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人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数，共20页。试卷主要包含了△ABC中，若AC等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是BC的中点，AM＝c﹣b，a＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．23C．33D．43
2．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a的最小值为（ ）
A．253B．263C．5D．6
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且△ABC的面积为332，a2＝b2+c2﹣bc，c＝3，则a＝（ ）
A．7B．27C．3D．6
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，且△ABC的面积S=22（b2+c2﹣a2），则△ABC周长的最大值是（ ）
A．6B．6+23C．43D．63
5．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，则csA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）
C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acsB﹣bcsA）＝16，a+b＝8，∠C＝60°，则c的值等于（ ）
A．19B．32C．17D．4
7．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+3sinB=2，且满足关系式csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，则a+c的取值范围是（ ）
A．(3，23]B．(33，233]C．(33，233)D．(3，23]
8．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，2cs2A+B2=(2−1)csC，则△ABC的面积为（ ）
A．3−32B．32+64C．32−64D．3+32
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC且a＝2bsinA，则A＝（ ）
A．π4B．π6C．π3D．2π3
10．△ABC中，若AC：AB＝CM：MB＝3：2，∠AMB＝60°，则sin∠CAB＝（ ）
A．1154B．35C．5311D．5314
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB+（c﹣b）sinC，且AD=3，b＝3c，则a的值为（ ）
A．72B．473C．3D．23
12．若△ABC为钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝4，c＝x，角C为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．5＜x＜7C．1＜x＜5D．1＜x＜7
13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=6，b＝2c，csA=78，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．152C．15D．17
二．填空题（共7小题）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积等于3(b2+c2−a2)4，且b2+c2＝a2+2a，则A＝ ，△ABC的面积的取值范围是 ．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a2+c2﹣ac，则角B＝ ；若a=23，b=22，B＝45°，则角A＝ ．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S=3b，则△ABC面积的最小值为 ．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB1−csB=4asinB，a+c=41，△ABC的面积为2，则b＝ ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣a2＝ac，BA= ；b2csA+a2ab的取值范围为 ．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC+2ccsB＝a2，则a＝ ；若又知△ABC的面积为S满足43S=a2+b2+c2，则S＝ ﹒
三．解答题（共5小题）
21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcsA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=25，b=2，求△ABC的面积．
22．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
23．在①sinA=2sinB，②c=5，③a2+b2−c2=−2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．
问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB=31010，____，____，求△ABC的面积．
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(csC，2b−2c)，n→=(csA，2a)，m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为8，且b2+2a2＝4c2，求c的值．
25．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a24．
（1）若a=6，b=2，求csB；
（2）求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）的最大值．
人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是BC的中点，AM＝c﹣b，a＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．23C．33D．43
【分析】由已知在△ABM中，△ABC中，由余弦定理可得c2+4−(c−b)24c=c2+16−b28c，整理可得b2+c2＝4bc﹣8，由于cs∠BAC=2bc−12bc∈（﹣1，1），解得bc∈（4，12），利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC=1−(2bc−12bc)2，进而根据三角形的面积公式可得S△ABC=12−3(bc−8)2+48，利用二次函数的性质即可求解S△ABC的面积的最大值．
【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得，csB=AB2+BM2−AM22AB⋅BM=c2+4−(c−b)24c，
在△ABC中，由余弦定理得，csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=c2+16−b28c，则c2+4−(c−b)24c=c2+16−b28c，即b2+c2＝4bc﹣8，
因为∠BAC∈（0，π），cs∠BAC=b2+c2−162bc=2bc−12bc∈（﹣1，1），
所以bc∈（4，12），
又sin∠BAC=1−cs2∠BAC=1−(2bc−12bc)2，
所以S△ABC=12bcsin∠BAC=12bc•1−(2bc−12bc)2=12−3(bc−8)2+48，故当bc＝8时，S△ABC的面积的最大值为23．
故选：B．
2．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a的最小值为（ ）
A．253B．263C．5D．6
【分析】运用三角形的面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值．
【解答】解：△ABC中，c＝2b，
又△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=12b•2b•sinA＝2，∴b2=2sinA，
∴a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+4b2﹣2b•2bcsA＝b2（5﹣4csA）=2sinA（5﹣4csA），
设t=5−4csAsinA，t＞0，可得5＝tsinA+4csA=t2+16sin（A+θ）≤t2+16，
可得t≥3，即有a2≥6，即a≥6，可得a的最小值为6．
故选：D．
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且△ABC的面积为332，a2＝b2+c2﹣bc，c＝3，则a＝（ ）
A．7B．27C．3D．6
【分析】根据余弦定理及a2＝b2+c2﹣bc即可得出csA=12，进而得出sinA=32，然后根据△ABC的面积为332即可求出b的值，然后将b，c的值代入a2＝b2+c2﹣bc即可求出a的值．
【解答】解：根据余弦定理，b2+c2﹣a2＝2bccsA，
∵a2＝b2+c2﹣bc，∴bc＝2bccsA，
∴csA=12，∴sinA=32，
∵△ABC的面积为332，∴12bcsinA=332，且c＝3，
∴3b⋅32=33，解得b＝2，
∴a2＝4+9﹣2×3＝7，
∴a=7．
故选：A．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，且△ABC的面积S=22（b2+c2﹣a2），则△ABC周长的最大值是（ ）
A．6B．6+23C．43D．63
【分析】利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得sinA＝22csA，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可得解三角形的周长的最大值．
【解答】解：因为a＝23，且△ABC的面积S=22(b2+c2−a2)，
则12bcsinA=22•2bccsA，即可得sinA＝22csA＞0，
所以sin2A+（sinA22）2＝1，解得sinA=223，（负值舍去），可得csA=13，
所以由余弦定理可得12＝b2+c2﹣2bc•13=（b+c）2−83bc，即bc=[(b+c)2−12]×38，
又bc≤（b+c2）2，当且仅当b＝c时等号成立，
所以[(b+c)2−12]×38≤（b+c2）2，整理解得（b+c）2≤36，即b+c≤6，当且仅当b＝c＝3时等号成立，
所以△ABC周长a+b+c的最大值是6+23．
故选：B．
5．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，则csA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）
C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）
【分析】由题意求得csA=−1a，再由余弦定理，得出关于−1a的方程，
构造函数，利用函数零点的判断方法得出csA的取值范围．
【解答】解：△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，
∴c＝b＝2，﹣acsA＝1，
csA=−1a＜0，且4＞a＞22；
由余弦定理得，csA=22+22−a22×2×2=8−a28，
∴−1a=8−a28，
化为：8•(−1a)3−8•(−1a)2+1＝0，
令−1a=x∈（−122，−14），
则f（x）＝8x3﹣8x2+1＝0，
∵f（﹣0.4）＝﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）＝0.064＞0，
∴csA∈（﹣0.4，﹣0.3）．
故选：A．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acsB﹣bcsA）＝16，a+b＝8，∠C＝60°，则c的值等于（ ）
A．19B．32C．17D．4
【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16，又a+b＝8，解得a，b的值，进而根据余弦定理即可求解c的值．
【解答】解：因为c（acsB﹣bcsA）＝16，
由余弦定理可得c（a•a2+c2−b22ac−b•b2+c2−a22bc）＝16，整理可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16，
又因为a+b＝8，
所以a﹣b＝2，解得a＝5，b＝3，
又∠C＝60°，
所以由余弦定理可得c=52+32−2×5×3×12=19．
故选：A．
7．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+3sinB=2，且满足关系式csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，则a+c的取值范围是（ ）
A．(3，23]B．(33，233]C．(33，233)D．(3，23]
【分析】由csB+3sinB＝2，推导出B＝60°，由csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，推导出b=3由此能求出a+c的取值范围．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．
csB+3sinB＝2，
∴2sin（B+30°）＝2，
∴B＝60°，
∵csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，
∴a2+c2−b22acb+a2+b2−c22abc=2asinB3c=3a3c，
解得b=3，
∴由asinA=csinC=3sin60°=2，
∴a+c＝2sinA+2sinC＝2sinA+2sin（120°﹣A）＝3sinA+3csA＝23sin（A+30°），
∵锐角三角形中A∈（30°，90°），A+30°∈（60°，120°），sin（A+30°）∈（32，1]，
∴a+c＝23sin（A+30°）∈（3，23]．
故选：D．
8．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，2cs2A+B2=(2−1)csC，则△ABC的面积为（ ）
A．3−32B．32+64C．32−64D．3+32
【分析】利用余弦定理可得A，再利用倍角公式、诱导公式可得C，利用正弦定理可得c，再利用面积计算公式即可得出．
【解答】解：a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=32tanA，
∴sinA=32，A为锐角，
∴A=π3．
2cs2A+B2=(2−1)csC，∴1+cs（A+B）＝（2−1）csC，
∴2csC＝1，C为锐角，∴C=π4．∴B=5π12．
∴c=asinCsinA=2．
∴△ABC的面积S=12acsinB=12×6×2×sin5π12=6×6+24=3+32．
故选：D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC且a＝2bsinA，则A＝（ ）
A．π4B．π6C．π3D．2π3
【分析】直接利用余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC，
则：a2+c2＝a2+c2﹣2accsB+2accsC，
整理得：2accsB＝2accsC，所以csC＝csB，
则：B＝C．
由于a＝2bsinA，所以sinA＝2sinBsinA，
所以sinB=12．
故：B=π6或5π6．
①当B=π6时，C=π6，所以A=2π3．
②当B=5π6时，与三角形内角和定理矛盾．
故：A=2π3．
故选：D．
10．△ABC中，若AC：AB＝CM：MB＝3：2，∠AMB＝60°，则sin∠CAB＝（ ）
A．1154B．35C．5311D．5314
【分析】由题意设AB＝2，AC＝3，BM＝2x，DM＝3x，在△ABM中由正弦定理可求x=sinα32，在△ABC中，由余弦定理可求cs2α=13−25×43×sin2α12，利用二倍角公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，根据二倍角的正弦公式即可求解sin∠CAB的值．
【解答】解：∵ACAB=CMMB=32，
∴AM为∠BAC的角平分线，
设∠BAM＝∠CAM＝α，
不妨设AB＝2，AC＝3，BM＝2x，DM＝3x，在△ABM中，2xsinα=232，
∴x=sinα32，
在△ABC中，cs2α=4+9−25x22×2×3=13−25×43×sin2α12，
∴1﹣2sin2α=13−1003sin2α12，
∴sinα=2114，α∈（ 0，π2），
∴csα=17514，
∴sin∠CAB＝sin2α=5314．
故选：D．
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB+（c﹣b）sinC，且AD=3，b＝3c，则a的值为（ ）
A．72B．473C．3D．23
【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得csA的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC=π6，由余弦定理，角平分线的性质可得CD＝3BD，可得3+b2−2×b×3×32=33+c2−2×3×c×32，解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值．
【解答】解：由正弦定理化简已知等式得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
由于A∈（0，π），
可得：A=π3，
因为角A的角平分线交BC于点D，可得∠BAD＝∠DAC=π6，
所以由余弦定理可得BD=3+c2−2×3×c×32，CD=3+b2−2×b×3×32，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即3+b2−2×b×3×32=33+c2−2×3×c×32，整理可得c=43，b＝4，
所以由余弦定理可得a=(43)2+42−2×43×4×12=473．
故选：B．
12．若△ABC为钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝4，c＝x，角C为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．5＜x＜7C．1＜x＜5D．1＜x＜7
【分析】角C为钝角，可得csC＜0，解得x．又x＜3+4．即可得出x的取值范围．
【解答】解：角C为钝角，∴csC=32+42−x22×3×4＜0，解得x＞5．
又x＜3+4＝7．
∴5＜x＜7．
故选：B．
13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=6，b＝2c，csA=78，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．152C．15D．17
【分析】在△ABC中由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA的式子，建立关于c的方程解出c＝2，可得b＝2c＝4．最后利用同角三角函数的关系算出sinA，即可得到△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，a=6，b＝2c，csA=78，
∴由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝5c2−72c2＝6，
∴解之得c＝2，可得b＝2c＝4．
∵A∈（0，π），可得sinA=1−cs2A=158，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×158=152．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为 22
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及基本关系式的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），
整理得3sinB＝sinA+sinBcsA+csBsinA＝sinA+sinC，
利用正弦定理：3b＝a+c，
由于a+c＝6，
整理得：3b＝a+c＝6，
∴解得：b＝2．
∵a+c＝6，
∴6＝a+c≥2ac，
整理可得：ac≤9，（当且仅当a＝c＝3时等号成立）
∴csB=a2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−42ac=16−acac．
所以sinB=1−cs2B=4ac×2ac−16，
所以S△ABC=12ac×4ac×2ac−16=22ac−16≤22×9−16=22，
当且仅当a＝c＝3时，等号成立．
则△ABC的面积的最大值为22，
故答案为：22．
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积等于3(b2+c2−a2)4，且b2+c2＝a2+2a，则A＝ π3 ，△ABC的面积的取值范围是 [3，332） ．
【分析】利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求csA，结合A为锐角可得A=π3，利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得32a=12sin（2B−π6）+14，可求范围2B−π6∈（π6，5π6），利用正弦函数的性质可求解a的范围，进而可求得S△ABC=32a的范围．
【解答】解：由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，又S△ABC=12bcsinA，
则12bcsinA=34•2bccsA，可得sinA=3csA，
又sinA+csA＝1，联立可得sinA=32，csA=12，可得A=π3，
因为b2+c2＝a2+2a，
所以csA=b2+c2−a22bc=abc=12，可得2a＝bc，
所以S△ABC=12bcsinA=32a，
因为由正弦定理可得b=2a3sinB，c=2a3sin（2π3−B），代入2a＝bc，可得2a=4a23sinBsin（2π3−B），
可得32a=12sin（2B−π6）+14，
由△ABC为锐角三角形，则B∈（π6，π2），2B−π6∈（π6，5π6），
则32a=12sin（2B−π6）+14∈（12，34]，
可得a∈[2，3），可得S△ABC=32a∈[3，332）．
故答案为：π3，[3，332）．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a2+c2﹣ac，则角B＝ π3 ；若a=23，b=22，B＝45°，则角A＝ 60°或120° ．
【分析】第一空：利用余弦定理即可求解；
第二空：利用正弦定理即可求解．
【解答】解：当b2＝a2+c2﹣ac，即a²+c²﹣b²＝ac，则由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，所以B=π3；
当a=23，b=22，B＝45°时，由正弦定理asinA=bsinB，则sinA=asinBb=23×2222=32，
因为a＞b，所以A＞B，则A＝60°或120°，
故答案为：π3；60°或120°．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S=3b，则△ABC面积的最小值为 123 ．
【分析】asin2B+bsinA＝0，利用正弦定理、倍角公式可得2sinAsinBcsB+sinAsinB＝0，化简可得csB=−12．利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得b2≥3ac，利用△ABC的面积S=3b=12acsinB，进而得出结论．
【解答】解：∵asin2B+bsinA＝0，∴2sinAsinBcsB+sinAsinB＝0，
∵sinA，sinB≠0，∴2csB＝﹣1，即csB=−12．
∴b2＝a2+c2﹣2accsB≥2ac+ac＝3ac，
△ABC的面积S=3b=12acsinB≤12×b23×32，解得b≥12．
则△ABC面积的最小值为123．当且仅当a＝c＝43，b＝12时取等号．
故答案为：123．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB1−csB=4asinB，a+c=41，△ABC的面积为2，则b＝ 3 ．
【分析】利用三角形的内角和定理与正弦定理化边为角，可推出sinB＝4（1﹣csB），再由sin2B+cs2B＝1，可求出csB和sinB的值，然后根据S=12acsinB，求得ac的值，最后由余弦定理，即可得解．
【解答】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，
∵bcsC+ccsB1−csB=4asinB，
∴sinBcsC+sinCcsB1−csB=4sinAsinB，即sin(B+C)1−csB=4sinAsinB，
∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sinA，
又sinA≠0，∴sinB＝4（1﹣csB），
将其左右两边平方，得sin2B＝16（1﹣2csB+cs2B），
∵sin2B+cs2B＝1，
∴17cs2B﹣32csB+15＝0，解得csB=1517或1（舍），
∴sinB=1−cs2B=817，
∵△ABC的面积为2，
∴S=12acsinB=417ac＝2，∴ac=172，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴b2＝（a+c）2﹣2ac﹣2accsB＝41﹣2×172−2×172×1517=9，
∴b＝3．
故答案为：3．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣a2＝ac，BA= 2 ；b2csA+a2ab的取值范围为 （32，52） ．
【分析】由余弦定理及和差角公式进行化简可得B＝2A，结合三角形的定义求出A的范围，再对所求式子结合二倍角公式进行化简后构造函数，利用导数求出对应的取值范围．
【解答】解：△ABC中，b2﹣a2＝ac，
由余弦定理知，b2﹣a2＝c2﹣2accsB，
∴c2﹣2accsB＝ac，即c﹣2acsB＝a，
由正弦定理得，sinC﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sin（A+B）﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sinAcsB+sinBcsA﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sin（B﹣A）＝sinA，∴B﹣A＝A即B＝2A，∴BA=2；
∵0＜A＜π0＜2A＜π0＜π−3A＜π，解可得A∈（0，π3），
则b2csA+a2ab=bcsAa+ab=sinBcsAsinA+sinAsinB=sin2AcsAsinA+sinAsin2A=2cs2A+12csA，
令f（x）＝2x2+12x，x∈（12，1），
f′（x）＝4x−12x2=8x3−12x2＞0，故f（x）在（12，1）上单调递增，
又f（1）=52，f（12）=32，∴32＜f（x）＜52，
则b2csA+a2ab的取值范围是（32，52）．
故答案为：2，（32，52）．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC+2ccsB＝a2，则a＝ 2 ；若又知△ABC的面积为S满足43S=a2+b2+c2，则S＝ 3 ﹒
【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得a的值，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式即可求解S的值．
【解答】解：因为2bcsC+2ccsB＝a2，
由正弦定理得2sinBcsC+2sinCcsB＝asinA，可得2sinA＝asinA，
因为sinA≠0，
所以可得a＝2，
因为43S=43×12bcsinA=23bcsinA=b2+c2+a2，
因此23bcsinA=b2+c2+b2+c2−2bccsA，即3sinA+csA=b2+c2bc=cb+bc，
由于3sinA+csA=2sin(A+π6)≤2，
可得cb+bc≥2，当且仅当A=π3，b＝c，时等式成立，
因此a2＝b2+c2﹣2bccsA＝4，解得b＝c＝2，
所以S=12bcsinA=3．
故答案为：2，3．
三．解答题（共5小题）
21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcsA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=25，b=2，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcsA＝0，…（2分）
即sinB（sinA+csA）＝0，又角B为三角形内角，sinB≠0，
所以sinA+csA＝0，即2sin(A+π4)=0，…（4分）
又因为A∈（0，π），所以A=3π4．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA，则20=4+c2−4c⋅(−22)⋯（8分）
即c2+22c−16=0，解得c=−42(舍)或c=22，…（10分）
又S=12bcsinA，所以S=12×2×22×22=2．…（12分）
22．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，利用余弦定理可求csC，结合C∈（0，π），可求C的值．
（2）由题意，利用余弦定理可解得2＜b＜8，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），
∴（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，
∵C∈（0，π），
．
（2）由余弦定理得：，
∵△ABC为锐角三角形，且C=π3，
∴csA＞0csB＞0，可得b2+c2＞a2a2+c2＞b2，可得：b2+(b2−4b+16)＞1616+(b2−4b+16)＞b2，
解得2＜b＜8，
所以△ABC面积S=12absinπ3=3b∈(23，83)．
23．在①sinA=2sinB，②c=5，③a2+b2−c2=−2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．
问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB=31010，____，____，求△ABC的面积．
【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；
选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；
选②③，由余弦定理可得csC=−22，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+2a﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：选①②由sinA=2sinB，结合正弦定理可得a=2b，
因为c=5，csB=a2+c2−b22ac=5+b2210b=31010，
解可得，b＝1或b＝5，
此时三角形的解不唯一，
选①③由sinA=2sinB，结合正弦定理可得a=2b，
因为a2+b2+c2=−2ab，联立此时a，b不存在，
选②③，
在△ABC中，由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab，
因为a2+b2+c2=−2ab，①
所以csC=−22，
又0＜C＜π，
可得C=3π4，
因为sin2B+cs2B＝1，csB=31010，
由于0＜B＜π，所以sinB=1010，
在△ABC中，由正弦定理，可得b=c⋅sinBsinC=522×1010=1，
又c=5，代入①中，可得a2+2a﹣4＝0，解得a=2（负值舍去），
于是△ABC存在且唯一，
所以S△ABC=12absinC=12×2×1×22=12．
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(csC，2b−2c)，n→=(csA，2a)，m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为8，且b2+2a2＝4c2，求c的值．
【分析】（1）法一：由已知结合向量平行的坐标表示及正弦定理，和差角公式进行化简可求csA进而可求A；
（2）由已知结合（1）中a，b，c的关系可得2c＝b，然后代入三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）因为m→∥n→，
所以2acs C＝（2b−2c）cs A，
由正弦定理得2sin Acs C＝2sin Bcs A−2cs Asin C，
得2sin（A+C）＝2sin Bcs A，
所以2sin B＝2sin Bcs A，
因为sin B＞0，所以cs A=22，又A∈（0，π），所以A=π4．
（2）由余弦定理csA=b2+c2−a22bc可得2bc＝b²+c²﹣a²，
又因为b2+2a2＝4c2，
消去a²可得3b²﹣2c²﹣22bc＝0，
所以（3b+2c）（b−2c）＝0，
则b=2c，
因为△ABC的面积为12bcsinA＝8，所以bc＝162，
所以2c²＝162，
解得c＝4．
25．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a24．
（1）若a=6，b=2，求csB；
（2）求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）的最大值．
【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA＝1，结合范围A∈（0，π），可求A的值，由正弦定理可得sinB的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求csB的值．
（2）由已知可求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）=2（sinB+csB）+sinBcsB，令t＝sinB+csB，则t2＝1+2sinBcB，可求原式=12（t+2）2−32，t∈（0，2]，利用二次函数的性质可求其最大值．
【解答】解：（1）∵S=b2+c2−a24，可得12bcsinA=2bccsA4，
∴sinA＝csA，可得tanA＝1，
∵A∈（0，π），
∴A=π4，
∵a=6，b=2，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=b⋅sinAa=2×226=66，
又∵a＞b，B为锐角，
∴csB=1−sin2B=306．
（2）∵A=π4，
∴sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）
＝sin（B+π4）+sinBcsB+cs（B−π4）
=22sinB+22csB+sinBcsB+22csB+22sinB
=2（sinB+csB）+sinBcsB
令t＝sinB+csB，则t2＝1+2sinBcB，
∴原式=12t2+2t−12=12（t+2）2−32，t∈（0，2]，
∴当t=2时，B=π4，此时，原式的最大值为52．
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是BC的中点，AM＝c﹣b，a＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．23C．33D．43
2．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a的最小值为（ ）
A．253B．263C．5D．6
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且△ABC的面积为332，a2＝b2+c2﹣bc，c＝3，则a＝（ ）
A．7B．27C．3D．6
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，且△ABC的面积S=22（b2+c2﹣a2），则△ABC周长的最大值是（ ）
A．6B．6+23C．43D．63
5．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，则csA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）
C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acsB﹣bcsA）＝16，a+b＝8，∠C＝60°，则c的值等于（ ）
A．19B．32C．17D．4
7．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+3sinB=2，且满足关系式csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，则a+c的取值范围是（ ）
A．(3，23]B．(33，233]C．(33，233)D．(3，23]
8．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，2cs2A+B2=(2−1)csC，则△ABC的面积为（ ）
A．3−32B．32+64C．32−64D．3+32
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC且a＝2bsinA，则A＝（ ）
A．π4B．π6C．π3D．2π3
10．△ABC中，若AC：AB＝CM：MB＝3：2，∠AMB＝60°，则sin∠CAB＝（ ）
A．1154B．35C．5311D．5314
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB+（c﹣b）sinC，且AD=3，b＝3c，则a的值为（ ）
A．72B．473C．3D．23
12．若△ABC为钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝4，c＝x，角C为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．5＜x＜7C．1＜x＜5D．1＜x＜7
13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=6，b＝2c，csA=78，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．152C．15D．17
二．填空题（共7小题）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积等于3(b2+c2−a2)4，且b2+c2＝a2+2a，则A＝ ，△ABC的面积的取值范围是 ．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a2+c2﹣ac，则角B＝ ；若a=23，b=22，B＝45°，则角A＝ ．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S=3b，则△ABC面积的最小值为 ．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB1−csB=4asinB，a+c=41，△ABC的面积为2，则b＝ ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣a2＝ac，BA= ；b2csA+a2ab的取值范围为 ．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC+2ccsB＝a2，则a＝ ；若又知△ABC的面积为S满足43S=a2+b2+c2，则S＝ ﹒
三．解答题（共5小题）
21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcsA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=25，b=2，求△ABC的面积．
22．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
23．在①sinA=2sinB，②c=5，③a2+b2−c2=−2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．
问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB=31010，____，____，求△ABC的面积．
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(csC，2b−2c)，n→=(csA，2a)，m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为8，且b2+2a2＝4c2，求c的值．
25．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a24．
（1）若a=6，b=2，求csB；
（2）求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）的最大值．
人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是BC的中点，AM＝c﹣b，a＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．3B．23C．33D．43
【分析】由已知在△ABM中，△ABC中，由余弦定理可得c2+4−(c−b)24c=c2+16−b28c，整理可得b2+c2＝4bc﹣8，由于cs∠BAC=2bc−12bc∈（﹣1，1），解得bc∈（4，12），利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC=1−(2bc−12bc)2，进而根据三角形的面积公式可得S△ABC=12−3(bc−8)2+48，利用二次函数的性质即可求解S△ABC的面积的最大值．
【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得，csB=AB2+BM2−AM22AB⋅BM=c2+4−(c−b)24c，
在△ABC中，由余弦定理得，csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=c2+16−b28c，则c2+4−(c−b)24c=c2+16−b28c，即b2+c2＝4bc﹣8，
因为∠BAC∈（0，π），cs∠BAC=b2+c2−162bc=2bc−12bc∈（﹣1，1），
所以bc∈（4，12），
又sin∠BAC=1−cs2∠BAC=1−(2bc−12bc)2，
所以S△ABC=12bcsin∠BAC=12bc•1−(2bc−12bc)2=12−3(bc−8)2+48，故当bc＝8时，S△ABC的面积的最大值为23．
故选：B．
2．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a的最小值为（ ）
A．253B．263C．5D．6
【分析】运用三角形的面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值．
【解答】解：△ABC中，c＝2b，
又△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=12b•2b•sinA＝2，∴b2=2sinA，
∴a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+4b2﹣2b•2bcsA＝b2（5﹣4csA）=2sinA（5﹣4csA），
设t=5−4csAsinA，t＞0，可得5＝tsinA+4csA=t2+16sin（A+θ）≤t2+16，
可得t≥3，即有a2≥6，即a≥6，可得a的最小值为6．
故选：D．
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且△ABC的面积为332，a2＝b2+c2﹣bc，c＝3，则a＝（ ）
A．7B．27C．3D．6
【分析】根据余弦定理及a2＝b2+c2﹣bc即可得出csA=12，进而得出sinA=32，然后根据△ABC的面积为332即可求出b的值，然后将b，c的值代入a2＝b2+c2﹣bc即可求出a的值．
【解答】解：根据余弦定理，b2+c2﹣a2＝2bccsA，
∵a2＝b2+c2﹣bc，∴bc＝2bccsA，
∴csA=12，∴sinA=32，
∵△ABC的面积为332，∴12bcsinA=332，且c＝3，
∴3b⋅32=33，解得b＝2，
∴a2＝4+9﹣2×3＝7，
∴a=7．
故选：A．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，且△ABC的面积S=22（b2+c2﹣a2），则△ABC周长的最大值是（ ）
A．6B．6+23C．43D．63
【分析】利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得sinA＝22csA，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可得解三角形的周长的最大值．
【解答】解：因为a＝23，且△ABC的面积S=22(b2+c2−a2)，
则12bcsinA=22•2bccsA，即可得sinA＝22csA＞0，
所以sin2A+（sinA22）2＝1，解得sinA=223，（负值舍去），可得csA=13，
所以由余弦定理可得12＝b2+c2﹣2bc•13=（b+c）2−83bc，即bc=[(b+c)2−12]×38，
又bc≤（b+c2）2，当且仅当b＝c时等号成立，
所以[(b+c)2−12]×38≤（b+c2）2，整理解得（b+c）2≤36，即b+c≤6，当且仅当b＝c＝3时等号成立，
所以△ABC周长a+b+c的最大值是6+23．
故选：B．
5．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，则csA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）
C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）
【分析】由题意求得csA=−1a，再由余弦定理，得出关于−1a的方程，
构造函数，利用函数零点的判断方法得出csA的取值范围．
【解答】解：△ABC中，AB＝AC＝2，BC•cs（π﹣A）＝1，
∴c＝b＝2，﹣acsA＝1，
csA=−1a＜0，且4＞a＞22；
由余弦定理得，csA=22+22−a22×2×2=8−a28，
∴−1a=8−a28，
化为：8•(−1a)3−8•(−1a)2+1＝0，
令−1a=x∈（−122，−14），
则f（x）＝8x3﹣8x2+1＝0，
∵f（﹣0.4）＝﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）＝0.064＞0，
∴csA∈（﹣0.4，﹣0.3）．
故选：A．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acsB﹣bcsA）＝16，a+b＝8，∠C＝60°，则c的值等于（ ）
A．19B．32C．17D．4
【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16，又a+b＝8，解得a，b的值，进而根据余弦定理即可求解c的值．
【解答】解：因为c（acsB﹣bcsA）＝16，
由余弦定理可得c（a•a2+c2−b22ac−b•b2+c2−a22bc）＝16，整理可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16，
又因为a+b＝8，
所以a﹣b＝2，解得a＝5，b＝3，
又∠C＝60°，
所以由余弦定理可得c=52+32−2×5×3×12=19．
故选：A．
7．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+3sinB=2，且满足关系式csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，则a+c的取值范围是（ ）
A．(3，23]B．(33，233]C．(33，233)D．(3，23]
【分析】由csB+3sinB＝2，推导出B＝60°，由csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，推导出b=3由此能求出a+c的取值范围．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．
csB+3sinB＝2，
∴2sin（B+30°）＝2，
∴B＝60°，
∵csBb+csCc=2sinAsinB3sinC，
∴a2+c2−b22acb+a2+b2−c22abc=2asinB3c=3a3c，
解得b=3，
∴由asinA=csinC=3sin60°=2，
∴a+c＝2sinA+2sinC＝2sinA+2sin（120°﹣A）＝3sinA+3csA＝23sin（A+30°），
∵锐角三角形中A∈（30°，90°），A+30°∈（60°，120°），sin（A+30°）∈（32，1]，
∴a+c＝23sin（A+30°）∈（3，23]．
故选：D．
8．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，2cs2A+B2=(2−1)csC，则△ABC的面积为（ ）
A．3−32B．32+64C．32−64D．3+32
【分析】利用余弦定理可得A，再利用倍角公式、诱导公式可得C，利用正弦定理可得c，再利用面积计算公式即可得出．
【解答】解：a=6，（b2+c2﹣6）tanA=3bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=32tanA，
∴sinA=32，A为锐角，
∴A=π3．
2cs2A+B2=(2−1)csC，∴1+cs（A+B）＝（2−1）csC，
∴2csC＝1，C为锐角，∴C=π4．∴B=5π12．
∴c=asinCsinA=2．
∴△ABC的面积S=12acsinB=12×6×2×sin5π12=6×6+24=3+32．
故选：D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC且a＝2bsinA，则A＝（ ）
A．π4B．π6C．π3D．2π3
【分析】直接利用余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2＝b2+2accsC，
则：a2+c2＝a2+c2﹣2accsB+2accsC，
整理得：2accsB＝2accsC，所以csC＝csB，
则：B＝C．
由于a＝2bsinA，所以sinA＝2sinBsinA，
所以sinB=12．
故：B=π6或5π6．
①当B=π6时，C=π6，所以A=2π3．
②当B=5π6时，与三角形内角和定理矛盾．
故：A=2π3．
故选：D．
10．△ABC中，若AC：AB＝CM：MB＝3：2，∠AMB＝60°，则sin∠CAB＝（ ）
A．1154B．35C．5311D．5314
【分析】由题意设AB＝2，AC＝3，BM＝2x，DM＝3x，在△ABM中由正弦定理可求x=sinα32，在△ABC中，由余弦定理可求cs2α=13−25×43×sin2α12，利用二倍角公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，根据二倍角的正弦公式即可求解sin∠CAB的值．
【解答】解：∵ACAB=CMMB=32，
∴AM为∠BAC的角平分线，
设∠BAM＝∠CAM＝α，
不妨设AB＝2，AC＝3，BM＝2x，DM＝3x，在△ABM中，2xsinα=232，
∴x=sinα32，
在△ABC中，cs2α=4+9−25x22×2×3=13−25×43×sin2α12，
∴1﹣2sin2α=13−1003sin2α12，
∴sinα=2114，α∈（ 0，π2），
∴csα=17514，
∴sin∠CAB＝sin2α=5314．
故选：D．
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB+（c﹣b）sinC，且AD=3，b＝3c，则a的值为（ ）
A．72B．473C．3D．23
【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得csA的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC=π6，由余弦定理，角平分线的性质可得CD＝3BD，可得3+b2−2×b×3×32=33+c2−2×3×c×32，解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值．
【解答】解：由正弦定理化简已知等式得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
由于A∈（0，π），
可得：A=π3，
因为角A的角平分线交BC于点D，可得∠BAD＝∠DAC=π6，
所以由余弦定理可得BD=3+c2−2×3×c×32，CD=3+b2−2×b×3×32，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即3+b2−2×b×3×32=33+c2−2×3×c×32，整理可得c=43，b＝4，
所以由余弦定理可得a=(43)2+42−2×43×4×12=473．
故选：B．
12．若△ABC为钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝4，c＝x，角C为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．5＜x＜7C．1＜x＜5D．1＜x＜7
【分析】角C为钝角，可得csC＜0，解得x．又x＜3+4．即可得出x的取值范围．
【解答】解：角C为钝角，∴csC=32+42−x22×3×4＜0，解得x＞5．
又x＜3+4＝7．
∴5＜x＜7．
故选：B．
13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=6，b＝2c，csA=78，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．152C．15D．17
【分析】在△ABC中由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA的式子，建立关于c的方程解出c＝2，可得b＝2c＝4．最后利用同角三角函数的关系算出sinA，即可得到△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，a=6，b＝2c，csA=78，
∴由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝5c2−72c2＝6，
∴解之得c＝2，可得b＝2c＝4．
∵A∈（0，π），可得sinA=1−cs2A=158，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×158=152．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为 22
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及基本关系式的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣csA）sinB＝sinA（1+csB），
整理得3sinB＝sinA+sinBcsA+csBsinA＝sinA+sinC，
利用正弦定理：3b＝a+c，
由于a+c＝6，
整理得：3b＝a+c＝6，
∴解得：b＝2．
∵a+c＝6，
∴6＝a+c≥2ac，
整理可得：ac≤9，（当且仅当a＝c＝3时等号成立）
∴csB=a2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−42ac=16−acac．
所以sinB=1−cs2B=4ac×2ac−16，
所以S△ABC=12ac×4ac×2ac−16=22ac−16≤22×9−16=22，
当且仅当a＝c＝3时，等号成立．
则△ABC的面积的最大值为22，
故答案为：22．
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积等于3(b2+c2−a2)4，且b2+c2＝a2+2a，则A＝ π3 ，△ABC的面积的取值范围是 [3，332） ．
【分析】利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求csA，结合A为锐角可得A=π3，利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得32a=12sin（2B−π6）+14，可求范围2B−π6∈（π6，5π6），利用正弦函数的性质可求解a的范围，进而可求得S△ABC=32a的范围．
【解答】解：由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，又S△ABC=12bcsinA，
则12bcsinA=34•2bccsA，可得sinA=3csA，
又sinA+csA＝1，联立可得sinA=32，csA=12，可得A=π3，
因为b2+c2＝a2+2a，
所以csA=b2+c2−a22bc=abc=12，可得2a＝bc，
所以S△ABC=12bcsinA=32a，
因为由正弦定理可得b=2a3sinB，c=2a3sin（2π3−B），代入2a＝bc，可得2a=4a23sinBsin（2π3−B），
可得32a=12sin（2B−π6）+14，
由△ABC为锐角三角形，则B∈（π6，π2），2B−π6∈（π6，5π6），
则32a=12sin（2B−π6）+14∈（12，34]，
可得a∈[2，3），可得S△ABC=32a∈[3，332）．
故答案为：π3，[3，332）．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a2+c2﹣ac，则角B＝ π3 ；若a=23，b=22，B＝45°，则角A＝ 60°或120° ．
【分析】第一空：利用余弦定理即可求解；
第二空：利用正弦定理即可求解．
【解答】解：当b2＝a2+c2﹣ac，即a²+c²﹣b²＝ac，则由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，所以B=π3；
当a=23，b=22，B＝45°时，由正弦定理asinA=bsinB，则sinA=asinBb=23×2222=32，
因为a＞b，所以A＞B，则A＝60°或120°，
故答案为：π3；60°或120°．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S=3b，则△ABC面积的最小值为 123 ．
【分析】asin2B+bsinA＝0，利用正弦定理、倍角公式可得2sinAsinBcsB+sinAsinB＝0，化简可得csB=−12．利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得b2≥3ac，利用△ABC的面积S=3b=12acsinB，进而得出结论．
【解答】解：∵asin2B+bsinA＝0，∴2sinAsinBcsB+sinAsinB＝0，
∵sinA，sinB≠0，∴2csB＝﹣1，即csB=−12．
∴b2＝a2+c2﹣2accsB≥2ac+ac＝3ac，
△ABC的面积S=3b=12acsinB≤12×b23×32，解得b≥12．
则△ABC面积的最小值为123．当且仅当a＝c＝43，b＝12时取等号．
故答案为：123．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB1−csB=4asinB，a+c=41，△ABC的面积为2，则b＝ 3 ．
【分析】利用三角形的内角和定理与正弦定理化边为角，可推出sinB＝4（1﹣csB），再由sin2B+cs2B＝1，可求出csB和sinB的值，然后根据S=12acsinB，求得ac的值，最后由余弦定理，即可得解．
【解答】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，
∵bcsC+ccsB1−csB=4asinB，
∴sinBcsC+sinCcsB1−csB=4sinAsinB，即sin(B+C)1−csB=4sinAsinB，
∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sinA，
又sinA≠0，∴sinB＝4（1﹣csB），
将其左右两边平方，得sin2B＝16（1﹣2csB+cs2B），
∵sin2B+cs2B＝1，
∴17cs2B﹣32csB+15＝0，解得csB=1517或1（舍），
∴sinB=1−cs2B=817，
∵△ABC的面积为2，
∴S=12acsinB=417ac＝2，∴ac=172，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴b2＝（a+c）2﹣2ac﹣2accsB＝41﹣2×172−2×172×1517=9，
∴b＝3．
故答案为：3．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣a2＝ac，BA= 2 ；b2csA+a2ab的取值范围为 （32，52） ．
【分析】由余弦定理及和差角公式进行化简可得B＝2A，结合三角形的定义求出A的范围，再对所求式子结合二倍角公式进行化简后构造函数，利用导数求出对应的取值范围．
【解答】解：△ABC中，b2﹣a2＝ac，
由余弦定理知，b2﹣a2＝c2﹣2accsB，
∴c2﹣2accsB＝ac，即c﹣2acsB＝a，
由正弦定理得，sinC﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sin（A+B）﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sinAcsB+sinBcsA﹣2sinAcsB＝sinA，
∴sin（B﹣A）＝sinA，∴B﹣A＝A即B＝2A，∴BA=2；
∵0＜A＜π0＜2A＜π0＜π−3A＜π，解可得A∈（0，π3），
则b2csA+a2ab=bcsAa+ab=sinBcsAsinA+sinAsinB=sin2AcsAsinA+sinAsin2A=2cs2A+12csA，
令f（x）＝2x2+12x，x∈（12，1），
f′（x）＝4x−12x2=8x3−12x2＞0，故f（x）在（12，1）上单调递增，
又f（1）=52，f（12）=32，∴32＜f（x）＜52，
则b2csA+a2ab的取值范围是（32，52）．
故答案为：2，（32，52）．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC+2ccsB＝a2，则a＝ 2 ；若又知△ABC的面积为S满足43S=a2+b2+c2，则S＝ 3 ﹒
【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得a的值，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式即可求解S的值．
【解答】解：因为2bcsC+2ccsB＝a2，
由正弦定理得2sinBcsC+2sinCcsB＝asinA，可得2sinA＝asinA，
因为sinA≠0，
所以可得a＝2，
因为43S=43×12bcsinA=23bcsinA=b2+c2+a2，
因此23bcsinA=b2+c2+b2+c2−2bccsA，即3sinA+csA=b2+c2bc=cb+bc，
由于3sinA+csA=2sin(A+π6)≤2，
可得cb+bc≥2，当且仅当A=π3，b＝c，时等式成立，
因此a2＝b2+c2﹣2bccsA＝4，解得b＝c＝2，
所以S=12bcsinA=3．
故答案为：2，3．
三．解答题（共5小题）
21．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcsA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=25，b=2，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcsA＝0，…（2分）
即sinB（sinA+csA）＝0，又角B为三角形内角，sinB≠0，
所以sinA+csA＝0，即2sin(A+π4)=0，…（4分）
又因为A∈（0，π），所以A=3π4．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA，则20=4+c2−4c⋅(−22)⋯（8分）
即c2+22c−16=0，解得c=−42(舍)或c=22，…（10分）
又S=12bcsinA，所以S=12×2×22×22=2．…（12分）
22．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，利用余弦定理可求csC，结合C∈（0，π），可求C的值．
（2）由题意，利用余弦定理可解得2＜b＜8，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），
∴（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，
∵C∈（0，π），
．
（2）由余弦定理得：，
∵△ABC为锐角三角形，且C=π3，
∴csA＞0csB＞0，可得b2+c2＞a2a2+c2＞b2，可得：b2+(b2−4b+16)＞1616+(b2−4b+16)＞b2，
解得2＜b＜8，
所以△ABC面积S=12absinπ3=3b∈(23，83)．
23．在①sinA=2sinB，②c=5，③a2+b2−c2=−2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．
问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB=31010，____，____，求△ABC的面积．
【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；
选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；
选②③，由余弦定理可得csC=−22，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+2a﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：选①②由sinA=2sinB，结合正弦定理可得a=2b，
因为c=5，csB=a2+c2−b22ac=5+b2210b=31010，
解可得，b＝1或b＝5，
此时三角形的解不唯一，
选①③由sinA=2sinB，结合正弦定理可得a=2b，
因为a2+b2+c2=−2ab，联立此时a，b不存在，
选②③，
在△ABC中，由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab，
因为a2+b2+c2=−2ab，①
所以csC=−22，
又0＜C＜π，
可得C=3π4，
因为sin2B+cs2B＝1，csB=31010，
由于0＜B＜π，所以sinB=1010，
在△ABC中，由正弦定理，可得b=c⋅sinBsinC=522×1010=1，
又c=5，代入①中，可得a2+2a﹣4＝0，解得a=2（负值舍去），
于是△ABC存在且唯一，
所以S△ABC=12absinC=12×2×1×22=12．
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=(csC，2b−2c)，n→=(csA，2a)，m→∥n→．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为8，且b2+2a2＝4c2，求c的值．
【分析】（1）法一：由已知结合向量平行的坐标表示及正弦定理，和差角公式进行化简可求csA进而可求A；
（2）由已知结合（1）中a，b，c的关系可得2c＝b，然后代入三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）因为m→∥n→，
所以2acs C＝（2b−2c）cs A，
由正弦定理得2sin Acs C＝2sin Bcs A−2cs Asin C，
得2sin（A+C）＝2sin Bcs A，
所以2sin B＝2sin Bcs A，
因为sin B＞0，所以cs A=22，又A∈（0，π），所以A=π4．
（2）由余弦定理csA=b2+c2−a22bc可得2bc＝b²+c²﹣a²，
又因为b2+2a2＝4c2，
消去a²可得3b²﹣2c²﹣22bc＝0，
所以（3b+2c）（b−2c）＝0，
则b=2c，
因为△ABC的面积为12bcsinA＝8，所以bc＝162，
所以2c²＝162，
解得c＝4．
25．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a24．
（1）若a=6，b=2，求csB；
（2）求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）的最大值．
【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA＝1，结合范围A∈（0，π），可求A的值，由正弦定理可得sinB的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求csB的值．
（2）由已知可求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）=2（sinB+csB）+sinBcsB，令t＝sinB+csB，则t2＝1+2sinBcB，可求原式=12（t+2）2−32，t∈（0，2]，利用二次函数的性质可求其最大值．
【解答】解：（1）∵S=b2+c2−a24，可得12bcsinA=2bccsA4，
∴sinA＝csA，可得tanA＝1，
∵A∈（0，π），
∴A=π4，
∵a=6，b=2，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=b⋅sinAa=2×226=66，
又∵a＞b，B为锐角，
∴csB=1−sin2B=306．
（2）∵A=π4，
∴sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）
＝sin（B+π4）+sinBcsB+cs（B−π4）
=22sinB+22csB+sinBcsB+22csB+22sinB
=2（sinB+csB）+sinBcsB
令t＝sinB+csB，则t2＝1+2sinBcB，
∴原式=12t2+2t−12=12（t+2）2−32，t∈（0，2]，
∴当t=2时，B=π4，此时，原式的最大值为52．
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