高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课后练习题

第2课时　基本不等式的应用

必备知识基础练

1.已知x>2，则x＋的最小值为________．

2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

3．已知x，y均为正实数，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

4．已知x，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值为________．

5.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为(　　)

A．200件

B．5 000件

C．2 500件

D．1 000件

6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.

7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．

关键能力综合练

一、选择题

1．当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　)

A．4     B．8

C．8  D．16

2．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)

A．18  B．16

C．8  D．10

3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16  B．25

C．9  D．36

4．函数y＝的最大值为(　　)

A.  B.

C.  D．1

5．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋，y＝q＋，则x＋y的最小值为(　　)

A．6  B．5

C．4  D．3

6．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　)

A．3＋2  B．3－2

C．6－4  D．6＋4

二、填空题

7．当x＜时，函数y＝4x－2＋的最大值为________．

8．(易错题)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为________．

9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．

三、解答题

10．(探究题)若对任意x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．

学科素养升级练

1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)

A．ab有最大值 

B.＋有最小值

C.＋有最小值4 

D．a2＋b2有最小值

2．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，＋＋的最小值是________．

3．(命题情境—生活情境)某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？

第2课时　基本不等式的应用

必备知识基础练

1．解析：x＋＝x－2＋＋2，

∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.

当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”．

答案：6

2．解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

答案：B

3．解析：xy＝12×≤12×2＝12×2＝3，

当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，

所以xy的最大值为3.

答案：3

4．解析：∵x，y>0，

∴(x＋y)＝4＋≥4＋2，

当且仅当＝，

即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号，

又x＋y＝4，

∴＋≥1＋，

故＋的最小值为1＋.

答案：1＋

5．解析：设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．

根据题意得y＝100n＋≥2 000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1 000件．故选D.

答案：D

6．解析：总运费与总存储费用之和

y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，

当且仅当4x＝，

即x＝20时取等号．

答案：20

7．解析：年平均利润＝－x＋18－＝－＋18≤－2＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”.

答案：8

关键能力综合练

1．解析：∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.

答案：C

2．解析：x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y时，等号成立．

答案：A

3．解析：(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B.

答案：B

4．解析：令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝＝.

当t＝0时，y＝0；

当t＞0时，y＝＝.

∵t＋≥2，∴0＜≤，当且仅当t＝1时，等号成立．

∴y的最大值为.

答案：B

5．解析：由p＋q＝1，

∴x＋y＝p＋＋q＋＝1＋＋＝1＋(p＋q)

＝1＋2＋＋≥3＋2＝5，

当且仅当＝即p＝q＝时取等号，

所以B选项是正确的．

答案：B

6．解析：＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，

当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，

即a2＝c2＝2b2时，等号成立．

答案：D

7．解析：∵x＜，∴4x－5＜0，

∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3

≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

答案：1

8．易错分析：易错解为＋＝(x＋2y)≥2·2＝4.在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取“＝”分别需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．

解析：∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，

∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，.

由解得

∴当且仅当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2.

答案：3＋2

9．解析：设水池池底的一边长为x m，则其邻边长为 m，则总造价为：

y＝120×4＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1 760.

当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1 760.

所以水池的最低总造价为1 760元．

答案：1 760

10．解析：设y＝＝，

∵x＞0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．

∴y≤，即ymax＝.∴a≥.

学科素养升级练

1．解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1；∴1＝a＋b≥2；∴ab≤(当且仅当a＝b＝时，等号成立)；

∴ab有最大值，∴选项A正确；

(＋)2＝a＋b＋2≤1＋2·＝2.(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，所以＋有最大值，∴B错误；

＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；

a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误．

故选：AC.

答案：AC

2．解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤，当且仅当“x＝＝”时取等号，

∴＋＋≥2＋＝＋2＝2－2≥(＋)2－2＝6，当且仅当“x＝＝”时取等号，故答案为：，6.

答案：，6

3．解析：设2021年该产品利润为y，

由题意，可知当m＝0时，x＝1，

∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，

又每件产品的销售价格为1.5×元，

∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m

＝4＋8－m＝－＋29，

∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，

当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，

∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.

故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．