第8讲 距离问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第8讲 距离问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2021•浙江模拟）记，则的最大值为　　

A．4 B． C．3 D．

【解答】解：设，，

，

当，时，，

，，

当时，的最大值为，

当，时，

，，

当时，的最大值为，

综上所述的最大值为，

故选：．

2．（2021•西湖区校级模拟）若不等式有解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：令，

①时，，

，在，递增，

故（1），

②时，，

，

故在递减，

（1），

③时，，

，在递增，

，

④时，，

，在，递减，

，

综上，的最小值是2，

若不等式有解，

即，

故，

故选：．

3．（2015春•定兴县校级期中）若不等式在上有解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：不等式在上有解，的最大值大于．

由绝对值三角不等式可得，

故的最大值为3，，

故选：．

4．（2021秋•西湖区校级期末）函数，的最大值是　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：函数，

的几何意义为点到直线的距离，

由直线

即为，

由且，

可得，，

则直线恒过定点，，

由题意可得原点到定点的距离即为所求最大值，

可得

．

故选：．

5．（2021春•渝中区校级期中）函数的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为

当时

令

的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率

所以

所以

所以

即

当，

综合得，，

故最小值为：．

故选：．

6．（2021•新疆模拟）若，则的最小值是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：由已知可得，，则的最小值即为曲线

的点到直线的距离最小值的平方，

设，

则，令，解得，（1），

曲线与平行的切线相切于，

则所求距离的最小值为点到直线的距离的平方，

即．

故选：．

7．（2021•成都模拟）已知，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值，

由，可得，与直线平行的直线的斜率为，

令，得，所以切点的坐标为，

切点到直线的距离．

故选：．

8．（2021•浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为，若的最小值为4，则实数的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

【解答】解：当绝对值内两式同号时，，

当绝对值内两式异号时，．

令，，

易知，，，，．

当的最小值为4时，的最大值的最小值为4，

几何意义是图象上的点到直线的距离最大值的最小值为4，此时恰好有；

的最大值不超过4，即图象上的点到直线的距离不超过4，

故，解得．

故选：．

9．（2021•浙江模拟）已知函数，若存在两相异实数，使，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，当，有，

，，是方程的两个不等实数根，

，，而，

，即，

，

令，则，

则当时，的最小值为．

故选：．

10．（2021春•北海期末）若实数，，，满足，则的最小值为　　

A．2 B． C．4 D．8

【解答】解：由，可得，，

故的几何意义为曲线上一点与直线上一点间距离的平方，

对于函数，令，解得，

即在点处的切线方程为，切线方程与直线平行，

则函数在处的切线与直线之间的距离，

故的最小值为．

故选：．

11．（2021•山东模拟）若，，，求的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：问题可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，

且．

当直线的平行直线与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值．

设斜率为2的直线与的图象相切，切点为，，

，令，则，，，（1），即．

到直线的距离即为的最小值为，．

故选：．

12．（2016秋•福建月考）在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为　　

A．9 B． C． D．

【解答】解：，，

，并且，

的最小值转化为：

函数图象上的点与图象上的点的距离的平方的最小值，

由，得，

与直线平行的直线的斜率为1，

所以，解得，或（舍，

可得切点坐标，

切点到直线之间的距离的平方即为的最小值，

的最小值为：．

故选：．

13．（2021•西湖区校级模拟）已知函数，且存在相异实数，满足．若，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得：方程有2个不相等的实数根，，

由得，

由韦达定理得，，，

，

故选：．

14．（2021春•瑶海区月考）已知函数，若存在，，，且，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：依题意得，，，，而，

由，时有成立，

则需在上单调递增，在，上单调递减，

（e），，，

当（e）时，只需，

此时，解得；

当（e）时，只需（e），

此时，解得，

的取值范围为：，，

故选：．

15．（2021•三模拟）已知函数，若存在，，，且，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，令，解得，

易知函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，

又，，，

当（4）（2）时，则需（3）（4），即，解得；

当（4）（2）时，则需（3）（2），即，解得；

综上，实数的取值范围为．

故选：．

二．填空题（共18小题）

16．（2012秋•上城区校级期中）函数的最小值为　　．

【解答】解：令，则

函数，

它表示与连线的斜率，如下图所示：

由图可得：当与半圆相切时，函数取最小值

此时，

故答案为：

17．（2021秋•运城期中）若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是　，　．

【解答】解：根据题意得：为恒过定点的直线，

曲线表示圆心为，半径为1的下半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，

解得：或（不合题意，舍去）；

把代入，得，

的取值范围是，．

故答案为：，．

18．（2016•安徽开学）求函数的最小值为　5　．

【解答】解：函数表示轴上动点到和的距离和，当

为与轴的交点时，函数取最小值，

故答案为：5

19．对任意的，，的最小值为　3　；若正实数，，满足，则的最大值是　　．

【解答】解：①对任意，，

，

当且仅当，，，成立，

的最小值为3；

②正实数，，满足，

，

当且仅当时，等号成立，

，

的最大值为．

故答案为：3；．

20．（2021•绍兴一模）已知，，设函数的最大值为，则的最小值为　　．

【解答】解：设，，则

，，

，，

当时，

令，，，则此时，

故，

由，可知，等号能成立；

当时，令，，，

则此时，

故，

由，可知，等号能成立；

综上，的最小值为．

故答案为：．

21．（2021•南京一模）若实数，满足，则的取值范围是　，　．

【解答】解：方法一：【几何法】

当时，解得，符合题意，当时，解答如下：

令，，原方程可化为：，

记函数，，，，

这两个函数都是关于的函数，其中为参数，

的图象为直线，且斜率为定值，

的图象为四分之一圆，半径为，

问题等价为，在第一象限，两图象有公共点，

①当直线与圆相切时，由解得，

②当直线过的点在圆上的点处时，

即，解得，

因此，要使直线与圆有公共点，，，

综合以上分析得，，．

方法二：【代数法】

令，，原方程可化为：，

因为，所以，

两边平方并整理得，，

这是一个关于的一元二次方程，则方程有两个非负数跟，

，解得，，．

故答案为：，．

22．（2021秋•溧水区校级月考）若函数的最大值为，最小值为，则的值为　　．

【解答】解：要使函数有意义，则，解得，

，

，

即，

，

当时，有最大值，即，

当或时，有最小值，即，

，

故答案为：．

23．若关于的方程有解，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：关于的方程有解等价于有解，

等价于与的图象有公共点，

等价于，等价于，

其图象为为圆心2为比较的圆的上半部分，

作图可得当平行直线介于两直线之间时满足题意，

易得直线的截距为0，设直线的截距为，

由直线与圆相切可得直线到点的距离为2，

可得，解得，或（舍去），

，解得，

故答案为：

24．（2015•泰州一模）已知实数，，满足，，则的取值范围为　　．

【解答】解：实数，，满足，，

，

令，，，．

，表示点与圆上的点连线的直线的斜率．

设直线，

则，

化为，

解得．

的取值范围为．

故答案为：．

25．（2021•启东市校级模拟）已知实数，满足，则的最大值为　4　．

【解答】解：，

则

解得：

的最大值为4

故答案为：4

26．（2021秋•浙江月考）设函数，当，时，记的最大值为，则的最小值为　　．

【解答】解：由去绝对值可得在，的最大值为，（2），，中之一，

由题意可得，，

（2），

，，

，，

上面四个式子相加可得，

，

即有，

可得的最小值为．

故答案为：．

27．（2021•桐乡市校级模拟）设函数，，当，时，记最大值为，则的最小值为　　．

【解答】解：方法一：，，设，，

由单调性可知，当，时，，，，，

，

，当且仅当或时取等号．

方法二：，令，，

令，则，当，时，， 单调递增；

所以（1），（e），即，；

令，则，当，时，， 单调递减，

所以（1），（e），即，

所以，，，，

所以①，且②，

由①得

，所以，

由②得

，所以，

综上所述，．

故答案为：．

28．（2021•浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值为　5　．

【解答】解：令，，，则，，

则，

由去绝对值可得在，的最大值为，（2）中之一，

由题意可得，，（2），

，

故，

故答案为：5．

29．（2021•浙江模拟）已知，，设函数，，上的最大值为，则的最小值为　　．

【解答】解：，

，，，，，，

故，，，，

故，

故，

故答案为：．

30．（2021•杭州模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为　2　，当取到最小值时，　　．

【解答】解：，

上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，

由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，

故．

故答案为：2，．

31．（2013秋•吉州区校级期中）若方程仅有一解，则实数的取值范围是　，　．

【解答】解：方程等价于．

方程仅有一解，即方程仅有一解，

函数与函数的图象有且只有一个零点．

如图所示：

当时，直线与半圆相切，满足要求，

当，时，直线与半圆相交但只有一个交点，满足要求，

实数的取值范围为，．

故答案为：，．

32．记，，，则的最小值是　　．

【解答】解：表示点，，两点之间距离的平方，

点的轨迹方程是，点的轨迹方程是，

设平行于与相切的直线方程为，

由，可得，

令，可得，

，

代入，可得，

两点之间距离的最小值是，

的最小值是．

故答案为：．

33．（2021•浙江模拟）已知，，，则的最小值为　　．

【解答】解：分别作，的图象，

分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，

设为与的交点，

，即．

当且仅当时，取等号．

故得的最小值为．

故答案为：．