人教版2022届一轮复习打地基练习 向量数乘

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人教版2022届一轮复习打地基练习 向量数乘
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，AE→=310(AB→+AC→)，D为BC边的中点，则（　　）
A．3AE→=7ED→ B．7AE→=3ED→ C．2AE→=3ED→ D．3AE→=2ED→
2．在△ABC中，点D为边AB的中点，则向量CD→=（　　）
A．12CA→+12CB→ B．−12CA→−12CB→ C．−12CA→+12CB→ D．12CA→−12CB→
3．已知单位向量a→，b→满足a→•b→=0，若向量c→=7a→+2b→，则sin＜a→，c→＞=（　　）
A．73 B．23 C．79 D．29
4．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC→=λAM→+μBN→，则λ+μ＝（　　）

A．2 B．83 C．65 D．85
5．如图，设P为△ABC内一点，且AP→=14AB→+15AC→，BM→=34BA→，CN→=45CA→，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于（　　）

A．1：5 B．2：5 C．3：20 D．7：20
6．如图所示，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点E、F、G分别为AC、BC、ED的中点，则向量FG→可以表示为（　　）

A．58AD→+14AB→ B．14AD→+58AB→ C．58AD→−14AB→ D．14AD→−58AB→
7．点C在线段AB的反向延长线上，且AC→=−25AB→，AC→=λBC→，则λ为（　　）
A．−72 B．72 C．−27 D．27
8．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC的中点，则DE→=（　　）
A．12AB→−12AD→ B．12AB→+12AD→ C．12AB→−AD→ D．12AB→−14AD→
9．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足BD→=2DC→，则向量AD→=（　　）
A．13AB→+13AC→ B．13AB→+23AC→ C．23AB→+13AC→ D．23AB→+23AC→
10．在△ABC所在平面内，D是BC延长线上一点且BD＝4CD，E是AC的中点．设AB→=a→，BC→=b→，则ED→=（　　）
A．23a→+16b→ B．12a→+56b→ C．16a→+13b→ D．16a→+16b→
11．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若AD→=xAB→，AE→=yAC→，xy≠0，则4x+y的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．若AP→=13PB→，AB→=λBP→，则实数λ的值是（　　）
A．34 B．−34 C．43 D．−43
二．多选题（共4小题）
13．有下列说法其中错误的说法为（　　）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝1：6
C．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|＝|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
D．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
14．如图，B是AC的中点，BE→=2OB→，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP→=xOA→+yOB→(x，y∈R)．以下结论中正确的结论为（　　）

A．当x＝0时，y∈[2，3]
B．当P是线段CE的中点时，x=−12，y=52
C．若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x﹣y的最大值为﹣1
15．已知实数m，n和向量a→，b→，下列说法中正确的是（　　）
A．m（a→+b→）＝ma→+mb→ B．（m﹣n） a→=ma→−na→
C．若ma→=mb→，则a→=b→ D．若ma→=na→（a→≠0→），则m＝n
16．已知向量m→，n→，p→，下列说法中正确的是（　　）
A．若m→=n→，则m→+p→=n→+p→ B．若m→=n→，则m→−p→=n→−p→
C．m→−n→=n→−m→ D．m→−n→−p→=m→−（n→+p→）
三．填空题（共12小题）
17．设向量a→，b→不平行，若向量λa→+b→与a→−2b→平行，则实数λ的值为　 　．
18．已知点P为△ABC所在平面内一点，满足mPC→=−3PA→+PB→（m＞0），S△PBC=13S△ABC，则m＝　 　．
19．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且MNAM=5−12，若QN→=a→，则CP→+NM→=　 　（用a→表示）．

20．已知△ABC，点D满足AB→=2BD→，若CD→=xCA→+yCB→，则x＝　 　，y＝　 　．
21．△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD→=3DB→，3BE→=EC→，CF→=3FA→，若|BC→|=2，则||AE→+BF→+CD→|=　 　．
22．已知正方形ABCD中，M是BC的中点，AC→=λAM→+μBD→，则λ+μ＝　 　
23．在△ABC中，已知点D满足BC→=3CD→，若AD→=mAB→+43AC→，则m＝　 　．
24．已知向量a→=（x，y），b→=（﹣1，2），若|a→|=5，a→=λb→（λ＜0），则x﹣y＝　 　
25．已知O是△ABC内部一点，且3OA→+2OB→+OC→=0→，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为　 　．
26．定义在区间[x1，x2]上的函数y＝f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量OA→=(x1，f(x1))，OB→=(x2，f(x2))，OM→=(x，y)，且实数λ满足x＝λx1+（1﹣λ）x2，此时向量ON→=λOA→+(1−λ)OB→．若|MN→|≤K恒成立，则称函数y＝f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）＝x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是　 　．
27．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若PA→=mPB→+(32−m)PC→（m为常数，且m≠0），且PA→=tPD→，则实数t的值为 　 　；则CD的长度是 　 　．

28．已知点R在线段PQ上，且PR→=35PQ→，设PQ→=λQR→，则实数λ＝　 　．
四．解答题（共4小题）
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→=2MA→，
（1）用CA→、CB→向量表示向量CM→．
（2）求|CM→|．

30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记AB→=a→，AD→=b→．
（1）用a→、b→表示BE→，并求|BE→|；
（2）若AO→=λAF→，求实数λ的值．

31．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足AE→=xAB→，AF→=yAC→，求证：1x+2y=3．

32．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足APAB=BMBC=CNCA=14，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用a→，b→表示MN→；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用a→，b→表示AG→．


人教版2022届一轮复习打地基练习 向量数乘
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，AE→=310(AB→+AC→)，D为BC边的中点，则（　　）
A．3AE→=7ED→ B．7AE→=3ED→ C．2AE→=3ED→ D．3AE→=2ED→
【分析】由于D为BC边的中点，可得AB→+AC→=2AD→，结合已知即可求解向量AE→，AD→的关系式．
【解答】解：因为D为BC边的中点，
所以AB→+AC→=2AD→，
因为AE→=310（AB→+AC→），
所以AE→=35AD→，则2AE→=3ED→．
故选：C．
2．在△ABC中，点D为边AB的中点，则向量CD→=（　　）
A．12CA→+12CB→ B．−12CA→−12CB→ C．−12CA→+12CB→ D．12CA→−12CB→
【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出2CD→=CA→+CB→，从而得出CD→=12CA→+12CB→．
【解答】解：如图，
∵点D为边AB的中点；
∴2CD→=CA→+CB→；
∴CD→=12CA→+12CB→．
故选：A．

3．已知单位向量a→，b→满足a→•b→=0，若向量c→=7a→+2b→，则sin＜a→，c→＞=（　　）
A．73 B．23 C．79 D．29
【分析】由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求cos＜a→，c→＞，然后结合同角平方关系即可求解．
【解答】解：a→⋅c→=a→•（7a→+2b→）=7a→2+2a→⋅b→=7，
|c→|=(7a→+2b→)2=7a→2+2b→2+214a→⋅b→=7+2=3，
所以cos＜a→，c→＞=a→⋅c→|a→||c→|=71×3=73，
所以sin＜a→，c→＞=23．
故选：B．
4．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC→=λAM→+μBN→，则λ+μ＝（　　）

A．2 B．83 C．65 D．85
【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．
【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则AM→=（1，12），BN→=（−12，1），AC→=（1，1）．
∵AC→=λAM→+μBN→，
∴λ−12μ=112λ+μ=1，解得λ=65μ=25．
∴λ+μ=85．
故选：D．

5．如图，设P为△ABC内一点，且AP→=14AB→+15AC→，BM→=34BA→，CN→=45CA→，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于（　　）

A．1：5 B．2：5 C．3：20 D．7：20
【分析】根据条件可得出AM→=14AB→，AN→=15AC→，然后即可得出AP→=AM→+AN→，从而得出NP∥AB，又根据题意BM=34AB，AN=15AC，然后即可得出△PMB的面积与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵BM→=34BA→，CN→=45CA→，
∴AM→=14AB→，AN→=15AC→，
∴AP→=14AB→+15AC→=AM→+AN→，
∴四边形AMPN为平行四边形，
∴NP∥AB，
∴S△PMB=(34×15)S△ABC=320S△ABC，
∴△PMB的面积与△ABC的面积之比为：3：20．
故选：C．
6．如图所示，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点E、F、G分别为AC、BC、ED的中点，则向量FG→可以表示为（　　）

A．58AD→+14AB→ B．14AD→+58AB→ C．58AD→−14AB→ D．14AD→−58AB→
【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设A（﹣2，0），B（2，0），C（1，t），D（﹣1，t），（t＞0）．根据中点坐标公式可得E，F，G坐标．设向量FG→=mAD→+nAB→．根据向量坐标运算性质、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设A（﹣2，0），B（2，0），C（1，t），D（﹣1，t），（t＞0）．
∴AD→=（1，t），AB→=（4，0）．
∵点E、F、G分别为AC、BC、ED的中点，
∴E（−12，t2），G（−34，34t），F(32，t2)．
FG→=（−94，14t）．
设向量FG→=mAD→+nAB→．
∴（−94，14t）＝m（1，t）+n（4，0）．
∴−94=m+4n，14t＝mt．
解得m=14，n=−58．
∴向量FG→=14AD→−58AB→．
故选：D．

7．点C在线段AB的反向延长线上，且AC→=−25AB→，AC→=λBC→，则λ为（　　）
A．−72 B．72 C．−27 D．27
【分析】根据AC→=−25AB→即可得出AC→=27BC→，然后根据共线向量基本定理即可求出λ的值．
【解答】解：∵AC→=−25AB→，
∴AC→=−25(AC→−BC→)，
∴AC→=27BC→，又AC→=λBC→，BC→≠0→，
∴λ=27．
故选：D．
8．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC的中点，则DE→=（　　）
A．12AB→−12AD→ B．12AB→+12AD→ C．12AB→−AD→ D．12AB→−14AD→
【分析】将向量AB→、AD→看成基底，借助于减法的三角形法则表示出DB→，再利用DE→=12DB→表示出DE→即可．
【解答】解：由题意DB→=AB→−AD→，
∴DE→=12DB→=12AB→−12AD→．
故选：A．
9．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足BD→=2DC→，则向量AD→=（　　）
A．13AB→+13AC→ B．13AB→+23AC→ C．23AB→+13AC→ D．23AB→+23AC→
【分析】根据BD→=2DC→可得出AD→−AB→=2(AC→−AD→)，然后进行向量的数乘运算求出AD→即可．
【解答】解：∵BD→=2DC→，
∴AD→−AB→=2(AC→−AD→)，
∴AD→=13AB→+23AC→．
故选：B．
10．在△ABC所在平面内，D是BC延长线上一点且BD＝4CD，E是AC的中点．设AB→=a→，BC→=b→，则ED→=（　　）
A．23a→+16b→ B．12a→+56b→ C．16a→+13b→ D．16a→+16b→
【分析】由已知结合向量的线性表示即可直接求解．
【解答】解：因为BD＝4CD，
所以BC＝3CD，
则ED→=EC→+CD→=12AC→+13BC→=12(AB→+BC→)+13BC→=12a→+56b→．
故选：B．
11．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若AD→=xAB→，AE→=yAC→，xy≠0，则4x+y的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．
【解答】解：设△ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线
∴存在λ使得AM→=λAD→+(1−λ)AE→
∵AD→=xAB→，AE→=yAC→且AM→=13AB→+13AC→
∴λx=13(1−λ)y=13，化简得：13x+13y=1
∴4x+y=(4x+y)(13x+13y)
=43+13+y3x+4x3y≥53+249=3
故选：B．
12．若AP→=13PB→，AB→=λBP→，则实数λ的值是（　　）
A．34 B．−34 C．43 D．−43
【分析】由题意得AP→=13PB→，结合图示可得所以AB→=−34BP→．
【解答】解：由题意得AP→=13PB→，结合图示可得

所以AB→=−43BP→．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
13．有下列说法其中错误的说法为（　　）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝1：6
C．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|＝|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
D．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
【分析】由零与任何向量共线，即可判断A；由三角形的重心的向量表示和性质可判断B；由向量共线的性质可判断C；由向量共线定理可判断D．
【解答】解：若a→∥b→，b→∥c→，且b→=0→，则a→∥c→或a→，c→不共线，故A错误；
若2OA→+OB→+3OC→=0→，设OA′→=2OA→，OC′→=3OC→，可得O为△A'BC'的重心，
设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，
则S△A'OB＝2x，S△BOC'＝3y，S△A'OC'＝6z，由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC：S△ABC＝z：（x+y+z）＝1：6，故B正确；
两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|＝|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向，故C正确；
若a→∥b→，且b→=0→，则实数λ可有无数个使a→=λb→，故D错误．
故选：AD．

14．如图，B是AC的中点，BE→=2OB→，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP→=xOA→+yOB→(x，y∈R)．以下结论中正确的结论为（　　）

A．当x＝0时，y∈[2，3]
B．当P是线段CE的中点时，x=−12，y=52
C．若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x﹣y的最大值为﹣1
【分析】利用向量共线的充要条件判断出A错，C对；利用向量的运算法则求出OP→，求出x，y判断出B对，利用三点共线判断D．
【解答】解：当OP→=yOB→，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错；
当P是线段CE的中点时，OP→=OE→+EP→=3OB→+12(EB→+BC→)
=3OB→+12(−2OB→+AB→)=−12OA→+52OB→，故B对；
x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故C对，
对于D：OP→=xOA→+yOB→=xOA→−y（−OB→），令−OB→=OF→，则OP→=xOA→−yOF→，当P，A，F共线时，则x﹣y＝1，
当AF平移到过点B时，x﹣y的最大值为﹣1，故D正确
故选：BCD．
15．已知实数m，n和向量a→，b→，下列说法中正确的是（　　）
A．m（a→+b→）＝ma→+mb→ B．（m﹣n） a→=ma→−na→
C．若ma→=mb→，则a→=b→ D．若ma→=na→（a→≠0→），则m＝n
【分析】根据向量的数乘运算的分配律以及向量的运算性质求解．
【解答】解：根据向量的数乘运算的分配律，恒有m（a→+b→）=ma→+mb→及(m−n)a→=ma→−na→，故选项AB正确，
当m＝0时，ma→=mb→=0→，但a→与b→不一定相等，故选项C错误，
由ma→=na→得(m−n)a→=0→，又因为a→≠0→，所以m＝n，故选项D正确，
故选：ABD．
16．已知向量m→，n→，p→，下列说法中正确的是（　　）
A．若m→=n→，则m→+p→=n→+p→ B．若m→=n→，则m→−p→=n→−p→
C．m→−n→=n→−m→ D．m→−n→−p→=m→−（n→+p→）
【分析】由已知结合向量的基本运算及相等条件分别检验各选项即可判断．
【解答】解：若m→=n→，则m→+p→=n→+p→成立，m→−p→=n→−p→成立，A，B正确；
m→−n→与n→−m→是互为相反向量，C错误；
m→−n→−p→=m→−(n→+p→)，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共12小题）
17．设向量a→，b→不平行，若向量λa→+b→与a→−2b→平行，则实数λ的值为　−12　．
【分析】向量λa→+b→与a→−2b→平行，存在实数k使得λa→+b→=k（a→−2b→），再利用向量共面基本定理即可得出．
【解答】解：∵向量λa→+b→与a→−2b→平行，
∴存在实数k使得λa→+b→=k（a→−2b→），
化为(λ−k)a→+(1+2k)b→=0→，
∵向量a→，b→不平行，
∴λ−k=01+2k=0，
解得λ=−12．
故答案为：−12．
18．已知点P为△ABC所在平面内一点，满足mPC→=−3PA→+PB→（m＞0），S△PBC=13S△ABC，则m＝　7　．
【分析】以C为原点，CB为x轴，与CB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出P、A、B坐标，
根据mPC→=−3PA→+PB→（m＞0），列方程组可解决此题．
【解答】解：如图所示：以C为原点，CB为x轴，与CB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设P(x,y),A（s,t）,B(a,0),C(0,0),由S△PBC=13S△ABC，得y＝±t3,
则PC→=(﹣x,﹣y),PA→=(s﹣x,t﹣y),PB→=(a﹣x,﹣y),
根据mPC→=−3PA→+PB→（m＞0），−mx=−3s+3x+a−x−my=−3t+3y−y,解得：x=3s−am+2y=3tm+2,
∵y＝±t3,∴可解得m＝7或﹣11，∵m＞0,∴可取m＝7．
故答案为：7．
19．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且MNAM=5−12，若QN→=a→，则CP→+NM→=　5+12a→　（用a→表示）．

【分析】根据MNAM=5−12可得出ANQN=5+12，进而得出NA→=5+12a→，并且CP→=MA→，NM→=−MN→，从而可用a→表示出CP→+NM→．
【解答】解：∵QNAN=MNAM=5−12，
∴ANQN=25−1=5+12，
∴NA→=5+12QN→=5+12a→，
∴CP→+NM→=MA→−MN→=NA→=5+12a→．
故答案为：5+12a→．
20．已知△ABC，点D满足AB→=2BD→，若CD→=xCA→+yCB→，则x＝　−12　，y＝　32　．
【分析】根据AB→=2BD→，由向量减法的几何意义即可得出CB→−CA→=2(CD→−CB→)，解出CD→=−12CA→+32CB→，这样根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．
【解答】解：∵AB→=2BD→；
∴CB→−CA→=2(CD→−CB→)；
∴CD→=−12CA→+32CB→；
又CD→=xCA→+yCB→，且CA→，CB→不共线；
∴由平面向量基本定理得：x=−12，y=32．
故答案为：−12，32．
21．△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD→=3DB→，3BE→=EC→，CF→=3FA→，若|BC→|=2，则||AE→+BF→+CD→|=　1　．
【分析】根据题意，由向量加法的三角形法则可得AE→=AB→+BE→=AB→+14BC→，BF→=AF→−AB→=14AC→−AB→，CD→=AD→−AC→=34AB→−AC→，进而可得AE→+BF→+CD→的表达式，结合|BC→|=2，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD→=3DB→，3BE→=EC→，CF→=3FA→，如图：
则AE→=AB→+BE→=AB→+14BC→，
BF→=AF→−AB→=14AC→−AB→，
CD→=AD→−AC→=34AB→−AC→，
则AE→+BF→+CD→=（AB→+14BC→）+（14AC→−AB→）+（34AB→−AC→）=14BC→+34（AB→−AC→）=−12BC→，
又由|BC→|=2，则|AE→+BF→+CD→|＝1；
故答案为：1

22．已知正方形ABCD中，M是BC的中点，AC→=λAM→+μBD→，则λ+μ＝　53　
【分析】本题根据题意画出图形，然后将所有向量都用基底向量AB→，AD→表示出来，再根据等式AC→=λAM→+μBD→即可得到系数相等，从而解出λ和μ的值，得出结果．
【解答】解：根据题意画图如下：

由图，AC→=AB→+AD→，
∵AM→=AB→+BM→=AB→+12AD→，BD→=AD→−AB→，
∴λAM→+μBD→=λ（AB→+12AD→）+μ（AD→−AB→）
＝（λ﹣μ）AB→+（12λ+μ）AD→，
∵AC→=λAM→+μBD→
∴λ−μ=112λ+μ=1，解得λ=43μ=13．
∴λ+μ=53．
故答案为：53．
23．在△ABC中，已知点D满足BC→=3CD→，若AD→=mAB→+43AC→，则m＝　−13　．
【分析】根据向量的线性运算求出m的值即可．
【解答】解：∵AD→=AC→+CD→=AC→+13BC→=AC→+13(AC→−AB→)=−13AB→+43AC→，
∴m=−13，
故答案为：−13．
24．已知向量a→=（x，y），b→=（﹣1，2），若|a→|=5，a→=λb→（λ＜0），则x﹣y＝　3　
【分析】由向量共线可以得出x，y之间的关系，由|a→|=5可以求出x，y．
【解答】解：∵a→=λb→（λ＜0），a→=（x，y），b→=（﹣1，2），
∴x=−λy=2λ，解之得y＝﹣2x，（x＞0），
∴a→=（x，﹣2x），
∵|a→|=5，
∴x2+(−2x)2=5，解之得x＝1或x＝﹣1（舍），
∴x＝1，y＝﹣2，x﹣y＝3．
故答案为：3．
25．已知O是△ABC内部一点，且3OA→+2OB→+OC→=0→，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为　1：2．　．
【分析】根据题意，设E在边BC上，且BE=12EC，分析可得OE→=23OB→+13OC→，又由3OA→+2OB→+OC→=0→，变形可得−OA→=23OB→+13OC→，则有OE→=−OA→，则O是AE的中点，结合三角形面积公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设E在边BC上，且BE=12EC，
则OE→=OB→+BE→=OB→+13BC→=OB→+13（OC→−OB→）=23OB→+13OC→，
又由3OA→+2OB→+OC→=0→，变形可得：−OA→=23OB→+13OC→，
则OE→=−OA→，则O是AE的中点，
故O到边BC的距离为A到边BC距离的12，
则△OBC的面积与△ABC的面积之比为1：2，
故答案为：1：2．

26．定义在区间[x1，x2]上的函数y＝f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量OA→=(x1，f(x1))，OB→=(x2，f(x2))，OM→=(x，y)，且实数λ满足x＝λx1+（1﹣λ）x2，此时向量ON→=λOA→+(1−λ)OB→．若|MN→|≤K恒成立，则称函数y＝f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）＝x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是　14　．
【分析】yN﹣yM＝λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）−[λx1+(1−λ)x2]2+2[λx1+（1﹣λ）x2]=λ(1−λ)(x1−x2)2，由题意可得：|MN→|=|yN﹣yM|＝|λ(1−λ)(x1−x2)2|≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：yN﹣yM＝λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）−[λx1+(1−λ)x2]2+2[λx1+（1﹣λ）x2]
=λ(x12−2x1)+(1−λ)(x22−2x2)−[λx1+(1−λ)x2]2+2[λx1+（1﹣λ）x2]
=λ(1−λ)(x1−x2)2，
|x1﹣x2|≤|1﹣2|＝1，
由题意可得：|MN→|=|yN﹣yM|＝|λ(1−λ)(x1−x2)2|≤|λ（1﹣λ）|≤(λ+1−λ2)2=14，
由于|MN→|≤K恒成立，
∴K≥14，
∴K的最小值为14．
故答案为：14．
27．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若PA→=mPB→+(32−m)PC→（m为常数，且m≠0），且PA→=tPD→，则实数t的值为 　32　；则CD的长度是 　185　．

【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把PA→的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，由题意可求PA→，PD→的坐标，利用向量数乘可求t的值，求得D的坐标，则CD的长度可求．
【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由PA→=mPB→+(32−m)PC→，得PA→=m（PA→+PB→）+（32−m）（PA→+AC→），
整理得：PA→=−2mAB→+（2m﹣3）AC→=−2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m=2725，或m＝0（舍去）．
可得PA→=（−21625，−6325），
当m=2725时，直线PA的方程为y=9−6m8mx，
直线BC的方程为x4+y3=1，
联立两直线方程可得x=83m，y＝3﹣2m．
即D（7225，2125），可得PD→=（−14425，−4225），
∵PA→=tPD→，可得（−21625，−6325）＝t（−14425，−4225），可得t=32，
∴|CD|=(7225)2+(2125−3)2=185．
∴CD的长度是185．
故答案为：32，185．

28．已知点R在线段PQ上，且PR→=35PQ→，设PQ→=λQR→，则实数λ＝　−52　．
【分析】根据向量加法的几何意义，向量的数乘运算即可得出PQ→=5(λ+1)3QR→，然后即可求出λ的值．
【解答】解：∵PR→=35PQ→，PQ→=λQR→，
∴PQ→+QR→=λQR→+QR→=(λ+1)QR→=35PQ→，
∴PQ→=5(λ+1)3QR→，
∴5(λ+1)3=λ，解得λ=−52．
故答案为：−52．
四．解答题（共4小题）
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→=2MA→，
（1）用CA→、CB→向量表示向量CM→．
（2）求|CM→|．

【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出M的坐标，然后根据平面向量的基本定理，设CM→=λ1CA→+λ2CB→，可求出λ1=23，λ2=13
（2）利用坐标求模长．
【解答】解：如图建立平面直角坐标系．由题意知：A（3，0），B（0，3），…（1分）
设M（x，y），由BM→=2MA→得：（x，y﹣3）＝2（3﹣x，﹣y），
∴x=2(3−x)y−3=−2y，∴x=2y=1，∴M（2，1）…（4分）
（1）设CM→=λ1CA→+λ2CB→，可求出λ1=23，λ2=13，∴CM→=23CA→+13CB→⋯（8分）
（2）∵CM→=(2，1)，∴|CM→|=22+12=5．…（12分）

30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记AB→=a→，AD→=b→．
（1）用a→、b→表示BE→，并求|BE→|；
（2）若AO→=λAF→，求实数λ的值．

【分析】（1）由向量的线性运算得：BE→=AE→−AB→=12AD→−AB→=12b→−a→，|BE→|=14b→2−a→⋅b→+a→2=1−4×2×12+16=13；
（2）设AO→=λAF→，BO→=μBE→，由向量的线性运算得：在△ABO中有AO→=AB→+BO→，所以λAF→=AB→+μBE→，所以λ（b→+12a→）=a→+μ（12b→−a→），又a→，b→不共线，则λ=μ2λ2=1−μ，解得：λ=25μ=45得解
【解答】解：（1）BE→=AE→−AB→=12AD→−AB→=12b→−a→，
|BE→|=14b→2−a→⋅b→+a→2=1−4×2×12+16=13；
（2）设AO→=λAF→，BO→=μBE→，
在△ABO中有AO→=AB→+BO→，
所以λAF→=AB→+μBE→，
所以λ（b→+12a→）=a→+μ（12b→−a→），
又a→，b→不共线，则λ=μ2λ2=1−μ，
解得：λ=25μ=45
故实数λ的值为25．
31．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足AE→=xAB→，AF→=yAC→，求证：1x+2y=3．

【分析】（1）根据角平分线定理便有BDDC=21，从而BDBC=23，从而便可得到AD→=13AB→+23AC→，两边平方后进行数量积的运算，便可求出AD；
（2）由AE→=xAB→，AF→=yAC→便可得出AD→=13xAE→+23yAF→，而根据E，D，F三点共线便可得出13x+23y=1，从而得出1x+2y=3．
【解答】解：（1）根据角平分线定理：BDDC=ABAC=21；
∴BDBC=23；
∴AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+23(AC→−AB→)=13AB→+23AC→；
∴AD→2=19AB→2+49AB→⋅AC→+49AC→2=49−49+49=49；
∴|AD→|=23；
即AD=23；
（2）证明：AD→=13AB→+23AC→=13xAE→+23yAF→；
∵E，D，F三点共线；
∴13x+23y=1；
∴1x+2y=3．
32．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足APAB=BMBC=CNCA=14，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用a→，b→表示MN→；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用a→，b→表示AG→．

【分析】（1）根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可由条件及图形便可用a→，b→表示出MN→=−34a→+12b→；
（2）先得出MP→=MN→+NA→+AP→=−12a→−14b→，然后画出图形，并连接AG，MG，根据G为三角形MNP的重心便可得到MG→=−512a→+112b→，从而根据AG→=AP→+PM→+MG→便可用a→，b→表示出AG→．
【解答】解：（1）根据条件，MN→=MC→+CN→
=34BC→+14CA→
=34(AC→−AB→)−14AC→
=−34AB→+12AC→
=−34a→+12b→；
（2）MP→=MN→+NA→+AP→=−34a→+12b→−34b→+14a→=−12a→−14b→，如图，连接AG，MG；
G为三角形MNP的重心，则：MG→=13(MN→+MP→)=13(−34a→+12b→−12a→−14b→)=−512a→+112b→；
∴AG→=AP→+PM→+MG→
=14a→+12a→+14b→−512a→+112b→
=13a→+13b→．