人教版2022届一轮复习打地基练习 由三角函数的部分图像确定其解析式

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 由三角函数的部分图像确定其解析式，共39页。试卷主要包含了电流强度I，已知函数f，函数f等内容，欢迎下载使用。
1．函数f(x)=2sin(ωx−π2ω)(ω≠0)的部分图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象如图所示，则当t=1100秒时，电流强度是（ ）
A．﹣5AB．5AC．53AD．10A
3．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（m，0），N（n，2），P（π，0），且m＜0，n＞0，则函数f（x）在下列区间中一定具有单调性的是（ ）
A．(0，π2)B．(π4，2π3)C．(π2，π)D．(2π3，π)
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acs[π6(x−6)]（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（ ）
A．20℃B．20.5℃C．21℃D．21.5℃
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，π2＜φ＜π）的一个周期的图象如图所示，其中f（0）＝1，f（1）＝0．f（x1）＝f（x2）=−12，则f（x2﹣x1﹣2）＝（ ）
A．−74B．−154C．74D．154
6．已知f(x)=sinwx−cswx(w＞13，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标不属于区间（2π，3π），则w的取值是（ ）
A．[38，712]∪[78，1112]B．(14，512]∪[58，34]
C．[38，1112]∪[118，1912]D．(14，34]∪[98，1712]
7．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)，直线y=3与f（x）图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于2π3，且f(0)=32，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f(x)=3sin(2x+π6)B．f(x)=3sin(3x+π6)
C．f(x)=3sin(2x+π3)D．f(x)=3sin(3x+π3)
8．设y＝f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经观察，y＝f（t）可以近似看成y＝K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（ ）
A．y=12+3sinπ6t，t∈[0，24]
B．y=12+3sin(π6t+π)，t∈[0，24]
C．y=12+3sinπ12t，t∈[0，24]
D．y=12+3sin(π12t+π2)，t∈[0，24]
9．函数f（x）=12sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．(−124+2kπ，524+2kπ)，（k∈Z）
B．(−112+k2，512+k2)，（k∈Z）
C．(−112+2kπ，13+2kπ)，（k∈Z）
D．(−124+k2，524+k2)，（k∈Z）
10．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，将其向右平移π3个单位长度后得到的函数解析式为（ ）
A．y=2sin2xB．y=2sin（2x+π3）
C．y=2sin（2x−π3）D．y=2sin（2x−π6）
11．如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上的所有的点（ ）
A．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
B．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
D．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
12．如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝sin（2x+π3）B．f（x）＝sin（4x+π6）
C．f（x）＝cs（2x+π3）D．f（x）＝cs（4x+π6）
二．多选题（共1小题）
13．已知函数f（x）＝Acs（x+φ）+1（A＞0，|φ|＜π2），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x=2π3对称
B．函数f（x）的图象关于点（−56π，0）对称
C．函数f（x）在区间[−π2，0]上的值域为[2，3]
D．将函数y＝2sinx+1的图象向右平移56π个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
三．填空题（共18小题）
14．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的图象如图所示，则φ＝ ．
15．已知f（x）＝sin(ωx+π3)（ω＞0），f（π6）＝f（π3），且f（x）在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ ．
16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则f（5π12）＝ ．
17．函数y＝sin（πx+φ）（常数φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝ ．
18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（−π12）＝ ．
19．如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则△ABD的面积为 ．
20．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法正确的编号是 ．
①ω＝2；
②φ=2π3；
③(−π6，0)是函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[−π，−4π5]上是减函数．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），其部分图象如图所示，则f（x）＝ ．
22．函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 ．
23．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且三角形MBC的面积为π，则y＝f（x）图象的一个对称中心是 ．（写出一个符合题意的即可）
24．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，φ∈(0，π2)）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ，方程f（x）＝m（其中2＜m＜2）在[0，2π]内所有解的和为 ．
25．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则f（2020）＝ ．
26．下图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OME为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）＝ ．
27．已知函数f（x）=3sinωx+csωx（ω＞0）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的最小值为 ．
28．如图为函数y＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像，则ω＝ ，φ＝ ．
29．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．则φ＝ ，x0＝ ．
30．已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（π2）＝ ．
31．若函数f（x）＝4sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x都有f(x+π3)=f(−x)，则f(π6)的值是 ．
四．解答题（共5小题）
32．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，求实数t的最大值．
33．已知向量：a→=（2sinωx，cs2ωx），向量b→=（csωx，23），其中ω＞0，函数f（x）=a→•b→，若f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[π6，π3]，恒有|f（x）﹣m|＜2成立，求实数m的取值范围．
34．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为﹣3，且f（x）图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为2π，又f（x）的图象经过点(0，32)；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）﹣k＝0在x∈[0，11π3]有且仅有两个零点x1，x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．
35．已知定义在R上的函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2）在x=π6时取到最大值22，f（x）的最小的正的零点为7π6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f(x−π6)=m在区间[0，π]上有实根，求实数m的取值范围．
36．已知函数f(x)=Asin(2x+ϕ)(A＞0，0＜ϕ＜π2)，当x=π12时，f（x）有最大值2．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）若f(α+π3)=−12，α∈[0，π4]，求f(α+π6)的值．
人教版2022届一轮复习打地基练习 由三角函数的部分图像确定其解析式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．函数f(x)=2sin(ωx−π2ω)(ω≠0)的部分图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．
【解答】解：A．由图象知函数的周期T＝2π，则2πω=2π得ω＝1，
此时f（x）＝2sin（x−π2）＝﹣2csx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能
B．由图象知函数的周期T=4π9−（−2π9）=6π9=2π3，即2π|ω|=2π3，得ω＝±3，
当ω＝3时，此时f（x）＝2sin（3x−π6），f（4π9）＝2sin（3×4π9−π6）＝2sin7π6≠−2，即B图象不可能，
当ω＝﹣3时，此时f（x）＝2sin（﹣3x+π6），f（4π9）＝2sin（﹣3×4π9+π6）＝﹣2sin7π6≠−2，即B图象不可能，
C．由图象知函数的周期T＝4π，则2π|ω|=4π得ω＝±12，
当ω=12时，此时f（x）＝2sin（12x﹣π）＝﹣2sin12x，f（π）＝﹣2sinπ2=−1，即此时C图象不可能，
当ω=−12时，此时f（x）＝2sin（−12x﹣π）＝2sin12x，f（π）＝2sinπ2=−1，即此时C图象可能，
D．由图象知函数的周期3T4=9π8−3π8=3π4，即t＝π，则2πω=π得ω＝2，
此时f（x）＝2sin（2x−π4），f（3π8）＝2sin（2×3π8−π4）＝2sinπ2=2，即D图象可能，
综上不可能的图象是B，
故选：B．
2．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象如图所示，则当t=1100秒时，电流强度是（ ）
A．﹣5AB．5AC．53AD．10A
【分析】通过函数的图象求出A，T，然后利用周期公式求出ω，（1300，10）为五点中的第二个点，代入表达式，即可求出φ的值，得到函数解析式，代入t=1100秒，即可求出电流强度．
【解答】解：由图象可知A＝10，T2=4300−1300=1100，
∴ω=2πT=100π，∴函数I＝10sin（100πt+φ）．
（1300，10）为五点中的第二个点，
∴100π×1300+φ=π2，
∵0＜φ＜π2，
∴φ=π6，I＝10sin（100πt+π6）．
当t=1100秒时，I＝﹣5安．
故选：A．
3．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（m，0），N（n，2），P（π，0），且m＜0，n＞0，则函数f（x）在下列区间中一定具有单调性的是（ ）
A．(0，π2)B．(π4，2π3)C．(π2，π)D．(2π3，π)
【分析】由题意得到三角函数的周期满足π＜T＜4π3，然后取周期接近π和接近4π3分别排除选项D、A、C，从而得到正确选项．
【解答】解：∵M（m，0），N（n，2），P（π，0），且m＜0，n＞0，
∴T＞π，且3T4＜π，
则π＜T＜4π3，
当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近3π4，
∴f（x）在（2π3，π）上先减后增不单调，排除D；
当周期接近4π3又小于4π3时，图中最高点N的横坐标大于0小于π4，
f（x）在（0，π4）上先增后减不单调，排除A；
图中的最低点的横坐标大于π2小于3π4，f（x）在（π2，3π4）上先减后增不单调，排除C．
∴正确的答案为B．
故选：B．
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acs[π6(x−6)]（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（ ）
A．20℃B．20.5℃C．21℃D．21.5℃
【分析】令f(x)=a+Acs[π6(x−6)]，利用f(6)=28°f(12)=18°可求得a与A，从而可求得f（10）．
【解答】解：令f(x)=a+Acs[π6(x−6)]，
由f(6)=28°f(12)=18°得：a+Acs[π6(6−6)]=28°a+Acs[π6(12−6)]=18°；
解得a＝23，A＝5，
∴f（10）＝23+5cs2π3=20.5．
故选：B．
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，π2＜φ＜π）的一个周期的图象如图所示，其中f（0）＝1，f（1）＝0．f（x1）＝f（x2）=−12，则f（x2﹣x1﹣2）＝（ ）
A．−74B．−154C．74D．154
【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，可得点（x1，−12），（x2，−12）关于直线x＝4对称，设（π6×4+5π6）﹣（π6x1+5π6）＝α，可得csα=14，计算可得π6（x2﹣x1）＝2α，从而可求得f（x2﹣x1﹣2）的值．
【解答】解：由f（0）＝1，可得sinφ=12，又π2＜φ＜π，所以φ=5π6，
由f（1）＝0，可得ω+φ＝2kπ+π，可得ω＝2kπ+π6，k∈Z，
又因为周期T＞4（1﹣0），所以2πω＞4，可得0＜ω＜π2，
所以ω=π6，所以T=2πω=12，
所以f（x）＝2sin（π6x+5π6），
因为f（x1）＝2sin（π6x1+5π6）=−12，所以sin（π6x1+5π6）=−14，
因为f（4）＝2sin3π2=−2，所以点（x1，−12），（x2，−12）关于直线x＝4对称，
所以设（π6×4+5π6）﹣（π6x1+5π6）＝α，
则sin（3π2−α）＝sin（π6x1+5π6）=−14，可得csα=14，
又（π6x2+5π6）﹣（π6x1+5π6）＝2α，可得π6（x2﹣x1）＝2α，
所以f（x2﹣x1﹣2）＝2sin[π6（x2﹣x1）−π3+5π6]＝2sin（π2+2α）＝2cs2α＝2（2×116−1）=−74．
故选：A．
6．已知f(x)=sinwx−cswx(w＞13，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标不属于区间（2π，3π），则w的取值是（ ）
A．[38，712]∪[78，1112]B．(14，512]∪[58，34]
C．[38，1112]∪[118，1912]D．(14，34]∪[98，1712]
【分析】化f（x）为正弦型函数，求出f（x）的周期，由T2=π2≥3π﹣2π求得14＜ω≤1，排除C、D；检验ω=1112时，f（x）=2sin（1112x−π4）的对称轴满足条件，排除B；从而得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx﹣csωx=2sin（ωx−π4），
由f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），
则T2=πω≥3π﹣2π＝π，解得ω≤1，即14＜ω≤1，排除C、D；
当ω=1112时，f（x）=2sin（1112x−π4），
令1112x−π4=kπ+π2，解得x=1211kπ+9π11，
可得函数f（x）图象的对称轴为x=1211kπ+9π11，k∈Z；
当k＝1时，对称轴为x=21π11＜2π，当k＝2时，对称轴为x=33π11=3π，
满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），排除B．
故选：A．
7．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)，直线y=3与f（x）图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于2π3，且f(0)=32，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f(x)=3sin(2x+π6)B．f(x)=3sin(3x+π6)
C．f(x)=3sin(2x+π3)D．f(x)=3sin(3x+π3)
【分析】根据函数f（x）与直线y=3图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于2π3得出A、T的值，再求ω和φ的值．
【解答】解：函数f（x）＝Asin（ωx+φ）与直线y=3图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于2π3，
所以A=3，T=2π3，
所以ω=2πT=2π2π3=3；
由f(0)=32，得3sinφ=32，
解得sinφ=12，
又|φ|＜π2，所以φ=π6，
所以函数f（x）=3sin（3x+π6）．
故选：B．
8．设y＝f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经观察，y＝f（t）可以近似看成y＝K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（ ）
A．y=12+3sinπ6t，t∈[0，24]
B．y=12+3sin(π6t+π)，t∈[0，24]
C．y=12+3sinπ12t，t∈[0，24]
D．y=12+3sin(π12t+π2)，t∈[0，24]
【分析】通过排除法进行求解，由y＝f（t）可以近似看成y＝K+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y＝K+Asin（ωx+φ）中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．
【解答】解：排除法：
∵y＝f（t）可以近似看成y＝K+Asin（ωx+φ）的图象，
∴由T＝12可排除C、D，
将（3，15）代入
排除B．
故选：A．
9．函数f（x）=12sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．(−124+2kπ，524+2kπ)，（k∈Z）
B．(−112+k2，512+k2)，（k∈Z）
C．(−112+2kπ，13+2kπ)，（k∈Z）
D．(−124+k2，524+k2)，（k∈Z）
【分析】由已知可求周期T，利用周期公式可求ω，由于函数图象过点（13，0），利用五点作图法可得φ=−π3，
可得函数解析式，令2kπ−π2≤4πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：由已知可得：周期T＝2（712−13）=2πω，解得：ω＝4π，
可得函数解析式为：f（x）=12sin（4πx+φ），
由于函数图象过点（13，0），
由五点作图法可得：4π3+φ＝π，解得：φ=−π3，
可得函数解析式为：f（x）=12sin（4πx−π3），
令2kπ−π2≤4πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得：k2−124≤x≤k2+524，k∈Z，
可得f（x）的单调递增区间为：[k2−124，k2+524]，k∈Z．
故选：D．
10．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，将其向右平移π3个单位长度后得到的函数解析式为（ ）
A．y=2sin2xB．y=2sin（2x+π3）
C．y=2sin（2x−π3）D．y=2sin（2x−π6）
【分析】由函数图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再根据图象平移得出函数解析式．
【解答】解：由函数图象知，A=2，T4=7π12−π3=π4，
解得T＝π，所以ω=2πT=2，
所以函数f（x）=2sin（2x+φ）；
因为f（7π12）=2sin（7π6+φ）=−2sin（π6+φ）=−2，
所以π6+φ=π2+2kπ，k∈Z；
解得φ=π3+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π2，所以φ=π3；
所以f（x）=2sin（2x+π3）；
将函数的图象向右平移π3个单位长度后，得y=2sin[2（x−π3）+π3]的图象，
即y=2sin（2x−π3）．
故选：C．
11．如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上的所有的点（ ）
A．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
B．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
D．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【分析】由图可知A＝1，T＝π，从而可求得ω，再由−π6ω+φ＝0可求得φ，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．
【解答】解：由图可知A＝1，T＝π，
∴ω＝2，
又−π6ω+φ＝2kπ（k∈Z），
∴φ＝2kπ+π3（k∈Z），又0＜ϕ＜π2，
∴φ=π3，
∴y＝sin（2x+π3）．
∴为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y＝sin（x+π3）的图象，再将y＝sin（x+π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．
故选：A．
12．如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝sin（2x+π3）B．f（x）＝sin（4x+π6）
C．f（x）＝cs（2x+π3）D．f（x）＝cs（4x+π6）
【分析】根据周期先求出ω的值，排除B，D，然后在通过f（π12）＝1，进行排除即可．
【解答】解：函数的周期T＝2×（7π12−π12）＝2×6π12=π，即2πω=π，则ω＝2，
排除B，D，
当x=π12时，f（π12）＝1，
若f（x）＝sin（2x+π3），
则f（π12）＝sin（2×π12+π3）＝sinπ2=1，
若f（x）＝cs（2x+π3），
则f（π12）＝cs（2×π12+π3）＝csπ2=0，不满足条件．排除C，
故选：A．
二．多选题（共1小题）
13．已知函数f（x）＝Acs（x+φ）+1（A＞0，|φ|＜π2），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x=2π3对称
B．函数f（x）的图象关于点（−56π，0）对称
C．函数f（x）在区间[−π2，0]上的值域为[2，3]
D．将函数y＝2sinx+1的图象向右平移56π个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
【分析】根据题意，可得A＝2，当x＝0时，函数值y＝2，即可求解φ=π3，可得解析式，依次判断各选项即可．
【解答】解：函数y＝|f（x）|的部分图象可知A＝2，当x＝0时，函数值y＝2，
即2csφ+1＝2，
∵|φ|＜π2），
∴φ=π3，
那么函数f（x）＝2cs（x+π3）+1．
对于A：令x+π3=kπ，k∈Z，可得x=kπ−π3，当k＝1时，可得函数f（x）的图象关于直线x=2π3对称，所以A正确；
对于B：当x=−56π时，可得y＝1，即图象关于点（−56π，1）对称，所以B错误；
对于C：x∈[−π2，0]上，则x+π3∈[−π6，π3]，那么2cs（x+π3）∈[1，2]，可得值域为[2，3]；所以C正确；
对于D：函数y＝2sinx+1的图象向右平移56π个单位长度，即y＝2sin（x−5π6）+1＝2sin（x−π3−π2）+1
＝﹣2cs（x−π3）+1，得不到f（x），所以D错误；
故选：AC．
三．填空题（共18小题）
14．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的图象如图所示，则φ＝ 910π ．
【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出ω和φ即可得到结论．
【解答】解：由图象得T2=2π−34π=54π，
则周期T=52π=2πω，
则ω=45，
则y＝sin（45x+φ），
当x=34π时，y＝﹣1，
则sin（45×34π+φ）＝﹣1，
即35π+φ=−π2+2kπ，
即φ＝2kπ−11π10，k∈Z，
∵﹣π＜φ≤π，
∴当k＝1时，φ=910π，
故答案为：910π
15．已知f（x）＝sin(ωx+π3)（ω＞0），f（π6）＝f（π3），且f（x）在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ 143 ．
【分析】根据f（π6）＝f（π3），且f（x）在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．
【解答】解：如图所示，
∵f（x）＝sin(ωx+π3)，
且f（π6）＝f（π3），
又f（x）在区间(π6，π3)内只有最小值、无最大值，
∴f（x）在π6+π32=π4处取得最小值．
∴π4ω+π3=2kπ−π2（k∈Z）．
∴ω＝8k−103（k∈Z）．
∵ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝8−103=143；
当k＝2时，ω＝16−103=383，此时在区间(π6，π3)内已存在最大值．
故ω=143．
故答案为：143
16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则f（5π12）＝ −12 ．
【分析】利用三角函数的图象，求出函数的周期，即可得到ω的值，由（π3，0）在函数图象上，可解得：φ＝kπ−2π3，k∈Z，结合范围|φ|＜π，解得φ的值，利用诱导公式即可求解f（5π12）的值．
【解答】解：∵由函数的图象可知：32T=11π6−π3，解得：T＝π=2πω，
∴ω＝2．
∵（π3，0）在函数图象上，可得：sin（2×π3+φ）＝0，
∴解得：φ＝kπ−2π3，k∈Z，
∵|φ|＜π，
∴φ=π3，可得：f（x）＝sin（2x+π3），
∴f（5π12）＝sin（2×5π12+π3）=−12．
故答案为：−12．
17．函数y＝sin（πx+φ）（常数φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝ 8 ．
【分析】由题意求出函数的周期，与最值，过P作PD⊥x轴于D，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB．
【解答】解：函数y＝sin（πx+φ），
所以T=2ππ=2，最大值为1，
过点P作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=12，DB=32，DP＝1，
在Rt△APD中，tan∠APD=12，
在Rt△BPD中，tan∠BPD=32，
所以tan∠APB＝tan（∠APD+∠BPD）=12+321−12×32=8．
故答案为：8．
18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（−π12）＝ 12 ．
【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得 f（−π12）的值．
【解答】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|ω|＜π2）的部分图象，
可得12⋅2πω=π3+π6，∴ω＝2．
根据五点法作图，2×π3+φ＝π，∴φ=π3，f（x）＝sin（2x+π3），∴f（−π12）＝sinπ6=12，
故答案为：12．
19．如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则△ABD的面积为 33π2 ．
【分析】根据三角函数的对称性以及重心性质，求出C的坐标，结合五点对应法求出φ的值，可得函数解析式，求解OB的值，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为O为△ABD的重心，A（﹣π，0），
所以OA=23AC=π，
所以AC=32π，
所以C(π2，0)，
所以πω=T2=3π2，ω=23．
因为23×(−π)+φ=kπ，
所以φ=kπ+2π3，
又0＜φ＜π，
所以φ=2π3，
所以f(x)=2sin(23x+2π3)，
于是|OB|=f(0)=2sin(23×0+2π3)=3，
故△ABD的面积为S=2×12×3π2×3=33π2．
故答案为：33π2．
20．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法正确的编号是 ①②④ ．
①ω＝2；
②φ=2π3；
③(−π6，0)是函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[−π，−4π5]上是减函数．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象知，
A＝2，函数f（x）的最小正周期T=2×(11π12−5π12)=π，
所以，ω=2πT=2，故①正确；
因为f(11π12)=2sin(2×11π12+φ)=2sin(11π6+φ)=2，
所以11π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ−4π3，k∈Z，
又|φ|＜π，所以φ=2π3，故②正确；
∴函数f(x)=2sin(2x+2π3)．
因为f(−π6)=2sin[2×(−π6)+2π3]=2sinπ3=3≠0，
所以(−π6，0)不是函数f（x）的一个对称中心，故③错误；
令2mπ+π2≤2x+2π3≤2mπ+3π2，m∈Z，
得mπ−π12≤x≤mx+5π12，m∈Z，
当m＝﹣1时，−13π12≤x≤−7π12，因为[−π，−4π5]⊆[−13π12，−7π12]，
所以函数f（x）在区间[−π，−4π5]上是减函数，故④正确，
故答案为：①②④．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），其部分图象如图所示，则f（x）＝ 2sin（π4x+π4） ．
【分析】先利用函数图象确定函数的最值和周期，从而确定A、ω的值，再利用五点作图法求得φ，从而可求函数f（x）的解析式．
【解答】解：由图象可知A＝2，T2=7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω=2πT=π4，
所以f（x）＝2sin（π4x+φ），
由五点作图法可得π4×3+φ＝π，解得φ=π4，
所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（π4x+π4）．
故答案为：2sin（π4x+π4）．
22．函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 y＝2sin（2x+2π3） ．
【分析】根据图象先求出A＝2，然后利用五点对应法进行求解即可．
【解答】解：由图象知A＝2，由五点对应法得−π12ω+φ=π25π12ω+φ=3π2，
得ω＝2，φ=2π3，
即函数的解析式为y＝2sin（2x+2π3），
故答案为：y＝2sin（2x+2π3）．
23．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且三角形MBC的面积为π，则y＝f（x）图象的一个对称中心是 （kπ−π6，0）k∈Z ．（写出一个符合题意的即可）
【分析】根据三角形MBC的面积为π，求得BC的值，可得函数的周期，从而求得ω的值，再把点（0，1）代入求得φ的值，从而得到函数的解析式．由正弦函数的性质即可求得y＝f（x）图象的对称中心．
【解答】解：∵S△MBC=12×2×BC＝BC＝π，∴周期T＝2π=2πω，∴ω＝1，
由f（0）＝2sinφ＝1，得sinφ=12，又∵0＜φ＜π2，∴φ=π6，
∴f（x）＝2sin（x+π6），
令x+π6=kπ，k∈Z，得x＝kπ−π6，k∈Z，
故y＝f（x）图象的对称中心是 （kπ−π6，0）k∈Z．
故答案为：（kπ−π6，0）k∈Z．
24．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，φ∈(0，π2)）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 y＝2sin（3x+π4） ，方程f（x）＝m（其中2＜m＜2）在[0，2π]内所有解的和为 9π2 ．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，φ∈（0））的图象，
可得A＝2，
再根据图象过（0，2），
可得2sinφ=2，即sinφ=22，∴φ=π4
结合五点法作图可得ω×（−π12）+π4=0，∴ω＝3，
故函数的解析式为y＝2sin（3x+π4），
由图象的周期性和对称性可得：
xA+xB+xC+xD+xE+xF=π12×2+（π12+2π3）×2+（π12+4π3）×2=9π2．
故答案为：y＝2sin（3x+π4），9π2．
25．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则f（2020）＝ ．
【分析】先由函数图象求出ω，Φ，得到函数f（x）的解析式，再求f（2020）的值．
【解答】解：由函数图象可知T4=3﹣1，得T＝8，
2πω=8，解得ω=π4，
由函数图象知函数f（x）过点（3，0），
所以0＝sin（π4×3+Φ），
所以3π4+Φ＝kπ，k∈Z
Φ=−3π4+kπ，k∈Z
由因为Φ∈[0，2π），
所以Φ=π4，
f（x）＝sin（π4x+π4），
所以f（2020）＝sin（π4×2020+π4）＝sin（505π+π4）＝﹣sinπ4=−22．
故答案为：−22．
26．下图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OME为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）＝ 2sin（π4x+π4） ．
【分析】由已知点E得出A的值，再根据△OME为等腰直角三角形可得M、D的坐标，
从而求得ω和φ的值．
【解答】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A＝2，根据△OME为等腰直角三角形，
可得M（﹣1，0），D（1，2），∴14•2πω=1﹣（﹣1），解得ω=π4；
∴函数f（x）＝2sin（π4x+φ），
又由M（﹣1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，
π4×（﹣1）+φ＝0，可得φ=π4，
∴f（x）＝2sin（π4x+π4）．
故答案为：2sin（π4x+π4）．
27．已知函数f（x）=3sinωx+csωx（ω＞0）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的最小值为 2 ．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）=3sinωx+csωx＝2sin（x+π6），
由于函数的图象和y＝2两个相邻的交点的距离为π，
故函数的最小正周期为T=2πω=π，
解得：ω＝2．
故答案为：2．
28．如图为函数y＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像，则ω＝ 7π6 ，φ＝ π3 ．
【分析】由图像可得f（0）=12，结合0＜φ＜π，可求得φ的值，再由五点作图法即可求得ω．
【解答】解：由图像可得f（0）=12，即csφ=12，
又0＜φ＜π，所以φ=π3，
由五点作图法可得ω+π3=3π2，
解得ω=7π6．
故答案为：7π6；π3．
29．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．则φ＝ π6 ，x0＝ 2π3 ．
【分析】由三角函数的图象与性质求出A、φ、T和ω、x0的值．
【解答】解：由题意知，A＝2，且f（0）＝2sinφ＝1，
所以sinφ=12；
又|φ|＜π2，
所以φ=π6；
又12T＝（x0+2π）﹣x0＝2π，
所以T＝4π，所以ω=2πT=12；
所以12•x0+π6=π2，
解得x0=2π3．
故答案为：π6，2π3．
30．已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（π2）＝ −3 ．
【分析】根据图象可得f（x）的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f（x）的解析式，再计算f（π2）的值．
【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T=43（13π12−π3）＝π，
所以ω=2πT=2，因为f（π3）＝0，
所以由五点作图法可得2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，
所以f（x）＝2cs（2x−π6），
所以f（π2）＝2cs（2×π2−π6）＝﹣2csπ6=−3．
故答案为：−3．
31．若函数f（x）＝4sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x都有f(x+π3)=f(−x)，则f(π6)的值是 ±4 ．
【分析】f（x+2π3）＝f（x），故函数f（x）的周期为2π3，从而可求得ω＝3，在条件f(x+π3)=f(−x)中，令x＝0，求得sinφ＝0，从而求得f(π6)的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝4sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x都有f(x+π3)=f(−x)，
∴f（x+2π3）＝f（x），故函数f（x）的周期为2π3，
故2πω=2π3，∴ω＝3，
∴f（x）＝4sin（3x+φ）．
在f(x+π3)=f(−x)中，令x＝0，可得f（π3）＝f（0），
即4sin（π+φ）＝4sinφ，即﹣4sinφ＝4sinφ，∴sinφ＝0，
则f(π6)=4sin（π2+φ）＝4csφ＝±4．
故答案为：±4．
四．解答题（共5小题）
32．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，求实数t的最大值．
【分析】（1）由图象的最大值可得A，由f（0）＝1，可得φ，由f（11π12）＝0，可得ω，从而可求得函数f（x）的解析式；
（2）由函数的平移变换可得g（x），由正弦函数的性质求得g（x）的单调递增区间，从而可求得t的取值范围，即可求得t的最大值．
【解答】解：由题图可知，A＝2，
又f（0）＝1，所以2sin（ω•0+φ）＝1，即sinφ=12，
又|φ|＜π2，所以φ|=π6，
因为f（11π12）＝0，所以2sin（ω•11π12+π6）＝0，
结合题图可知ω•11π12+π6=2kπ，k∈Z，即ω=24k−211，k∈Z，
又T＞11π12，所以0＜ω＜2411，所以ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+π6）．
（2）因为将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
所以g（x）＝2sin（4x+π6）．
令−π2+2kπ≤4x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π6+kπ2≤x≤π12+kπ2，k∈Z，
因为g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，
所以−t≥−π6t≤π12，解得t≤π12，
所以实数t的最大值为π12．
33．已知向量：a→=（2sinωx，cs2ωx），向量b→=（csωx，23），其中ω＞0，函数f（x）=a→•b→，若f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[π6，π3]，恒有|f（x）﹣m|＜2成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接利用向量的数量积以及二倍角公式两角和的正弦函数化简函数表达式，求出函数的周期，即可求f（x）的解析式；
（2）通过x∈[π6，π3]，求出相位的范围，确定函数的值域，然后利用|f（x）﹣m|＜2，得到m的关系式，求实数m的取值范围
【解答】解：（1）f(x)=a→⋅b→=(2sinωx，cs2ωx)⋅(csωx，23)=sin2ωx+3(1+cs2ωx)
=2sin(2ωx+π3)+3
∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω=2π，∴ω=12
∴f(x)=2sin(x+π3)+3
（2）∵x∈[π6，π3]，∴x+π3∈[π2，2π3]
∴23≤f(x)≤2+3，
又∵|f（x）﹣m|＜2，∴﹣2+m＜f（x）＜2+m
若对任意x∈[π6，π3]，恒有|f（x）﹣m|＜2成立，则有−2+m＜232+m＞2+3
解得3＜m＜2+23．
34．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为﹣3，且f（x）图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为2π，又f（x）的图象经过点(0，32)；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）﹣k＝0在x∈[0，11π3]有且仅有两个零点x1，x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．
【分析】（1）由题意求出A和周期T，由周期公式求出ω的值，将点（0，32）代入化简后，由φ的范围和特殊角的三角函数值求出φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）将方程的根转化为函数图象交点问题，由x的范围求出12x+π6的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，设t=12x+π6，函数画出y＝3sint，由正弦函数的图象画出y＝3sint的图象，由图象和条件求出k的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x1+x2的值．
【解答】解：（1）由题意得：A=3，T2=2π，
则T＝4π，即ω=2πT=12，
所以f(x)=3sin(12x+φ)，
又f（x）的图象经过点(0，32)，则32=3sinφ，
由|φ|＜π2得φ=π6，
所以f(x)=3sin(12x+π6)；
（2）由题意得，f（x）﹣k＝0在x∈[0，11π3]有且仅有两个解x1，x2，
即函数y＝f（x）与y＝k在x∈[0，11π3]且仅有两个交点，
由x∈[0，11π3]得，12x+π6∈[π6，2π]，
则f(x)=3sin(12x+π6)∈[−3，3]，
设t=12x+π6，则函数为y＝3sint，且t∈[π6，2π]，
画出函数y＝3sint在t∈[π6，2π]上的图象，如图所示：
由图可知，k的取值范围为：k∈(−3，0]∪[32，3)，
当k∈（﹣3，0]时，由图可知t1，t2关于t=3π2对称，
即x=83π对称，所以x1+x2=16π3，
当k∈[32，3)时，由图可知t1，t2关于t=π2对称，
即x=23π对称，所以x1+x2=4π3，
综上可得，x1+x2的值是16π3或4π3．
35．已知定义在R上的函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2）在x=π6时取到最大值22，f（x）的最小的正的零点为7π6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f(x−π6)=m在区间[0，π]上有实根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由最值点求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值．
【解答】解：（1）定义在R上的函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2）在x=π6时取到最大值22，f（x）的最小的正的零点为7π6，
∴A＝22，14•2πω=7π6−π6，∴ω=12．
再根据f（π6）＝22sin（12•π6+φ）＝22，∴π12+φ＝2kπ+π2，k∈Z，∴φ=5π12，
f（x）＝22sin（12x+5π12）．
（2）关于x的方程f(x−π6)=m=22sin（x2+π3） 在区间[0，π]上有实根，
即 22sin（x2+π3）＝m 在区间[0，π]上有实根，
当x∈[0，π]，x2+π3∈[π3，5π6]，sin（x2+π3）∈[12，1]，
故 m＝22sin（x2+π3）∈[2，22]，
故m的取值范围为[2，22]．
36．已知函数f(x)=Asin(2x+ϕ)(A＞0，0＜ϕ＜π2)，当x=π12时，f（x）有最大值2．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）若f(α+π3)=−12，α∈[0，π4]，求f(α+π6)的值．
【分析】（1）利用周期公式求f（x）的最小正周期，利用当x=π12时，f（x）有最大值2，求出解析式；
（2）若f(α+π3)=−12，α∈[0，π4]，求出cs2α，即可求f(α+π6)的值．
【解答】解：（1）T=2πω=2π2=π，
当x=π12时，f（x）有最大值2，又A＞0，0＜ϕ＜π2，∴A＝2，
∴2×π12+ϕ=π2，即ϕ=π3，所以f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)．
（2）∵f(α+π3)=2sin(2(α+π3)+π3)=−2sin2α=−12，∴sin2α=14，
∵α∈[0，π4]，则2α∈[0，π2]，∴cs2α=154，
∴f(α+π6)=2sin(2(α+π6)+π3)=2sin(2α+2π3)，
∴f(α+π6)=2sin2αcs2π3+2cs2αsin2π3=2×14×(−12)+2×154×32=35−14．t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1