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人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量几本定理
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人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量几本定理
一．选择题（共6小题）
1．已知AB→+AD→=AC→，且AC→=a→，BD→=b→，则AB→=（ ）
A．12(a→−b→) B．12(a→+b→) C．12(b→−a→) D．12a→−b→
2．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP→=(m+211)AB→+211BC→，则实数m的值为（ ）
A．1 B．13 C．911 D．511
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，F为BC上的点且DF＝2FC，则EF→=（ ）
A．712AB→−112AC→ B．−112AB→−712AC→
C．712AB→+112AC→ D．−112AB→+712AC→
4．已知矩形ABCD中，AE=13AB，若AD→=a→，AB→=b→，则CE→=（ ）
A．−a→+23b→ B．−a→−23b→ C．a→+23b→ D．a→−23b→
5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．a→=（0，0），b→=（2，3） B．a→=（1，﹣3），b→=（2，﹣6）
C．a→=（4，6），b→=（6，9） D．a→=（2，3），b→=（﹣4，6）
6．在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，则x+4y的最小值是（ ）
A．52 B．73 C．94 D．14
二．多选题（共1小题）
7．对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=OA→⋅OC→=OB→⋅OC→
B．AO→⋅AB→=12AB→2
C．向量AH→与AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC共线
D．过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AE→=λAB→，AF→=μAC→，则1λ+1μ=3
三．填空题（共16小题）
8．已知△ABC的面积为1，点P满足3AB→+2BC→+CA→=4AP→，则△PBC的面积等于 ．
9．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足1CM2+1CN2=1．对角线AC交MN于点P，设AP→=xAB→+yAD→，则x+y的最大值是 ．
10．已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′=12，P是扇环边界上一动点，且满足OP→=xOA→+yOB→，则2x+y的取值范围为 ．
11．在△ABC中，AM→=12AB→，AN→=13AC→，BN与CM交于点E，AB→=a→，AC→=b→，则AE→= （用a→、b→表示）．
12．在△OAB中，OA→=3OC→，OB→=2OD→，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ、μ＞0），则λ+μ的最小值为 ．
13．已知P是△ABC的边BC上任一点，且满足AP→=xAB→+yAC→，x、y∈R，则1x+4y的最小值为 ．
14．设O，H分别为斜△ABC的外心与垂心，若OH→=m（OA→+OB→+OC→）（m∈R），则m＝ ．
15．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→=3AD→，P为BD上一点，向量AP→=λAB→+μAC→(λ＞0，μ＞0)，则13λ+1μ的最小值为 ．
16．已知点O是△ABC的内心，若AO→=37AB→+17AC→，则cos∠BAC＝ ．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b＝2，c＝3，点O为△ABC的外心，若AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝ ．
18．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25与x轴的正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点D，过点B作圆C的动弦BM，记弦BM的中点为P．若动点Q满足OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→，0＜t＜1，则PQ的最小值为 ．
19．在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=2xAB→+3yAD→，则x+y＝ ．
20．如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=（m+29）AB→+29BC→，则实数m的值为 ．
21．在三角形ABC中，点满足AM→=MB→，点N满足AN→=2NC→．线段BN与MC交于点O且AO→=xAB→+yAC→，则x+y＝ ．
22．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，过点M的直线与线段OA，OB分别交于E，F（不与端点重合）．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，则p+q的最小值为 ．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=π3，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足BP→=mBA→+23BC→，则m＝ ；若▱ABCD的面积为23，则|BP→|的最小值为 ．
四．解答题（共8小题）
24．如图，四边形ABCD中，已知AD→=2BC→．
（Ⅰ）用AB→，AD→表示DC→；
（Ⅱ）若AE→=2EB→，DP→=λDE→，当A，P，C三点共线时，求实数λ的值．
25．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，试用c→，d→表示MN→，MB→．
26．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AF→=λAB→+μAD→．
（1）求λ+μ的值；
（2）若AC→=a→，BD→=b→，试用基底{a→，b→}表示AF→．
27．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=12AB．点P是线段DC上的动点．
（1）若AC→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）若AC→=λAP→+μBD→，求λμ的取值范围．
28．如图所示，在△OAB中，OA→=a→，OB→=b→，点M是AB上靠近点B的一个三等分点，点N是OA上靠近点A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P．
（1）试用a→，b→表示OM→，BN→；
（2）试用a→，b→表示OP→．
29．设O为△ABC的重心，过O作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于M，N．若AM→=λAB→，AN→=μAC→．
（1）求1λ+1μ的值；
（2）求λ•μ的取值范围．
30．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示OM→；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，求1p+2q的值．
31．如图，平行四边形ABCD中，BM→=12MC→，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且ME→=2EN→．
（1）若AE→=λAB→+μAD→，求λμ的值；
（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，求t的取值范围．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量几本定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知AB→+AD→=AC→，且AC→=a→，BD→=b→，则AB→=（ ）
A．12(a→−b→) B．12(a→+b→) C．12(b→−a→) D．12a→−b→
【分析】BD→=AD→−AB→，从而有AB→+AD→=a→AD→−AB→=b→，这样即可解出AB→．
【解答】解：根据条件：AB→+AD→=a→AD→−AB→=b→；
∴AB→=12(a→−b→)．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP→=(m+211)AB→+211BC→，则实数m的值为（ ）
A．1 B．13 C．911 D．511
【分析】由三角形法则及线性运算可得AP→=mAB→+611AN→，由点P在BN上，可得系数和为1，从而可求得m的值．
【解答】解：AP→=(m+211)AB→+211BC→=（m+211）AB→+211（AC→−AB→）＝mAB→+211AC→，
N为线段AC上靠近A的三等分点，
所以AP→=mAB→+611AN→，因为点P在BN上，即P，B，N三点共线，
所以m+611=1，解得m=511．
故选：D．
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，F为BC上的点且DF＝2FC，则EF→=（ ）
A．712AB→−112AC→ B．−112AB→−712AC→
C．712AB→+112AC→ D．−112AB→+712AC→
【分析】根据已知条件以及三角形法则即可求解．
【解答】解：如图所示：
EF→=ED→+DF→=12AD→+23DC→
=12AD→+13BC→=12×12(AB→+AC→)+13(AC→−AB→）
=−112AB→+712AC→，
故选：D．
4．已知矩形ABCD中，AE=13AB，若AD→=a→，AB→=b→，则CE→=（ ）
A．−a→+23b→ B．−a→−23b→ C．a→+23b→ D．a→−23b→
【分析】根据向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：CE→=CD→+DA→+AE→=−DC→−AD→+13AB→=−a→−b→+13b→=−a→−23b→，
故选：B．
5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．a→=（0，0），b→=（2，3） B．a→=（1，﹣3），b→=（2，﹣6）
C．a→=（4，6），b→=（6，9） D．a→=（2，3），b→=（﹣4，6）
【分析】能作为基底的向量需不共线，从而判断哪个选项的两向量不共线即可，而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线．
【解答】解：A.0×3﹣2×0＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
C.4×9﹣6×6＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
D.2×6﹣（﹣4）×3＝24≠0；
∴a→，b→不共线，可以作为基底，即该选项正确．
故选：D．
6．在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，则x+4y的最小值是（ ）
A．52 B．73 C．94 D．14
【分析】根据题意，利用MH→ 与NH→共线，求出x与y的表达式，再利用基本不等式求出x+4y的最小值即可．
【解答】解：在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，
∵AM→=xAB→，AN→=yAC→，
∴AH→=AM→+MH→=xAB→+MH→=14（AB→+AC→），
∴MH→=（14−x）AB→+14AC→，
同理，NH→=14AB→+（14−y）AC→，
∵MH→ 与NH→共线，
∴存在实数λ，使MH→=λNH→（λ＜0），
即（14−x）AB→+14AC→=14λAB→+λ（14−y）AC→，
即14−x=14λ14=λ(14−y)，
解得x=1−λ4，y=1−1λ4，
∴x+4y=1−λ4+4×1−1λ4=54−λ4−1λ≥54+2(−λ4)⋅(−1λ)=94，
当且仅当−λ4=−1λ，即λ＝﹣2时，“＝”成立，
∴x+4y的最小值是94．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
7．对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=OA→⋅OC→=OB→⋅OC→
B．AO→⋅AB→=12AB→2
C．向量AH→与AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC共线
D．过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AE→=λAB→，AF→=μAC→，则1λ+1μ=3
【分析】利用数量积的运算性质以及外心的性质，即可判断选项A，设D为BC的中点，则OM⊥AB，利用数量积的定义进行化简，即可判断选项B，利用向量垂直的充要条件以及向量数量积的定义进行化简，可得AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与BC→垂直，再利用AH→⊥BC→，即可判断选项C，由平面向量基本定理以及三点共线的结论，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，OA→⋅OB→=OA→⋅OC→等价于OA→⋅(OB→−OC→)=0，等价于OA→⋅CB→=0，即OA⊥BC，
对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，
比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，
故选项A错误；
对于B，设D为BC的中点，则OM⊥AB，
所以|AO|cos∠OAM＝|AM|，
则AO→⋅AB→=|AO→||AB→|cos∠OAB=|AB→|(|AO→cos∠OAB|)=|AB→|⋅|AB→|2=12|AB→2|，
故选项B正确；
对于C，（AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC）⋅BC→
=AB→⋅BC→|AB→|cosB+AC→⋅BC→|AC→|cosC
=|AB→|⋅|BC→|cos(π−B)|AB→|cosB+|AC→|⋅|BC→|cosC|AC→|cosC
=−|BC→|+|BC→|=0，
所以AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与BC→垂直，
又AH→⊥BC→，
则AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与AH→共线，
故选项C正确；
对于D，设BC的中点为D，
则AG→=23AD→=13(AB→+AC→)=13(1λAE→+1μAF→)=13λAE→+13μAF→，
因为E，F，G三点共线，
则13λ+13μ=1，
所以1λ+1μ=3，
故选项D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共16小题）
8．已知△ABC的面积为1，点P满足3AB→+2BC→+CA→=4AP→，则△PBC的面积等于 12 ．
【分析】取BC的中点D，根据向量共线定理可得A，P，D三点共线，继而得到S△PBC=12S△ABC．
【解答】解：取BC的中点D，∴AD→=12（AC→+AB→）
∵4AP→=3AB→+2BC→+CA→
＝（AB→+BC→+CA→）+（AB→+BC→）+AB→
=AC→+AB→，
∴AP→=14（AC→+AB→），∴AP→=12AD→，
∴A，P，D共线，∴PD→=12AD→，
∴S△PBC=12S△ABC=12×1=12，
故答案为：12．
9．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足1CM2+1CN2=1．对角线AC交MN于点P，设AP→=xAB→+yAD→，则x+y的最大值是 85 ．
【分析】由条件可知．CM2+CN2＝CM2•CN2，=⋅，所以点C到直线MN的距离为1，故≥1．AP≤4，则x+y=25AP≤85．
【解答】解：如图，由AP→=xAB→+yAD→，设AC与MN的交点为P，
∵1CM2+1CN2=1．∴CM2+CN2＝CM2•CN2，
∴MN2＝CM2•CN2，
∴=⋅，
∴点C到直线MN的距离为1，所以≥1．
∵AC=32+42=5，∴AP≤4．
设∠CAB＝α，则sinα=35，cosα=45，
∴cosα=x⋅ABAP，sinα=y⋅ADAP，则x＝y=15AP，
∴x+y=25AP≤85．
故答案为：85．
10．已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′=12，P是扇环边界上一动点，且满足OP→=xOA→+yOB→，则2x+y的取值范围为 [14，2213] ．
【分析】记OA→，OP→的夹角为θ，θ∈[0，2π3]．设OA→为直角坐标系的x轴．
OP→=（rcosθ，rsinθ）（12≤r≤2），OA→=（2，0），OB→=（﹣1，3），
代入OP→=xOA→+yOB→，得有（rcosθ，rsinθ）＝（2x，0）+（﹣y，3y），
⇒rcosθ＝2x﹣y，rsinθ=3y，故2x+y＝rcosθ+2r3sinθ=r（23sinθ+cosθ），运用三角函数的知识求解．
【解答】解：记OA→，OP→的夹角为θ，θ∈[0，2π3]．设OA→为直角坐标系的x轴．
OP→=（rcosθ，rsinθ）（12≤r≤2），OA→=（2，0），OB→=（﹣1，3），
代入OP→=xOA→+yOB→，得有（rcosθ，rsinθ）＝（2x，0）+（﹣y，3y），
⇒rcosθ＝2x﹣y，rsinθ=3y，
故2x+y＝rcosθ+2r3sinθ=r（23sinθ+cosθ）
23sinθ+cosθ=213(sinθ×27+cosθ×37)=213sin(θ+β)，其中cosβ=27，sinβ=37．
又∵θ∈[0，2π3]．213sin(θ+β)可以取到最大值213，
当θ＝0时．23sinθ+cosθ=1，当θ＝1200时．23sinθ+cosθ=12．
∴23sinθ+cosθ∈[12，213]，
12r≤2x+y≤213r．∵12≤r≤2，∴14≤2x+y≤2213
故答案为：[14，2213]
11．在△ABC中，AM→=12AB→，AN→=13AC→，BN与CM交于点E，AB→=a→，AC→=b→，则AE→= 25a→+15b→ （用a→、b→表示）．
【分析】由已知结合向量的线性表示可以a→，b→表示AE→，然后结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：因为M，E，C三点共线，
故存在m使得AE→=mAC→+（1﹣m）AM→=mb→+12（1﹣m）b→，
因为N，E，B三点共线，
故存在实数n使得AE→=nAB→+（1﹣n）AN→=na→+13（1﹣n）b→，
根据平面向量基本定理得n=12(1−m)m=13(1−n)，
解得m=15，n=25，
所以AE→=25a→+15b→．
故答案为：25a→+15b→．
12．在△OAB中，OA→=3OC→，OB→=2OD→，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ、μ＞0），则λ+μ的最小值为 3+225 ．
【分析】由已知可得OM→=15OA→+25OB→，若过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ，μ＞0），则1λ+2μ=5，再由基本不等式可得答案．
【解答】解：由A，M，D三点共线可得存在实数t，使得OM→=tOA→+（1﹣t）OD→=tOA→+12（1﹣t）OB→，
同理由C，M，B三点共线可得存在实数m，使得OM→=mOB→+（1﹣m）OC→=mOB→+13（1﹣m）OA→，
∴t=13(1−m)12(1−t)=m，解得：m=25t=15，
∴OM→=15OA→+25OB→，设OM→=xOE→+yOF→=xλOA→+yμOB→，
∴xλ=15yμ=25，可得：5x=1λ5y=2μ，即：1λ+2μ=5，
∴λ+μ=15（λ+μ）（1λ+2μ）=15（1+2+μλ+2λμ）≥3+225，即λ+μ的最小值为3+225．
故答案为：3+225．
13．已知P是△ABC的边BC上任一点，且满足AP→=xAB→+yAC→，x、y∈R，则1x+4y的最小值为 9 ．
【分析】利用向量加法三角形法则将AP→表示出来，找出x，y的关系，进而求出1x+4y的最小值
【解答】解：∵BP→，BC→共线
∴存在实数λ（λ≤1），满足BP→=λBC→
∴AP→=AB→+BP→
=AB→+λBC→
=AB→+λ(AC→−AB→)
＝（1﹣λ）AB→+λAC→
∴x＝1﹣λ，y＝λ，即x+y＝1
∴1x+4y=x+yx+4(x+y)y
＝5+yx+4xy
≥5+2yx⋅4xy=9
当且仅当yx=4xy，即x=13时，取最小值为9
故答案为：9
14．设O，H分别为斜△ABC的外心与垂心，若OH→=m（OA→+OB→+OC→）（m∈R），则m＝ 1 ．
【分析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．
【解答】解：如图所示：
∵OH→=m（OA→+OB→+OC→），OH→=AH→−AO→，
∴AH→−AO→=m(OA→+OB→+OC→)
∴AH→=（m﹣1）OA→+m（OB→+OC→），
取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC，
∴OB→+OC→=2OD→，OD→⋅BC→=0．
又AH⊥BC，
∴AH→⋅BC→=0．
∴AH→⋅BC→=（m﹣1）OA→⋅BC→+2mOD→⋅BC→，
即0＝（m﹣1）OA→⋅BC→，
∵OA→⋅BC→不恒为0，
∴必有m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为：1．
15．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→=3AD→，P为BD上一点，向量AP→=λAB→+μAC→(λ＞0，μ＞0)，则13λ+1μ的最小值为 163 ．
【分析】利用B，P，D三点共线以及平面向量基本定理，可得λ+3μ＝1，然后利用“1”的代换以及基本不等式，求解最值即可．
【解答】解：因为AC→=3AD→，
所以AP→=λAB→+μAC→=λAB→+3μAD→，
又B，P，D三点共线，
所以λ+3μ＝1，
则13λ+1μ=（13λ+1μ）（λ+3μ）=λμ+μλ+103≥2λμ⋅μλ+103=163，
当且仅当λμ=μλ，即γ=μ=14时取等号，
所以13λ+1μ的最小值为163．
故答案为：163．
16．已知点O是△ABC的内心，若AO→=37AB→+17AC→，则cos∠BAC＝ 16 ．
【分析】依题意，四边形设AD→=37AB→，AE→=17AC→，四边形ADOE为菱形，设该菱形的边长为a，则AB=73a，AC＝7a，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出BC的长度，然后转化为等腰三角形处理即可．
【解答】解：依题意，AO→=37AB→+17AC→，设AD→=37AB→，AE→=17AC→，
则四边形ADOE为平行四边形，因为O为三角形ABC内心，所以∠OAD＝∠OAE，
所以四边形ADOE为菱形，设该菱形的边长为a，则AB=73a，AC＝7a，
因为OD∥AC，∠BDO＝∠BAC，
所以三角形ABC的内切圆半径r＝asin∠BAC，
由等积法，S△ABC=12AB×AC×sin∠BAC=12×(AB+BC+AC)×r，
即12×7a3×7a×sin∠BAC=12×(7a3+7a+BC)，解得BC＝7a，
所以△ABC为等腰三角形，所以cos∠BAC=12ABAC=12×7a37a=16．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b＝2，c＝3，点O为△ABC的外心，若AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝ 37 ．
【分析】设D，E分别为AC，AB的中点，一方面AO→⋅AB→=(λAB→+μAC→)⋅AB→=9λ+92μ，另一方面AO→⋅AB→=(AE→+EO→)⋅AB→=AE→⋅AB→=92，进而建立关于λ，μ的方程，同理再建立一个关于λ，μ的方程，解方程即可求解．
【解答】解：如图所示，设D，E分别为AC，AB的中点，
根据垂径定理可得OD⊥AC，OE⊥AB，
因为AO→=λAB→+μAC→，所以
一方面AO→⋅AB→=(λAB→+μAC→)⋅AB→=λAB→2+μAC→⋅AB→=9λ+μ(AE→+EC→)AB→=9λ+μAE→⋅AB→=9λ+92μ，
另一方面AO→⋅AB→=(AE→+EO→)⋅AB→=AE→⋅AB→=92，
所以9λ+92μ=92，即2λ+μ＝1①，
同理利用AO→⋅AC→可得9λ+8μ＝4 ②，
联立①②可得λ=47，μ=−17，所以λ+μ=37．
故答案为：37．
18．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25与x轴的正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点D，过点B作圆C的动弦BM，记弦BM的中点为P．若动点Q满足OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→，0＜t＜1，则PQ的最小值为 35−52． ．
【分析】根据已知先求出P的轨迹方程，然后结合直线与圆的位置关系可求．
【解答】解：由题意可得，A（8，0），B（﹣2，0），D（0，4），
设P（x，y），M（x0，y0），
则x=12(x0−2)y=12y0，
∵M（x0，y0）在圆C：（x﹣3）2+y2＝25上，
∴（x0﹣3）2+y02＝25，
∴（2x﹣1）2+（2y）2＝25，即（x−12）2+（y）2=254为P的轨迹方程，
∵OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→=（8t，0）+（0，4﹣4t）＝（8t，4﹣4t），
∴Q（8t，4﹣4t）在线段x+2y＝8（0≤y≤4）上，
∵圆心（12，0）到直线x+2y＝8的距离d=352，
从而PQ的最小值35−52
故答案为：35−52．
19．在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=2xAB→+3yAD→，则x+y＝ 718 ．
【分析】由已知结合向量的线性表示可得，AF→=23AD→+13AB→，然后结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：由题意得，AFEF=ABDE=2，
∵AE→=AD→+DE→=AD→+12AB→，
∴AF→=23AE→=23(AD→+12DC→)=23AD→+13DC→=23AD→+13AB→，
又AF→=2xAB→+3yAD→，
由平面向量基本定理得，x=16，y=29，x+y=718．
故答案为：718．
20．如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=（m+29）AB→+29BC→，则实数m的值为 19 ．
【分析】设NP→=tNB→，AP→=AN→+NP→，再结合AP→=（m+29）AB→+29BC→可解决此题．
【解答】解：设NP→=tNB→，则AP→=AN→+NP→=14AC→+tNB→=14AC→+t（NC→+CB→）=14AC→+3t4AC→−tBC→=1+3t4AB→+1−t4BC→=（m+29）AB→+29BC→，
∴1+3t4=m+291−t4=29，解得：m=19．
故答案为：19．
21．在三角形ABC中，点满足AM→=MB→，点N满足AN→=2NC→．线段BN与MC交于点O且AO→=xAB→+yAC→，则x+y＝ 34 ．
【分析】分别用AM→，AC→和AB→，AN→表示出AO→，根据平面向量基本定理列方程得出x，y的值．
【解答】解：由题意可知AB→=2AM→，AC→=32AN→，
∴AO→=xAB→+yAC→=2xAM→+yAC→=xAB→+3y2AC→，
∵B，O，N三点共线，M，O，C三点共线，
∴2x+y=1x+3y2=1，解得x=14y=12．
∴x+y=34．
故答案为：34．
22．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，过点M的直线与线段OA，OB分别交于E，F（不与端点重合）．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，则p+q的最小值为 3+225 ．
【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量共线定理，平面向量基本定理可得x，y，然后结合乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：设OM→=xa→+yb→，
则AM→=OM→−OA→=（x﹣1）OA→+yOB→=（x﹣1）a→+yb→，AD→=OD→−OA→=−a→+12b→，
∵A，M，D三点共线，
∴AM→，AD→共线，从而12（x﹣1）＝﹣y，①
又C，M，B三点共线，∴BM→，BC→共线，
同理可得13（y﹣1）＝﹣x，②
联立①②，解得x=15y=25，故OM→=15a→+25b→，
∵EM→=OM→−OE→=15a→+25b→−pa→=（15−p）a→+25b→，.12≤p＜1，13≤q＜1，
EF→=OF→−OE→=qb→−pa→．
∵EM→，EF→共线，
∴（15−p）q=−25p，整理得1p+2q=5．
∴p+q=15(1p+2q)(p+q)=15(3+qp+2pq)≥3+225，经验证等号可以成立．
故答案为：3+225．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=π3，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足BP→=mBA→+23BC→，则m＝ 23 ；若▱ABCD的面积为23，则|BP→|的最小值为 433 ．
【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出m的值，利用平行四边形的面积，求出|BC→||BA→|=4，由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可．
【解答】解：BP→=BA→+AP→=BA→+kAE→=BA→+k(DE→−DA→)=(1−12k)BA→+kBC→，
所以(1−12k)BA→+kBC→=mBA→+23BC→，
则1−12k=mk=23，所以m=23，
因为▱ABCD的面积为23，
所以|BC→||BA→|⋅32=23，
则|BC→||BA→|=4，
所以|BP→|=49|BC→|2+49|BA→|2+89|BC→||BA→|=234+|BC→|2+16|BC→|2≥433，
则|BP→|的最小值为433．
故答案为：23；433．
四．解答题（共8小题）
24．如图，四边形ABCD中，已知AD→=2BC→．
（Ⅰ）用AB→，AD→表示DC→；
（Ⅱ）若AE→=2EB→，DP→=λDE→，当A，P，C三点共线时，求实数λ的值．
【分析】（Ⅰ）利用向量三角形法则进行分解即可．
（Ⅱ）用AB→，AD→表示AC→和AP→，利用三点关系转化为向量关系进行求解即可，
【解答】解：（Ⅰ）∵AD→=2BC→．
∴BC→=12AD→，
则DC→=DA→+AB→+BC→=−AD→+AB→+12AD→=AB→−12AD→．
（Ⅱ）AC→=AB→+BC→=AB→+12AD→．，
AP→=AD→+DP→，
∵AE→=2EB→，DP→=λDE→，
∴AP→=AD→+λDE→=AD→+λ（AE→−AD→）＝（1﹣λ）AD→+λAE→=（1﹣λ）AD→+23λAB→，
若A，P，C三点共线时，
则1−λ12=2λ31，得1﹣λ=12×2λ3=λ3，
得3﹣3λ＝λ，得λ=34．
25．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，试用c→，d→表示MN→，MB→．
【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的三角形法则解答．
【解答】解：由已知在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，MN→=MC→+CN→=12(DC→+CB→)=12(AB→+DA→)=12(c→−d→)；
MB→=MC→+CB→=12DC→+DA→=12c→−d→．
26．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AF→=λAB→+μAD→．
（1）求λ+μ的值；
（2）若AC→=a→，BD→=b→，试用基底{a→，b→}表示AF→．
【分析】（1）根据题意，分析易得△DEF∽△AEB，由此可得DF=13AB，即DF→=13AB→，由向量加法的三角形法则可得AF→=AD→+DF→=AD→+13AB→，求出λ、μ的值，相加可得答案；
（2）根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得AB→+AD→=a→AB→−AD→=−b→，变形可得AB→=12（a→−b→），AD→=12（a→+b→），代入AF→=AD→+13AB→中，变形计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，在平行四边形ABCD中，DF∥AB，则有△DEF∽△AEB，
故DFAB=DEEB=13，则DF=13AB，
则DF→=13AB→，
则有AF→=AD→+DF→=AD→+13AB→，故λ=13，μ＝1，
λ+μ=43；
（2）根据题意，AC→=a→，BD→=b→，则AB→+AD→=a→AB→−AD→=−b→，
解可得AB→=12（a→−b→），AD→=12（a→+b→），
由（1）的结论：AF→=AD→+13AB→，
则AF→=12（a→+b→）+13×12（a→−b→）=23a→+13b→．
27．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=12AB．点P是线段DC上的动点．
（1）若AC→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）若AC→=λAP→+μBD→，求λμ的取值范围．
【分析】（1）由图可得AC→=AD→+12AB→，即可对应得到x，y的值；
（2）设DP→=tAB→，t∈[0，12]，根据平面向量基本定理，得λ+μ=1λt−μ=12，从而λμ＝λ（1﹣λ）＝﹣（λ−12）²+14∈[−34，0]．
【解答】解：（1）因为AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，所以x=12，y＝1；
（2）设DP→=tAB→，t∈[0，12]，所以AC→=λAP→+μBD→=λ(AD→+DP→)+μ(AD→−AB→)=λ(AD→+tAB→)+μ(AD→−AB→)=（λ+μ）AD→+（λt﹣μ）AB→，
由（1）得AC→=AD→+12AB→，根据平面向量基本定理，得λ+μ=1λt−μ=12，
从而λ（t+1）=32，λ=32(t+1)，
因为t∈[0，12]，所以λ∈[1，32]，
从而λμ＝λ（1﹣λ）＝﹣（λ−12）²+14∈[−34，0]．
28．如图所示，在△OAB中，OA→=a→，OB→=b→，点M是AB上靠近点B的一个三等分点，点N是OA上靠近点A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P．
（1）试用a→，b→表示OM→，BN→；
（2）试用a→，b→表示OP→．
【分析】（1）利用平面向量运算法则运算表示即可；
（2）可连接AP，由B，P，N三点共线便可得到BP→=λBN→，从而得到AP→=(1−λ)AB→+λ4AO→，而同理由O，P，M三点共线可以得到AP→=(1−μ)AO→+2μ3AB→，这样根据平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，可解出λ，μ．从而可表示出AP→，而由OP→=AP→−AO→便可用a→，b→表示出OP→．
【解答】解：（1）OM→=OB→+BM→=OB→+13BA→=OB→+13（OA→−OB→）=13OA→+23OB→=13a→+23b→；BN→=BO→+ON→=−OB→+34OA→=34a→−b→；
（2）如图，连接AP，B，P，N三点共线可得BP→=λBN→；
即AP→−AB→=λ（AN→−AB→），所以AP→=（1﹣λ）AB→+λ4AO→；
同理由O，P，M三点共线可得AP→=（1﹣μ）AO→+2μ3AB→，
所以1−λ=23μλ4=1−μ，解得λ=25，μ=910
所以AP→=110AO→+35AB→，
则OP→=AP→−AO→=35AB→−910AO→=35（OB→−OA→）−910AO→=310OA→+35OB→=310a→+35b→．
29．设O为△ABC的重心，过O作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于M，N．若AM→=λAB→，AN→=μAC→．
（1）求1λ+1μ的值；
（2）求λ•μ的取值范围．
【分析】（1）用利用重心的性质和平面向量的线性运算求出AO→=13λAM→+13μAN→，，根据M，Q，N三点共线即可求出．
（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．
【解答】解：（1）连结AO并延长交BC于P，则P是BC的中点，
则AP→=12AB→+12AC→，AO→=23AP→=13AB→+13AC→，
∵若AM→=λAB→，AN→=μAC→，
∴AO→=13λAM→+13μAN→，
∵M，O，N三点共线，13λ+13μ=1，∴1λ+1μ=3，
（2）∵1λ+1μ=3，∴μ=λ3λ−1，
∵λ，μ∈（0，1），∴0＜λ＜10＜λ3λ−1＜1，解得12＜λ＜1．∴1＜1λ＜2，
∴λμ=λ23λ−1=13λ−1λ2=1−(1λ−32)2+94，
∴当1λ=32时，λμ取得最小值49，当1λ=1或2时，λμ取得最大值12，
∴λμ的取值范围是[49，12）．
30．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示OM→；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，求1p+2q的值．
【分析】（1）由A，M，D三点共线和C，M，B三点共线可得出（1）；
（2）利用平面向量的线性运算和共线定理可求出（2）．
【解答】解：（1）设OM→=xa→+yb→，
则AM→=OM→−OA→=(x−1)OA→+yOB→=(x−1)a→+yb→，
AD→=OD→−OA→=−a→+12b→，
∵A，M，D三点共线，∴AM→，AD→共线，从而12(x−1)=−y①
又C，M，B三点共线，∴BM→，BC→共线，同理可得13(y−1)=−x②
联立①②，解得x=15y=25，故OM→=15a→+25b→．
（2）∵EM→=OM→−OE→=15a→+25b→−pa→=(15−p)a→+25b．→
EF→=OF→−OE→=qb→−pa→．
∵EM→，EF→共线，∴(15−p)q=−25p，整理得1p+2q=5．
31．如图，平行四边形ABCD中，BM→=12MC→，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且ME→=2EN→．
（1）若AE→=λAB→+μAD→，求λμ的值；
（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，求t的取值范围．
【分析】（1）利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得λ，μ，从而得解；
（2）利用共线向量定理可设NF→=λNP→=λMN→（0≤λ≤1），由向量的加法法则可得AF→=−λAM→+（1+λ）AN→，由平面向量的基本定理可得t＝﹣λ，即可求得t的取值范围．
【解答】解：根据题意可得AE→=AB→+BM→+ME→
=AB→+13BC→+23MN→
=AB→+13AD→+23（MC→+CN→）
=AB→+13AD→+23（23AD→−12AB→）
=23AB→+79AD→，
又AE→=λAB→+μAD→，由平面向量的基本定理可得λ=23，μ=79，
所以λμ=1427．
（2）由题意可得NP→=MN→，因为F在线段NP上（包含端点），
所以设NF→=λNP→=λMN→（0≤λ≤1），
所以AF→=AM→+MF→=AM→+（1+λ）MN→=AM→+（1+λ）（AN→−AM→）＝﹣λAM→+（1+λ）AN→，
又AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，所以t＝﹣λ∈[﹣1，0]．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量几本定理
一．选择题（共6小题）
1．已知AB→+AD→=AC→，且AC→=a→，BD→=b→，则AB→=（ ）
A．12(a→−b→) B．12(a→+b→) C．12(b→−a→) D．12a→−b→
2．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP→=(m+211)AB→+211BC→，则实数m的值为（ ）
A．1 B．13 C．911 D．511
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，F为BC上的点且DF＝2FC，则EF→=（ ）
A．712AB→−112AC→ B．−112AB→−712AC→
C．712AB→+112AC→ D．−112AB→+712AC→
4．已知矩形ABCD中，AE=13AB，若AD→=a→，AB→=b→，则CE→=（ ）
A．−a→+23b→ B．−a→−23b→ C．a→+23b→ D．a→−23b→
5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．a→=（0，0），b→=（2，3） B．a→=（1，﹣3），b→=（2，﹣6）
C．a→=（4，6），b→=（6，9） D．a→=（2，3），b→=（﹣4，6）
6．在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，则x+4y的最小值是（ ）
A．52 B．73 C．94 D．14
二．多选题（共1小题）
7．对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=OA→⋅OC→=OB→⋅OC→
B．AO→⋅AB→=12AB→2
C．向量AH→与AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC共线
D．过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AE→=λAB→，AF→=μAC→，则1λ+1μ=3
三．填空题（共16小题）
8．已知△ABC的面积为1，点P满足3AB→+2BC→+CA→=4AP→，则△PBC的面积等于 ．
9．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足1CM2+1CN2=1．对角线AC交MN于点P，设AP→=xAB→+yAD→，则x+y的最大值是 ．
10．已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′=12，P是扇环边界上一动点，且满足OP→=xOA→+yOB→，则2x+y的取值范围为 ．
11．在△ABC中，AM→=12AB→，AN→=13AC→，BN与CM交于点E，AB→=a→，AC→=b→，则AE→= （用a→、b→表示）．
12．在△OAB中，OA→=3OC→，OB→=2OD→，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ、μ＞0），则λ+μ的最小值为 ．
13．已知P是△ABC的边BC上任一点，且满足AP→=xAB→+yAC→，x、y∈R，则1x+4y的最小值为 ．
14．设O，H分别为斜△ABC的外心与垂心，若OH→=m（OA→+OB→+OC→）（m∈R），则m＝ ．
15．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→=3AD→，P为BD上一点，向量AP→=λAB→+μAC→(λ＞0，μ＞0)，则13λ+1μ的最小值为 ．
16．已知点O是△ABC的内心，若AO→=37AB→+17AC→，则cos∠BAC＝ ．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b＝2，c＝3，点O为△ABC的外心，若AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝ ．
18．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25与x轴的正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点D，过点B作圆C的动弦BM，记弦BM的中点为P．若动点Q满足OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→，0＜t＜1，则PQ的最小值为 ．
19．在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=2xAB→+3yAD→，则x+y＝ ．
20．如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=（m+29）AB→+29BC→，则实数m的值为 ．
21．在三角形ABC中，点满足AM→=MB→，点N满足AN→=2NC→．线段BN与MC交于点O且AO→=xAB→+yAC→，则x+y＝ ．
22．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，过点M的直线与线段OA，OB分别交于E，F（不与端点重合）．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，则p+q的最小值为 ．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=π3，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足BP→=mBA→+23BC→，则m＝ ；若▱ABCD的面积为23，则|BP→|的最小值为 ．
四．解答题（共8小题）
24．如图，四边形ABCD中，已知AD→=2BC→．
（Ⅰ）用AB→，AD→表示DC→；
（Ⅱ）若AE→=2EB→，DP→=λDE→，当A，P，C三点共线时，求实数λ的值．
25．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，试用c→，d→表示MN→，MB→．
26．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AF→=λAB→+μAD→．
（1）求λ+μ的值；
（2）若AC→=a→，BD→=b→，试用基底{a→，b→}表示AF→．
27．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=12AB．点P是线段DC上的动点．
（1）若AC→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）若AC→=λAP→+μBD→，求λμ的取值范围．
28．如图所示，在△OAB中，OA→=a→，OB→=b→，点M是AB上靠近点B的一个三等分点，点N是OA上靠近点A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P．
（1）试用a→，b→表示OM→，BN→；
（2）试用a→，b→表示OP→．
29．设O为△ABC的重心，过O作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于M，N．若AM→=λAB→，AN→=μAC→．
（1）求1λ+1μ的值；
（2）求λ•μ的取值范围．
30．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示OM→；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，求1p+2q的值．
31．如图，平行四边形ABCD中，BM→=12MC→，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且ME→=2EN→．
（1）若AE→=λAB→+μAD→，求λμ的值；
（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，求t的取值范围．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量几本定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知AB→+AD→=AC→，且AC→=a→，BD→=b→，则AB→=（ ）
A．12(a→−b→) B．12(a→+b→) C．12(b→−a→) D．12a→−b→
【分析】BD→=AD→−AB→，从而有AB→+AD→=a→AD→−AB→=b→，这样即可解出AB→．
【解答】解：根据条件：AB→+AD→=a→AD→−AB→=b→；
∴AB→=12(a→−b→)．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且AP→=(m+211)AB→+211BC→，则实数m的值为（ ）
A．1 B．13 C．911 D．511
【分析】由三角形法则及线性运算可得AP→=mAB→+611AN→，由点P在BN上，可得系数和为1，从而可求得m的值．
【解答】解：AP→=(m+211)AB→+211BC→=（m+211）AB→+211（AC→−AB→）＝mAB→+211AC→，
N为线段AC上靠近A的三等分点，
所以AP→=mAB→+611AN→，因为点P在BN上，即P，B，N三点共线，
所以m+611=1，解得m=511．
故选：D．
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，F为BC上的点且DF＝2FC，则EF→=（ ）
A．712AB→−112AC→ B．−112AB→−712AC→
C．712AB→+112AC→ D．−112AB→+712AC→
【分析】根据已知条件以及三角形法则即可求解．
【解答】解：如图所示：
EF→=ED→+DF→=12AD→+23DC→
=12AD→+13BC→=12×12(AB→+AC→)+13(AC→−AB→）
=−112AB→+712AC→，
故选：D．
4．已知矩形ABCD中，AE=13AB，若AD→=a→，AB→=b→，则CE→=（ ）
A．−a→+23b→ B．−a→−23b→ C．a→+23b→ D．a→−23b→
【分析】根据向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：CE→=CD→+DA→+AE→=−DC→−AD→+13AB→=−a→−b→+13b→=−a→−23b→，
故选：B．
5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．a→=（0，0），b→=（2，3） B．a→=（1，﹣3），b→=（2，﹣6）
C．a→=（4，6），b→=（6，9） D．a→=（2，3），b→=（﹣4，6）
【分析】能作为基底的向量需不共线，从而判断哪个选项的两向量不共线即可，而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线．
【解答】解：A.0×3﹣2×0＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
C.4×9﹣6×6＝0；
∴a→，b→共线，不能作为基底；
D.2×6﹣（﹣4）×3＝24≠0；
∴a→，b→不共线，可以作为基底，即该选项正确．
故选：D．
6．在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，则x+4y的最小值是（ ）
A．52 B．73 C．94 D．14
【分析】根据题意，利用MH→ 与NH→共线，求出x与y的表达式，再利用基本不等式求出x+4y的最小值即可．
【解答】解：在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，
∵AM→=xAB→，AN→=yAC→，
∴AH→=AM→+MH→=xAB→+MH→=14（AB→+AC→），
∴MH→=（14−x）AB→+14AC→，
同理，NH→=14AB→+（14−y）AC→，
∵MH→ 与NH→共线，
∴存在实数λ，使MH→=λNH→（λ＜0），
即（14−x）AB→+14AC→=14λAB→+λ（14−y）AC→，
即14−x=14λ14=λ(14−y)，
解得x=1−λ4，y=1−1λ4，
∴x+4y=1−λ4+4×1−1λ4=54−λ4−1λ≥54+2(−λ4)⋅(−1λ)=94，
当且仅当−λ4=−1λ，即λ＝﹣2时，“＝”成立，
∴x+4y的最小值是94．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
7．对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=OA→⋅OC→=OB→⋅OC→
B．AO→⋅AB→=12AB→2
C．向量AH→与AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC共线
D．过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AE→=λAB→，AF→=μAC→，则1λ+1μ=3
【分析】利用数量积的运算性质以及外心的性质，即可判断选项A，设D为BC的中点，则OM⊥AB，利用数量积的定义进行化简，即可判断选项B，利用向量垂直的充要条件以及向量数量积的定义进行化简，可得AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与BC→垂直，再利用AH→⊥BC→，即可判断选项C，由平面向量基本定理以及三点共线的结论，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，OA→⋅OB→=OA→⋅OC→等价于OA→⋅(OB→−OC→)=0，等价于OA→⋅CB→=0，即OA⊥BC，
对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，
比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，
故选项A错误；
对于B，设D为BC的中点，则OM⊥AB，
所以|AO|cos∠OAM＝|AM|，
则AO→⋅AB→=|AO→||AB→|cos∠OAB=|AB→|(|AO→cos∠OAB|)=|AB→|⋅|AB→|2=12|AB→2|，
故选项B正确；
对于C，（AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC）⋅BC→
=AB→⋅BC→|AB→|cosB+AC→⋅BC→|AC→|cosC
=|AB→|⋅|BC→|cos(π−B)|AB→|cosB+|AC→|⋅|BC→|cosC|AC→|cosC
=−|BC→|+|BC→|=0，
所以AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与BC→垂直，
又AH→⊥BC→，
则AB→|AB→|cosB+AC→|AC→|cosC与AH→共线，
故选项C正确；
对于D，设BC的中点为D，
则AG→=23AD→=13(AB→+AC→)=13(1λAE→+1μAF→)=13λAE→+13μAF→，
因为E，F，G三点共线，
则13λ+13μ=1，
所以1λ+1μ=3，
故选项D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共16小题）
8．已知△ABC的面积为1，点P满足3AB→+2BC→+CA→=4AP→，则△PBC的面积等于 12 ．
【分析】取BC的中点D，根据向量共线定理可得A，P，D三点共线，继而得到S△PBC=12S△ABC．
【解答】解：取BC的中点D，∴AD→=12（AC→+AB→）
∵4AP→=3AB→+2BC→+CA→
＝（AB→+BC→+CA→）+（AB→+BC→）+AB→
=AC→+AB→，
∴AP→=14（AC→+AB→），∴AP→=12AD→，
∴A，P，D共线，∴PD→=12AD→，
∴S△PBC=12S△ABC=12×1=12，
故答案为：12．
9．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足1CM2+1CN2=1．对角线AC交MN于点P，设AP→=xAB→+yAD→，则x+y的最大值是 85 ．
【分析】由条件可知．CM2+CN2＝CM2•CN2，=⋅，所以点C到直线MN的距离为1，故≥1．AP≤4，则x+y=25AP≤85．
【解答】解：如图，由AP→=xAB→+yAD→，设AC与MN的交点为P，
∵1CM2+1CN2=1．∴CM2+CN2＝CM2•CN2，
∴MN2＝CM2•CN2，
∴=⋅，
∴点C到直线MN的距离为1，所以≥1．
∵AC=32+42=5，∴AP≤4．
设∠CAB＝α，则sinα=35，cosα=45，
∴cosα=x⋅ABAP，sinα=y⋅ADAP，则x＝y=15AP，
∴x+y=25AP≤85．
故答案为：85．
10．已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′=12，P是扇环边界上一动点，且满足OP→=xOA→+yOB→，则2x+y的取值范围为 [14，2213] ．
【分析】记OA→，OP→的夹角为θ，θ∈[0，2π3]．设OA→为直角坐标系的x轴．
OP→=（rcosθ，rsinθ）（12≤r≤2），OA→=（2，0），OB→=（﹣1，3），
代入OP→=xOA→+yOB→，得有（rcosθ，rsinθ）＝（2x，0）+（﹣y，3y），
⇒rcosθ＝2x﹣y，rsinθ=3y，故2x+y＝rcosθ+2r3sinθ=r（23sinθ+cosθ），运用三角函数的知识求解．
【解答】解：记OA→，OP→的夹角为θ，θ∈[0，2π3]．设OA→为直角坐标系的x轴．
OP→=（rcosθ，rsinθ）（12≤r≤2），OA→=（2，0），OB→=（﹣1，3），
代入OP→=xOA→+yOB→，得有（rcosθ，rsinθ）＝（2x，0）+（﹣y，3y），
⇒rcosθ＝2x﹣y，rsinθ=3y，
故2x+y＝rcosθ+2r3sinθ=r（23sinθ+cosθ）
23sinθ+cosθ=213(sinθ×27+cosθ×37)=213sin(θ+β)，其中cosβ=27，sinβ=37．
又∵θ∈[0，2π3]．213sin(θ+β)可以取到最大值213，
当θ＝0时．23sinθ+cosθ=1，当θ＝1200时．23sinθ+cosθ=12．
∴23sinθ+cosθ∈[12，213]，
12r≤2x+y≤213r．∵12≤r≤2，∴14≤2x+y≤2213
故答案为：[14，2213]
11．在△ABC中，AM→=12AB→，AN→=13AC→，BN与CM交于点E，AB→=a→，AC→=b→，则AE→= 25a→+15b→ （用a→、b→表示）．
【分析】由已知结合向量的线性表示可以a→，b→表示AE→，然后结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：因为M，E，C三点共线，
故存在m使得AE→=mAC→+（1﹣m）AM→=mb→+12（1﹣m）b→，
因为N，E，B三点共线，
故存在实数n使得AE→=nAB→+（1﹣n）AN→=na→+13（1﹣n）b→，
根据平面向量基本定理得n=12(1−m)m=13(1−n)，
解得m=15，n=25，
所以AE→=25a→+15b→．
故答案为：25a→+15b→．
12．在△OAB中，OA→=3OC→，OB→=2OD→，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ、μ＞0），则λ+μ的最小值为 3+225 ．
【分析】由已知可得OM→=15OA→+25OB→，若过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若OE→=λOA→，OF→=μOB→，（λ，μ＞0），则1λ+2μ=5，再由基本不等式可得答案．
【解答】解：由A，M，D三点共线可得存在实数t，使得OM→=tOA→+（1﹣t）OD→=tOA→+12（1﹣t）OB→，
同理由C，M，B三点共线可得存在实数m，使得OM→=mOB→+（1﹣m）OC→=mOB→+13（1﹣m）OA→，
∴t=13(1−m)12(1−t)=m，解得：m=25t=15，
∴OM→=15OA→+25OB→，设OM→=xOE→+yOF→=xλOA→+yμOB→，
∴xλ=15yμ=25，可得：5x=1λ5y=2μ，即：1λ+2μ=5，
∴λ+μ=15（λ+μ）（1λ+2μ）=15（1+2+μλ+2λμ）≥3+225，即λ+μ的最小值为3+225．
故答案为：3+225．
13．已知P是△ABC的边BC上任一点，且满足AP→=xAB→+yAC→，x、y∈R，则1x+4y的最小值为 9 ．
【分析】利用向量加法三角形法则将AP→表示出来，找出x，y的关系，进而求出1x+4y的最小值
【解答】解：∵BP→，BC→共线
∴存在实数λ（λ≤1），满足BP→=λBC→
∴AP→=AB→+BP→
=AB→+λBC→
=AB→+λ(AC→−AB→)
＝（1﹣λ）AB→+λAC→
∴x＝1﹣λ，y＝λ，即x+y＝1
∴1x+4y=x+yx+4(x+y)y
＝5+yx+4xy
≥5+2yx⋅4xy=9
当且仅当yx=4xy，即x=13时，取最小值为9
故答案为：9
14．设O，H分别为斜△ABC的外心与垂心，若OH→=m（OA→+OB→+OC→）（m∈R），则m＝ 1 ．
【分析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．
【解答】解：如图所示：
∵OH→=m（OA→+OB→+OC→），OH→=AH→−AO→，
∴AH→−AO→=m(OA→+OB→+OC→)
∴AH→=（m﹣1）OA→+m（OB→+OC→），
取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC，
∴OB→+OC→=2OD→，OD→⋅BC→=0．
又AH⊥BC，
∴AH→⋅BC→=0．
∴AH→⋅BC→=（m﹣1）OA→⋅BC→+2mOD→⋅BC→，
即0＝（m﹣1）OA→⋅BC→，
∵OA→⋅BC→不恒为0，
∴必有m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为：1．
15．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→=3AD→，P为BD上一点，向量AP→=λAB→+μAC→(λ＞0，μ＞0)，则13λ+1μ的最小值为 163 ．
【分析】利用B，P，D三点共线以及平面向量基本定理，可得λ+3μ＝1，然后利用“1”的代换以及基本不等式，求解最值即可．
【解答】解：因为AC→=3AD→，
所以AP→=λAB→+μAC→=λAB→+3μAD→，
又B，P，D三点共线，
所以λ+3μ＝1，
则13λ+1μ=（13λ+1μ）（λ+3μ）=λμ+μλ+103≥2λμ⋅μλ+103=163，
当且仅当λμ=μλ，即γ=μ=14时取等号，
所以13λ+1μ的最小值为163．
故答案为：163．
16．已知点O是△ABC的内心，若AO→=37AB→+17AC→，则cos∠BAC＝ 16 ．
【分析】依题意，四边形设AD→=37AB→，AE→=17AC→，四边形ADOE为菱形，设该菱形的边长为a，则AB=73a，AC＝7a，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出BC的长度，然后转化为等腰三角形处理即可．
【解答】解：依题意，AO→=37AB→+17AC→，设AD→=37AB→，AE→=17AC→，
则四边形ADOE为平行四边形，因为O为三角形ABC内心，所以∠OAD＝∠OAE，
所以四边形ADOE为菱形，设该菱形的边长为a，则AB=73a，AC＝7a，
因为OD∥AC，∠BDO＝∠BAC，
所以三角形ABC的内切圆半径r＝asin∠BAC，
由等积法，S△ABC=12AB×AC×sin∠BAC=12×(AB+BC+AC)×r，
即12×7a3×7a×sin∠BAC=12×(7a3+7a+BC)，解得BC＝7a，
所以△ABC为等腰三角形，所以cos∠BAC=12ABAC=12×7a37a=16．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b＝2，c＝3，点O为△ABC的外心，若AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝ 37 ．
【分析】设D，E分别为AC，AB的中点，一方面AO→⋅AB→=(λAB→+μAC→)⋅AB→=9λ+92μ，另一方面AO→⋅AB→=(AE→+EO→)⋅AB→=AE→⋅AB→=92，进而建立关于λ，μ的方程，同理再建立一个关于λ，μ的方程，解方程即可求解．
【解答】解：如图所示，设D，E分别为AC，AB的中点，
根据垂径定理可得OD⊥AC，OE⊥AB，
因为AO→=λAB→+μAC→，所以
一方面AO→⋅AB→=(λAB→+μAC→)⋅AB→=λAB→2+μAC→⋅AB→=9λ+μ(AE→+EC→)AB→=9λ+μAE→⋅AB→=9λ+92μ，
另一方面AO→⋅AB→=(AE→+EO→)⋅AB→=AE→⋅AB→=92，
所以9λ+92μ=92，即2λ+μ＝1①，
同理利用AO→⋅AC→可得9λ+8μ＝4 ②，
联立①②可得λ=47，μ=−17，所以λ+μ=37．
故答案为：37．
18．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25与x轴的正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点D，过点B作圆C的动弦BM，记弦BM的中点为P．若动点Q满足OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→，0＜t＜1，则PQ的最小值为 35−52． ．
【分析】根据已知先求出P的轨迹方程，然后结合直线与圆的位置关系可求．
【解答】解：由题意可得，A（8，0），B（﹣2，0），D（0，4），
设P（x，y），M（x0，y0），
则x=12(x0−2)y=12y0，
∵M（x0，y0）在圆C：（x﹣3）2+y2＝25上，
∴（x0﹣3）2+y02＝25，
∴（2x﹣1）2+（2y）2＝25，即（x−12）2+（y）2=254为P的轨迹方程，
∵OQ→=tOA→+（1﹣t）OD→=（8t，0）+（0，4﹣4t）＝（8t，4﹣4t），
∴Q（8t，4﹣4t）在线段x+2y＝8（0≤y≤4）上，
∵圆心（12，0）到直线x+2y＝8的距离d=352，
从而PQ的最小值35−52
故答案为：35−52．
19．在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=2xAB→+3yAD→，则x+y＝ 718 ．
【分析】由已知结合向量的线性表示可得，AF→=23AD→+13AB→，然后结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：由题意得，AFEF=ABDE=2，
∵AE→=AD→+DE→=AD→+12AB→，
∴AF→=23AE→=23(AD→+12DC→)=23AD→+13DC→=23AD→+13AB→，
又AF→=2xAB→+3yAD→，
由平面向量基本定理得，x=16，y=29，x+y=718．
故答案为：718．
20．如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=（m+29）AB→+29BC→，则实数m的值为 19 ．
【分析】设NP→=tNB→，AP→=AN→+NP→，再结合AP→=（m+29）AB→+29BC→可解决此题．
【解答】解：设NP→=tNB→，则AP→=AN→+NP→=14AC→+tNB→=14AC→+t（NC→+CB→）=14AC→+3t4AC→−tBC→=1+3t4AB→+1−t4BC→=（m+29）AB→+29BC→，
∴1+3t4=m+291−t4=29，解得：m=19．
故答案为：19．
21．在三角形ABC中，点满足AM→=MB→，点N满足AN→=2NC→．线段BN与MC交于点O且AO→=xAB→+yAC→，则x+y＝ 34 ．
【分析】分别用AM→，AC→和AB→，AN→表示出AO→，根据平面向量基本定理列方程得出x，y的值．
【解答】解：由题意可知AB→=2AM→，AC→=32AN→，
∴AO→=xAB→+yAC→=2xAM→+yAC→=xAB→+3y2AC→，
∵B，O，N三点共线，M，O，C三点共线，
∴2x+y=1x+3y2=1，解得x=14y=12．
∴x+y=34．
故答案为：34．
22．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，过点M的直线与线段OA，OB分别交于E，F（不与端点重合）．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，则p+q的最小值为 3+225 ．
【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量共线定理，平面向量基本定理可得x，y，然后结合乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：设OM→=xa→+yb→，
则AM→=OM→−OA→=（x﹣1）OA→+yOB→=（x﹣1）a→+yb→，AD→=OD→−OA→=−a→+12b→，
∵A，M，D三点共线，
∴AM→，AD→共线，从而12（x﹣1）＝﹣y，①
又C，M，B三点共线，∴BM→，BC→共线，
同理可得13（y﹣1）＝﹣x，②
联立①②，解得x=15y=25，故OM→=15a→+25b→，
∵EM→=OM→−OE→=15a→+25b→−pa→=（15−p）a→+25b→，.12≤p＜1，13≤q＜1，
EF→=OF→−OE→=qb→−pa→．
∵EM→，EF→共线，
∴（15−p）q=−25p，整理得1p+2q=5．
∴p+q=15(1p+2q)(p+q)=15(3+qp+2pq)≥3+225，经验证等号可以成立．
故答案为：3+225．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=π3，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足BP→=mBA→+23BC→，则m＝ 23 ；若▱ABCD的面积为23，则|BP→|的最小值为 433 ．
【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出m的值，利用平行四边形的面积，求出|BC→||BA→|=4，由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可．
【解答】解：BP→=BA→+AP→=BA→+kAE→=BA→+k(DE→−DA→)=(1−12k)BA→+kBC→，
所以(1−12k)BA→+kBC→=mBA→+23BC→，
则1−12k=mk=23，所以m=23，
因为▱ABCD的面积为23，
所以|BC→||BA→|⋅32=23，
则|BC→||BA→|=4，
所以|BP→|=49|BC→|2+49|BA→|2+89|BC→||BA→|=234+|BC→|2+16|BC→|2≥433，
则|BP→|的最小值为433．
故答案为：23；433．
四．解答题（共8小题）
24．如图，四边形ABCD中，已知AD→=2BC→．
（Ⅰ）用AB→，AD→表示DC→；
（Ⅱ）若AE→=2EB→，DP→=λDE→，当A，P，C三点共线时，求实数λ的值．
【分析】（Ⅰ）利用向量三角形法则进行分解即可．
（Ⅱ）用AB→，AD→表示AC→和AP→，利用三点关系转化为向量关系进行求解即可，
【解答】解：（Ⅰ）∵AD→=2BC→．
∴BC→=12AD→，
则DC→=DA→+AB→+BC→=−AD→+AB→+12AD→=AB→−12AD→．
（Ⅱ）AC→=AB→+BC→=AB→+12AD→．，
AP→=AD→+DP→，
∵AE→=2EB→，DP→=λDE→，
∴AP→=AD→+λDE→=AD→+λ（AE→−AD→）＝（1﹣λ）AD→+λAE→=（1﹣λ）AD→+23λAB→，
若A，P，C三点共线时，
则1−λ12=2λ31，得1﹣λ=12×2λ3=λ3，
得3﹣3λ＝λ，得λ=34．
25．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，试用c→，d→表示MN→，MB→．
【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的三角形法则解答．
【解答】解：由已知在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AB→=c→，AD→=d→，MN→=MC→+CN→=12(DC→+CB→)=12(AB→+DA→)=12(c→−d→)；
MB→=MC→+CB→=12DC→+DA→=12c→−d→．
26．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AF→=λAB→+μAD→．
（1）求λ+μ的值；
（2）若AC→=a→，BD→=b→，试用基底{a→，b→}表示AF→．
【分析】（1）根据题意，分析易得△DEF∽△AEB，由此可得DF=13AB，即DF→=13AB→，由向量加法的三角形法则可得AF→=AD→+DF→=AD→+13AB→，求出λ、μ的值，相加可得答案；
（2）根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得AB→+AD→=a→AB→−AD→=−b→，变形可得AB→=12（a→−b→），AD→=12（a→+b→），代入AF→=AD→+13AB→中，变形计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，在平行四边形ABCD中，DF∥AB，则有△DEF∽△AEB，
故DFAB=DEEB=13，则DF=13AB，
则DF→=13AB→，
则有AF→=AD→+DF→=AD→+13AB→，故λ=13，μ＝1，
λ+μ=43；
（2）根据题意，AC→=a→，BD→=b→，则AB→+AD→=a→AB→−AD→=−b→，
解可得AB→=12（a→−b→），AD→=12（a→+b→），
由（1）的结论：AF→=AD→+13AB→，
则AF→=12（a→+b→）+13×12（a→−b→）=23a→+13b→．
27．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=12AB．点P是线段DC上的动点．
（1）若AC→=xAB→+yAD→，求x，y的值；
（2）若AC→=λAP→+μBD→，求λμ的取值范围．
【分析】（1）由图可得AC→=AD→+12AB→，即可对应得到x，y的值；
（2）设DP→=tAB→，t∈[0，12]，根据平面向量基本定理，得λ+μ=1λt−μ=12，从而λμ＝λ（1﹣λ）＝﹣（λ−12）²+14∈[−34，0]．
【解答】解：（1）因为AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，所以x=12，y＝1；
（2）设DP→=tAB→，t∈[0，12]，所以AC→=λAP→+μBD→=λ(AD→+DP→)+μ(AD→−AB→)=λ(AD→+tAB→)+μ(AD→−AB→)=（λ+μ）AD→+（λt﹣μ）AB→，
由（1）得AC→=AD→+12AB→，根据平面向量基本定理，得λ+μ=1λt−μ=12，
从而λ（t+1）=32，λ=32(t+1)，
因为t∈[0，12]，所以λ∈[1，32]，
从而λμ＝λ（1﹣λ）＝﹣（λ−12）²+14∈[−34，0]．
28．如图所示，在△OAB中，OA→=a→，OB→=b→，点M是AB上靠近点B的一个三等分点，点N是OA上靠近点A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P．
（1）试用a→，b→表示OM→，BN→；
（2）试用a→，b→表示OP→．
【分析】（1）利用平面向量运算法则运算表示即可；
（2）可连接AP，由B，P，N三点共线便可得到BP→=λBN→，从而得到AP→=(1−λ)AB→+λ4AO→，而同理由O，P，M三点共线可以得到AP→=(1−μ)AO→+2μ3AB→，这样根据平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，可解出λ，μ．从而可表示出AP→，而由OP→=AP→−AO→便可用a→，b→表示出OP→．
【解答】解：（1）OM→=OB→+BM→=OB→+13BA→=OB→+13（OA→−OB→）=13OA→+23OB→=13a→+23b→；BN→=BO→+ON→=−OB→+34OA→=34a→−b→；
（2）如图，连接AP，B，P，N三点共线可得BP→=λBN→；
即AP→−AB→=λ（AN→−AB→），所以AP→=（1﹣λ）AB→+λ4AO→；
同理由O，P，M三点共线可得AP→=（1﹣μ）AO→+2μ3AB→，
所以1−λ=23μλ4=1−μ，解得λ=25，μ=910
所以AP→=110AO→+35AB→，
则OP→=AP→−AO→=35AB→−910AO→=35（OB→−OA→）−910AO→=310OA→+35OB→=310a→+35b→．
29．设O为△ABC的重心，过O作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于M，N．若AM→=λAB→，AN→=μAC→．
（1）求1λ+1μ的值；
（2）求λ•μ的取值范围．
【分析】（1）用利用重心的性质和平面向量的线性运算求出AO→=13λAM→+13μAN→，，根据M，Q，N三点共线即可求出．
（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．
【解答】解：（1）连结AO并延长交BC于P，则P是BC的中点，
则AP→=12AB→+12AC→，AO→=23AP→=13AB→+13AC→，
∵若AM→=λAB→，AN→=μAC→，
∴AO→=13λAM→+13μAN→，
∵M，O，N三点共线，13λ+13μ=1，∴1λ+1μ=3，
（2）∵1λ+1μ=3，∴μ=λ3λ−1，
∵λ，μ∈（0，1），∴0＜λ＜10＜λ3λ−1＜1，解得12＜λ＜1．∴1＜1λ＜2，
∴λμ=λ23λ−1=13λ−1λ2=1−(1λ−32)2+94，
∴当1λ=32时，λμ取得最小值49，当1λ=1或2时，λμ取得最大值12，
∴λμ的取值范围是[49，12）．
30．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设OA→=a→，OB→=b→．
（1）用a→，b→表示OM→；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设OE→=pOA→，OF→=qOB→，求1p+2q的值．
【分析】（1）由A，M，D三点共线和C，M，B三点共线可得出（1）；
（2）利用平面向量的线性运算和共线定理可求出（2）．
【解答】解：（1）设OM→=xa→+yb→，
则AM→=OM→−OA→=(x−1)OA→+yOB→=(x−1)a→+yb→，
AD→=OD→−OA→=−a→+12b→，
∵A，M，D三点共线，∴AM→，AD→共线，从而12(x−1)=−y①
又C，M，B三点共线，∴BM→，BC→共线，同理可得13(y−1)=−x②
联立①②，解得x=15y=25，故OM→=15a→+25b→．
（2）∵EM→=OM→−OE→=15a→+25b→−pa→=(15−p)a→+25b．→
EF→=OF→−OE→=qb→−pa→．
∵EM→，EF→共线，∴(15−p)q=−25p，整理得1p+2q=5．
31．如图，平行四边形ABCD中，BM→=12MC→，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且ME→=2EN→．
（1）若AE→=λAB→+μAD→，求λμ的值；
（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，求t的取值范围．
【分析】（1）利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得λ，μ，从而得解；
（2）利用共线向量定理可设NF→=λNP→=λMN→（0≤λ≤1），由向量的加法法则可得AF→=−λAM→+（1+λ）AN→，由平面向量的基本定理可得t＝﹣λ，即可求得t的取值范围．
【解答】解：根据题意可得AE→=AB→+BM→+ME→
=AB→+13BC→+23MN→
=AB→+13AD→+23（MC→+CN→）
=AB→+13AD→+23（23AD→−12AB→）
=23AB→+79AD→，
又AE→=λAB→+μAD→，由平面向量的基本定理可得λ=23，μ=79，
所以λμ=1427．
（2）由题意可得NP→=MN→，因为F在线段NP上（包含端点），
所以设NF→=λNP→=λMN→（0≤λ≤1），
所以AF→=AM→+MF→=AM→+（1+λ）MN→=AM→+（1+λ）（AN→−AM→）＝﹣λAM→+（1+λ）AN→，
又AF→=tAM→+（1﹣t）AN→，所以t＝﹣λ∈[﹣1，0]．
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