2020-2021学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了它表示，00195】，【答案】D，【答案】A，【答案】C，【答案】B，【答案】DB等内容，欢迎下载使用。

cs210∘=( )
A. 12B. −12C. 32D. −32
命题：∀x∈N，x>x的否定为( )
A. ∀x∈N，x≤xB. 不存在x∈N，x≤x
C. ∃x∈N，x>xD. ∃x∈N，x≤x
设角α的始边为x轴的非负半轴，则“角α的终边在第二象限”是“csα<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M={−1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( )
A. y=2xB. y=x+2C. y=x2D. y=2x
已知a=(12)13，b=lg1213，c=lg132，则( )
A. c方程lg4x=2−1x的解所在的区间是( )
A. (14,13)B. (13,12)C. (12,23)D. (23,34)
将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ω的最小值是( )
A. 13B. 1C. 53D. 2
中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至8000，则C大约增加了( )(lg2≈0.3010)
A. 10%B. 30%C. 60%D. 90%
下列函数中与函数y=x是同一函数的是( )
A. y=(x)2B. u=3v3C. y=x2D. y=lnex
下列结论正确的是( )
A. −4π3是第二象限角
B. 若α为锐角，则2α为钝角
C. 若tanα=2，则sinα+csαsinα−csα=3
D. 若圆心角为π6的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π
已知实数a，b满足等式3a=2b，则下列不等式可能成立的是( )
A. 0下列结论正确的是( )
A. 若x1，x2都是第一象限角，且x1>x2，则sinx1>sinx2
B. 函数f(x)=|sinx|的最小正周期是π
C. 函数y=12cs2x+sinx的最小值为−1
D. 已知函数f(x)的图象与x轴有四个交点，且f(x+1)为偶函数，则方程f(x)=0的所有实根之和为4
已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,2)，则f(x)=__________.
若函数g(x)=f(2x)−x2是奇函数，且f(1)=2，则f(−1)=__________.
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了__________个“半衰期”．【提示：129=0.00195】
如图，一块边长为1的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域(阴影部分)的面积为S.若设∠BAM=α，α∈[0,π4]，则S的最大值为__________.
已知集合A={x|2x−a>8}，B={x|x2+x−2<0}，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求实数a的取值范围.
条件①：A⋂B=⌀；条件②：A⋃B=A；条件③：A⊆∁RB.
已知锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4).
(1)求sin(π2+2α)的值；
(2)若锐角β满足cs(α+β)=−513，求sinβ的值.
已知函数f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，当x∈[0,4]时，f(x)=2x+a⋅4x(a∈R).
(1)求f(x)在[−4,0)上的解析式；
(2)若x∈[−2,−1]，不等式f(x)≤m2x恒成立，求m的取值范围.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图象如图.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g(x)的图象，且关于x的方程g(x)−m=0在[0,π2]上有解，求m的取值范围.
经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L(单位：千克)与施肥量x(单位：千克)满足函数关系：L(x)=5(x2+6),0≤x≤275x1+x,2(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
已知函数f(x)=ax2−4x+2.
(1)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值；
(2)若a≤1，是否存在实数a，使函数y=f(x)−lg2x8在[1,2]内有且只有一个零点.若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】
解：cs210∘=cs(180∘+30∘)=−cs30∘=−32.
故选：D.

2.【答案】D
【解析】
【分析】
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
【解答】
解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
所以命题：∀x∈N，x>x的否定为∃x∈N，x≤x.
故选：D.

3.【答案】A
【解析】
【分析】
角α的始边为x轴非负半轴，通过“角α的终边在第二象限”判断csα的正负；再通过csα<0判断角α的终边的位置，从而可得出结论．
本题考查角的终边位置与对应三角函数值的关系以及简易逻辑，要注意角的终边在坐标轴上的情况，属于基础题．
【解答】
解：已知角α的始边为x轴非负半轴，
若角α的终边在第二象限”，则csα<0；
若csα<0，则角α的终边在第二、三象限或者在x轴负半轴上，
故“角α的终边在第二象限”是“csα<0”的充分不必要条件，
故选：A.

4.【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义，分别进行判断即可．
本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题．
【解答】
解：A.当x=−1时，y=−2，没有对应值，不满足条件．
B.当x=4时，y=x+2=6，没有对应值，不满足条件．
C.满足条件.
D.当x=−1时，y=12，没有对应值，不满足条件．
故选：C.

5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
可得出0<(12)13<1,lg1213>1,lg132<0，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵0<(12)13<(12)0=1，lg1213>lg1212=1，lg132∴c故选：B.

6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了转化的数学思想，属于基础题．
令f(x)=lg4x+1x−2，则利用函数零点的判定定理求得函数f(x)的零点所在区间即可．
【解答】
解：令f(x)=lg4x+1x−2，则f(x)在，
又因为f(13)=lg413+3−2=lg413+1>0，f(12)=lg412+2−2=lg412<0，
f(13)f(12)<0，
所以方程的解所在区间为(13,12)，
故选：B.

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换，以及由y=Asin(ωx+φ)的性质，属于中档题．
图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω(x−π4)，再由所得图象经过点(3π4,0)可得sinω(3π4−π4)=sin(ωπ2)=0，故ω⋅π2=kπ，由此求得ω的最小值．
【解答】
解：将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω(x−π4).
再由所得图象经过点(3π4,0)可得sinω(3π4−π4)=sin(ωπ2)=0，∴ω⋅π2=kπ，k∈Z.
又ω>0，
故ω的最小值是2，
故选D.
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．
利用香农公式分别计算出信噪比为1000和8000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果．
【解答】
解：当SN=1000时，C1≈Wlg21000，当SN=8000时，C2≈Wlg28000，
∴C2C1=Wlg28000Wlg21000=lg8000lg1000=3+3lg23≈1.3，
∴C大约增加了30%，
故选：B.

9.【答案】DB
【解析】
【分析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
本题主要考查同一函数的判断，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
【解答】
解：y=x的定义域为R，
A.函数的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
B.u=v，函数的定义域是R，两个函数的定义域和对应法则，是同一函数，
C.y=|x|，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
D.y=x，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，
故选：BD.

10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：根据象限角的范围，−4π3为第二象限角，故A正确；
对于B：若α为锐角，则2α为锐角或钝角或直角，故B错误；
对于C：若tanα=2，则sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=3，故C正确；
对于D：若圆心角为π6的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为S=12⋅π⋅6=3π，故D正确．
故选：ACD.

11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了指数与对数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
设3a=2b=k，讨论k=1，k>1和0【解答】
解：设3a=2b=k>0，
当k=1时，a=b=0；
当k>1时，a=lg3k>0，b=lg2k>0，所以0当0故选：AD.

12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的性质，函数的奇偶性，属于中档题．
利用象限角和三角函数的性质判断A；利用三角函数的周期性判断B；利用三角恒等变换化简函数解析式，结合三角函数的最值判断C；利用函数的奇偶性的性质判断D.
【解答】
解：对于A：若x1=13π6，x2=π3，且满足x1>x2，则sinx1对于B：函数f(x)=|sinx|的最小正周期是π，故B正确；
对于C：函数y=12cs2x+sinx=12(1−sin2x)+sinx=−12sin2x+sinx+12=−12(sinx−1)2+1，
当sinx=−1时，函数的最小值为−1，故C正确；
对于D：f(x+1)为偶函数，则f(x+1)的图象关于y轴对称，
则函数f(x)的图象可看做是f(x+1)的图象向右平移1个单位，则f(x)的图象关于x=1对称，
则方程f(x)=0的所有实根之和为4，故D正确；
故选：BCD.

13.【答案】x
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．
本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．
【解答】
解：设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，
∴2=2a，
解得a=12，
∴f(x)=x.
故答案为：x

14.【答案】−32
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，由函数的解析式可得g(12)=f(1)−14，g(−12)=f(−1)−14，又由函数的奇偶性可得g(12)+g(−12)=0，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数g(x)=f(2x)−x2，则g(12)=f(1)−14，g(−12)=f(−1)−14，
函数g(x)=f(2x)−x2是奇函数，则有g(12)+g(−12)=0，
即[f(1)−14]+[f(−1)−14]=f(1)+f(−1)−12=0，
又由f(1)=2，则f(−1)=−32，
故答案为：−32.

15.【答案】10
【解析】
【分析】
本题考查指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则x⋅12n<11000x，即12n<0.001，再根据参考数据即可得解．
【解答】
解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，
则x⋅12n<11000x，即12n<0.001，
由参考数据可知，129=0.00195>0.001，1210=0.00195×12=0.000975<0.001，
∴n=10，
故答案为：10.

16.【答案】2−2
【解析】
【分析】
本题考查三角形的实际应用，以及基本不等式的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用，利用基本不等式求出面积的最小值即可．
【解答】
解：因为AB=1，∠BAM=α，α∈[0,π4]，所以BM=tanα，
令tanα=t，则0≤t≤1，而∠DAN=π4−α，
所以DN=tan(π4−α)=tanπ4−tanα1+tanπ4⋅tanα=1−t1+t，
=1−12t−12×1−t1+t=2−12[(t+1)+2t+1]，0≤t≤1，
所以S=2−12[(t+1)+2t+1]≤2−12×2(t+1)×2t+1=2−2，
当且仅当t+1=2t+1，即t=2−1时取等号，
所以S的最大值为2−2.
故答案为：2−2.

17.【答案】解：A={x|2x−a>8}={x|x−a>3}={x|x>a+3}，
B={x|x2+x−2<0}={x|(x+2)(x−1)<0}={x|−2若选择条件①：A⋂B=⌀，则需a+3≥1，即a≥−2，
所求实数a的取值范围为[−2,+∞).
若选择条件②：A⋃B=A，即B⊆A，则需a+3≤−2，即a≤−5，
所求实数a的取值范围为(−∞,−5].
若选择条件③：A⊆∁RB，
因为∁RB={x|x≤−2或x≥1}，
所以要使A⊆∁RB，则需a+3≥1，即a≥−2，
所求实数a的取值范围为[−2,+∞).
【解析】本题考查含参数的集合关系的问题，属于中档题．
由题意可得A={x|x>a+3}，B={x|−2若选择条件①：由题意则a+3≥1，解得a≥−2，从而得解；
若选择条件②：由题意可求a+3≤−2，解得a≤−5，从而得解；
若选择条件③：由题意可求a+3≥1，解得a≥−2，从而得解．
18.【答案】解：(1)角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4).
所以sinα=45，csα=35，
所以sin(π2+2α)=cs2α=cs2α−sin2α=925−1625=−725；
(2)因为α、β均为锐角，所以α+β∈(0,π)，
因为cs(α+β)=−513<0，所以α+β∈(π2,π)，所以sin(α+β)=1213.
所以sinβ=sin[(α+β)−α]
=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
=1213×35+513×45=5665.
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
(1)利用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式求出结果．
(2)利用两角差的正弦函数公式求出结果．
19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，
所以f(0)=1+a=0，解得a=−1，
又由当x∈[0,4]时，f(x)=2x+a⋅4x=2x−4x，
当x∈[−4,0)时，则−x∈[0,4),f(−x)=2−x−4−x,
又f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)=4−x−2−x，
所以f(x)在[−4,0)上的解析式为f(x)=4−x−2−x.
(2)因为x∈[−2,−1]，不等式f(x)≤m2x恒成立，
即4−x−2−x≤m2x在x∈[−2,−1]恒成立，
因为2x>0，所以2−x−1≤m，
函数g(x)=2−x−1在R上单调递减，
因为x∈[−2,−1]时，所以函数g(x)的最大值为g(−2)=3，
所以m≥3，即实数m的取值范围是[3,+∞).
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数解析式的求法，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力．
(1)由题意可得f(0)=0，求得a，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得f(x)在[−4,0)上的解析式；
(2)由题意可得4−x−2−x≤m2x在x∈[−2,−1]时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得m的取值范围．
20.【答案】解：(1)解法一：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图象，14⋅2πω=π3−π12，∴ω=2，T=π.
由于f(x)的一个减区间为[π12,π3+(π3−π12)]，即[π12,7π12]，
∴f(x)的增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
解法二：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图象，
可得A=1，14⋅2πω=π3−π12，∴ω=2.
结合五点法作图，可得2×π12+φ=π2，∴φ=π3，f(x)=sin(2x+π3 ).
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x≤π12+kπ，k∈Z，
f(x)的单调递增区间[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
(2)结合五点法作图，可得2×π12+φ=π2，∴φ=π3，f(x)=sin(2x+π3 ).
将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到曲线C：y=sin(2x−π6 )的图象，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g(x)=2sin(2x−π6 )的图象，
且关于x的方程g(x)−m=0在[0,π2]上有解，
即m=2sin(2x−π6 )在[0,π2]上有解．
由于x∈[0,π2]，2x−π6∈[−π6,5π6]，∴2sin(2x−π6 )∈[−1,2]，
故m的取值范围为[−1,2].
【解析】(1)解法一：由题意利用正弦函数的单调性，数形结合求得f(x)的单调递增区间．
解法二：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．
(2)由五点法作图求出φ的值，可得f(x)，再求g(x)，根据正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=15L(x)−20x−25x，
所以f(x)=75x2−45x+450,0≤x≤21125xx+1−45x,2(2)当0≤x≤2时，f(x)=75x2−45x+450=75(x−310)2+443.25，
所以当x=2时，f(x)取最大值为f(2)=660元，
当2而1125x+1+45(x+1)≥21125x+1×45(x+1)=450，
当且仅当1125x+1=45(x+1)即x=4时取等号，
所以f(x)=1170−[1125x+1+45(x+1)]≤1170−450=720元，
综上所述，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论的思想方法进行求解，属于中档题．
(1)根据该水果树的单株利润为f(x)=市场售价×单株产量L(x)−肥料成本-其它成本，从而可求出f(x)的函数关系式；
(2)一段利用二次函数的性质求出最大值，一段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较即可得到结论．
22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−4x+2，值域为R，不符合题意；
当a≠0，∵f(x)的值域为[0,+∞),则a>0，且△=16−8a=0，解得a=2，
综上，实数a的值为2.
(2)∵a≤1，函数y=f(x)−lg2x8=ax2−4x+5−lg2x，
令g(x)=ax2−4x+5，h(x)=lg2x，
则问题可以转化为：函数g(x)与函数h(x)的图象在区间[1,2]上有唯一的交点，
①当a=0时，g(x)=−4x+5，h(x)=lg2x，则g(x)单调递减，h(x)单调递增．
∵g(1)=1>h(1)=0，g(2)=−3∴函数g(x)与函数h(x)的图象在区间[1,2]上有唯一的交点；
②当a<0时，抛物线g(x)的开口向下，对称轴x=2a<0<1，
∴g(x)=ax2−4x+5在区间[1,2]单调递减，
∵h(x)=lg2x在区间[1,2]单调递增，
∴必需g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即a+1≥04a−3≤1，解得−1≤a≤1，
由a<0，可知−1≤a<0；
③当0∴g(x)=ax2−4x+5在区间[1,2]单调递减，
h(x)=lg2x在区间[1,2]单调递增，
∴必需g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即a+1≥04a−3≤1，解得−1≤a≤1，
由0综上所述，实数a的取值范围[−1,1].
【解析】本题考查了函数的值域，二次函数的性质，关键是将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，考查转化思想与分类讨论思想，属于中档题．
(1)当a=0时，不符合题意；当a≠0，根据一元二次函数图象知若f(x)的值域为[0,+∞),则△=0，然后求得a的值；
(2)由函数y=f(x)−lg2x8=ax2−4x+5−lg2x，令g(x)=ax2−4x+5，h(x)=lg2x，将问题转化为函数g(x)与函数h(x)的图象在区间[1,2]上有唯一的交点问题，再求出a的取值范围．