第16讲 指对混合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第16讲 指对混合问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋•龙凤区校级月考）已知，不等式对于任意恒成立，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：不等式对于任意恒成立，
则①对于任意恒成立，
令，则在时恒成立，
因为在恒成立，故在上单调递增，而，
故①式即为在上恒成立，即②在上恒成立，
令，，令得，当，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故（e），
要使②式成立，只需，即．
故选：．
2．（2021秋•江西月考）对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B．，
C．， D．，
【解答】解：因为对任意，，不等式恒成立，
所以对任意，，不等式恒成立，
令，，，
，，，
令，，，
，在，上单调递增，
所以且，
当时，，
所以存在，，，即，
所以，
所以在，上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
所以的最小值为，，，
所以单调递增，
所以，所以，
所以在，上，，单调递增，
所以，
所以，
故选：．
3．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，当等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则有对恒成立，
又，
令，则，
当时，，故单调递增，
所以（1），即，
故在上单调递增，
所以对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的最小值为（e），
则，
所以正数的取值范围是．
故选：．
4．（2021春•东至县校级期中）若对任意，不等式恒成立，则的范围是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：由题意可得：，，
由可得，即，
令，可得，
由可得，由可得，
如图：

可得在单调递增，
若，则，可得，
令，只需要，对于恒成立，
所以在单调递减，所以，
所以，实数的范围为，，
故选：．
5．（2021•苏州模拟）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，对恒成立，
即，化为：，
令，，
，
，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），
恒成立，
函数在上单调递增，
而，
，
，即，
令，，
，可得时，函数取得极大值即最大值．
．
故选：．
6．（2021•九江二模）若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：不等式恒成立，
令，则原不等式等价于恒成立．
在上单调递增，
，
令，则，
可得：时函数取得极小值，即最小值．
（1）．
，
令，．
．
（e），时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减．
（e）．
实数的取值范围是，．
故选：．
7．（2021•四川模拟）若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
所以，即，
令，
则，所以在上单调递增，
由，可得，，
则恒成立，所以，
令，，令，得，
当，，单调递减，在，，单调递增，
所以（1），
所以，解得，
所以的最大值为．
故选：．
8．（2021•遵义一模），不等式恒成立，则的最大值为　　
A． B．0 C． D．
【解答】解：原不等式可化为，
构造，，令，可得，时，，时，，
所以是函数的最小值，所以，
当且仅当时等号成立，
有零点，所以．
故选：．
9．（2021•湖北模拟）已知函数，若，时，恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，，，则恒成立，
，
令，
若，在，时，，则，
此时函数单调递减，则（1），不符合题意；
若，，令，解得，
①当，即时，在，时，，
单调递增，即（1），则，
即在，单调递增，则（1）恒成立，符合题意；
②当，即时，在，时，单调递减，在，，单调递增，
（1），则，时，，，
令，得，
函数中，，在上单调递减，则的值域为，
因为，所以存在解，即，，
故，时，，，时，，即，
只需即可，则，
解得，故符合题意．
综上，当时，不等式恒成立．
故选：．
10．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，
则显然在，上恒成立；
当时，，
令，，在上单调递增．
因为，，所以，即，
再设，令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
所以的取值范围为．
故选：．
11．（2021•浙江模拟）已知函数，若，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，且恒成立，
得恒成立，即在，上恒成立．
令，则．
令，则，
则在，上单调递减，
（3），（4），
存在，使得，即，
，
当时，，即，单调递增；
当，时，，即，单调递减．
，
又，，
则，即．
．
，即实数的取值范围为，．
故选：．
12．（2020•珠海三模）设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，
令，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故选：．

二．多选题（共3小题）
13．（2021•沈河区校级开学）已知函数，，则　　
A．函数在上无极值点
B．函数在上不存在极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D．若，则的最大值为
【解答】解：对于，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，故在递增，
故函数在上无极值点，故正确；
对于，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（1），故在递增，
函数在上无极值点，故正确；
对于：由得：在递增，
不等式恒成立，
则恒成立，故，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故（e），故，故正确；
对于：若，
则，
，，，且，
时，，
设，设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故（e），此时，
故的最大值是，故正确；
故选：．
14．（2021•黄州区校级模拟）已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则　　
A．
B．，曲线在处的切线总与曲线在处的切线相交
C．的最小值为1
D．，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【解答】解：对于，恒成立，
要使函数与有交点，则，即正确；
对于，设，的横坐标分别为，，
取，此时，，
，，
，，
，（1），
此时曲线在处的切线与曲线在处的切线斜率相等，两条切线不相交，即错误；
对于，，
设，，
则在上单调递增，
（1），
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
（1），
的最小值为1，即选项正确；
对于，函数在处的切线方程为，若此切线也是的切线，设切点为，，
则，
消去，得，
设，
，，（2），
至少有两个零点，
有解，
故的值存在，且大于0，即选项正确．
故选：．
15．（2021•重庆模拟）函数为常数）的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，解得，即函数有且只有一个零点，故不可能，
，
令，则，
令，则，即函数在，上单调递增，
令，则，即函数在上单调递减，
当时，取得最小值，为，即，，且时，，时，，
故当时，，单调递增，选项可能，
当时，存在两个零点，，且，
在和，上单调递增，在，上单调递减，选项可能，
当时，存在唯一零点，且，
在上单调递增，在，上单调递减，选项可能，
故选：．
三．填空题（共8小题）
16．（2021秋•资中县校级月考）已知，若不等式（2）对，恒成立，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：函数，，
因为，
所以为上的偶函数，
又因为，，
所以，在上单调递增，又，
所以时，，
所以在区间，单调递增，
不等式（2），
由偶函数性质可得（2），即（2），
由函数的单调性可得，
所以，
所以，，恒成立，
令，则，
当，时，，在，上单调递增，
当，时，，在，上单调递减，
所以当时，取极大值，即为的最大值，；
令，，
因为，，所以，故，
所以在区间，单调递减，
所以在处取最小值，，
所以，
所以的取值范围为．
故答案为：．
17．（2021春•浙江期中）设函数有两个不同极值点，，则的取值范围是 　　，若，则的取值范围是 　　．
【解答】解：函数，
则，
因为有两个不同极值点，，
则当时，有两个不相等的实数根，，
所以，解得，
故的取值范围是；
因为，
所以，，
所以




，
令，故，
则，
所以，
则在上单调递增，
所以，
又当时，，
所以，即，
所以的取值范围是．
故答案为：；．
18．（2021春•江西期中）若对任意，恒有为自然对数的底数），则实数的最小值为 　1　．
【解答】解：因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，
则，
，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以（1），
故函数在上单调递增，
因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，
则，
令，解得，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故（e），
则，
所以实数的最小值为1．
故答案为：1．
19．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：函数的定义域是，
．
函数有唯一极值点，则是函数的唯一一个极值点．
是导函数的唯一根．
在无变号零点，
令，
，
①时，恒成立．在时单调递增的
的最小值为，无解，符合题意．
②时，有解为：，
时，，单调递减
时，，单调递增
的最小值为

，
由和图象，它们切于，
综上所述，．
故答案为：，．
20．（2021春•南阳期末）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：设，
求导可得，
在单调递增，
，
，
，，，
，
，，
，，
又在单调递增，
，即，
，
，
设，，
求导可得，
令，解得，，解得，
在单调递增，在单调递减，
在取得极小值点，也为的最小值点，
（e），即，可得
则实数的取值范围是．
故答案为：．
21．（2021春•莱州市期末）已知函数，，若，则的最大值是 　　．
【解答】解：设，则，，所以；
构造函数，；
又因为，所以在上单调递减，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递增，在单调递减，最大值为（2）；
故答案为：．
22．（2021春•上高县校级月考）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为　　．
【解答】解：函数 的定义域为，
当 时，， 单调递增，当 时，， 单调递减，
又（1），所以时，； 时，； 时，，
同时注意到，
所以若存在，，使得 成立，
则 且，
所以，所以，
所以构造函数，而，
当时，， 单调递增；
当时，， 单调递减，
所以，即．
故答案为：．
23．（2021•茂名模拟）已知，，，若恒成立，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：恒成立恒成立恒成立，
令，
则，
再令，
则恒成立，
在上单调递增，又（1）（1），
当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；
（1），
，
解得：，
故答案为：，．
四．解答题（共11小题）
24．（2021秋•南明区校级月考）已知函数，（其中为自然对数的底数，为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，恒成立．
【解答】解：（1），
，
当时，，单调递减；
当时，令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）证明：由（1）知，当时，取得极大值，
函数的极大值为，
，
．
令，
要证明恒成立，
只需．
在上为减函数，且，（1），
，，使得，即，①
恒成立（当且仅当时取等号），②
由①②得，
，，
（理由是：在上为增函数），
即，故结论成立．
25．（2021秋•金安区校级月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，，
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
易得在和上单调递增，在上单调道减；
③若，即时，
易得在和上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
令，则在上显然单调递减，
又（1），（e），
故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，则为的极大值点，
故，又，代入上式得，
故的取值范围为．
26．（2021秋•巴中月考）已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
则，
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当且时，恒成立，
即对于恒成立，
等价于对于恒成立，
令，
则问题转化为对于恒成立，
因为对于恒成立，
所以在上单调递增，
则对于恒成立，等价于对于恒成立，
故对于恒成立，
令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
则，
所以的取值范围为．
27．（2021秋•湖北月考）（1）已知函数，求证：；
（2）若函数在，上为减函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：．（1分）
因为，所以，，
所以，所以在，上为减函数，（3分）
于是（1），（e），
故．（4分）
（2）解：设，则，从而在，上为增函数，
由，得（1）（e），即．（5分）
当时，，则，从而，
因为函数在，上为减函数，
所以，即对，恒成立，
即对，恒成立，
根据（1），，所以，
再结合，此时，．（7分）
当时，，则，从而，
因为函数在，上为减函数，
所以，即对，恒成立，
即对，恒成立，
根据（1），，所以．
再结合，此时．（9分）
当时，则存在唯一的，使得，从而．
当，时，，即存在，，且，使得，这与“在，上为减函数”矛盾，此时不合题意．（11分）
综上，实数的取值范围是，，．（12分）
28．（2021秋•重庆月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值．
【解答】解：（1），，
由题意，，则或，
所以有两个等于1的正实根，
令，则，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为（1），，，
所以，
的取值范围为；
（2）由题意可知，有三个极值点，，所以可转化为，
由单调性可知，随着的增大，逐渐减小，而逐渐增大，
令，当取最大，取最小值时，取最大值，
所以，所以，则，
所以，
令，则，
令，，
当，，单调递增，（1），所以，
所以，，单调递增，
因为（3），所以，
所以的最大值为3．
29．（2021秋•龙岩月考）已知函数且为常数）．
（Ⅰ）讨论函数的极值点个数；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知：的定义域为，，
令，在上恒成立，
函数在上单调递增，且值域为，
①当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；
②当时，方程有唯一解为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，没有极大值点．
综上，当时，无极值点，
当时，函数只有1个极值点；
（Ⅱ）不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，（1），
存在，使得，且当时，即，
函数在上单调递减；
当，时，即，故在，上单调递增，
，即，
又，故，即，即，
由（Ⅰ）知函数在上单调递增，
，，
．综上，实数的取值范围是，．
30．（2021春•浦城县期中）已知函数，，．
（1）写出函数在，的零点个数，并证明；
（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：．
【解答】（1）解：在，上有唯一零点．
证明如下：由，得，，，
在，上单调递减，又（1），在，上恒成立，
则在，上单调递减，
（2），（e），
函数在，上有唯一零点；
（2）证明：令，得，
，由（1）可知，在，上有唯一零点，
且在，上单调递增，在，上单调递减，
的最大值．
下面再证明．
一方面（2）；
另一方面，要证，即证，又，
则只需证明，
记，则，由（1）可知在上恒成立，
在上单调递减，即（2）．
综上所述，．
31．（2021春•东城区校级期中）已知函数，其中为常数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间，上的最大值为，求的值；
（3）求证：．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
当时，，
则，
令，解得，
当时，，
当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
故当时，取得最大值（1），
所以当时，求的最大值为；
（2）解：函数，
则，，，，
①若，则，所以在，上单调递增，
故（e），不符合题意；
②若，令，可得，结合，，解得；
令，可得，结合，，解得，
所以在上为单调递增函数，在，上为单调递减函数，
则，
令，可得，
解得，
因为，
所以符合题意，
故的值为；
（3）证明：函数，，
要证，即证，
令，
则，
所以恒成立，
故在上单调递减，
又（1），，
所以存在，使得，即，
则当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以，
故．
32．（2021春•山西期中）（1）证明：对任意的，，，不等式恒成立．
（2）证明：．
【解答】证明：（1）要证，
即要证，
只需证．
令，，．
因为，
所以在，上单调递减．
因为（1），
所以对任意的，，，都有，．
所以恒成立，
故对任意的，，，不等式恒成立．
（2）要证，即要证．
令，则只要证．
令．
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，
所以，即成立，故成立．
33．（2021春•南阳期中）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
【解答】解：（1）函数，其中，其定义域为．
，
时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时，由，△，
由△，解得，此时，函数在上单调递增．
由△，解得，此时由，解得，，．
，可得函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
综上可得：时，函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数在上单调递增．
时，函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
（2）证明：令，，令，得，所以存在，使，
当，，当，时，，所以的最大值为，
，，又，，，
，
．
34．（2021秋•长安区校级月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在当时恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域是，
当时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在，递减；
（2）恒成立，
即 在 上恒成立，
即在 上恒成立．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，而（1），，
故存在，，使得，即，
所以，
令，，，
所以在上单调递增，所以，
当 时，，即，故在上单调递减，
当， 时，，即，故 在，上单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
故，
所以的取值范围为，