数学必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数练习

这是一份数学必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数练习，共22页。试卷主要包含了0分），1>2，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前4.1.3幂函数同步练习湘教版（2019）高中数学必修第一册注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）若幂函数的图像经过点，则在定义域内A. 为增函数 B. 为减函数 C. 有最小值 D. 有最大值十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论正确的是    A.  B.  C.  D. 若，，则    A.  B.
C.  D. 下列大小关系正确的是A.  B.  C.  D. 若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为A.  B.  C.  D. 设，则下列说法一定正确的是A.  B.  C.  D. 已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为    A.  B.  C.  D. 给出下列命题：幂函数图象一定不过第四象限；函数的图象过定点；是奇函数；函数有两个零点．其中正确的个数是  A.  B.  C.  D. 已知，， 则的大小关系为   A.  B.  C.  D. 已知幂函数在上单调递减，则   A.  B.  C. 或 D. 或已知点在幂函数的图象上，则的表达式是    A.  B.  C.  D. 已知，，，则，，的大小关系为    A.  B.  C.  D. 二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）已知幂函数为奇函数，则          ，函数的图象必过点          ．已知定义在上的函数，对于任意，，当时，都有，又满足，，，则          ，          ．幂函数的图像经过点，则          若，则          已知幂函数的图象过点，则          ，由此，请比较下列两个数的大小：          ．已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为          ，若，则的值为          ．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．求函数的解析式；奇函数的定义域是，当时，，
求在上的表达式；
作出的图象并写出单调区间；
讨论方程根的个数．






 已知幂函数，为偶函数，且在区间内是单调递增函数．求函数的解析式；设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围．






 已知函数为偶函数，且．
求的值，并确定的解析式；若在区间上为增函数，求实数的取值范围．






 已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数．求的值，并写出相应的函数的解析式．对于中求得的函数，设函数，问：是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．






 已知幂函数是奇函数，且．求的值，并确定的解析式；求，的值域．






 已知幂函数为偶函数．求函数的解析式；若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．






 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，作出的图像并根据图像求出函数的最大值以及单调区间．






 已知幂函数，满足．
  求函数的解析式．
  若函数，是否存在实数使得的最小值为？
  若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．







答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．属于基础题．
利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数，
由，得，
在，
即，
则在定义域内有最小值，
故选：．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质、作差法比较大小，指数函数和幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用作差法判断；利用不等式的性质判断，利用幂函数的单调性判断；利用指数函数的单调性判断．
【解答】
解：．，因为，所以，所以，所以，故A错误；
B.由，结合不等式的性质得，故B错误；
C.因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确；
D.因为指数函数在上为增函数，且，所以，故D错误．
故选C．  3.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数的单调性，利用函数性质进行解题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
采用排除法，利用函数性质与已知条件进行逐一判断．
【解答】A、考虑幂函数，因为，所以为增函数．又，所以，A错误；B、，因为是减函数，所以，与已知条件矛盾，B错误；D、由对数函数的性质可知D错误．
故选C．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查比较大小，涉及对数函数，指数函数，幂函数的性质，对数运算，属于中档题．
根据对数函数，指数函数，幂函数的性质以及换底公式判断各个选项．
【解答】
解：在同一坐标系中绘出的图象，观察可得，

当时，，所以，，故A，B错误；
由
，所以C错误．
，所以D正确．
故选D．  5.【答案】
 【解析】解：设幂函数，，
其图象过点，则，解得，
所以该幂函数的解析式为．
故选：．
设幂函数，代入点的坐标求出函数的解析式．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
 6.【答案】
 【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属于基础题．
根据题意利用指数函数的性质可得，进而即可求得结果．【解答】解：由，得，即，因此．故选B．  7.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数和幂函数的单调性等基础知识，考查了数形结合思想，是基础题．作，，，的图象，数形结合可求出，，的大小关系．
【解答】
解：作，，，的图象，

由题可知即为与的交点横坐标，
即为与交点的横坐标，
即为与交点的横坐标，
由图可知，
故选D．  8.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质．
根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可．【解答】解：根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故对；
函数，
令，可得，代入可得，图象过定点，故对；
令，定义域为，
因为，且的定义域关于原点对称，
所以是奇函数，故对；
函数的零点可以看成函数与的交点问题，
易知两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故对；
故选：．  9.【答案】
 【解析】【分析】本题考查对数函数的性质和幂函数，由对数函数的性质和幂函数得出，，的范围即可求解．【解答】解：因为，，，所以，故选D．  10.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题．
根据幂函数的定义与性质，列方程求出的值，再判断是否满足条件．【解答】解：幂函数在单调递减，
，
解得或；
又，即
时满足条件，
则实数的值为．
故选：．  11.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了幂函数 ，属于基础题．
设出幂函数的解析式，利用点在函数的图象上，即可求出函数的解析式．【解答】解：设幂函数解析式为：，
因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，
函数的解析式为：．
故选C．  12.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了利用对数、指数函数性质比较大小，这里尽量借助于整数作为中间量来比较．
先将、、的大小与作个比较，发现，、都小于，再对、与比较即可．
【解答】
解：由题意，可知：，
，
，
最大，、都小于．
，．
，
．
故选D．  13.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查幂函数的应用，属于基础题．
根据幂函数定义，建立方程求出的值，再结合为奇函数，得到进而确定的图象必过点．
【解答】
解因为为幂函数，所以，解得或，
又为奇函数，所以 
此时，，
因为时，，，
所以的图象必过定点．
故答案为 ；．  14.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了不等式性质，抽象函数，函数的单调性与单调区间，对数函数及其性质和幂函数，属于中档题．
利用抽象函数的函数值计算，结合题目所给条件，令求得，再令求出，再利用幂函数的单调性和不等式的性质得，再利用对数函数的单调性得，最后利用题目所给条件，计算得结论．
【解答】
解：因为函数满足，
所以令得，解得．
又因为，所以由得．
又因为函数满足，
所以令得．
因为函数在上是增函数，而，所以．
因为，所以，
而，，因此．
综上所述，．
又因为函数是上增函数，而，
所以，即．
又因为对于任意，，当时，都有，
而，所以，因此．
故答案为；．  15.【答案】
 【解析】【分析】本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
设幂函数，由幂函数的图象过，知，解得，由此能解不等式．【解答】解：设幂函数，
幂函数的图象过，
，解得，
，
若，故，即，解得．
故答案为；．  16.【答案】 
 【解析】解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，
所以．
故答案为：，．
用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较与的大小．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
 17.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查幂函数，根据幂函数的定义，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式．
【解答】
解：幂函数的图象过点， ，
解得；
函数的解析式为．
若，即
解得
故答案为  18.【答案】解：幂函数是偶函数，
，解得，
在上单调递增，
，则；
由可得，当时，， 
设，则，
因为是上的奇函数，
所以，即时，，
又，
所以；
作出函数的图象如下图，
，
由图可知，函数的增区间为和，减区间为和；
由图象知：当或，即或时方程只有一个根；
当或或或，
即或或或时，方程有两个根；
当或或，
即或或时，方程有三个根．
综上所述：当或时方程只有一个根；
当或或或时，方程有两个根
当或或时，方程有三个根．
 【解析】本题考查分段函数及函数的图象，同时考查数形结合研究方程的根的个数，属于中档题．
由题意，，则，又在上单调递增，则，则；
根据是定义在上的奇函数，先设时，则，利用函数的奇偶性得时的解析式，再利用，得到函数的解析式；
先画出当时的函数图象，结合奇函数图象关于原点对称画出时的函数图象即可，然后从图象得单调区间；
结合函数的图象数形结合进行判断．
 19.【答案】解：幂函数，在区间内是单调递增函数．，解得，
，．
当时，；
当时，；
当时，；
幂函数，为偶函数，
为偶数．
，
．
，
对任意恒成立，
即，恒成立，
，恒成立．
，
当时，，
．
所以实数的取值范围为．
 【解析】本题主要考查了幂函数的性质可应用，解题的关键是由函数，为偶函数且在区间上是单调增函数，可得且为偶数，而函数的恒成立问题往往转化为求解函数的最值，注意构造函数的应用．
由幂函数为偶函数且在区间上是单调增函数，可得且为偶数，解不等式可得，结合可求的取值；
利用二次函数的性质，即可得．
 20.【答案】解：函数为偶函数，且，
，
即，
解得；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
时，；


，其中，且；
当时，，函数在是减函数，
对应函数在上是增函数，不满足题意；
当时，，函数在上是增函数，
又，得，函数在上是增函数，
，解得；
函数在区间上为增函数时，实数的取值范围是．
 【解析】本题考查了求幂函数的解析式的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题与函数单调性的应用问题，属于一般题．
根据函数为偶函数，且，求出的值即可；
求出函数的解析式，讨论的值，求出函数在区间上为增函数时的取值范围．
 21.【答案】解：在上是增函数，
由幂函数的图象和性质知，解得．
，，，．
当或时，，不是偶函数；
当时，，是偶函数．
故，．，
令，则．
当时，；
当时，．
在上是减函数，
当在上是增函数，在上是减函数时，在上是减函数，在上是增函数，
此时二次函数的对称轴方程是，即，
．
故存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．
 【解析】本题主要考查了幂函数的图象与性质，考查了复合函数单调性及二次函数单调性等知识，属于中档题．
根据幂函数知识求得的取值范围，再由及偶函数条件得到的值及函数解析式
根据复合函数知识得到可由与复合而来，再根据复合函数单调性得到在上递减，在递增求解．
 22.【答案】解：幂函数是奇函数，且．
是正奇数，且，
，．

．
，
．
当时，取最小值．
   当时，取最大值．
，的值域为．
 【解析】本题考查了幂函数的定义与性质，考查了指数函数及其性质．
根据幂函数的定义求出的值，然后验证即可得到答案；
结合对数函数的性质，利用换元法可得的解析式再利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
 23.【答案】解：由为幂函数知，
即，
得或，
当时，，符合题意；
当时，，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．
．
由得，
即函数的对称轴为，
由题意知函数在上为单调函数，
或，
即或，即实数的取值范围为．
 【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，考查函数奇偶性的应用，考查函数解析式的求解，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．
根据幂函数的性质即可求的解析式；
根据函数在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数的取值范围．
 24.【答案】解：设，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以．
设，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以．
由题意及图，可知．
作出函数的图象如图所示：

可知函数的最大值为，
的单调递增区间是，单调递减区间是和
 【解析】本题考查了幂函数解析式与性质，函数性质应用，属于中档题．
根据题意求解函数与的解析式，根据图象求解函数解析式以及单调区间与最值．
 25.【答案】解：是幂函数，
得，解得：或
当时，，不满足．
当时，，满足．
故得，函数的解析式为；
由函数，即，
令，
，
，
记，
其对称轴在，
当，即时，
则，
解得：；
当时，即，
则，
解得：，不满足，舍去；
当时，即时，
则，
解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，，使函数在上的值域为，
则
可得：



．
，
将代入得，，
令，
，，
即，
，
，即，
，
得：．
故得实数的取值范围．
 【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
根据幂函数是幂函数，可得，求解，可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，化简为一元二次函数求解的取值范围．