人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数图像变换

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数图像变换，共30页。试卷主要包含了已知函数f，函数f，要得到函数y＝sin，把函数f，将函数f等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数f（x）＝Asin（wx+φ）（A，w，φ是常数，A＞0，w＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示．为了得到函数f（x）的图象，可以将函数y=2sinx的图象（ ）
A．先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变
B．先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变
2．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）＝cs2x的图象（ ）
A．向左平移π12个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向右平移π6个单位长度
3．为了得到函数y=sin2x+3cs2x的图象，可以将函数y=3sin2x−cs2x的图象作这样的平移变换得到（ ）
A．向左π6B．向左π4C．向右π2D．向右π3
4．要得到函数y＝sin（2x+π3）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位
C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位
5．把函数f（x）＝Asin（2x−π6）（A≠0）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x﹣m）（m＞0）是偶函数，则实数m的最小值是（ ）
A．5π12B．5π6C．π6D．π12
6．函数f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)图象向右平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则f（x）在[−π3，π3]上的单调递增区间为（ ）
A．[−π3，π12]B．[−π3，0]C．[−π4，π4]D．[π12，π3]
7．将函数f（x）＝sinxcsx﹣1的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（ ）
A．[−π3+kπ，π3+kπ]（k∈Z）B．[π4+kπ，π2+kπ]（k∈Z）
C．[−π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）D．[−π12+kπ，5π12+kπ]（k∈Z）
8．要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度
C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度
9．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（ ）
A．3B．32C．2D．12
10．将函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数g（x）的最小正周期为4π
B．函数g（x）的单调递增区间为[4kπ−4π3，4kπ+2π3]（k∈Z）
C．直线x=2π3是函数g（x）图象的一条对称轴
D．函数g（x）图象的一个对称中心为点（2π3，0）
二．填空题（共14小题）
11．函数f（x）＝sin（2x−π3）的图象向左平移π3个单位后与函数g（x）的图象重合，写出所有真命题的序号 ．
①g（x）的一个周期为4π；
②g（x）的图象关于x=−5π12对称；
③x=5π6是g（x）的一个零点；
④g（x）在（−5π12，π12）上严格递减．
12．函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T＝ ，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为 ．
13．若将函数f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）（ω＞0，|φ|≤π2）的图像向右平移π6ω个单位得到g（x）图像，且g（x）图像过点(0，12)，若关于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一个实数解，则ω的取值范围是 ．
14．把曲线C1：y＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6个单位后得到曲线C2，若曲线C2的所有对称中心与曲线C1的所有对称中心重合，则ω的最小值为 ．
15．函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g（x）的图象，则下列函数g（x）的结论：
①一条对称轴方程为x=7π6；
②点(5π6，0)时对称中心；
③在区间(0，π3)上为单调增函数；
④函数g（x）在区间[π2，π]上的最小值为−12．
其中所有正确的结论为 .（写出正确结论的序号）
16．要得到函数y＝cs（2x+3）的图象，只要将函数y＝cs2x的图象，向 移动 个单位．
17．将函数f（x）＝2cs2（πx+π3）﹣1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g（x），则g（x）在区间[﹣1，1]上的所有零点的和为 ．
18．函数f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，−π2＜（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的图象可由函数g（x）＝2sinωx的图象至少向右平移 个单位得到．
19．把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝ ．
20．将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍，则所得图象的函数解析式为 ．
21．已知函数f（x）＝（x+α）csx为奇函数，则a＝ ；现将函数f（x）的图象沿x轴向左平移π2个单位，得到的图象所对应的函数记为g（x），那么其解析式g（x）＝ ；且函数g（x）图象的对称中心为 ．
22．已知函数y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是 ．
23．若将函数f(x)=cs(2x+π12)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是 ．
①g（x）的最小正周期为π；
②g（x）在区间[0，π2]上单调递减；
③x=π12不是函数g（x）图象的对称轴；
④g（x）在[−π6，π6]上的最小值为−12．
24．已知函数f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx−12（ω＞0），若对满足f（x1）=22，f(x2)=−22的x1，x2，有|x1﹣x2|最小值为π2．若将其图象沿x轴向右平移π4个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的解析式为 ．
三．解答题（共8小题）
25．已知函数f（x）=3sinωxcsωx﹣cs2ωx（ω＞0）周期是π2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数g（x）的图象，若π6≤x≤2π3时，|g（x）﹣m|＜2恒成立，求m得取值范围．
26．函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移π8个单位，得到y＝g（x）的图象，求直线y=6与函数y=2g(x)的图象在（0，π）内所有交点的坐标．
27．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最高点D的坐标为（π8，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（3π8，0）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[−π4，π4]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间及对称中心．
28．设函数f(x)=2sinx2csx2+23cs2x2−3(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时x的值；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）表达式和单调递增区间．
29．先将函数y=2sin(2x+π6)−3sin2x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β满足f(α)⋅f(β)=423，且α+β=π4，设g(x)=32sin(x+α)⋅sin(x+β)cs2x，求函数g（x）在x∈[−π4，π4]上的最大值．
30．已知：向量a→=(2csx4，2sinx4)，b→=(sinx4，−3sinx4)，函数f(x)=a→⋅b→+3
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期及最值；
（2）将函数y＝f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移23π得到函数y＝g（x），判断函数y＝g（x）的奇偶性，并说明理由．
31．设函数f(x)=3sin(ωx−π3)，其中0＜ω＜3．若f(π6)=0．
（1）求ω；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[−π4，3π4]上的最小值．
32．已知向量a→=(sinx，3cs(32π−x))，b→=(sin(π2−x)，cs(π2+x))，函数f(x)=a→⋅b→−32．
（1）求f（x）的最小正周期及f（x）图象的对称轴方程；
（2）若先将f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π3个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数y=g(x)−15在区间[﹣π，3π]内的所有零点之和．
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数图像变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知函数f（x）＝Asin（wx+φ）（A，w，φ是常数，A＞0，w＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示．为了得到函数f（x）的图象，可以将函数y=2sinx的图象（ ）
A．先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变
B．先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变
【分析】首先根据函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【解答】解：根据函数的图象得到A=2，
14×2πω=7π12−π3，解得ω＝2，
由于2×π3+φ=kπ，0＜φ＜π2，
解得φ=π3．
故f（x）=2sin(2x+π3)，
所以要得到函数f（x）的图象，只需将函数y=2sinx的图象向左平移π3个单位，横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变即可．
故选：D．
2．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）＝cs2x的图象（ ）
A．向左平移π12个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向右平移π6个单位长度
【分析】先利用图象求三角函数的解析式：由图知，A＝1，T＝π，则ω=2πT=2ππ=2，又f（π3）＝0，即φ＝kπ−2π3（k∈Z），又|φ|＜π2，所以φ=π3，
再由三角函数图象的平移及诱导公式得：将g（x）＝cs2x的图象向右平移π12个单位长度得y＝cs2（x−π12）＝cs（2x−π6）＝sin（2x+π3）＝f（x），得解
【解答】解：由图知：A＝1，由T4=7π12−π3=π4，即T＝π，则ω=2πT=2ππ=2，
又f（π3）＝0，即sin（2π3+φ）＝0，所以2π3+φ＝kπ，即φ＝kπ−2π3（k∈Z），
又|φ|＜π2，
所以φ=π3，
即f（x）＝sin（2x+π3），
将g（x）＝cs2x的图象向右平移π12个单位长度得y＝cs2（x−π12）＝cs（2x−π6）＝sin（2x+π3）＝f（x），
故选：B．
3．为了得到函数y=sin2x+3cs2x的图象，可以将函数y=3sin2x−cs2x的图象作这样的平移变换得到（ ）
A．向左π6B．向左π4C．向右π2D．向右π3
【分析】根据已知条件，以及三角函数两角和、两角差公式，分别得到原函数与目标函数，再结合平移变换法则，即可求解．
【解答】解：由题意可得，y=3sin2x−cs2x=2(32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6)，
设f(x)=2sin(2x−π6)，
y=sin2x+3cs2x=2(12sin2x+32cs2x)=2sin(2x+π3)，
设g(x)=2sin(2x+π3)，
设g(x)是由f(x)平移φ个单位得到，
则2sin[2(x+φ)−π6+2kπ]=2sin(2x+π3)，k∈Z
∴2x+2φ−π6=2x+π3，即φ=π4+kπ，
∴当k＝0时，φ=π4，
∴根据左加右减原则，g(x)是由f(x)向左平移π4个单位得到，
故选：B．
4．要得到函数y＝sin（2x+π3）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位
C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6），
∴将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数y＝sin（2x+π3）的图象，
故选：B．
5．把函数f（x）＝Asin（2x−π6）（A≠0）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x﹣m）（m＞0）是偶函数，则实数m的最小值是（ ）
A．5π12B．5π6C．π6D．π12
【分析】先根据左加右减求出g（x）的解析式，再根据正余弦型函数若是偶函数，则在y轴上有最值，令g（0﹣m）＝±A，即可求出m的值．
【解答】解：把函数f（x）＝Asin（2x−π6）（A≠0）的图象向右平移π4个单位长度，
可得函数g（x）=Asin(2(x−π4)−π6)=−Acs(2x−π6)．
若函数g（x﹣m）（m＞0）是偶函数，则g（0﹣m）＝﹣Acs（﹣2m−π6）＝±A，
∴cs（2m+π6）＝±1，所以2m+π6=kπ，k∈Z．
∵m＞0，∴k＝1时，m=5π12最小．
故选：A．
6．函数f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)图象向右平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则f（x）在[−π3，π3]上的单调递增区间为（ ）
A．[−π3，π12]B．[−π3，0]C．[−π4，π4]D．[π12，π3]
【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出φ的值，结合函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：函数f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)图象向右平移π6个单位长度，
得到y＝cs[2（x−π6）+φ]＝cs（2x+φ−π3），所得图象关于原点对称，
则φ−π3=kπ+π2，得φ＝kπ+5π6，k∈Z，
∵|φ|＜π2，
∴当k＝﹣1时，φ=−π6，
则f（x）＝cs（2x−π6），
由2kπ﹣π≤2x−π6≤2kπ，k∈Z，
得kπ−512≤x≤kπ+π12，k∈Z，
即的单调递增区间为[kπ−512，kπ+π12]，k∈Z，
∵x∈[−π3，π3]，
∴当k＝0时，−512≤x≤π12，
即−π3≤x≤π12，
即f（x）在[−π3，π3]上的单调递增区间为[−π3，π12]，
故选：A．
7．将函数f（x）＝sinxcsx﹣1的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（ ）
A．[−π3+kπ，π3+kπ]（k∈Z）B．[π4+kπ，π2+kπ]（k∈Z）
C．[−π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）D．[−π12+kπ，5π12+kπ]（k∈Z）
【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sinxcsx﹣1=12sin2x−1，的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g（x）=12sin(2x−π3)−1的图象．
令：−π2+2kπ≤2x−π3≤2kπ+π2（k∈Z），
解得−π12+kπ≤x≤kπ+5π12（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[−π12+kπ，kπ+5π12]（k∈Z）．
故选：D．
8．要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度
C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度
【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y＝sin（2x−π3）的图象，
故选：B．
9．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（ ）
A．3B．32C．2D．12
【分析】根据函数图象求出函数解析式，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，代入进行求解即可．
【解答】解：由图象知函数的最大值是1.5，最小值为0.5，
即A+B＝1.5，﹣A+B＝0.5，得A＝0.5，B＝1，
函数的周期T＝4﹣0＝4，即T=2πω=4，得ω=π2，
即f（x）＝0.5sin（π2x+φ）+1，
由图象知f（1）＝0.5sin（π2+φ）+1＝1.5，
得0.5sin（π2+φ）＝0.5，
即sin（π2+φ）＝1，
得π2+φ=π2+2kπ，k∈Z，
得φ＝2kπ，
f（x）＝0.5sin（π2x+2kπ）+1＝0.5sin（π2x）+1，
将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝f（x﹣1），
则则g（﹣4）+g（15）＝f（﹣5）+f（14）＝0.5sin[（π2×（﹣5））+1]+0.5sin（π2×14）+1
＝0.5sin（−π2））+1+0.5sin（7π）+1
＝2﹣0.5=32，
故选：B．
10．将函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数g（x）的最小正周期为4π
B．函数g（x）的单调递增区间为[4kπ−4π3，4kπ+2π3]（k∈Z）
C．直线x=2π3是函数g（x）图象的一条对称轴
D．函数g（x）图象的一个对称中心为点（2π3，0）
【分析】由已知利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数解析式g（x）＝sin（12x+π6），进而根据正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
【解答】解：函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin（x+π6），
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得g（x）＝sin（12x+π6），
对于A，函数g（x）的最小正周期为T=2π12=4π，故正确；
对于B，令2kπ−π2≤12x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，可得g（x）的单调递增区间为[4kπ−4π3，4kπ+2π3]（k∈Z），故正确；
对于C，令12x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x＝4kπ+2π3，k∈Z，当k＝0时，可得g（x）的一条对称轴为x=2π3，故正确；
对于D，g（2π3）＝sin（12×2π3+π6）＝sinπ2=1≠0，故错误．
故选：D．
二．填空题（共14小题）
11．函数f（x）＝sin（2x−π3）的图象向左平移π3个单位后与函数g（x）的图象重合，写出所有真命题的序号 ①②③ ．
①g（x）的一个周期为4π；
②g（x）的图象关于x=−5π12对称；
③x=5π6是g（x）的一个零点；
④g（x）在（−5π12，π12）上严格递减．
【分析】根据三角函数的平移变换求出g（x）的解析式，结合函数的性质分别判断即可．
【解答】解：由题意函数f（x）＝sin（2x−π3）的图象向左平移π3个单位后，
得函数g（x）＝sin[2（x+π3）−π3]＝sin（2x+π3），
故T=2π2=π，g（x）的最小正周期是π，
∴4π是g（x）的一个周期，∴①正确；
由2x+π3=kπ+π2，解得：x=π12+kπ2，k∈Z，
当k＝﹣1时，x=−5π12，∴②正确；
令2x+π3=kπ，解得：x=−π6+kπ2（k∈Z），
令k＝2，则x=5π6，即x=5π6是g（x）的一个零点，∴③正确；
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，
解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，
故g（x）在[kπ+π12，kπ+7π12]上单调递增，∴④错误，
故答案为：①②③．
12．函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T＝ π ，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为 π2 ．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T=2π2=π，
将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，
得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+π3）的图象．
若函数y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+π3）﹣sin（2x+2φ+π3）的最大值为2，
则当 sin（2x+π3）＝1时，sin（2x+2φ+π3）＝﹣1，
则 2φ＝（2k﹣1）•π，k∈Z．
令k＝1，可得φ=π2，
故答案为：π；π2．
13．若将函数f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）（ω＞0，|φ|≤π2）的图像向右平移π6ω个单位得到g（x）图像，且g（x）图像过点(0，12)，若关于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一个实数解，则ω的取值范围是 [43，103） ．
【分析】由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）＝sin（ωx+φ+π6），（ω＞0，|φ|≤π2）；
若将f（x）的图像向右平移π6ω个单位得到g（x）图像，
则g（x）＝sin[ω（x−π6ω）+φ+π6]＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤π2）；
且g（x）图像过点(0，12)，则g（0）＝sinφ=12，
∴φ=π6+2kπ，或φ=5π6+2kπ，k∈Z，
因为|φ|≤π2，所以，φ=π6，g（x）＝sin（ωx+π6）．
若关于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一个实数解，
即y＝sin（ωx+π6）的图象和直线y＝﹣1，在[π6，π]上恰有一个交点．
因为ω＞0，则π6（ω+1）≤ωx+π6≤π（ω+16），
故2nπ−π2＜π6（ω+1）≤2nπ+3π2①，
且 2nπ+3π2≤π（ω+16）＜2nπ+7π2，n∈Z②，
且①②中的等号不能同时成立．
解①可得，12n﹣4＜ω≤12n+8，
解②可得，2n+43≤ω＜2n+103．
令n＝0，可得43≤ω＜103，
故答案为：[43，103）．
14．把曲线C1：y＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6个单位后得到曲线C2，若曲线C2的所有对称中心与曲线C1的所有对称中心重合，则ω的最小值为 6 ．
【分析】由正弦函数的图象特点可得π6=k•πω，k∈N+，∴ω＝6k，k∈N+，从而ω最小值为6．
【解答】解：∵正弦函数的对称中心每隔半个周期出现，
又曲线C1：f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6个单位后得曲线C2，
曲线C2的对称中心与曲线C1的所有对称中心重合，
∴曲线至少移动半个周期，
∴π6=k•πω，k∈N+，∴ω＝6k，k∈N+，∴ω最小值为6．
故答案为：6．
15．函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g（x）的图象，则下列函数g（x）的结论：
①一条对称轴方程为x=7π6；
②点(5π6，0)时对称中心；
③在区间(0，π3)上为单调增函数；
④函数g（x）在区间[π2，π]上的最小值为−12．
其中所有正确的结论为 ②③④ .（写出正确结论的序号）
【分析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g（x）的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论．
【解答】解：函数f（x）＝sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g（x）＝sin（x+π6）的图象，
对于①：当x=7π6时，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=−32，故①错误；
②当x=5π6时，g（5π6）＝sinπ＝0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；
③当x∈(0，π3)，时，x+π6∈(π6，π2)，故函数在区间(0，π3)上为单调增函数，故③正确；
④当x∈[π2，π]时，x+π6∈[2π3，7π6]，所以sin(x+π6)∈[−12，32]故函数的最小值为−12，故④正确．
故答案为：②③④．
16．要得到函数y＝cs（2x+3）的图象，只要将函数y＝cs2x的图象，向 左 移动 32 个单位．
【分析】直接利用三角函数图象的平移变换的应用求出结果．
【解答】解：函数y＝cs2x，向左平移32个单位，得到y＝cs[2（x+32）]＝cs（2x+3）的图象．
故答案为：左，32．
17．将函数f（x）＝2cs2（πx+π3）﹣1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g（x），则g（x）在区间[﹣1，1]上的所有零点的和为 23 ．
【分析】根据条件得到g（x）的解析式，然后令g（x）＝0，求出g（x）在[﹣1，1]上的零点即可．
【解答】解：由题意可得g（x）=cs(πx−π3)，
令g（x）＝0，则πx−π3=kπ+π2(k∈Z)，
所以x=k+56(k∈Z)，
所以g（x）在[﹣1，1]上的零点为56和−16，
所以56+−16=23，
故答案为：23．
18．函数f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，−π2＜（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的图象可由函数g（x）＝2sinωx的图象至少向右平移 π6 个单位得到．
【分析】利用函数的图象确定周期T的值，利用周期公式确定ω，再根据图象过点（5π12，2），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式，由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可得结论．
【解答】解：由图象可得，3T4=5π12−（−π3），解得T＝π，
由T=2πω=π，得ω＝2．
因为图象过点（5π12，2），
所以2sin（2×5π12+φ）＝2，
则5π6+φ＝2kπ+π2，得φ＝2kπ−π3，k∈Z，
由−π2＜φ＜π2，得φ=−π3，
f（x）＝2sin（2x−π3），
所以将g（x）＝2sin2x的图象向右平移π6个单位得到函数f（x）＝2sin（2x−π3）．
故答案为：π6．
19．把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝ sin（2x+2π3） ．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得y＝sin2x的图象；
再把所得图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin（2x+2π3）的图象，
故g（x）的解析式为g（x）＝sin（2x+2π3），
故答案为：sin（2x+2π3）．
20．将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍，则所得图象的函数解析式为 y＝sin（4x+π6） ．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，可得y＝2sin（2x+π6）的图象；
再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍，
则所得图象的函数解析式y＝sin（4x+π6），
故答案为：y＝sin（4x+π6）．
21．已知函数f（x）＝（x+α）csx为奇函数，则a＝ 0 ；现将函数f（x）的图象沿x轴向左平移π2个单位，得到的图象所对应的函数记为g（x），那么其解析式g（x）＝ ﹣xsinx ；且函数g（x）图象的对称中心为 （kπ，0）． ．
【分析】由题意可得设g（x）＝x+a，则g（x）为奇函数，有g（﹣x）＝﹣x+a＝﹣g（x）＝﹣（x+a），从而解得a的值．由f（x）＝xcsx，根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x），由正弦函数的图象和性质可得函数g（x）图象的对称中心．
【解答】解：∵函数f（x）＝（x+α）csx为奇函数，csx为偶函数，
∴设g（x）＝x+a，则g（x）为奇函数，
∴g（﹣x）＝﹣x+a＝﹣g（x）＝﹣（x+a），从而解得：a＝0．
∴f（x）＝xcsx，
∴将函数f（x）的图象沿x轴向左平移π2个单位，得到的图象所对应的函数记为g（x），那么其解析式g（x）＝xcs（x+π2）＝﹣xsinx，
∴由正弦函数的图象和性质可得函数g（x）图象的对称中心为：（kπ，0）．
故答案为：0，﹣xsinx，（kπ，0）．
22．已知函数y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是 32＜t≤136，或t＞52 ．
【分析】由已知可求范围7π3≤32π+πx＜tπ+32π，当3π＜tπ+32π≤136π，即 32＜t≤136时，有最大值cs（ 7π3π）=12，最小值cs（3π）＝﹣1，当tπ+32π＞4π，即t＞52，有最大值cs（4π）＝1，最小值cs（3π）＝﹣1，即可得出答案．
【解答】解：因为：x∈[56，t），（t＞56），
所以：56π≤πx＜tπ，可得：56π+3π2≤3π2+πx＜3π2+tπ，可得：7π3≤3π2+πx＜tπ+3π2，
若函数y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，
当3π＜tπ+3π2≤113π，即：32＜t≤136时，有最大值cs（7π3）=12，最小值cs（3π）＝﹣1，
当tπ+3π2＞4π，即t＞52，有最大值cs（4π）＝1，最小值cs（3π）＝﹣1，
综上所述，32＜t≤136，或t＞52．
故答案为：32＜t≤136，或t＞52．
23．若将函数f(x)=cs(2x+π12)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是 ①③④ ．
①g（x）的最小正周期为π；
②g（x）在区间[0，π2]上单调递减；
③x=π12不是函数g（x）图象的对称轴；
④g（x）在[−π6，π6]上的最小值为−12．
【分析】由题意利用函数y＝cs（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵将函数f(x)=cs(2x+π12)的图象向左平移π8个单位长度，
得到函数g（x）＝cs（2x+π4+π12）＝cs（2x+π3）的图象，
故g（x）的最小正周期为2π2=π，故①正确；
当x∈[0，π2]，2x+π3∈[π3，4π3]，函数g（x）没有单调性，故②错误；
令x=π12，求得g（x）＝0，故x=π12不是函数g（x）图象的对称轴，故③正确；
当x∈[−π6，π6]，2x+π3∈[0，2π3]，当2x+π3=2π3时，g（x）取得最小值为−12，故④正确，
故答案为：①③④．
24．已知函数f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx−12（ω＞0），若对满足f（x1）=22，f(x2)=−22的x1，x2，有|x1﹣x2|最小值为π2．若将其图象沿x轴向右平移π4个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的解析式为 g（x）=22sin（x−3π4） ．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的性质求得ω，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：已知函数f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx−12=12sin2ωx−12cs2ωx=22sin（2ωx−π4），
若对满足f（x1）=22，f(x2)=−22的x1，x2，
由|x1﹣x2|最小值为T2=12•2π2ω=π2，
∴ω＝1，f（x）=22sin（2x−π4）．
若将其图象沿x轴向右平移π4个单位，可得y=22sin（2x−π2−π4）=22sin（2x−3π4），
再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），
得到函数y＝g（x）的解析式为g（x）=22sin（x−3π4），
故答案为：g（x）=22sin（x−3π4）．
三．解答题（共8小题）
25．已知函数f（x）=3sinωxcsωx﹣cs2ωx（ω＞0）周期是π2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数g（x）的图象，若π6≤x≤2π3时，|g（x）﹣m|＜2恒成立，求m得取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据函数的恒成立问题，可得[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f(x)=3sinωxcsωx−cs2ωx=32sin2ωx−12(cs2ωx+1)
=sin(2ωx−π6)−12，
由T=2π2ω=π2，解得ω＝2，
所以，f(x)=sin(4x−π6)−12．
∵2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2，
∴2kπ−π3≤4x≤2kπ+2π3，
∴kπ2−π12≤x≤kπ2+π6，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ2−π12，kπ2+π6]，k∈Z．
（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y＝sin（2x−π6）−12的图象；
再向左平移π6个单位，可得y＝sin（2x+π6）−12的图象
最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数g（x）的图象，
∴g(x)=sin(2x+π6)+1．
因为|g（x）﹣m|＜2恒成立，所以，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2．
因为当x∈[π6，2π3]时，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2恒成立，
所以，只需[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．
当x∈[π6，2π3]时，y＝g（x）为单调减函数，
所以，g(x)max=g(π6)=1+1=2，g(x)min=g(2π3)=1−1=0，
从而[g（x）﹣2]max＝0，[g（x）+2]min＝2，即 0＜m＜2，
所以，m的取值范围是（0，2）．
26．函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移π8个单位，得到y＝g（x）的图象，求直线y=6与函数y=2g(x)的图象在（0，π）内所有交点的坐标．
【分析】（1）由已知图象求出振幅，周期和相位，得到解析式；
（2）利用三角函数的图形变换，结合图象得到交点坐标．
【解答】解：（1）由图知A＝2，T＝π，于是ω=2πT=2
将y＝2sin 2x的图象向左平移π12，
得y＝2sin（2x+φ）的图象．
于是φ＝2•π12=π6，
∴f（x）＝2sin（2x+π6）．
（2）依题意得
g（x）＝2sin[2（x−π8）+π6]
．＝2sin（2x−π12）．
故y=2g（x）＝22sin（2x−π12）．
由y=6y=22sin(2x−π12)
得sin（2x−π12）=32．…（8分）
∴2x−π12=π3+2kπ或2x−π12=2π3+2kπ（k∈Z），
∴x=5π24+kπ或x=3π8+kπ（k∈Z）．
∵x∈（0，π），
∴x=5π24或x=3π8．…（11分）
∴交点坐标为（5π24，6），（3π8，6）．
27．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最高点D的坐标为（π8，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（3π8，0）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[−π4，π4]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间及对称中心．
【分析】（1）由已知可求T，利用周期公式可求ω，由函数经过点D的坐标为（π8，2），可得2×π8+φ=π2+2kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜π2，可求φ=π4，即可得解函数的解析式．
（2）由已知可求2x+π4∈[−π4，3π4]，利用正弦函数的性质可求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）利用三角函数平移变换可求g（x）＝2sin[2（x−π4）+π4]，利用正弦函数的单调性，对称性即可得解．
【解答】解：（1）∵由最高点D（π8，2）运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点为（3π8，0），
所以周期的四分之一即T4=3π8−π8=π4，∴T＝π，又T=2πω=π，∴ω＝2，
因为函数经过点D的坐标为（π8，2），代入函数解析式得2sin（2×π8+φ）＝2，
所以2×π8+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ+π4，k∈Z，
又|φ|＜π2，
所以φ=π4，
∴函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+π4）
（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x+π4），当x∈[−π4，π4]，2x+π4∈[−π4，3π4]
所以2x+π4=−π4，即x=−π4时；函数f（x）有最小值−2，
2x+π4=π2，即x=π8时；函数f（x）有最大值2．
（3）由题意g（x）＝f（x−π4）＝2sin[2（x−π4）+π4]，
∴g（x）＝2sin（2x−π4）因为正弦函数y＝sinx的减区间是[2kπ+π2，2kπ+3π2]，k∈Z
所以有2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，k∈Z，
故函数g（x）的减区间为[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z，
令2x−π4=kπ，k∈Z，解得：x=12kπ+π8，k∈Z，
可得函数y＝g（x）的对称中心为（12kπ+π8，0），k∈Z．
28．设函数f(x)=2sinx2csx2+23cs2x2−3(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时x的值；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）表达式和单调递增区间．
【分析】（1）根据函数f（x）的解析式求出周期T，再求出函数的最大值和取得最大值时x的值即可；
（2）求出g（x）的解析式，解不等式，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：（1）由题意f（x）＝sinx+3csx＝2sin（x+π3），故周期T＝2π，
当x＝2kπ+π6（k∈Z）时，f（x）max＝2；
（2）由题意可知g（x）＝2sin（x2+π3），
由2kπ−π2≤x2+π3≤2kπ+π2，解得4kπ−5π3≤x≤4kπ+π3，k∈Z，
故g（x）的递增区间是[4kπ−5π3，4kπ+π3]（k∈Z）．
29．先将函数y=2sin(2x+π6)−3sin2x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β满足f(α)⋅f(β)=423，且α+β=π4，设g(x)=32sin(x+α)⋅sin(x+β)cs2x，求函数g（x）在x∈[−π4，π4]上的最大值．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再由三角函数的图象变换规律可得f（x）的解析式；
（2）根据条件求出cs（α﹣β），利用三角函数的积化和差进行转化，然后利用弦化切，最后利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：（1）函数y=2sin(2x+π6)−3sin2x=2（32sin2x+12cs2x）−3sin2x＝cs2x，
函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得y＝2cs2x的图象，
再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍，得y＝2csx的图象；
所以函数f（x）＝2csx．
（2）因为f(α)⋅f(β)=423，
所以2csα•2csβ=423，即csαcsβ=23，
又α+β=π4，
则cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=23−sinαsinβ=22，
得sinαsinβ=−26，
cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ=23−26=26，
g(x)=32sin(x+α)⋅sin(x+β)cs2x=−322[cs(2x+α+β)−cs(α−β)]cs2x=−322cs(2x+π4)+322×26cs2x
=−322×22(cs2x−sin2x)+12cs2x=−32(cs2x−sin2x−2sinxcsx)+12(sin2x+cs2x)cs2x
=−cs2x+2sin2x+3sinxcsxcs2x=2tan2x+3tanx﹣1，
设t＝tanx，当x∈[−π4，π4]时，﹣1≤t≤1，
则函数g（x）等价为y＝2t2+3t﹣1，对称轴为t=−32×2=−34，
则当t＝1时，函数取得最大值，此时最大值为y＝2+3﹣1＝4，
即函数g（x）在x∈[−π4，π4]上的最大值为4．
30．已知：向量a→=(2csx4，2sinx4)，b→=(sinx4，−3sinx4)，函数f(x)=a→⋅b→+3
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期及最值；
（2）将函数y＝f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移23π得到函数y＝g（x），判断函数y＝g（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）利用两个向量数量积公式、两角和差的正弦公式化简函数y＝f（x）的解析式为2sin（x2+π3），由此求出它的最小正周期和最小值．
（2）第一次变换后得到y＝2sin（x4+π3）的图象，第二次变换后得到y＝2csx4的图象，再由偶函数的定义判断它为偶函数．
【解答】解：（1）∵函数y＝f（x）=a→⋅b→+3=sinx2−2 3sin2x4+3=sinx2+3csx2=2sin（x2+π3），
故函数y＝f（x）的最小正周期为2π12=4π，最小值为﹣2．
（2）将函数y＝f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，得到函数y＝2sin（x4+π3）的图象，
再向左平移23π得到函数y＝2sin[14(x+2π3)+π3]＝2sin（x4+π2）＝2csx4的图象，
故函数y＝g（x）＝2csx4，定义域为R，
因为g（﹣x）＝2cs（−x4 ）＝2 csx4=g（x），
故函数y＝g（x）是偶函数．
31．设函数f(x)=3sin(ωx−π3)，其中0＜ω＜3．若f(π6)=0．
（1）求ω；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[−π4，3π4]上的最小值．
【分析】（1）将f(π6)=0代入，结合0＜ω＜3构造一个关于ω的不等式、方程的混合组，解出ω即可．
（2）先根据图象的平移变换与伸缩变换的规律，求出y＝g（x）的解析式，再利用“整体思想”结合正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=3sin(ωx−π3)，且f(π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z．
故ω＝6k+2，k∈Z．又0＜ω＜3，所以ω＝2．
（2）由（1）得f（x）=3sin(2x−π3)．
所以g（x）=3sin（x−π12），
因为x∈[−π4，3π4]，所以x−π12∈[−π3，2π3]，
所以，当x−π12=−π3，即x=−π4时，g（x）取得最小值−32．
32．已知向量a→=(sinx，3cs(32π−x))，b→=(sin(π2−x)，cs(π2+x))，函数f(x)=a→⋅b→−32．
（1）求f（x）的最小正周期及f（x）图象的对称轴方程；
（2）若先将f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π3个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数y=g(x)−15在区间[﹣π，3π]内的所有零点之和．
【分析】（1）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．
（2）利用函数的图象的平移变换求出函数g（x）的关系式，最后利用函数的图象和零点的关系求出结果．
【解答】解：（1）f(x)=sinx⋅sin(π2−x)+3cs(3π2−x)⋅cs(π2+x)−32，
=sinx⋅csx+3(−sinx)⋅(−sinx)−32，
=12sin2x+32(1−cs2x)−32，
=sin(2x−π3).T=2π2=π，
由2x−π3=π2+kπ，k∈Z，
得x=5π12+kπ2，k∈Z
所以函数f（x）的最小正周期为π，
对称轴方程为x=512π+kπ2，k∈Z．
（2）依题意可得g（x）＝sinx，由g(x)−15=0得sinx=15，
由图可知，sinx=15在[﹣π，3π]上有4个零点：x1，x2，x3，x4，
根据对称性有x1+x22=π2，x3+x42=5π2，
从而所有零点和为x1+x2+x3+x4＝6π．