湘教版（2019）4.1 实数指数幂和幂函数同步练习题

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4.1实数指数幂和幂函数同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，，，则，，的大小顺序为

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，则   

A.  B.  C.  D.

3. 设，，均大于，且，令，，，则，，的大小关系是   

A.  B.  C.  D.

4. 设，，，则   

A.  B.  C.  D.

5. 设，，，则下列关系中正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 若，，，则、、从小到大的顺序排列为    

A.  B.  C.  D.

7. 若，则

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

9. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

10. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

11. 已知幂函数的图象过点和，则实数的值为   

A.  B.  C.  D.

12. 下列选项正确的是

A.  B.
C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 若函数是幂函数，且满足，则          ，函数过定点          ．
14.           ；           ．
15. 幂函数的图象经过点，则函数的解析式为          ，的值为          ．
16. 函数其中，且图像上的定点的坐标为          ；若幂函数的图像经过点，则          ．
17. 设，，则          ，          ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 计算：
    ；
    ，求及．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数，且．

Ⅰ求的值；

Ⅱ试判断是否存在正数，使函数在上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．






 

20. 已知幂函数的图象经过点，求的值；
    化简求值：
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知幂函数的图象过

求的值与函数的定义域；

已知，求的值．






 

22. 判断函数的奇偶性；

已知，求；






 

23. 求值；

设，求的值．






 

24. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为，记．
    求的值；
    证明；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 若点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上．

求和的解析式；

定义，求函数的最大值和单调区间．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查指数函数与幂函数的单调性和大小比较．
根据指数函数和幂函数的单调性，作比较，即可得到答案．
【解答】
解：，且，
所以为增函数，又，，
又在为增函数，且，所以，
，
故选B．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用指数函数性质与幂函数的性质比较大小，指数运算，属于基础题．
根据指数函数和幂函数的单调性可比较其大小．
【解答】
解：因为，，
根据函数在上单调递增，可得；
又，，
根据函数在上单调递增，可得；
所以  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了指数，对数的运算性质，涉及幂函数的单调性，考查特殊值法的应用．
法一：设，根据指数幂的运算性质判断即可；法二：取特殊值法计算即可．
【解答】
解：法一：令，
，，，，
则，，，
将它们分别次方，
得，，，
根据是上的单调增函数，，

，故，
法二：取特殊值法：
取，，，符合题意，
易验证，
故选D．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查指数的运算和幂函数的性质，属于基础题．
由指数幂的运算和幂函数的性质即可求解．
【解答】
解：由于
幂函数在上单调递增，
所以，
故，
故选C．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查利用指数幂的运算性质和对数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题．
由，得出，利用函数的图象，得出，由此即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，
作出函数的图象如下图
可知：有个交点，，，结合对数函数和幂函数增长速度的快慢，由图可知：
当时，，当时，，当时，
因，故，即，
所以．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数运算，考查幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
将，，分别化为，，，利用幂函数在上的单调性判定大小．

【解答】

解：，
，
，
幂函数是上的单调增函数，
，即，
．
故选C．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查指数与对数的互化，幂函数的性质应用，比较大小，属于中档题．
可设，从而可得出，，，可判断，从而根据是减函数，从而得出．
【解答】
解：设，则：，，；
，，；
；
；
又是减函数，
；
．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查指数的运算和幂函数的性质，属于基础题．
由指数幂的运算和幂函数的性质即可求解．
【解答】
解：由于
幂函数在上单调递增，
所以，
故，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查指数的运算和幂函数的性质，属于基础题．
由指数幂的运算和幂函数的性质即可求解．
【解答】
解：由于
幂函数在上单调递增，
所以，
故，
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了指数运算和幂函数性质．
先化简，，，再由幂函数性质可得大小关系．
【解答】
解：，
，
，
为在上单调递增函数，，
所以，即，
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了幂函数及解析式的求法，涉及指数运算，属于基础题．
用待定系数法设幂函数的解析式，代入已知点求得解析式，再代入后进行指数运算可得结果．
【解答】
解：设，依题意可得，

所以所以．

故所求实数．
故选D．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了对数函数、指数函数、幂函数的性质及其应用，属于基础题．
根据对数函数，指数函数及幂函数的性质，进行大小比较，逐项分析，即可得出正确结果．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误．
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的定义及对数恒等式和定点问题，首先根据条件求出幂函数，利用对数恒等式求出，再把代入即可得到定点，属中档题．

【解答】

解：设，因为，

所以，，

故

则，

当时，不论取何值都有．

故过定点．

故答案为，．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．
根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可．

【解答】

解：



；



；
故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与计算函数值的问题，是基础题．
用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值．

【解答】

解：设幂函数，图象过点，
则，解得；
所以函数；
且．
故答案为：；．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了求指数型函数过定点坐标以及待定系数法求函数解析式，是基础题．
利用指数函数过定点求出函数过定点的坐标，再用待定系数法求出幂函数的解析式．
【解答】
解：函数其中，且，又，
令，得：，，
函数过定点的坐标为，
设幂函数，又点的坐标为，
，，
幂函数，
故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查对数式和指数式的运算，属于基础题．
由即可得出，利用同底数幂的运算法则和对数运算法则求出的值．

【解答】

解：，，
，
，
故答案为；．

18.【答案】 解：原式．

解：因为，
所以两边平方得，，即，

 ，
 ．

【解析】本题考查指数的运算，属于基础题．
由分数指数幂的运算法则进行计算．
本题考查指数幂的运算，解题关键是由两边平方，属于基础题．
由两边平方得，，即， ，再开方得答案．
 

19.【答案】解：Ⅰ是幂函数，且，
在上单调递增，
，
，
，
或．
Ⅱ由Ⅰ得，
．
，
对称轴．
当即时，，
，不符合．
当即时，，
或舍去．
当时，，
符合．
综上，存在正数，使函数在上的值域为
 

【解析】本题考查幂函数的性质与二次函数的最值．

Ⅰ由可知在上单调递增，即指数，可解得满足条件的整数解；

Ⅱ由Ⅰ可确定函数的解析式含参数，利用二次函数的性质分类讨论函数在区间上的最值是否符合条件，从而求出的值．

20.【答案】解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
则；
解：



．
 

【解析】本题主要考查了幂函数求值的问题，先由已知条件求出幂函数的指数，代入求出结果即可；
本题主要考查了对数和指数的运算，熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键．
 

21.【答案】解：幂函数的图象过，，
，
所以，，函数的定义域为；
设，则．
，
所以，为奇函数，．
．
 

【解析】本题考查了幂函数的图与性质，函数的奇偶性，属于中档题．
将代入幂函数的解析式，即可求出答案；
设，则，求出，可知为奇函数，由函数的奇偶性可得答案．
 

22.【答案】解：因为，，
所以是偶函数；
．
 

【解析】本题考查幂函数的性质以及指数幂的运算．
根据函数奇偶性的定义判断即可；
利用即可求解．
 

23.【答案】解：


解：，
，
，
 



 

【解析】本题考查了指对数的运算，属于基础题，由指对数的运算法则计算即可．
本题考查了指数与对数的互化，对数的换底公式及运算，属于基础题．
首先求得，，再由换底公式求得，再利用对数的运算法则求值即可．
 

24.【答案】解：函数且在上单调递增或单调递减，
所以舍去，
即
由知
所以
；
由知，

，
所以原式．
 

【解析】本题考查指数与指数幂的运算，考查指数函数的性质，属于中档题．
利用指数函数的单调性即可；
利用指数幂的运算即可；
寻求规律易得结果．
 

25.【答案】解：设幂函数，，
因为点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，
所以，，解得，；
所以，；
因为
所以
所以作出函数的图象，如下：

由图象可得单调递增区间为，单调递减区间为，；
所以当时，函数有最大值．
 

【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质，考查函数的单调区间与函数最值，考查学生灵活运用数学知识的能力，属于基础题．
设幂函数解析式，待定系数法求解即可．
由题意得到，利用函数图象得到最大值及单调区间．