高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质复习练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质复习练习题，共27页。试卷主要包含了2函数的基本性质同步练习，0分），【答案】B，【答案】A，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

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3.2函数的基本性质同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知函数f(x)=x4−x2，则错误的是(    )
A. f(x)的图象关于y轴对称 B. 方程f(x)=0的解的个数为2
C. f(x)在(1,+∞)上单调递增 D. f(x)的最小值为−14
2. 函数f(x)=x2−1,x≤1lnx,x>1则下列命题正确的是(    )
A. 函数fx是偶函数
B. 函数fx最小值是0
C. 函数fx的单调递增区间是1,+∞
D. 函数fx的图象关于直线x=1对称
3. 已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(−1)=−1，当a，b∈[−1,1]，且a+b≠0时，(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x) A. (−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞) B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−2,2) D. (−2,0)∪(0,2)
4. 已知函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，且在区间[a,b](a A. 有最大值4 B. 有最小值−4 C. 有最大值−3 D. 有最小值−3
5. 已知函数f(x)=|x2−2ax+b|(x∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x=1对称；③若a2−b≤0，则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数；④若a>0，在区间[−a,a]上f(x)有最大值|a2−b|.其中正确的命题序号是(    )
A. ③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
6. 已知函数fx=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是(  )
A. (−12,+∞) B. (−1,−12) C. (−12,0) D. (−12,1)
7. 设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)(    )
A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增
B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增
D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
8. 已知奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，则在区间[−6,−1]上f(x)的最大值、最小值分别是(     )
A. −4，−10 B. 4，−10 C. 10，4 D. 不确定
9. 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(−1)=−1，当a，b∈[-1,1]，且a+b≠0时，(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x) A. (-∞,-2)∪{0}∪(2,+∞) B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (−2,2) D. (−2,0)∪(0,2)
10. 若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[−3,−1]上(  )
A. 是减函数，有最小值0 B. 是增函数，有最小值0
C. 是减函数，有最大值0 D. 是增函数，有最大值0
11. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)可以为(  )
A. f(x)=x3−3x B. f(x)=ex−e−xx
C. f(x)=2x−x D. f(x)=e|x|x
12. 已知函数f(x)=lnx2−2ln(x2+1)，则下列说法正确的是
A. 函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)的值域为(−∞,−1]
C. 当x>0时，函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D. 函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)
二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 已知定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又在区间[2,3]上为减函数，且满足f(x+2)=-f(x)，f(3)=-1，则f(x)的最大值为          ；若关于x的方程f(x)+2sin πx2=k在区间[0,4]上有两个不同的根，则实数k的取值范围是          ．
14. 若函数f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，则实数a的值为          ，且当x≥4时，f(x)的最大值为          ．
15. 已知奇函数f(x)在区间[3,7]上为单调增函数，最小值为5，那么函数f(x)在区间[−7,−3]上为单调          函数，且最          值为          ．
16. 若函效f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，则实数a的值为   (1)   ；且当x≥4时，f(x)的最大值为   (2)   ．
17. 已知函数fx=x2−10|x|+1，那么该函数图像与x轴有          个交点，函数f(x)在区间[−5,5]上的最大值为          。
18. 定义在[−2019,2019]的函数的最大值为M，最小值为m，则f(x)的增区间为          ；M+m=          ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
19. 已知函数，g(x)=x2−ax+6．
(1)若g(x)为偶函数，求a的值并写g(x)的增区间；
(2)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|21时，求的最小值；
(3)对任意的x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．







20. 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[13,2]上的最大值为1．(1)求a的值;
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，令g(x)=f(12+x)+f(12-x)，判断函数g(x)的奇偶性，并求出g(x)的值域．







21. 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[13,2]上的最大值为1．
(1)求a的值;
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，令g(x)=f(12+x)+f(12−x)，判断函数g(x)的奇偶性，并求出g(x)的值域．







22. 已知函数，g(x)=x2−ax+6．
(1)若g(x)为偶函数，求a的值并写g(x)的增区间；
(2)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|21时，求的最小值；
(3)对任意的x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．







23. 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[13,2]上的最大值为1．
(1)求a的值;
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，令g(x)=f(12+x)+f(12−x)，判断函数g(x)的奇偶性，并求出g(x)的值域．







24. 函数fx=xx−a．
(1)根据a不同取值，讨论函数y=fx的奇偶性；
(2)若a≤0，对于任意的x∈0,1，不等式−1≤fx−x≤6恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若已知a=2，D=−1,4.设函数gx=log12x2+x+k，x∈D，存在x1、x2∈D，使得fx1≤gx2，求实数k的取值范围．







25. 已知函数，g(x)=x2−ax+6．
(1)若g(x)为偶函数，求a的值并写g(x)的增区间；
(2)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|21时，求的最小值；
(3)对任意的x1∈[1,+∞),x2∈[-2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：因为函数f(x)=x4−x2，满足f(−x)=x4−x2=f(x)，所以函数是偶函数，所以A正确；
令f(x)=0即x2(x+1)(x−1)=0，解得：x∈{0,1,−1}，函数f(x)有3个零点：0；−1；1，
所以方程f(x)=0的解的个数为3，所以B不正确；
令t=x2，g(t)=t2−t=(t−12)2−14，x>1时，
函数t=x2，g(t)=t2−t都为递增函数，故f(x)在(1,+∞)递增，故C正确；
由t=12时，g(t)取得最小值−14，故f(x)的最小值是−14，故D正确．
故选：B．
利用函数的奇偶性判断A；函数的零点判断B；复合函数的单调性判断C；求解函数的最小值判断D．
本题考查命题的真假的判断，考查函数的单调性以及的奇偶性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

2.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了分段函数及函数的性质，涉及函数的奇偶性与对称性，函数的单调性及最值等，考查了数形结合的应用，属于基础题．
由题意，画出函数fx图象，进而观察并分析可得正确答案．
【解答】
解：画出函数fx图象如图：

可知函数fx是非奇非偶函数，A错误；函数fx最小值是0，B正确；
函数fx的单调递增区间是，C错误；
，f2=ln2，f0≠f2，所以函数不关于x=1对称，D错误．
故选B．  
3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题．
先利用函数的奇偶性将已知表达式转化为f(a)−f(−b)a−(−b)>0，即可得到fx在−1,1上是增函数，从而求得最大值为f1=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对t恒成立，就可求出m的取值范围．
【解答】
解：∵fx是定义在−1,1上的奇函数，
∴当a，b∈−1,1，且a+b≠0时，
f(b)=−f(−b)，
由(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，
即f(a)−f(−b)a−(−b)>0，
∴fx在−1,1上是增函数，
∴fxmax=f1=−f(−1)=1，
∴f(x) 等价于fxmax ∴1 即2tm−m2<0对任意的t∈−1,1恒成立，
令g(t)=2tm−m2
转化为g−1<0g1<0,
解得m<−2或m>2．
故选B．
  
4.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：∵函数f(x)是奇函数，在(0,+∞)上是减函数，
∴f(x)在(−∞,0)上也是减函数，
∵在区间[a,b](a ∴最大值为f(a)=4，最小值为f(b)=−3，
∴f(x)在区间[−b,−a]上也是减函数，且最大值为f(−b)=−f(b)=3，
最小值为f(−a)=−f(a)=−4，
故选：B．
  
5.【答案】A

【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数的图象和性质的应用问题，也考查了绝对值的函数应用问题，是中档题．
①a≠0时，f(x)=|x2−2ax+b|不是偶函数；
②a=0，b=−2时，f(x)满足f(0)=f(2)，但f(x)的图象不关于x=1对称；
③a2−b≤0时，f(x)在区间[a,+∞)上是增函数；
④a>0时，f(x)在区间[−a,a]上的最大值不一定是|a2−b|．
【解答】
解：对于①，当a≠0时，f(x)=|x2−2ax+b|不是偶函数，①错误；
对于②，当a=0，b=−2时，函数f(x)=|x2−2ax+b|化为f(x)=|x2−2|，满足f(0)=f(2)，
但f(x)的图象不关于x=1对称，②错误；
对于③，若a2−b≤0，则f(x)=|(x−a)2+b−a2|=(x−a)2+b−a2在区间[a,+∞)上是增函数，③正确；
对于④，若a>0，f(x)在区间[−a,a]上的最大值不一定是|a2−b|；如Δ=4a2−4b≤0时，f(x)的图象在x轴上方，此时最大值为f−a=3a2+b，④错误．
综上，正确的命题序号是③．
故选：A．  
6.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了对数函数及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和函数的单调性与单调区间，属于中档题．
利用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性得函数Fx是−1,1上的增函数，再利用奇函数的定义得函数Fx是−1,1上的奇函数，最后利用函数的单调性与单调区间建立不等式组a+1>−a−1 【解答】
解：令 ，
因为是−1,1上的增函数，
所以函数Fx是−1,1上的增函数．
又因为，
所以函数Fx是−1,1上的奇函数．
由fa+fa+1>2，得fa−1+fa+1−1>0，
即Fa+Fa+1>0，
所以Fa+1>F−a，
因此a+1>−a−1 故选C．
  
7.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t=|2x+12x−1|的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．
又f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|
=−(ln|2x+1|−ln|2x−1|)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|
=ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，
∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1
=1+22(x−12)=1+1x−12．
可得内层函数t=|2x+12x−1|的图象如图，

在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减．
又对数函数y=lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减．
故选：D．
  
8.【答案】A

【解析】
【分析】
本题主要考查奇函数图象及其性质的运用，涉及函数单调性及对称性的运用，属于基础题．
运用奇函数性质以及函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4即可求解．
【解答】
解：
∵奇函数f(x)在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，
根据奇函数图象关于原点对称，
∴f(x)在[−6,−1]也为增函数，
∴f(x)在[−6,−1]上的最大值、最小值分别是−4，−10，
故选A．  
9.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题．
先利用函数的奇偶性将已知表达式转化为f(a)−f(−b)a−(−b)>0，即可得到fx在−1,1上是增函数，从而求得最大值为f1=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对t恒成立，就可求出m的取值范围．
【解答】
解：∵fx是定义在−1,1上的奇函数，
∴当a，b∈−1,1，且a+b≠0时，
f(b)=−f(−b)，
由(a+b)(f(a)+f(b))>0成立，
即f(a)−f(−b)a−(−b)>0，
∴fx在−1,1上是增函数，
∴fxmax=f1=−f(−1)=1，
∴f(x) 等价于fxmax ∴1 即2tm−m2<0对任意的t∈−1,1恒成立，
令g(t)=2tm−m2
转化为g−1<0g1<0,
解得m<−2或m>2．
故选B．  
10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查根据奇函数的性质判断对称区间上的单调性及对称区间上的最值的关系，属于基础题．
奇函数在对称的区间上单调性相同，且横坐标互为相反数时函数值也互为相反数，由题设知函数f(x)在[−3,−1]上是增函数，且0是此区间上的最大值． 
【解答】
解：由奇函数的性质，
∵奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，
∴奇函数f(x)在[−3,−1]上为增函数，
又奇函数f(x)在[1,3]上有最小值0，
∴奇函数f(x)在[−3,−1]上有最大值0，
故选D．
  
11.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查函数的图象和解析式的关系，涉及函数的性质的应用，属基础题．
对选项进行排除、判断，主要根据图像的对称性、函数值的正负即可求解. 
【解答】
解： 选项A，函数为奇函数，且在x轴左右两侧均为增函数，完全符合题意，故正确
选项B，f(−x)=e−x−ex−x=ex−e−xx=fx，为偶函数，与图象不符，故错误；
选项C，当x→+∞时，函数值→−∞，与图象不符，，故错误；
选项D，当x>0时，函数值为正，当x<0时，函数值为负，与图象不符，故错误；．
故选A ．
  
12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性，考查函数值域，函数对称性，属中档题．
依题意，根据奇偶性定义可判断f(x)为偶函数，A错误，不妨设x>0，此时f(x)=2ln xx2+1，xx2+1==1x+1x，
结合基本不等式可判定B，计算f(32)≠f(12)，判断C，由函数y=x+1x(x>0)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，根据复合函数单调性可判断D．
【解答】
解： 由f(−x)=ln(−x)2−2ln[(−x)2+1]=lnx2−2ln(x2+1)=f(x)，
可知函数f(x)为偶函数；不妨设x>0，此时fx=2lnx−2lnx2+1=2lnxx2+1，
由xx2+1=1x+1x≤12x⋅1x=12(当且仅当x=1时取“=”)，
由0 由f12=ln14−2ln54=−ln4−2ln5+2ln4=ln4−2ln5=ln425，f32=ln94−2ln134=2ln613≠f12，
可知当x>0时，函数f(x)的图象不关于直线x=1对称；由函数y=x+1x(x>0)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，
可知函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)．
故选D．  
13.【答案】1
(−3,0)∪(0,3)


【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查函数的最值以及函数的零点和方程根的关系，考查数形结合的数学思想，属于难题．
利用奇偶性结合已知条件可得f(x)的图象关于直线x=1对称和f(x)的图象关于点(2,0)对称，结合图形可得最大值.再利用函数y=k与曲线y=f(x)+2sin πx2有两个交点可求出k的范围．
【解答】
解：由f(x+2)=−f(x)，得f(2−x)=−f(−x)=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=1对称；f(x)的图象关于点(2,0)对称
由f(x+2)=−f(x)，得f(x+4)=f(x)，即f(4−x)=−f(x)，
所以．
根据对称变换，可得f(x)在[0,4]上的图象，如图所示，

f(x)的最大值为1；
函数g(x)=2sin πx4在[0,1]和[3,4]上是增函数，
在[1,3]上是减函数，则g(x)max=g(1)=2，g(x)min=g(3)=−2；
由此，f(x)与g(x)的单调性和最值点都相同，
将这两个函数叠加可知，h(x)=f(x)+2sin πx2在[0,1]和[3,4]上是增函数，
在[1,3]上是减函数，值域为[−3,3]．
显然，当−3 故实数k的取值范围是(−3,0)∪(0,3)．
故答案为1；(−3,0)∪(0,3)  
14.【答案】2
13


【解析】
【分析】
本题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
先根据f−x+fx=0求得a的值，然后根据y=x−4x在4,+∞上的单调性，求得fx的最大值．
【解答】
解：由于函数fx为奇函数，故f−x+fx=0，
即−x−x+2−x−a+xx+2x−a=0，
即4−2ax2x+2−x+2x+ax−a=0，
故4−2a=0 ,a=2，
所以fx=xx2−4，
当x≥4时，fx=1x−4x，注意到y=x−4x在4,+∞上单调递增，
故x−4x≥4−44=3，所以0<1x−4x≤13，
故当x≥4时，fx的最大值为13．
故答案为2；13．
  
15.【答案】增
大
−5


【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．
根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．
【解答】
解：由于奇函数的图象关于原点对称，
故它在对称区间上的单调性不变．
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，
那么f(x)在区间[−7,−3]上必是增函数且最大值为−5．
故答案为增；大；−5．  
16.【答案】2
13


【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性及最值，考查运算求解能力，难度不大．
由函数为奇函数可得f1=−f−1，即可求得a；又f(x)=1x−4x在[4,+∞)上为减函数，利用单调性即可求得最值．
【解答】
解：∵函数f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，
∴f1=−f−1，即1(1+2)(1−a)=−−1(−1+2)(−1−a)，
解得a=2；
∴当x≥4时，f(x)=x(x+2)(x−2)=xx2−4=1x−4x，
又f(x)=1x−4x在[4,+∞)上为减函数，
∴当x≥4时，f(x)的最大值为f4=14−1=13．
故答案为2；13．  
17.【答案】4
1


【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点问题，最值求解，属于中档题．
由题意易知函数为偶函数，根据二次函数性质可知当x>0时，f(x)图像与x轴有2个交点，然后根据函数对称性即可求解该函数图像与x轴的交点个数；根据函数在[−5,5]的单调性可求解函数最值．
【解答】
解：∵函数f(x)=x2−10|x|+1定义域为R，且f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数．
当x⩾0时，f(x)=x2−10x+1=(x−5)2−24，
令f(x)=0，解得x1=5−26,x2=5+26，
即当x>0时，f(x)图像与x轴有2个交点，
又∵函数f(x)图象关于y轴对称，则该函数图像与x轴有4个交点．
当0⩽x⩽5时，f(x)单调递减，
又∵函数f(x)图象关于y轴对称，当−5⩽x<0时，f(x)单调递增，
故函数f(x)在区间[−5,5]上的最大值为f(0)=1，
故答案为4；1．  
18.【答案】[−2019,2019]
2


【解析】
【分析】
本题主要考查函数的最值，注意运用转化思想和奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
设，x∈R，判断奇偶性，即可得到所求最值之和．
【解答】
解：函数，
可设，x∈R，
g(−x)+g(x)=ln(−x+1+x2)+ln(x+1+x2)，
，
则g(x)为奇函数，可得g(x)在[−k,k]的最大值和最小值之和为0，
所以可知g(x)在[−2019,2019]上单调递增，
又因为f(x)=g(x)−2ex+1+2，
所以f(x)在[−2019,2019]上单调递增，
即有f(x)的最值之和为M+m=f(x)+f(−x)=g(x)−2ex+1+2+g(−x)−2e−x+1+2
=4−2ex+1+2e−x+1=4−2ex+1+2exex+1=4−2=2．
故答案是[−2019,2019];2．


  
19.【答案】解：(1)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，
∴g(−x)=g(x)，
∴x2−ax+6=x2+ax+6，
∴a=0，
∴g(x)=x2+6，
∴g(x)的增区间为(0,+∞)；
(2)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2 ∴a=2+3=5，
∴g(x)=x2−5x+6，
∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3
≥2(x−1)⋅2x−1−3=22−3，当且仅当x=2+1时取等号，
∴g(x)x−1的最小值为22−3;
(3)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=log12(x2+1)，
∴f(x)max=f(1)=log122=−1，
∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，
即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，
设h(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，
∴h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，
∴−112≤a≤−4，
②当a2≥4时，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，
∴h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，
∴此时为空集，
③当−4 ∴h(x)min=h(a2 )=−a24+7≥0，即−27≤a≤27，
∴−4 综上所述a的取值范围为[−112,27].

【解析】本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是较难题．
(1)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，
(2)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，
(3)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．

20.【答案】解：(1)当a>1时，f(x)在区间[13,2]上是增函数，所以f(2)=loga2=1，解得a=2;
当0 所以a=13或a=2．
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，f(x)=log2x.
则g(x)=f(12+x)+f(12−x)=log2(12+x)+log2(12−x)=log2(14−x2)，
由12+x>012−x>0，得−12 所以函数g(x)的定义域为(−12,12).
因为g(−x)=g(x)，
所以g(x)是偶函数．
当0≤x<12时，0<14−x2≤14，
又因为g(x)=log2(14−x2)在区间[0,12)上是减函数，所以g(x)max=g(0)=−2，所以g(x)在[0,12)上的值域为(−∞,−2]．
又g(x)是偶函数，所以g(x)在(−12,0]上的值域也为(−∞,−2]，
所以g(x)的值域为(−∞,−2]．


【解析】本题考查函数性质的综合应用，属于中档题．
(1)当a>1时，f(2)=loga2=1，解出a=2;当0 (2)由已知g(x)=log2(14−x2)，求出函数g(x)的定义域为(−12,12)，又可证得g(x)是偶函数，只需讨论当0≤x<12时函数的值域即可．

21.【答案】解：(1)当a>1时，f(x)在区间[13,2]上是增函数，所以f(2)=loga2=1，解得a=2;
当0 所以a=13或a=2．
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，f(x)=log2x.
则g(x)=f(12+x)+f(12−x)=log2(12+x)+log2(12−x)=log2(14−x2)，
由12+x>012−x>0，得−12 所以函数g(x)的定义域为(−12,12).
因为g(−x)=g(x)，
所以g(x)是偶函数．
当0≤x<12时，0<14−x2≤14，
又因为g(x)=log2(14−x2)在区间[0,12)上是减函数，所以g(x)max=g(0)=−2，所以g(x)在[0,12)上的值域为(−∞,−2]．
又g(x)是偶函数，所以g(x)在(−12,0]上的值域也为(−∞,−2]，
所以g(x)的值域为(−∞,−2]．


【解析】本题考查函数性质的综合应用，属于中档题．
(1)当a>1时，f(2)=loga2=1，解出a=2;当0 (2)由已知g(x)=log2(14−x2)，求出函数g(x)的定义域为(−12,12)，又可证得g(x)是偶函数，只需讨论当0≤x<12时函数的值域即可．

22.【答案】解：(1)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，
∴g(−x)=g(x)，
∴x2−ax+6=x2+ax+6，
∴a=0，
∴g(x)=x2+6，
∴g(x)的增区间为(0,+∞)；
(2)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2 ∴a=2+3=5，
∴g(x)=x2−5x+6，
∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3≥2(x−1)⋅2x−1−3=22−3，
当且仅当x=2+1时取等号，
∴g(x)x−1的最小值为22−3;
(3)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=log12(x2+1)，
∴f(x)max=f(1)=log122=−1，
∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，
即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，
设h(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，
∴h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，
∴−112≤a≤−4，
②当a2≥4时，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，
∴h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，
∴此时为空集，
③当−4 ∴h(x)min=h(a2 )=−a24+7≥0，即−27≤a≤27，
∴−4 综上所述a的取值范围为[−112,27].

【解析】本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是较难题．
(1)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，
(2)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，
(3)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．

23.【答案】解：(1)当a>1时，f(x)在区间[13,2]上是增函数，所以f(2)=loga2=1，解得a=2;
当0 所以a=13或a=2．
(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，f(x)=log2x.
则g(x)=f(12+x)+f(12−x)=log2(12+x)+log2(12−x)=log2(14−x2)，
由12+x>012−x>0，得−12 所以函数g(x)的定义域为(−12,12).
因为g(−x)=g(x)，
所以g(x)是偶函数．
当0≤x<12时，0<14−x2≤14，
又因为g(x)=log2(14−x2)在区间[0,12)上是减函数，所以g(x)max=g(0)=−2，所以g(x)在[0,12)上的值域为(−∞,−2]．
又g(x)是偶函数，所以g(x)在(−12,0]上的值域也为(−∞,−2]，
所以g(x)的值域为(−∞,−2]．


【解析】本题考查函数性质的综合应用，属于中档题．
(1)当a>1时，f(2)=loga2=1，解出a=2;当0 (2)由已知g(x)=log2(14−x2)，求出函数g(x)的定义域为(−12,12)，又可证得g(x)是偶函数，只需讨论当0≤x<12时函数的值域即可．

24.【答案】解：(1)函数fx=xx−a的定义域为R，关于原点对称，
当a=0时，fx=xx，f−x=−x⋅−x=−xx=−fx，
此时，函数y=fx为奇函数；
当a≠0时，fx=xx−a，−fx=−xx−a，f−x=−x⋅−x−a=−xx+a，则f−x≠fx，f−x≠−fx，
此时，函数y=fx为非奇非偶函数；
(2)当x=0时，则有−1≤0≤6恒成立，此时a∈R；
当0 即1−1x≤x−a≤1+6x，∵0 所以，不等式x−a≥1−1x对任意的x∈0,1恒成立，
由x−a≤1+6x，即a−x≤1+6x，∴−1−6x≤a−x≤1+6x，
即x−6x−1≤a≤x+6x+1，
∵函数hx=x−6x−1在区间0,1上单调递增，a≥hxmax=h1=−6，
函数φx=x+6x+1在区间0,1上单调递减，则a≤φxmin=φ1=8，∴−6≤a≤8，
因此，实数a的取值范围是−6,8；
(3)由题意知，当x∈−1,4时，fxmin≤gxmax，
当a=2时，fx=xx−2=x2−x,−1≤x≤2xx−2,2 当−1≤x≤2时，fx=2x−x2=−x−12+1，
此时，函数y=fx在区间−1,1上单调递增，在1,2上单调递减，且f−1=−3，f2=0，则fx≥−3；
当2 此时，函数y=fx在区间2,4上单调递增，则fx>0，
所以，函数y=fx在区间−1,4上的最小值为fxmin=−3，
对于函数gx=log12x2+x+k，内层函数u=x2+x+k在区间−1,−12上单调递减，在区间−12,4上单调递增，外层函数y=log12u是减函数，
所以，gxmax=g−12=log12k−14，
由题意得log12k−14≥−3，则有0 因此，实数k的取值范围是14,334．

【解析】本题考查函数的奇偶性，不等式的恒成立问题，复合函数的单调性，涉及y=x+1/x函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，考查分类讨论思想，划归与转化思想和运算化简的能力，属于综合题．
(1)按a=0与a≠0讨论，利用函数奇偶性定义可得；
(2)当x=0时，a∈R，当0 (3)问题转化为当x∈−1,4时，fxmin≤gxmax，分别求出最值即可．

25.【答案】解：(1)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，
∴g(−x)=g(x)，
∴x2−ax+6=x2+ax+6，
∴a=0，
∴g(x)=x2+6，
∴g(x)的增区间为(0,+∞)；
(2)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2 ∴a=2+3=5，
∴g(x)=x2−5x+6，
∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3
≥2(x−1)⋅2x−1−3=22−3，当且仅当x=2+1时取等号，
∴g(x)x−1的最小值为22−3;
(3)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=log12(x2+1)，
∴f(x)max=f(1)=log122=−1，
∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，
即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，
设h(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，
∴h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，
∴−112≤a≤−4，
②当a2≥4时，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，
∴h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，
∴此时为空集，
③当−4 ∴h(x)min=h(a2 )=−a24+7≥0，即−27≤a≤27，
∴−4 综上所述a的取值范围为[−112,27].

【解析】本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是较难题．
(1)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，
(2)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，
(3)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．