2020-2021学年2.2 基本不等式练习

这是一份2020-2021学年2.2 基本不等式练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  www.ks5u.com课时分层作业(八)　基本不等式的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是(　　)A．s≥t　　 B．s>tC．s≤t     D．s<tA　[∵ b2＋1≥2b.∴s≥t]2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)A．a＝±1     B．a＝1C．a＝－1     D．a＝0B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)A．ab≤     B．ab≤C．≥     D．≤D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由 ≥得，ab≤∴≥，故选D.]4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0B　[仅②④正确．]5．若0<a<1，0<b<1且a≠b，则在a＋b，2，a2＋b2和2ab中最大的是(　　)A．a＋b     B．2C．a2＋b2     D．2abA　[由0<a<1，0<b<1，得a2＋b2<a＋b，又2≤a＋b，2ab≤a2＋b2，则最大的是a＋b.]二、填空题6．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．　[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]8．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式的序号是________．①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知，①正确；＝≥＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]三、解答题9．已知x，y，z是互不相等的正数，求证：x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.[证明]　∵＋＋＝＋＋>2 ＋2 ＋2 ＝6∴x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.10．设a、b、c均为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.[证明]　 ∵a、b、c均是正数，∴，，均是正数，∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．11．下列不等式一定成立的是(　　)A．x＋≥2　 B．≥2C．＋≥2     D．≤B　[＝＋≥2，故选B.]12．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab     B．a＋b≥2C．＋>     D．＋≥2D　[当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A不成立；当a，b均小于零时，B，C不成立；由ab>0，得，均大于零，由基本不等式得＋≥2＝2.]13．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是(　　)A．　　　　B．    C．2　　　　D．2B　[(＋)2＝1＋2≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，所以a≥，故选B.] 14．设a>0，b>0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_____的长度是a，b的几何平均数，线段____的长度是a，b的调和平均数．CD　DE　[在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2＝AC·CB，故CD＝，即CD的长度为a，b的几何平均数，将OC＝a－＝，CD＝，OD＝代入OD·CE＝OC·CD可得CE＝故OE＝＝，所以ED＝OD－OE＝，故DE的长度为a，b的调和平均数．]15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋≥4；(2)＋＋≥8.[证明]　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴＋≥4，∴原不等式成立．(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＋＝＋＋＝4＋2(＋)≥4＋4 ＝8(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴＋＋≥8，∴原不等式成立．