高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.5 函数模型及其应用精练

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.5 函数模型及其应用精练，共24页。试卷主要包含了0分），61x，若空气中一氧化碳浓度不高于0，015100≈4，【答案】B，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如表：
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A. y1=x2,y2=2x,y3=lg2xB. y1=2x,y2=x2,y3=lg2x
C. y1=lg2x,y2=x2,y3=2xD. y1=2x,y2=lg2x,y3=x2
下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A. y=2xB. y=10000xC. y=lg3xD. y=x3
在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
A. B.
C. D.
下列函数中，增长速度最快的是( )
A. y=2021xB. y=x2021C. y=lg2021xD. y=2021x
在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A. y=2xB. y=lg2xC. y=12(x2−1)D. y=2.61x
某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=12mt−7(m为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气( )
A. 16分钟B. 24分钟C. 32分钟D. 40分钟
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )
A. 投资3天以内(含3天)，采用方案一
B. 投资4天，不采用方案三
C. 投资6天，采用方案一
D. 投资12天，采用方案二
下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A. y=e xB. y=lnxC. y=x 100D. y=2x
洪泽湖是中国大湖中唯一的活水湖，水质优良，有利于优质大闸蟹生产，大闸蟹的背面有字母“H”的形状，是洪泽湖天然的“地理标志”.洪泽湖大闸蟹具有个大、蟹肥、肉香的特质.泗洪县是洪泽湖大闸蟹的主产区，今年又喜获丰收.泗洪中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某大闸蟹生产销售合作社为了实现100万元的利润目标，准备制定激励其销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20％.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是( )
(参考数据：1.015100≈4.432,lg 11≈1.041)
A. y=0.04xB. y=1.015x−1
C. y=tan(x19−1)D. y=lg11(3x−10)
当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A. y=x+100B. y=100xC. y=x100D. y=100x
当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A. y=3xB. y=lg3xC. y=x3D. y=3x
有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是 ( )
A. y=lgax(a>1)B. y=ax+b(a>1)
C. y=ax2+b(a>0)D. y=lgax+b(a>1)
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共4小题，共20.0分）
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5lg2Q10，单位m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．则当燕子静止时的耗氧量是 单位；当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度是
三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
其中x呈对数函数型变化的变量是 ，呈指数函数型变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ．
据新华社2011年3月12日电，1995年到2010年间，我国农村人均居住面积如右图所示，其中从 (1) 年到 (2) 年的五年间增长最快．
三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如下表：
其中随x呈对数函数型变化的变量是 ，呈指数函数型变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）
1766年人类已经发现的太阳系中的行星有水星、金星、地球、火星、木星和土星．德国一位中学教师提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星．
(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从①y=ax+b，②y=a·bx+c(b>1)，③y=a·lgbx+c(b>1)这三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；
(2)根据你的选择，依据表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”
(1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低．请建立一个函数模型，来说明以上结论．
(2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：
①投资金额固定；
②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；
③投资年数x(x∈N*)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种：
方案一：当x=3时，y=6，以后x每增加1时，y增加2；
方案二：y=13x2；
方案三：y=(33)x．
(ⅰ)补充完善下表中空白的部分；
(ⅱ)请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案．
某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为20元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，1≤a≤4)的管理费．根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为Q(x)=kex万件．已知当每件产品的售价为30元时，该产品一年的销售量为300万件．经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于23元，最高不超过31元．
(Ⅰ)求该分公司经销该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式．
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，该分公司经销该产品一年的利润L(x)最大？并求出最大值．
某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：
A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；
B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；
C树木：树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年，t∈N)满足如下函数：f(t)=71+e−0.5t+2(f(0)表示种植前树木的高度，取e≈2.7)．
(1)若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？
(2)若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？
某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
现有三种函数模型：f(x)=ax+b，f(x)=a×2x+b，f(x)=lg0.5x+a．
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取x=1，3这两年的数据求出相应的函数解析式；
(2)因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量．
某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
20世纪30年代，里克特()制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M=lgA−lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(以下数据供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg5≈0.6990)
(1)根据中国地震台网测定，2019年9月27日01时17分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)2008年5月12日14时28分04秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达8.0M，地震烈度达到11度．此次地震的地震波已确认共环绕了地球6圈．地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感．请计算汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的多少倍⋅
某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理．
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由．
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择．
(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份(整个月份都超过面积的10倍)．
(参考数据：lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
观察题中表格，根据函数的变化趋势即可求出．
本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题．
【解答】
解：从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中的变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，
故选：B．

2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查基本初等函数的增长差异，属基础题.根据基本初等函数的增长速度，结合选项求解即可．
【解答】
解：根据指数函数、对数函数、一次函数和幂函数图象可知，指数函数是增长最快的，
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．
能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异，属于基础题．
直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断．
【解答】
解：y=2021x是一次函数，y=x2021是幂函数，y=lg2021x是对数函数，y=2021x是指数函数，
因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的应用，属于基础题．
结合表中数据，逐个函数判断．
【解答】
解：对于A，函数y=2x是指数函数，增长速度很快，且在x=2时y=4，x=4时y=16，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数y=lg2 x，是对数函数，增长速度缓慢，且在x=2时y=1，x=4时y=2，基本符合要求；
对于C，函数y=12(x2−1)是二次函数，且当x=2时y=1.5，x=4时y=7.5，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数y=2.61x，当x=2时y=5.22，偏差较大，不符合要求，
故选：B．

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式的解法，属于基础题．
由条件求出m，列不等式(12)14t−7⩽12，即可求解．
【解答】
解：由题意知，(12)4m−7=64，解得：m=14．
所以y=(12)14t−7．
由(12)14t−7⩽12得：14t−7⩾1，解得t⩾32．
故这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气32分钟．
故选C．

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查常函数，一次函数、指数函数增长速度的差异，函数模型与函数图象的应用，属于一般题．
利用函数的图象，结合选项逐一进行判断即可．
【解答】
解：由图可知，投资3天以内(含3天)，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；
投资4天，方案一的回报约为40×4=160(元)，方案二的回报约为10+20+30+40=100(元)，结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正确；
投资6天，方案一的回报约为40×6=240(元)，
方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元)，
结合图象对应的高低，可知方案一的回报比方案二、方案三都高，所以 C正确；
投资12天，根据图象的变化可知，方案三的回报高很多，所以采用方案三，所以D不对．
故选D．

8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，注意2个底数都大于1的指数函数，底数较大的，增长速度更快，属于基础题．
直接根据幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论．注意2个底数都大于1的指数函数，底数较大的，增长速度更快．
【解答】
解：由于y=ex是指数函数，y=lnx是对数函数，y=x100是幂函数，y=2x是指数函数，
由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，且2个指数函数的底数分别为e 和2，且e>2，
故增长速度最快的是y=ex，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查不同函数的增长模型，属于中档题．
先由题意得到符合某大闸蟹生产销售合作社要求的函数模型应满足的三个条件，再逐项验证即可．
【解答】
解：由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：当675时，不满足条件②，所以选项A错误；
选项B：满足条件①，但当x=100时，有y=1.015100−1≈3.432>3，不符合条件②，所以选项B错误；
选项C：当61,(12)t−3⩾0.50,从而得到18⩽t⩽4，从而得到服用毒品后重度躁动状态持续时间．
23.【答案】解：(1)M=lg30−lg0.001=lg30000=lg3+4≈4.5，
因此，这次地震的震级为里氏4.5级．
(2)由M=lgA−lgA0可得M=lgAA0，即AA0=10M，A=A0⋅10M．
当M=8时，地震的最大振幅为A8=A0⋅108；
当M=5时，地震的最大振幅为A5=A0⋅105；
所以，两次地震的最大振幅之比是：A8A5=A0⋅108A0⋅105=108−5=1000，
答：汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的1000倍．
【解析】本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是中档题．
(1)把最大振幅和标准振幅直接代入公式M=lgA−lgA0求解；
(2)利用对数式和指数式的互化由M=lgA−lgA0得A=A0⋅10M，把M=8和M=5分别代入公式作比后即可得到答案．
24.【答案】解：(1)由题意得y=120n−960,n∈[0,16),n∈N960,n∈[16,+∞),n∈N．
(2)①由题意可得，当n=14时X=720，p=0.1，
当n=15时X=840，p=0.2，当n≥1，6时X=960，p=0.7
X的分布列为
E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912(元)；
D(X)=(720−912)2×0.1+(840−912)2×0.2+(960−912)2×0.7=6336
②当加工17个蛋糕时，X的分布列如下：
则E(X)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1020×0.54=916.8>912
从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个．
【解析】本题考查利润函数和随机变量的分布列以及期望与方差的计算．
(1)关键题意可得y=120n−960,n∈[0,16),n∈N960,n∈[16,+∞),n∈N；
(2)①给出烘焙店一天加工16个这种蛋糕的利润X的分布列，用公式计算结果；
②给出加工17个蛋糕时，X的分布列计算出期望，作出判断即可．
25.【答案】解：(Ⅰ)两个函数y=kax(k>0,a>1)，y=px12+q(p>0)，在(0,+∞)上都单调递增，
随着x的增加，函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快，
而函数y=px12+q(p>0)的值增加的越来越慢．
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)符合要求，
由题意可知，x=2时，y=24，x=3时，y=36，
所以ka2=24ka3=36 ，解得k=323a=32 ，
所以该函数模型的解析式是y=323⋅(32)x(x∈N*).
(Ⅱ) x=0时，y=323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m2，
由323⋅(32)x>10×323得(32)x>10，
所以，
因为1lg3−lg2≈10.4771−0.3010≈5.7，所以x≥6，
但6月份只有后半部分满足，
所以若要求整个月份凤眼莲覆盖面积都是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份应是7月份．
【解析】本题考查指数函数与幂函数的增长(衰减) 差异，利用指数函数模型解决实际问题
(Ⅰ )判断两个函数y=kax(k>0,a>1)，y=px12+q(p>0)在(0,+∞)的增长快慢，说明函数模型y=kax(k>0,a>1)符合要求. 然后列出方程组，求解即可．
(Ⅱ )利用x=0时，y=323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m2，根据题意列出不等式转化求解即可．
x
1
2
4
6
8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
1
4
16
36
64
…
y3
0
1
2
2.585
3
…
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6633
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
行星编号(x)
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
离太阳的距离(y)
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
投资年数x
总回报y
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一
6
8
10
14
16
20
方案二
3
163
253
493
643
1003
方案三
3
343
353
373
383
3103
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.52
7.00
8.49
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
投资年数x
/总回报y
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一
6
8
10
12
14
16
18
20
方案二
3
163
253
12
493
643
27
1003
方案三
3
343
353
9
373
383
27
3103
X
720
840
960
P
0.1
0.2
0.7
X
660
780
900
1020
P
0.1
0.2
0.16
0.54