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2020-2021学年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷
展开这是一份2020-2021学年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了3010,lg3≈0，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】B，【答案】BD等内容，欢迎下载使用。
已知集合M={x|1
已知命题p：∀x∈(0,+∞)，x>lgx，则p的否定是( )
A. ∃x0∈(0,+∞)，x0≤lgx0B. ∀x∈(0,+∞)，x≤lgx
C. ∃x0∈(0,+∞)，x0>lgx0D. ∀x∈(0,+∞)，x
A. 32B. −32C. 12D. −12
设x0是函数f(x)=lnx+x−4的零点，则x0所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
设tanα=3，则sin(α−π)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)=( )
A. 3B. 2C. 1D. −1
为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=sin2x的图象( )
A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π12个单位
C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π12个单位
牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T−Ta=(12)th(T0−Ta)，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯85∘C的热茶，放置在25∘C的房间中，如果热茶降温到55∘C，需要10分钟，则欲降温到45∘C，大约需要多少分钟？(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
已知函数f(x)=lg3(x+x2+1)−23x+1，若f(2a−1)+f(a2−2)≤−2，则实数a的取值范围是( )
A. [−3,1]B. [−2,1]C. (0,1]D. [0,1]
若函数y=xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为( )
A. −1B. 1C. 12D. 3
已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有( )
A. a2+b2≥(a+b)22
B. a+1a≥2
C. 若1a>1b，则a
下列化简正确的是( )
A. sin15∘sin30∘sin75∘=18B. cs215∘−sin215∘=32
C. 1sin10∘−3cs10∘=2D. 3−4cs20∘+cs40∘3+4cs20∘+cs40∘=tan410∘
设函数f(x)=32sinωx+12sin(ωx+π2)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，则( )
A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2
B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最小值点
C. f(x)在(0,π2)上单调递增
D. ω的取值范围是[176,236)
已知：5a=3，lg54=b，用a，b表示lg12536=__________.
已知扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为__________.
已知函数f(x)=|lg2(x−1)|+m,1
已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|(x−m)(x−m−1)≥0}.
(1)当m=1时，求A⋃B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)用“五点作图法”，画出函数f(x)在一个周期上的图象.
已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上．
(1)求cs(2α+π4)的值；
(2)已知α∈(0,π2)，sin(β+π4)=1010,−π2<β<0，求α−β的值．
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.
(1)若f(x)=x3−3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f(−2018)+f(−2019)+f(2020)+f(2021)的值.
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，AD=1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EF⊥AB，点E在半圆上．
(1)设∠EOC=π6，求三角形木块EFG面积；
(2)设∠EOC=θ，试用θ表示三角形木块EFG的面积S，并求S的最大值．
已知函数f(x)=lg4(4x+1)−12x，x∈R.
(1)证明：f(x)为偶函数；
(2)若函数f(x)的图象与直线y=12x+a没有公共点，求a的取值范围；
(3)若函数g(x)=4f(x)+x2+m⋅2x−1,x∈[0,lg23]，是否存在m，使g(x)最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
由集合M与N，找出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
【解答】
解：∵集合M={x|1
故选A.
2.【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，任意改存在，否定结论即可得到所求．
本题主要考查了命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，属于基础题．
【解答】
解：全称量词命题p：∀x∈(0,+∞)，x>lgx，
由全称量词命题的否定是存在量词命题可得，p的否定是∃x0∈(0,+∞)，x0≤lgx0.
故选A.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用，属于基础题．
通过诱导公式得sin210∘=−sin(210∘−180∘)=−sin30∘得出答案．
【解答】
解：∵sin210∘=−sin(210∘−180∘)=−sin30∘=−12.
故选D.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得f(2)<0，f(3)>0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点x0所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：∵x0是函数f(x)=lnx+x−4的零点，f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3−1>0，
∴函数的零点x0所在的区间为(2,3)，
故选C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanα的值代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
【解答】
解：∵tanα=3，
∴原式=−sinα−csαcsα−sinα=tanα+1tanα−1=3+13−1=2.
故选B.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：y=sin(2x−π6)=sin2(x−π12)，
故将函数y=sin2x的图象向右平移π12个单位，可得y=sin(2x−π6)的图象，
故选B.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
先利用热茶降温到55∘C，需要10分钟，计算出h的值，再利用所得的函数解析式即可求出欲降温到45∘C，大约需要的时间．
【解答】
解：由题意可知55−25=(12)10h(85−25)，解得：h=10，
∴45−25=(12)t10(85−25)，解得：t10=lg1213，
∴t=10lg23=10lg3lg2≈16，即大约需要16分钟．
故选C.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的求解，属于拔高题.
设g(x)=f(x)+1，先得出g(x)为奇函数，且g(x)为单调递增函数，由题意得g(2a−1)+g(a2−2)≤0，所以g(2a−1)≤−g(a2−2)=g(−a2+2)，则2a−1≤−a2+2，解出即可.
【解答】
解：设g(x)=f(x)+1=lg3(x+x2+1)−23x+1+1，易知g(x)的定义域为R，
g(−x)+g(x)=lg3(−x+x2+1)−23−x+1+1+lg3(x+x2+1)−23x+1+1
=lg31−2(3x+1)+2(3−x+1)(3−x+1)(3x+1)+2
=−2(3x+3−x+2)2+3−x+3x+2=0，
所以g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数，
易知g(x)为单调递增函数，
由f(2a−1)+f(a2−2)≤−2，得g(2a−1)+g(a2−2)≤0，
所以g(2a−1)≤−g(a2−2)=g(−a2+2)，
所以2a−1≤−a2+2，即a2+2a−3≤0，解得−3≤a≤1，
即实数a的取值范围是[−3,1]，
故选A.
9.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的定义、性质的应用，注意幂函数的性质，属于基础题．
根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，α=−1时，y=x−1=1x，定义域为{x|x≠0}，不符合题意，
对于B，α=1时，y=x1=x，定义域为R且为奇函数，符合题意，
对于C，α=12时，y=x，定义域为[0,+∞),不符合题意，
对于D，α=3时，y=x3，定义域为R且为奇函数，符合题意，
故选BD.
10.【答案】AD
【解析】
【分析】
结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式以及不等式性质的简单应用，属于知识的灵活利用．
【解答】
解：A中，由于2(a2+b2)−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2≥0，
故a2+b2≥(a+b)22，当且仅当a=b时等号成立，故A正确；
B中，当a=−1时显然不成立，B错误；
C中，a=1，b=−1显然有1a>1b，但a>b，C错误；
D中，若a
则根据不等式的性质可知ac>bd>0，故D正确．
故选AD.
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的化简求值问题，涉及了同角三角函数关系、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式的应用，属于中档题．
利用正弦的二倍角公式以及诱导公式可判断选项A，利用余弦的二倍角公式可判断选项B，利用和差角公式以及二倍角公式可判断选项C，二倍角公式以及同角三角函数关系可判断选项D.
【解答】
解：sin15∘sin30∘sin75∘=12sin15∘cs15∘=14sin30∘=18，故选项A正确；
cs215∘−sin215∘=cs30∘=32，故选项B正确；
1sin10∘−3cs10∘=cs10∘−3sin10∘sin10∘cs10∘=2sin(30∘−10∘)12sin20∘=4，故选项C错误；
3−4cs20∘+cs40∘3+4cs20∘+cs40∘
=3−4cs20∘+2cs220∘−13+4cs20∘+2cs220∘−1
=cs220∘−2cs20∘+1cs220∘+2cs20∘+1
=(cs20∘−1)2(cs20∘+1)2
=4sin410∘4cs410∘
=tan410∘，故选项D正确；
故选ABD.
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了正弦函数的图象与性质，由题意求出ω的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键，题目较难．
根据x的范围求出ωx+π6的范围，f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，再利用正弦函数y=sinx的相关知识列不等式求ω的范围．其它的以此为条件求解．
【解答】
解：f(x)=32sinωx+12sin(ωx+π2)
=32sinωx+12csωx=sin(ωx+π6)，
∵x∈[0,π]，∴ωx+π6∈[π6,ωπ+π6]，
∵f(x)在[0,π]有且仅有3个零点．
∴3π≤ωπ+π6<4π，∴176≤ω<236，故D正确，
在区间(0,π)上，函数f(x)有最大值和最小值，
所以存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2，故A正确；
由正弦函数的图象和性质可得f(x)在(0,π)内有可能存在2个最小值点，故B错误；
因为ω最小值为176，
所以0
故选AD.
13.【答案】13(b+2a)
【解析】
【分析】
由题意指数式化为对数式，再由换底公式求出a，b的表达式，将所求的结果往a，b处转化求出结果．
本题考查对数的运算性质，属于中档题．
【解答】
解：由5a=3，∴a=lg53=lg3lg5，
由lg54=b，∴b=lg4lg5，
∵lg12536=lg36lg125=lg4+lg9lg53=lg4+2lg33lg5=13(lg4lg5+2⋅lg3lg5)=13(b+2a)，
故答案为13(b+2a).
14.【答案】3π4
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式S=12αR2=3π8，得α=3π4，计算可得答案．
此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式以及计算能力．解决本题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．
【解答】
解：由题意可得S=3π8,R=1，
根据扇形的面积公式S=12αR2=3π8，得α=3π4.
故答案为3π4.
15.【答案】8
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，考查函数的零点问题解法，注意运用数形结合思想，考查运算能力与分析能力．
作出f(x)的图象，由f(x)的图象与x轴有4个交点，可得x3+x4=8，x1，x2是方程|lg2(x−1)|+m=0的两个根，解方程可得1x1+1x2，则答案可求．
【解答】
解：画出f(x)的大致图象，
可知，m<0且当1
∴lg2(x1−1)=m，lg2(x2−1)=−m，
得x1=2m+1，x2=2−m+1，
∴1x1+1x2=12m+1+12−m+1=12m+1+2m1+2m=1；
当x>3时，由函数f(x)=x2−8x+16+m=(x−4)2+m有2个零点x3，x4，
根据图象的对称性，得x3+x4=8.
∴(1x1+1x2)(x3+x4)=1×8=8.
故答案为8.
16.【答案】16
【解析】
【分析】
将原式转化成基本不等式的常见形式，注意已知条件和“1”的转化是关键，再利用基本不等式即可求得最小值．
本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于拔高题．
【解答】
解：∵x>0，y>0，x+2y=2，
∴3x2+5y2+2x+4yxy=3xy+5yx+2y+4x=3xy+5yx+12(2y+4x)(x+2y)
=4xy+9yx+4≥4+24xy⋅9yx=16，当且仅当4xy=9yx，即x=67,y=47时，取得最小值16.
故答案为16.
17.【答案】解：(1)A={x|x2−2x−3<0}={x|−1
当m=1时，B={x|x≥2或x≤1}，
则A⋃B=R.
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
则m≥3或m+1≤−1，得m≥3或m≤−2，
即实数m的取值范围是(−∞,−2]⋃[3,+∞).
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，结合不等式的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键，是中档题．
(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合并集定义进行计算即可．
(2)根据充分不必要条件的定义转化为A是B的真子集，进行求解即可．
18.【答案】解：(1)由T=π=2πω，得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x−π3)，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.
(2)列表：
描点，连线可得图象：
【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，属于中档题．
(1)由周期公式求得ω，从而可得f(x)解析式，由正弦函数的性质即可求得单调区间；
(2)由五点法画图步骤，即可得到一个周期内的图象．
19.【答案】(1)解法一：依题意tanα=2，cs(2α+π4)=22(cs2α−sin2α)
=22⋅cs2α−sin2α−2sinαcsαcs2α+sin2α
=22⋅1−tan2α−2tanα1+tan2α=22⋅1−4−41+4=−7210.
解法二：当α终边在第一象限时，sinα=255,csα=55，
∴sin2α=45,cs2α=−35，
∴cs(2α+π4)=22(cs2α−sin2α)=−7210；
当α终边在第三象限时，sinα=−255,csα=−55，
∴sin2α=45,cs2α=−35，
∴cs(2α+π4)=22(cs2α−sin2α)=−7210.
综上所述，cs(2α+π4)=−7210.
(2)∵α∈(0,π2)，∴sinα=255,csα=55，
∵sin(β+π4)=1010,−π2<β<0，
∴(β+π4)∈(−π4,π4)，∴cs(β+π4)=31010.
∴cs[α−(β+π4)]=csαcs(β+π4)+sinαsin(β+π4)
=55×31010+255×1010=22.
∵α∈(0,π2)，(β+π4)∈(−π4,π4)，
∴α−(β+π4)∈(−π4,3π4)，
∴α−(β+π4)=π4，∴α−β=π2.
【解析】本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于拔高题．
(1)法一：利用两角和的余弦公式、二倍角公式，化弦为切求得cs(2α+π4)的值．
法二：分类讨论α的范围，分别求得sin2α、cs2α的值，可得要求式子的值．
(2)先判断β+π4的范围，再根据cs[α−(β+π4)]的值，求得α−(β+π4)的值，可得α−β的值．
20.【答案】解：(1)①函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为P(a,b)，
因为g(x)=f(x+a)−b为奇函数，
故g(−x)=−g(x)，
故f(−x+a)−b=−f(x+a)+b，
则f(−x+a)+f(x+a)=2b，
即[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+a)3−3(x+a)2]=2b，
整理得(3a−3)x2+a3−3a2−b=0，
故3a−3=0a3−3a2−b=0，解得a=1，b=−2，
所以函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为(1,−2).
②因为函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为(1,−2)，
所以f(−x+1)+f(x+1)=−4，
故f(−2018)+f(−2019)+f(2020)+f(2021)
=[f(−2018)+f(2020)]+[f(−2019)+f(2021)]
=[f(−2019+1)+f(2019+1)]+[f(−2020+1)+f(2020+1)]
=−4+(−4)
=−8.
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
【解析】(1)①设f(x)的对称中心为P(a,b)，利用题中给出的信息可得g(x)=f(x+a)−b为奇函数，从而得到f(−x+a)+f(x+a)=2b，展开整理得到关于a和b方程，求解即可；
②利用①中的结论，可得f(−x+1)+f(x+1)=−4，然后将f(−2018)+f(−2019)+f(2020)+f(2021)根据f(−x+1)+f(x+1)=−4进行变形，即可得到答案．
(2)直接类比写出一个推论即可．
本题考查了函数奇偶性的应用、对称性的应用，解题的关键是正确理解题意，属于拔高题．
21.【答案】解：(1)设EF交CD交于Q点，因为∠EOC=π6，
所以OE=1，EQ=12，OQ=32，
S△EFG=12⋅EF⋅DQ=12×32×(1+32)=6+338；
(2)半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，则分析∠EOQ=θ，θ∈[0,π2]即可，
EQ=sinθ，OQ=csθ，
所以S△EFG=12×EF⋅DQ
=12(1+sinθ)(1+csθ)
=12(1+sinθcsθ+sinθ+csθ)
令sinθ+csθ=t，t∈[1,2]，
所以S△EFG=12(t+1+t2−12)=(t+1)24，
所以θ=π4，当t=2，
S△EFG的最大值为3+224.
【解析】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键，属于中档题．
(1)根据题意，求得EQ和OQ，即可求得三角形木块EFG面积；
(2)根据(1)的思路，用θ表示出EQ和OQ，表示S，换元，根据二次函数的最值，求得S的最大值．
22.【答案】(1)证明：因为x∈R，
又f(−x)−f(x)=lg4(4−x+1)+12x−lg4(4x+1)+12x
=lg44−x+14x+1+x=lg4(4−x+14x+1⋅4x)=lg41=0，
故f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数；
(2)解：原题意等价于方程lg4(4x+1)−12x=12x+a无解，
即方程a=lg4(4x+1)−x无解，
令h(x)=lg4(4x+1)−x，
又h(x)=lg4(4x+1)−x=lg44x+14x=lg4(1+14x)，
因为1+14x>1，
所以h(x)>0，
故函数h(x)的值域是(0,+∞)，
因此当a≤0时满足题意，故实数a的取值范围为(−∞,0]；
(3)解：由题意可得g(x)=4f(x)+12x+m⋅2x−1=4x+m⋅2x,x∈[0,lg23]，
令t=2x，则t∈[1,3]，
则y=t2+mt，t∈[1,3]，
①当m≥−2时，−m2≤1，所以g(x)min=1+m=0，解得m=−1；
②当−6
综上所述，存在m=−1，使得g(x)最小值为0.
【解析】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、二次函数最值的应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数问题转化为常见函数问题进行研究，属于拔高题．
(1)直接利用偶函数的定义以及对数的运算性质证明f(−x)−f(x)=0即可；
(2)将问题等价转化为方程lg4(4x+1)−12x=12x+a无解，令h(x)=lg4(4x+1)−x，研究h(x)的值域即可得到a的取值范围；
(3)表示出g(x)的解析式，令t=2x，则t∈[1,3]，将问题转化为二次函数y=t2+mt，t∈[1,3]的最值问题进行分析，按照对称轴与区间[1,3]的位置关系分类讨论，分别求解即可．
2x−π3
0
π2
π
3π2
2π
x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
f(x)
0
2
0
−2
0
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