数学必修 第一册1.1 集合的概念第2课时导学案

第2课时　集合的表示

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　列举法

把集合的所有元素__一一列举__出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法．

思考1：哪些集合适合用列举法表示？

提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．

(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0,1,2，…，n，…}．

(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．

知识点2　描述法

1．设A是一个集合，把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．

2．具体步骤：

(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．

(2)画一条竖线．

(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

思考2：什么类型的集合适合描述法表示？

提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法．

基础自测

1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　×　)

(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　×　)

(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　√　)

2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为__{1,2,3,4}__.

3．方程组的解集可表示为__①②④__(填序号)．

①；

②；

③{1,2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．

4．说明下列各集合的含义：

A＝{y|y＝}；B＝{(x，y)|＝1}；

C＝{(0,1)}；D＝{x＋y＝1，x－y＝－1}．

[解析]　A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}，

B的代表元素是点(x，y)，其表示直线y＝x－3上除去点(3,0)外所有点组成的集合．

C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1)．

D表示以方程“x＋y＝1”和“x－y＝－1”为元素的一个二元素集．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　列举法表示集合

例1 用列举法表示下列集合：

(1)36与60的公约数组成的集合；

(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；

(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．

[分析]　(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．

[解析]　(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．

(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．

(3)方程组的解是，所求集合为{(，)}．

[归纳提升]　1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．

2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．

因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．

【对点练习】❶ 用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．

[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．

(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．

(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．

题型二　用描述法表示集合

例2 用描述法表示下列集合：

(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；

(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；

(3)使y＝有意义的实数x组成的集合；

(4)200以内的正奇数组成的集合；

(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．

[分析]　用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．

[解析]　(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．

(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0，y>0}．

(3)要使该式有意义，需有，

解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．

(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．

(5){x|x2－5x－6＝0}．

[归纳提升]　用描述法表示集合应注意的问题

1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象．

2．准确说明集合中元素所满足的特征．

3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．

4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．

【对点练习】❷ 用描述法表示下列集合：

(1)大于4的全体奇数组成的集合；

(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；

(3)所有的三角形组成的集合．

[解析]　(1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．

(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．

(3){x|x是三角形}．

题型三　集合中的方程问题

例3 设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B．

[分析]　集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素．

[解析]　集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.

因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.

由根与系数的关系，得解得

所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，

解得x＝－3±2，

所以B＝{－3－2，－3＋2}．

[归纳提升]　集合与方程的综合问题的解题思路

(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．

(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解．若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围．

【对点练习】❸ (1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．

(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.

(2)当a＝0时，方程化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件．

当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a≤0，即a≥，此时方程无实数根或有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知，当a≥或a＝0时，集合M中至多有一个元素．

误区警示

忽视集合中元素的互异性

例4 方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为__{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)__.

[错解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．

[错因分析]　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．

[正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a.

若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．

[方法点拨]　在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性．

学科素养

解决集合的新定义问题的基本方法

集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．

例5 当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为__{5}__.

[分析]　准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．

[解析]　由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．

[归纳提升]　解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．

课堂检测·固双基

1．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　C　)

A．{x|x＝2 019}　　　 B．{y|(y－2 019)2＝0}

C．{x＝2 019} D．{2 019}

[解析]　选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 019，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．

2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　D　)

A．{x|－3<x<11，x∈Q}

B．{x|－3<x<11}

C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}

D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}

[解析]　因为所求的数为偶数，所以可设为x＝2k，k∈Z，又因为大于－3且小于11，所以－3<x<11，即大于－3且小于11的偶数所组成的集合是{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．故选D．

3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　D　)

A．3 B．6

C．8 D．10

[解析]　由A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，当x＝5时，y＝4,3,2,1，当x＝4时，y＝3,2,1，当x＝3时，y＝2,1，当x＝2时，y＝1，所以B＝{(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)}，所以B中所含元素的个数为10.

4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝__{0,1}__.

[解析]　A＝{－1,0,1}，当x＝－1，或1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴B＝{0,1}．

5．用列举法表示下列集合．

(1)A＝{x∈Z|∈Z}；

(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；

(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．

[解析]　(1)要使x，是整数，则|3－x|必是6的约数，当x＝－3,0,1,2,4,5,6,9时，|3－x|是6的约数，

∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．

(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.

当x＝0，±1，±2时，y＝9,8,5符合题意，

∴B＝{5,8,9}．

(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，

则有或或.

∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．