高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数同步练习题
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4.1.2无理指数幂同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 如果关于的不等式的解集是，那么等于
A. B. C. D.
- 已知正实数，，，满足，则
A. B. C. D.
A. B. C. D.
- 若，则等于
A. B. C. D.
- 已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为
A. B. C. D.
- 若，，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
- 定义在上的函数满足，，且当时，，则
A. B. C. D.
- 设，，，则
A. B. C. D.
- 把根号外的移到根号内等于
A. B. C. D.
- 若，则等于
A. B. C. D. 非以上答案
- 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是当较小时，
A. B. C. D.
- 设，则等于
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知，，，则，，的大小关系为 ．
- 计算： _________．
- 计算：_________．
三、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 化简：
；
若，， ． - 计算：
；
若，则 ． - 设，，则 ， ．
- 计算：
；
若，则 ．
- 若，，则 ； ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知函数为奇函数。
求的值并判断的单调性；
若，求的取值范围。
- 计算下列各式的值：
；
．
- 已知，化简：；
求值：．
- 化简下列各式：
；
．
- 已知，求的值；
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题目．
根据一元二次不等式与相应方程的关系，由根与系数的关系可以得到，的值．
【解答】
解：不等式可化为，其解集是，
那么的两个根为，，
由根与系数的关系得，
解得，；
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数以及对数的运算，属于基础题．
设，则，，，根据指数的运算性质能推导出．
【解答】
解：正实数，，满足，
设，
则，，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数与对数的运算，考查简单的运算能力，属于基础题．
根据指数与对数的运算法则直接计算求解即可．
【解答】
解：原式
．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
通过有理指数幂的运算，求出，然后再求的值．
本题考查有理指数幂的运算性质，考查计算能力，是基础题．
【解答】
解：，
则，
则，负值舍掉
所以，
故选．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数图象恒过定点问题，对数运算．
先利用函数的解析式得出其图象必过定点，再将该定点的坐标代入函数求出，最后即可求出相应的函数值．
【解答】
解：函数的图象恒过定点，
将，代入得：，
，
，
则
．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．
根据的范围确定的范围，通过的范围结合指数函数单调性得到，的范围，从而可得，，大小关系．
【解答】
解：，，
，即；
又为减函数，
，即；
又，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性、周期性、指数函数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，可得由于定义在上的函数满足：，，可得，周期利用奇偶性周期性经过变形即可得出．
【解答】
解：，
．
定义在上的函数满足：，，
，周期．
．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质和指数幂的运算，属于基础题．
由题意和指数幂的运算化简已知式子，由指数函数单调性可得答案．
【解答】
解：，，．
因为，故．
故选：
9.【答案】
【解析】解：由，得，则，
．
故选：．
由根式内部的代数式大于等于求得，即，则答案可求．
本题考查有理指数幂与根式的互化，考查函数定义域的求法，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，．
．
故选：．
利用根式的运算性质即可得出．
本题考查了根式的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指对数运算及实际运用，属于基础题．
解题时抓住所给等式中每个两所代表的意义代入等式运算即可．
【解答】
解：由题意可记“心宿二”星等为，
“天津四”星等为，，
，
代入得
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分数指数幂的运算法则，属于中档题．
利用完全平方公式解题即可．
【解答】
解：由已知平方得，
所以，
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用指数函数对数函数的性质比较大小问题，涉及指数对数的运算变形，属基础题．
本题根据对数函数性质可以判定，，根据指数函数的单调性得出，进而做出大小判断．
【解答】
解：，，，
又，所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
利用对数的性质和运算法则、有理数指数幂的计算法则求解．
本题考查指数幂、对数运算的化简求值，是基础题，解题时要认真审题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查根式的运算，属于基础题．
将根式里面凑成完全平方式计算即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】解：，
若，，
则．
故答案为：，
由已知结合对数的运算性质进行化简可求；
结合根式与分数指数幂的相互转化进行化简可求．
本题主要考查了对数的运算性质及分数指数幂与根式的相互转化，属于基础试题．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的化简求值，意在考查学生的计算能力．
直接计算得到答案．
根据解得和，代入计算得到答案．
【解答】
解：；
，易知，则，
，故．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数、对数的运算性质，熟记公式是解题的关键．
利用指数及对数的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：，
．
故答案为；．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的化简求值，意在考查学生的计算能力．
直接计算得到答案．
根据解得和，代入计算得到答案．
【解答】
解：；
，易知，则，
，故．
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数、对数的运算性质，对数换底公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题．
利用指数及对数的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：，
，，
，
所以．
故答案为；．
21.【答案】解：，
因为为奇函数，，于是，
因为在是增函数，且在是减函数，
所以在是增函数
在是增函数，，
于是由可得，解得，
所以实数的取值范围为
【解析】根据奇函数定义可知，，从而求出；
由函数单调性可知，可得，解出该不等式即可．
考查奇函数的定义，指数的运算，以及对数函数的单调性．
22.【答案】解：原式
原式
．
【解析】本题考查了对数运算和指数幂的运算，考查了计算能力，属于基础题．
由指数幂的运算法则，可得答案
由对数运算法则，可得答案．
23.【答案】解：，
，
；
，
，
．
【解析】本题考查的知识点是指对数的运算性质，熟练掌握指数与对数的运算性质是解答对数化简求值类问题的关键．
结合已知及根式的几何意义即可化简求值，
结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简．
24.【答案】解：；
．
【解析】直接利用有理指数幂的运算性质对化简求值．
本题考查有理指数幂与根式，是基础的计算题．
25.【答案】解：由，得到，
从而得到，整理得：，即，由，得到，所以小于的舍，所以；
．
【解析】本题考查指数幂和对数的运算法则，是基础题．
考查对数的运算性质，由对数的运算性质，可解，从而可得结果；
考查对数恒等式以及指数的运算，属于基础题，直接运算可得结果．
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