2020年上海市松江区高三二模数学试卷及答案
展开2020年上海市松江区高三二模数学试卷
（满分150分，完卷时间120分钟）
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．若集合，，则= ▲ ．
2．已知复数，（是虚数单位），若是纯虚数，则实数= ▲ ．
3．已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为 ▲ ．
4．等差数列的前项和为，若，则= ▲ ．
5．若的展开式中项的系数为，则实数= ▲ ．
6．已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则 ▲ ．
7．用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米．
8．若函数是偶函数，则= ▲ ．
9．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 ▲ ．
10．已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_ ▲ ．
11．已知集合，元素称为集合的特征元素．对于中的元素与，定义：．当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为 ▲ ．
12．已知函数且为常数和且为常数，有以下命题：
①当时，函数没有零点；
② 当时，恰有3个不同的零点，则；
③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列．
其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
14．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D) 或
15．在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为
(A) (B)
(C) (D)
16．已知实数，且，则当取得最大值时，这个数中，值为的个数为
(A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求点到平面的距离．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万套)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足
，求证：线段的中点在定直线上．
21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数具有性质，求及应满足的条件；
（3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中），
记,求证：数列为等比数列的充要条件是或.
高三数学参考答案
一．填空题
1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2
7． 8． 9． 10． 11． 12．②
二、选择题
13．B 14．A 15．C 16．B
三．解答题
17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．
（1）求异面直线AE与PD所成的角；
（2）求点B到平面ECD的距离．
解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，
因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO//PD，
所以就是异面直线AE与PD所成的角 …………3分
因为为正方形，且，
所以 …………4分
所以 …………6分
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵，点E是棱PB的中点，
∴，，，，，，，，…………8分
设平面ECD的法向量，
则由 得
取z＝2，得，…………11分
∴点B到平面ECD的距离：…………14分
18．已知函数．
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）在中，内角、、的所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值.
解：（1）………4分
∴， ………………………………5分
………………………………6分
（2）由 得
因为 ，所以，得 ， ………………8分
因为，由余弦定理，得 ，………………10分
由 得 ，当且仅当时取得等号………12分
∴面积，
∴面积的最大值为 ………………14分
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
解：（1）………………4分
，…………6分
（2）若对任意的，公司都不产生亏损，
则在恒成立 …………8分
即，记，则，
此时
由于函数在单调递增 …………10分
所以当时， …………12分
∴
即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. ……14分
20．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上．
解：（1）在方程中，令，解得.令，解得..
椭圆方程为：.…………4分
（2）…………6分
设，，则
…8分时，
…………10分
（3）解法一：设
…………12分
设，代入得：
即：
代入得：
即…………14分
，
所以点E在直线上 …………16分
解法二：设
…………12分
也是弦的中点，
…………14分
代入化简，得：
所以点E在直线上．…………16分
21．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数具有性质，求的性质集；
（3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.
解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得
对任意的都成立…………2分
即：
，不合题意，舍
函数不具有性质 …………4分
（2）由题意：存在实常数及，
使得对任意的都成立
即：
化简，得：
…(1)对任意的都成立…………6分
在(1)中令，得：，代入(1)，得：
所以 解得或…………8分
所以 或…………10分
（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，
对任意的，都有
即……① …………12分
∴ ，
记，则……② …………14分
充分性：当时，，反复代入②式得
即对任意的，都有，∴数列是以为首项，为公比的等比数列
同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列…………16分
必要性：若数列是等比数列，不妨设，则
又由①知 ∴，
∴，即 ∴或即或. …………18分
证法二
由函数不存在零点，且具有性质知，
对任意的，都有
即……① …………12分
对①变形可得如下两式
……②
……③
由②得……④
由③得
……⑤
④-⑤得：
∴ …………16分
当.时，，当时，，此时是等比数列；
当且时，显然不是等比数列． …………18分
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