第7讲 主元法巧解双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第7讲 主元法巧解双变量问题 一．选择题（共5小题）1．（2021•浙江模拟）已知任意，，若存在实数使不等式对任意的，恒成立，则　　A．的最小值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为8 D．的最小值为102．（2021秋•杭州期中）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是　　A．，， B．， C．，， D．，3．（2021春•金华期末）若存在正实数，使得，则　　A．实数的最大值为 B．实数的最小值为 C．实数的最大值为 D．实数的最小值为4．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　A．， B． C．， D．5．（2021•浦江县模拟）已知实数，，满足，则的最小值为　　A． B． C． D．二．填空题（共5小题）6．（2021秋•西陵区校级月考）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为　　．7．（2021春•金东区校级期中）若正数，，满足，则的最大值是　　．8．（2021•杭州二模）若，，设，则的最小值为　　．9．（2021春•台州期末）若，，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．10．（2021秋•上海月考）设函数，，若当时，恒成立，则的取值范围是　　．三．解答题（共22小题）11．（2021秋•包河区校级期中）（1）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．（2）已知，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．12．（2021•新课标Ⅰ）已知函数．（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．13．（2017春•福州期末）已知函数，（1）当为何值时，曲线在处的切线与轴垂直；（2）讨论的单调性；（3）当时，试证明．14．（2021•巴中模拟）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，，．15．（2021秋•衢州期末）已知函数，为的导函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证：对任意的，，，且，有．16．（2021•重庆模拟）已知函数，，其中，，．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，，任意，，不等式恒成立时最大的记为，当，时，的取值范围．17．（2021•浙江模拟）已知函数，函数，，．（Ⅰ）求函数的单调区间．（Ⅱ）若，对恒成立，求的取值范围．为自然对数的底数）18．（2016秋•阜宁县期中）已知二次函数．（1）当时，用作差法证明：；（2）已知当，时，恒成立，试求实数的取值范围．19．（2021•漳州一模）已知函数，，其中，．（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）若在区间上单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）记，求证：．20．（2021•嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的一个“子函数”，求的最小值．21．（2021•浙江）已知实数，设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．22．（2021秋•上城区校级期中）已知实数，设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．23．（2021•商丘二模）已知函数．（1）如图，设直线将坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：，且，有．24．（2021•荔湾区校级模拟）已知函数的导函数为．（1）若函数存在极值，求的取值范围；（2）设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合．25．（2016春•哈密市校级月考）已知函数．（1）求函数的单调区间和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：（b）．26．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．27．（2015•微山县校级二模）设函数．（Ⅰ） 求的极值；（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，证明：．28．（2021•泉州二模）已知函数，．（1）若，，求实数的值．（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．29．（2021•江苏）设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．30．（2021春•湖南期中）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）函数，证明：当时，恒成立．31．（2021•天津）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．32．（2016•新课标Ⅲ）设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，．