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人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量的坐标运算
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量的坐标运算，共13页。试卷主要包含了已知向量a→=，若向量a→=，在平行四边形ABCD中，已知A，向量a→=等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），则b→的模长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），则与a→+b→共线的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→−b→与a→的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．夹角是锐角D．夹角是钝角
4．在平行四边形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
5．已知向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，则x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
7．设i→，j→是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则2OA→+OB→的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
8．已知a→=(−3，4)，b→=(−2，1)，则a→在b→上的投影为（ ）
A．﹣2B．2C．−25D．25
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，则tanα＝（ ）
A．34B．−34C．43D．−43
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，则x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
11．已知点A（1，2），B（﹣1，0），则AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
二．多选题（共1小题）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．a→∥b→B．a→与b→可以作为基底
C．a→+b→=0→D．b→−a→与a→方向相反
三．填空题（共12小题）
13．若a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，则λ＝ ．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在实数λ，使得a→=λb→，则m＝ ．
15．设平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），则（2a→−b→）⋅c→= ．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），则向量BC→的坐标为 ．
18．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），则顶点B的坐标为 ．
19．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量|BC→|＝ ．
20．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量BC→的坐标是 ．
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），则a→+2b→= ．
22．设向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，则x＝ ．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，则当|a→−tb→|取最小值时，实数t＝ ．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），则a→−2b→= ．
四．解答题（共5小题）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x−1)−12，(x≥0)，求f（−13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），计算4AB→−3BC→．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐标；
（2）若λa→−2b→与a→垂直，求λ的值．
27．在平面内给定三个向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
28．已知a→=（4，2），求与a→垂直的单位向量的坐标．
29．已知点A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若点C满足AB→+BC→=0→，求点C坐标．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量的坐标运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），则b→的模长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据b→=(a→+b→)−a→可求出向量b→的坐标，进而可求出b→的模长．
【解答】解：∵b→=(a→+b→)−a→=(−3，2)−(1，2)=(−4，0)，
∴|b→|=4．
故选：A．
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），则与a→+b→共线的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，判断即可．
【解答】解：向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），
则a→+b→=（4，﹣3），
所以与a→+b→共线的向量是λ（4，﹣3），其中λ∈R；
当λ＝﹣1时，共线向量是（﹣4，3）．
故选：C．
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→−b→与a→的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．夹角是锐角D．夹角是钝角
【分析】可先求出a→−b→=(−2，1)，从而可判断出a→−b→与a→不平行，然后可求出(a→−b→)⋅a→＜0，从而可得出a→−b→与a→的位置关系．
【解答】解：a→−b→=(−2，1)，
∵﹣2×3﹣1×2≠0，∴a→−b→与a→不平行，
又(a→−b→)⋅a→=−4+3=−1＜0，
∴a→−b→与a→的夹角是钝角．
故选：D．
4．在平行四边形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
【分析】先求出AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），再利用AC→=AB→+AD→，得到坐标之间的关系即可求解．
【解答】解：设B（x，y），则AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），
∵AC→=AB→+AD→，∴（﹣1，3）＝（x+5，y+5），
∴x+5=−1y+5=3，∴x=−6y=−2，∴B（﹣6，﹣2），
故选：B．
5．已知向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，则x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，
∴x2=−63，
解得x＝﹣4．
故选：A．
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
【分析】利用向量的坐标运算法则、向量的模的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），
∴a→+b→=（0，5），
∴|a→+b→|=02+52=5．
故选：A．
7．设i→，j→是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则2OA→+OB→的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
【分析】根据题意，求出OA→、OB→的坐标，由向量的坐标加法公式计算可得答案，
【解答】解：根据题意，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则OA→=（4，2），OB→=（3，4），
则有2OA→+OB→=（11，8），
故选：D．
8．已知a→=(−3，4)，b→=(−2，1)，则a→在b→上的投影为（ ）
A．﹣2B．2C．−25D．25
【分析】根据投影的定义a→在b→上的投影为a→⋅b→|b→|．
【解答】解：根据投影的定义可得：a→⋅b→|b→|=−3×(−2)+4×1(−2)2+12=105=25，
故选：D．
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，则tanα＝（ ）
A．34B．−34C．43D．−43
【分析】根据a→∥b→即可得出6csα﹣8sinα＝0，从而可求出tanα．
【解答】解：∵a→∥b→；
∴6csα﹣8sinα＝0；
∴6csα＝8sinα；
∴tanα=34．
故选：A．
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，则x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据c→=xa→+yb→，代入a→，b→，c→的坐标即可得出（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），从而可得出x+3y=−12x+4y=0，然后即可解出x+y的值．
【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，
∴（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），
∴x+3y=−12x+4y=0，解得x+y＝1．
故选：D．
11．已知点A（1，2），B（﹣1，0），则AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
【分析】根据平面向量的坐标表示，求出AB→即可．
【解答】解：点A（1，2），B（﹣1，0），
则AB→=（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．a→∥b→B．a→与b→可以作为基底
C．a→+b→=0→D．b→−a→与a→方向相反
【分析】由平面向量的坐标运算判断a→∥b→，得出A正确，B错误；
由a→+b→=（0，0），判断C正确；
由b→−a→=−2a→，判断D正确．
【解答】解：由向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），
知1×2﹣（﹣2）×（﹣1）＝0，所以a→∥b→，A正确，B错误；
又a→+b→=（1﹣1，﹣2+2）＝（0，0），所以C正确；
又b→−a→=（﹣2，4），所以b→−a→=−2a→，b→−a→与a→方向相反，D正确；
故选：ACD．
三．填空题（共12小题）
13．若a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，则λ＝ ﹣5 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算和向量相等，列方程求出λ的值．
【解答】解：因为a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，
所以（10，m）＝（﹣2λ，3λ），
即﹣2λ＝10，
解得λ＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在实数λ，使得a→=λb→，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据共线向量得到关于m的方程组，解出即可．
【解答】解：∵a→=（﹣1，1），b→=（m，2），
若a→=λb→，则（﹣1，1）＝λ（m，2），
则λm=−12λ=1，解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．设平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），则（2a→−b→）⋅c→= ﹣6 ．
【分析】可求出向量2a→−b→的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算即可．
【解答】解：∵2a→−b→=(3，−4)，c→=(2，3)，
∴(2a→−b→)⋅c→=6−12=−6．
故答案为：﹣6．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ﹣3 ．
【分析】根据条件可得出（2m+n，m﹣2n）＝（9，﹣8），进而得出2m+n=9m−2n=−8，然后解出m，n的值即可．
【解答】解：∵a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），
∴a→+b→=(2m+n，m−2n)=(9，−8)，
∴2m+n=9m−2n=−8，解得m=2n=5，
∴m﹣n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），则向量BC→的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】进行向量坐标的减法运算即可．
【解答】解：BC→=AC→−AB→=(4，1)−(3，5)=（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
18．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），则顶点B的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】可设B（x，y），然后可得出DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y−1)，然后根据题意可得出DC→=AB→，然后即可求出x，y的值，即得出点B的坐标．
【解答】解：设B（x，y），
∵A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），
∴DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y−1)，且四边形ABCD为平行四边形，
∴DC→=AB→，
∴x+2=1y−1=2，解得x=−1y=3，
∴B（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
19．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量|BC→|＝ 5 ．
【分析】可设C（x，y），从而可得出（x，y﹣1）＝（4，3），从而可解出x，y，进而得出向量BC→的坐标，从而得出|BC→|的值．
【解答】解：设C（x，y），则AC→=(x，y−1)=(4，3)，
∴x=4y−1=3，解得x=4y=4，
∴BC→=(1，2)，
∴|BC→|=5．
故答案为：5．
20．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量BC→的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】解：∵点A（0，1），B（3，2），
∴AB→=（3，1），
∵AC→=（4，3），
∴BC→=AC→−AB→=（1，2），
故答案为：（1，2）
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），则a→+2b→= （7，0） ．
【分析】根据向量的坐标运算求出a→+2b→的坐标即可．
【解答】解：∵a→=（1，﹣2），b→=（3，1），
∴a→+2b→=（1，﹣2）+2（3，1）＝（7，0），
故答案为：（7，0）．
22．设向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，则x＝ 14 ．
【分析】根据a→=λb→即可得出a→∥b→，从而得出（﹣1）•（﹣1）﹣2•2x＝0，解出x即可．
【解答】解：∵a→=λb→；
∴a→∥b→；
∴1﹣4x＝0；
∴x=14．
故答案为：14．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，则当|a→−tb→|取最小值时，实数t＝ 1 ．
【分析】利用数量积运算性质、函数的单调性即可得出．
【解答】解：|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=1．
∴|a→−tb→|=a→2+t2b→2−2ta→⋅b→=t2−2t+2=(t−1)2+1取最小值时，t＝1．
故答案为：1．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），则a→−2b→= （4，﹣3） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），
所以a→−2b→=（2﹣2×（﹣1），﹣1﹣2×1）＝（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
四．解答题（共5小题）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x−1)−12，(x≥0)，求f（−13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），计算4AB→−3BC→．
【分析】（1）欲求f（−13）﹣f（34）的值，应该分别求f（−13）和f（34）的值，由分段函数分段处理的原则，−13代入x＜0的解析式，34代入x≥0的解析式；
（2）欲求4AB→−3BC→的值，先根据A，B，C三点坐标分别求AB→和BC→，再利用坐标减法运算求解．
【解答】解：（1）f(−13)=sin(−13π)=−32，f(34)=f(34−1)−12=f(−14)−12=sin(−14π)−12=−22−12，
∴f(−13)−f(34)=−32+22+12；
（2）AB→=OB→−OA→=(−2，7)，BC→=OC→−OB→=(−1，2)，
∴4AB→−3BC→=(−8，28)−(−3，6)=(−5，22)．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐标；
（2）若λa→−2b→与a→垂直，求λ的值．
【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；
（2）由向量的数乘及减法运算求得λa→−2b→的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．
【解答】解：（1）∵a→=（1，1），b→=（2，﹣3），
∴c→=2a→+3b→=2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）；
（2）λa→−2b→=λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6），
∵λa→−2b→与a→垂直，
∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0，
即λ＝﹣1．
27．在平面内给定三个向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
【分析】（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件以及a→=mb→+nc→，可得：（3，2）＝m（﹣2，2）+n（4，1）＝（﹣m+4n，2m+n）．
∴−m+4n=32m+n=2，解得实数m=59，n=89．
（Ⅱ）设向量d→=（x，y），d→−c→=（x﹣4，y﹣1），a→+b→=（2，4），
∵（d→−c→）∥（a→+b→），
|d→−c→|=5，
∴4(x−4)−2(y−1)=0(x−4)2+(y−1)2=5，解得x=3y=−1或x=5y=3，
向量d→的坐标为（3，﹣1）或（5，3）．
28．已知a→=（4，2），求与a→垂直的单位向量的坐标．
【分析】设与a→垂直的单位向量为b→=（x，y），则a→⋅b→=4x+2y=0x2+y2=1，由此能求出与a→垂直的单位向量的坐标．
【解答】解：a→=（4，2），
设与a→垂直的单位向量为b→=（x，y），
则a→⋅b→=4x+2y=0x2+y2=1，
解得x=−55y=255，或x=55y=−255，
∴与a→垂直的单位向量的坐标为（−55，255）或（55，−255）．
29．已知点A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若点C满足AB→+BC→=0→，求点C坐标．
【分析】（1）根据已知条件，运用向量模长公式，即可求解．（2）根据向量之间的线性运算，即可求解．
【解答】解：（I）∵A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
∴AB→=(−5，12)，∴|AB→|=(−5)2+122=13．
（Ⅱ）设点C的坐标为（x，y），则BC→=(x+3，y−11)，
∵AB→+BC→=0→，
∴−5+x+3=012+y−11=0，解得x＝2，y＝﹣1，
∴点C的坐标为（2，﹣1）．
1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），则b→的模长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），则与a→+b→共线的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→−b→与a→的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．夹角是锐角D．夹角是钝角
4．在平行四边形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
5．已知向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，则x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
7．设i→，j→是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则2OA→+OB→的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
8．已知a→=(−3，4)，b→=(−2，1)，则a→在b→上的投影为（ ）
A．﹣2B．2C．−25D．25
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，则tanα＝（ ）
A．34B．−34C．43D．−43
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，则x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
11．已知点A（1，2），B（﹣1，0），则AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
二．多选题（共1小题）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．a→∥b→B．a→与b→可以作为基底
C．a→+b→=0→D．b→−a→与a→方向相反
三．填空题（共12小题）
13．若a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，则λ＝ ．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在实数λ，使得a→=λb→，则m＝ ．
15．设平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），则（2a→−b→）⋅c→= ．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），则向量BC→的坐标为 ．
18．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），则顶点B的坐标为 ．
19．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量|BC→|＝ ．
20．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量BC→的坐标是 ．
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），则a→+2b→= ．
22．设向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，则x＝ ．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，则当|a→−tb→|取最小值时，实数t＝ ．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），则a→−2b→= ．
四．解答题（共5小题）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x−1)−12，(x≥0)，求f（−13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），计算4AB→−3BC→．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐标；
（2）若λa→−2b→与a→垂直，求λ的值．
27．在平面内给定三个向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
28．已知a→=（4，2），求与a→垂直的单位向量的坐标．
29．已知点A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若点C满足AB→+BC→=0→，求点C坐标．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量的坐标运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），则b→的模长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据b→=(a→+b→)−a→可求出向量b→的坐标，进而可求出b→的模长．
【解答】解：∵b→=(a→+b→)−a→=(−3，2)−(1，2)=(−4，0)，
∴|b→|=4．
故选：A．
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），则与a→+b→共线的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，判断即可．
【解答】解：向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），
则a→+b→=（4，﹣3），
所以与a→+b→共线的向量是λ（4，﹣3），其中λ∈R；
当λ＝﹣1时，共线向量是（﹣4，3）．
故选：C．
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→−b→与a→的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．夹角是锐角D．夹角是钝角
【分析】可先求出a→−b→=(−2，1)，从而可判断出a→−b→与a→不平行，然后可求出(a→−b→)⋅a→＜0，从而可得出a→−b→与a→的位置关系．
【解答】解：a→−b→=(−2，1)，
∵﹣2×3﹣1×2≠0，∴a→−b→与a→不平行，
又(a→−b→)⋅a→=−4+3=−1＜0，
∴a→−b→与a→的夹角是钝角．
故选：D．
4．在平行四边形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
【分析】先求出AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），再利用AC→=AB→+AD→，得到坐标之间的关系即可求解．
【解答】解：设B（x，y），则AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），
∵AC→=AB→+AD→，∴（﹣1，3）＝（x+5，y+5），
∴x+5=−1y+5=3，∴x=−6y=−2，∴B（﹣6，﹣2），
故选：B．
5．已知向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，则x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3）与b→=（x，﹣6）共线，
∴x2=−63，
解得x＝﹣4．
故选：A．
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），则|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
【分析】利用向量的坐标运算法则、向量的模的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），
∴a→+b→=（0，5），
∴|a→+b→|=02+52=5．
故选：A．
7．设i→，j→是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则2OA→+OB→的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
【分析】根据题意，求出OA→、OB→的坐标，由向量的坐标加法公式计算可得答案，
【解答】解：根据题意，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，则OA→=（4，2），OB→=（3，4），
则有2OA→+OB→=（11，8），
故选：D．
8．已知a→=(−3，4)，b→=(−2，1)，则a→在b→上的投影为（ ）
A．﹣2B．2C．−25D．25
【分析】根据投影的定义a→在b→上的投影为a→⋅b→|b→|．
【解答】解：根据投影的定义可得：a→⋅b→|b→|=−3×(−2)+4×1(−2)2+12=105=25，
故选：D．
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，则tanα＝（ ）
A．34B．−34C．43D．−43
【分析】根据a→∥b→即可得出6csα﹣8sinα＝0，从而可求出tanα．
【解答】解：∵a→∥b→；
∴6csα﹣8sinα＝0；
∴6csα＝8sinα；
∴tanα=34．
故选：A．
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，则x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据c→=xa→+yb→，代入a→，b→，c→的坐标即可得出（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），从而可得出x+3y=−12x+4y=0，然后即可解出x+y的值．
【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，
∴（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），
∴x+3y=−12x+4y=0，解得x+y＝1．
故选：D．
11．已知点A（1，2），B（﹣1，0），则AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
【分析】根据平面向量的坐标表示，求出AB→即可．
【解答】解：点A（1，2），B（﹣1，0），
则AB→=（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．a→∥b→B．a→与b→可以作为基底
C．a→+b→=0→D．b→−a→与a→方向相反
【分析】由平面向量的坐标运算判断a→∥b→，得出A正确，B错误；
由a→+b→=（0，0），判断C正确；
由b→−a→=−2a→，判断D正确．
【解答】解：由向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），
知1×2﹣（﹣2）×（﹣1）＝0，所以a→∥b→，A正确，B错误；
又a→+b→=（1﹣1，﹣2+2）＝（0，0），所以C正确；
又b→−a→=（﹣2，4），所以b→−a→=−2a→，b→−a→与a→方向相反，D正确；
故选：ACD．
三．填空题（共12小题）
13．若a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，则λ＝ ﹣5 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算和向量相等，列方程求出λ的值．
【解答】解：因为a→=(−2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，
所以（10，m）＝（﹣2λ，3λ），
即﹣2λ＝10，
解得λ＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在实数λ，使得a→=λb→，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据共线向量得到关于m的方程组，解出即可．
【解答】解：∵a→=（﹣1，1），b→=（m，2），
若a→=λb→，则（﹣1，1）＝λ（m，2），
则λm=−12λ=1，解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．设平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），则（2a→−b→）⋅c→= ﹣6 ．
【分析】可求出向量2a→−b→的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算即可．
【解答】解：∵2a→−b→=(3，−4)，c→=(2，3)，
∴(2a→−b→)⋅c→=6−12=−6．
故答案为：﹣6．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ﹣3 ．
【分析】根据条件可得出（2m+n，m﹣2n）＝（9，﹣8），进而得出2m+n=9m−2n=−8，然后解出m，n的值即可．
【解答】解：∵a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），
∴a→+b→=(2m+n，m−2n)=(9，−8)，
∴2m+n=9m−2n=−8，解得m=2n=5，
∴m﹣n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），则向量BC→的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】进行向量坐标的减法运算即可．
【解答】解：BC→=AC→−AB→=(4，1)−(3，5)=（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
18．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），则顶点B的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】可设B（x，y），然后可得出DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y−1)，然后根据题意可得出DC→=AB→，然后即可求出x，y的值，即得出点B的坐标．
【解答】解：设B（x，y），
∵A，C，D的坐标分别是（﹣2，1），（3，4），（2，2），
∴DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y−1)，且四边形ABCD为平行四边形，
∴DC→=AB→，
∴x+2=1y−1=2，解得x=−1y=3，
∴B（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
19．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量|BC→|＝ 5 ．
【分析】可设C（x，y），从而可得出（x，y﹣1）＝（4，3），从而可解出x，y，进而得出向量BC→的坐标，从而得出|BC→|的值．
【解答】解：设C（x，y），则AC→=(x，y−1)=(4，3)，
∴x=4y−1=3，解得x=4y=4，
∴BC→=(1，2)，
∴|BC→|=5．
故答案为：5．
20．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），则向量BC→的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】解：∵点A（0，1），B（3，2），
∴AB→=（3，1），
∵AC→=（4，3），
∴BC→=AC→−AB→=（1，2），
故答案为：（1，2）
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），则a→+2b→= （7，0） ．
【分析】根据向量的坐标运算求出a→+2b→的坐标即可．
【解答】解：∵a→=（1，﹣2），b→=（3，1），
∴a→+2b→=（1，﹣2）+2（3，1）＝（7，0），
故答案为：（7，0）．
22．设向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，则x＝ 14 ．
【分析】根据a→=λb→即可得出a→∥b→，从而得出（﹣1）•（﹣1）﹣2•2x＝0，解出x即可．
【解答】解：∵a→=λb→；
∴a→∥b→；
∴1﹣4x＝0；
∴x=14．
故答案为：14．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，则当|a→−tb→|取最小值时，实数t＝ 1 ．
【分析】利用数量积运算性质、函数的单调性即可得出．
【解答】解：|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=1．
∴|a→−tb→|=a→2+t2b→2−2ta→⋅b→=t2−2t+2=(t−1)2+1取最小值时，t＝1．
故答案为：1．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），则a→−2b→= （4，﹣3） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），
所以a→−2b→=（2﹣2×（﹣1），﹣1﹣2×1）＝（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
四．解答题（共5小题）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x−1)−12，(x≥0)，求f（−13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），计算4AB→−3BC→．
【分析】（1）欲求f（−13）﹣f（34）的值，应该分别求f（−13）和f（34）的值，由分段函数分段处理的原则，−13代入x＜0的解析式，34代入x≥0的解析式；
（2）欲求4AB→−3BC→的值，先根据A，B，C三点坐标分别求AB→和BC→，再利用坐标减法运算求解．
【解答】解：（1）f(−13)=sin(−13π)=−32，f(34)=f(34−1)−12=f(−14)−12=sin(−14π)−12=−22−12，
∴f(−13)−f(34)=−32+22+12；
（2）AB→=OB→−OA→=(−2，7)，BC→=OC→−OB→=(−1，2)，
∴4AB→−3BC→=(−8，28)−(−3，6)=(−5，22)．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐标；
（2）若λa→−2b→与a→垂直，求λ的值．
【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；
（2）由向量的数乘及减法运算求得λa→−2b→的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．
【解答】解：（1）∵a→=（1，1），b→=（2，﹣3），
∴c→=2a→+3b→=2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）；
（2）λa→−2b→=λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6），
∵λa→−2b→与a→垂直，
∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0，
即λ＝﹣1．
27．在平面内给定三个向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
【分析】（Ⅰ）求满足a→=mb→+nc→的实数m、n的值
（Ⅱ）若向量d→满足（d→−c→）∥（a→+b→），且|d→−c→|=5，求向量d→的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件以及a→=mb→+nc→，可得：（3，2）＝m（﹣2，2）+n（4，1）＝（﹣m+4n，2m+n）．
∴−m+4n=32m+n=2，解得实数m=59，n=89．
（Ⅱ）设向量d→=（x，y），d→−c→=（x﹣4，y﹣1），a→+b→=（2，4），
∵（d→−c→）∥（a→+b→），
|d→−c→|=5，
∴4(x−4)−2(y−1)=0(x−4)2+(y−1)2=5，解得x=3y=−1或x=5y=3，
向量d→的坐标为（3，﹣1）或（5，3）．
28．已知a→=（4，2），求与a→垂直的单位向量的坐标．
【分析】设与a→垂直的单位向量为b→=（x，y），则a→⋅b→=4x+2y=0x2+y2=1，由此能求出与a→垂直的单位向量的坐标．
【解答】解：a→=（4，2），
设与a→垂直的单位向量为b→=（x，y），
则a→⋅b→=4x+2y=0x2+y2=1，
解得x=−55y=255，或x=55y=−255，
∴与a→垂直的单位向量的坐标为（−55，255）或（55，−255）．
29．已知点A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若点C满足AB→+BC→=0→，求点C坐标．
【分析】（1）根据已知条件，运用向量模长公式，即可求解．（2）根据向量之间的线性运算，即可求解．
【解答】解：（I）∵A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
∴AB→=(−5，12)，∴|AB→|=(−5)2+122=13．
（Ⅱ）设点C的坐标为（x，y），则BC→=(x+3，y−11)，
∵AB→+BC→=0→，
∴−5+x+3=012+y−11=0，解得x＝2，y＝﹣1，
∴点C的坐标为（2，﹣1）．
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