即可．
【解答】解：由asinA﹣bsinB＝（a﹣c）sinC，可得a2﹣b2＝ac﹣c2，∴cosB=12，∴B＝60°，
a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM＝23，
在△ABM中，设∠BAM＝α，
由正弦定理可得：AMsin60°=BC2sinα，BC=2×23sinα32=8sinα．
AB=AMsin(120°−α)sin60°=4sin（120°﹣α）
∴BC+AB＝8sinα+4sin（120°﹣α）
＝8sinα+23cosα+2sinα
＝10sinα+23cosα
=47sin（α+θ）．其中tanθ=35．
α∈（0°，120°），
当sin（α+θ）＝1时，BC+AB的最大值为47．
故答案为：47．

28．函数f（x）＝cos2x+6cos（π﹣x）的最大值为　7　．
【分析】先将函数f（x）转化为关于cosx的二次函数形式，然后求出最值即可．
【解答】解：∵f（x）＝cos2x+6cos（π﹣x）＝cos2x﹣6cosx
＝2cos2x﹣6cosx﹣1=2(cosx−32)2−112，
∴cosx＝﹣1时，f（x）的最大值为7．
故答案为：7．
29．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最大值是　332　．
【分析】由题意知函数f（x）的周期为2π，考虑f（x）在x∈[0，2π）内的最大值即可；
计算f′（x），利用f′（x）＝0求得极值点，再求f（x）在x∈[0，2π）内的最值．
【解答】解：由题意知函数f（x）＝2sinx+sin2x的周期为2π，
只需考虑f（x）在x∈[0，2π）内的最大值即可；
计算f′（x）＝2cosx+2cos2x，
令f′（x）＝0，得cosx+cos2x＝0，
即2cos2x+cosx﹣1＝0，
解得cosx＝﹣1或cosx=12，
所以在x∈[0，2π）时，有x＝π，x=π3或x=5π3；
所以f（x）的最大值只能在x＝π、π3或5π3和边界点x＝0处取到，
计算f（0）＝0，f（π）＝0，f（π3）=332，f（5π3）=−332；
所以f（x）的最大值是332．
故答案为：332．
30．已知当x＝θ时，函数f(x)=(a+1)sinx2cosx2−(a−1)cos2x2+a2−2（a∈R且a＞1）取得最小值，则tan2θ=43时，a的值为　3　．
【分析】有条件可得f（x）=(a+12)2+(1−a2)2sin(x+φ)+a2−a2−32，其中tanφ=1−aa+1，根据x＝θ时，f（x）取得最小值，可得θ+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，从而得到tanθ=1cotθ=a+11−a，再根据tan2θ=43，可得a的值．
【解答】解：f(x)=(a+1)sinx2cosx2−(a−1)cos2x2+a2−2
=a+12sinx−a−12cosx+a2−a2−32
=(a+12)2+(1−a2)2sin(x+φ)+a2−a2−32，其中tanφ=1−aa+1，
∵当x＝θ时，f（x）取得最小值，∴θ+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，
∴tanφ=tan(−π2−θ)=cotθ，∴tanθ=1cotθ=a+11−a，
∵a＞1，∴tanθ＜0，
又∵tan2θ=43，∴2tanθ1−tan2θ=43，∴tanθ＝﹣2
∴a+11−a=−2，∴a＝3．
故答案为：3．
31．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）min＝　−2　；若函数g（x）＝|f（x）|+|f（π2+x）|，则g（x）max＝　2　．
【分析】本题先将f（x）和g（x）化为Asin（ωx+φ）形式，然后根据图象求出结果．
【解答】解：f（x）=2sin（x+π4），值域为[−2，2]，
故f（x）min=−2
∵函数g（x）＝|f（x）|+|f（π2+x）|，
∴g（x）＝|sinx+cosx|+|sin（x+π2）+cos（x+π2）|＝|2sin（x+π4）|+|2cos（x+π4）|=2[|sin（x+π4）|+|cos（x+π4）|≤2，
∴g（x）max为2．
故答案为：f（x）min=−2，g（x）max＝2．
32．设函数f(x)=asin(x+π6)+3bsin(x−π3)（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则1a−2b的最小值为 　22　．
【分析】先利用诱导公式以及辅助角公式化简f（x）的解析式，然后由已知条件，得到f（0）为函数f（x）的最值，求出φ的值，由tanφ求出a与b的关系，然后由基本不等式求解最值即可．
【解答】解：函数f(x)=asin(x+π6)+3bsin(x−π3)
=asin(x+π6)−3bcos(x+π6)
=a2+3b2sin(x+π6−φ)，其中tanφ=3ba，a＞0，
因为∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，
所以f（0）为函数f（x）的最值，
则有0+π6−φ=π2+kπ，k∈Z，
故φ=−π3−kπ，k∈Z，
所以tanφ=tan(−π3−kπ)=tan(−π3)=−3，
故3ba=−3，
所以b＝﹣a，a＞0，
故1a−2b=1a+2a≥21a⋅2a=22，
当且仅当1a=2a，即a=22时取等号，
所以1a−2b的最小值为22．
故答案为：22．
四．解答题（共5小题）
33．已知函数f(x)=2cos(2x−π4)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[−π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
【分析】（1）由余弦函数的周期公式T=2π|ω|即可求得答案；
（2）x∈[−π8，π2]⇒2x−π2∈[−3π4，π2]，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．
【解答】解：（1）f（x）的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，
当2kπ≤2x−π4≤2kπ+π，即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z时，f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+π8，kπ+5π8]，k∈Z．
（2）∵x∈[−π8，π2]，则2x−π4∈[−π2，3π4]，
故cos（2x−π4）∈[−22，1]，
∴f（x）max=2，此时2x−π4=0，即x=π8；
f（x）min＝﹣1，此时2x−π4=3π4，即x=π2．
34．已知函数f（x）＝﹣2sin2x+23sinxcosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[−π6，π3]求 f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值．
【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式可得f（x）＝2cos（2x−π3），再由周期公式，可得所求值；
（2）由x的范围，可得2x−π3的范围，由于余弦函数的图象和性质，可得所求最值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝﹣2sin2x+23sinxcosx+1
＝cos2x+3sin2x＝2cos（2x−π3），
可得f（x）的最小正周期为T=2π2=π；
（2）x∈[−π6，π3]，可得2x−π3∈[−2π3，π3]，
可得2x−π3=0即x=π6，可得f（x）＝2cos（2x−π3）取得最大值2；
由2x−π3=−2π3，可得x=−π6，可得f（x）＝2cos（2x−π3）取得最小值−3．
35．已知向量a→=(cos3x4，sin3x4)，b→=(cos(x4+π3)，−sin(x4+π3))
（1）令f（x）＝（a→+b→）2，求f（x）解析式及单调递增区间．
（2）若x∈[−π6，5π6]，求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）由题意可得：2cos(x+π3)+2，根据余弦函数的单调增区间可得：当2kπ﹣π≤x+π3≤2kπ，k∈2，进而得到答案．
（2）由x∈[−π6，5π6]，得x+π3∈[π6，7π6]，−1≤cos(x+π3)≤32，再结合余弦函数的有关性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：#/DEL/#f(x)=(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2=1+2[cos3x4cos(x4+π3)−sin3x4sin(x4+π3)]+1#/DEL/#=2+2cos(x+π3)#/DEL/#
由余弦函数的单调增区间可得：
当2kπ﹣π≤x+π3≤2kπ，k∈2，
即：2kπ−4π3≤π≤2kπ−π3，k∈Z时，f（x）单调递增，
∴f（x）增区间为：[2kπ−4π3，2kπ−π2]，k∈Z
（2）由x∈[−π6，5π6]，得x+π3∈[π6，7π6]，
所以−1≤cos(x+π3)≤32，
∴当x=−π6时f（x）max＝2+3，当x=2π3时，f（x）min＝0．
36．已知点M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y=OM→⋅ON→（O为坐标原点）
（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，π2]上的最小值．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x+π6)+1+a，求出周期．
（2）根据x的范围，可得角2x+π6 的范围，得到sin（2x+π6 ）的值域，从而求得最值．
【解答】解：（1）依题意得：OM→=(1+cos2x，1)，ON→=(1，3sin2x+a)，
∴y＝1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+π6)+1+a，
∴f（x）的最小正周期为π．
（2）若x∈[0，π2]，则(2x+π6)∈[π6，7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
故 ymax＝2+1+a＝4，∴a＝1，ymin＝﹣1+1+a＝a＝1．
37．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1．
（1）求f(π4)的值及函数的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[−π2，0]上的最值及对应的x值．
【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+π4），利用特殊角的三角函数值可得解f（π4）的值，利用正弦函数的周期公式即可求解f（x）的最小正周期．
（2）由已知可求范围−3π4≤2x+π4≤π4，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x=2sin（2x+π4），
所以f（π4）=2sin（π2+π4）＝1，
f（x）的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π．
（2）因为x∈[−π2，0]，可得−3π4≤2x+π4≤π4，
所以sin（2x+π4）∈[﹣1，22]，
当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）取得最小值为−2，
当2x+π4=π4，即x＝0时，f（x）取得最大值为1．