高中数学湘教版(2019)必修 第一册4.5 函数模型及其应用达标测试
展开湘教版(2019)高中数学必修第一册
注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)
某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(t∈N*)(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示,且Q与t满足一次函数关系,
那么在这30天中第几天日交易额最大( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
声强是指声音在传播途径上每平方米面积上声能流密度,用I表示,人类能听到的声能流范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约为10−12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数作声强的声强级,记L,即L=lgII0,声强级L的单位名称为贝尔,符号为B,取贝尔的十倍作为响度的单位,称为分贝尔,简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB,一个士兵大喝一声的响度为100dB,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数约为( )
A. 100B. 1000C. 10000D. 100000
水是生命之源,保护水资源,能促进生物多样性发展。在生物多样性COP15大会召开之际,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”。计费方法如下:
若某户居民本月交纳的水费为54元,则此户居民本月用水量为 ( )
A. 20m3B. 18m3C. 15m3D. 14m3
为了给地球减负,提高资源利用率,2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)( )
A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年
某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )
A. 4小时B. 478小时C. 41516小时D. 5小时
Lgistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Lgistic模型:I(t)=K1+e−0.23(t−50),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(参考数据ln19≈3)( )
A. 60B. 62C. 66D. 63
统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现:我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如:大图形是小图形的3倍,眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍.观察某个国家地图,感觉全国面积约为某县面积的10倍,那么这国家的实际面积大约是该县面积的(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,lg 7≈0.8451)
A. 18倍B. 21倍C. 24倍D. 27倍
国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A. 2800元B. 3000元C. 3800元D. 3818元
某工厂生产的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e−kt(P0,k是正的常数).如果在前5 h消除了10%的污染物,那么污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h,参考数据lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A. 31 hB. 33 hC. 35 hD. 37 h
人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,强度为x的声音对应的等级为f(x)=10g(100x)(dB).听力会受到严重影响的声音约为90dB,室内正常交谈的声音约为60dB,则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为( )
A. 103B. 11000C. 3D. 32
为了节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方法如下:
若某户居民本月交纳的电费为380元,则此户居民本月用电量为 ( )
A. 475度B. 575度C. 595.25度D. 603.75度
某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快,经研究,该一定量的植物在一定环境中经过1个月,其覆盖面积为6平方米,经过3个月,其覆盖面积为13.5平方米,该植物覆盖面积y(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有三种函数模型y=pax(p>0,a>1)、y=mlgax(m>0,a>1)和y=nxα(n>0,0<α<1)可供选择,则下列说法正确的是( )
A. 应选y=pax(p>0,a>1)B. 应选y=mlgax(m>0,a>1)
C. 应选y=nxα(n>0,0<α<1)D. 三种函数模型都可以
第II卷(非选择题)
二、多空题(本大题共5小题,共25.0分)
某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究候鸟的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=alg2Q10(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在耗氧量为80个单位时,其飞行速度为18m/s,则a= ;若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s,其耗氧量至少要 个单位.
某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:时,y表示病毒个数),则k= ,经过5时,1个病毒能繁殖为 个.
在经济学中,对于函数f(x),我们把函数f(x+1)−f(x)称为函数f(x)的边际函数,记作Mf(x).某公司生产某种消防安全产品,年产量为x台(0≤x≤100,x∈N)时,销售收入函数R(x)=3 000x−20x2(单位:万元),其成本函数C(x)=500x+b(单位:万元).已知该公司不生产任何产品时,其成本为4 000(万元).
(1)常数b的值为 ;
(2)记该公司销售利润函数为P(x),则边际函数MP(x)的函数解析式为MP(x)= .
已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为 ;
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过 小时(精确到0.1).(参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数,x∈N*)的关系为y=−x2+18x−25,则当每台机器运转 (1) 年时,年平均利润最大,最大值是 (2) 万元。
三、解答题(本大题共8小题,共96.0分)
某市为了变废为宝,节约资源,开始实行垃圾分类,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:y=13x3−80x2+5040x,x∈[120,144)12x2−200x+80000x∈[144,500),且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:
y=13x3−80x2+5040x,x∈120,144,12x2−200x+80000,x∈144,500.且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元.
(1)当x∈200,300时,判断该项目能否获利?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点,某城市从有人发病到发现人传人时,已有发病人数a0=0.3(千人),从此时起,每周新增发病人数at(单位:千人)与时间t(单位:周)之间近似地满足,且当t=2时,a2=2(千人).为阻止病毒蔓延,该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施,再经过2周后隔离措施产生了效果,新增发病人数.
(1)求该城市第5,6,7周新增发病人数;
(2)该城市从发现人传人时,就不断加大科技投入,第t周治愈人数bt(单位:千人)与时间t(单位:周)存在关系bt=eλ0t−31≤t≤9,t∈N*,为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗,该城市前9周(不考虑死亡人数的前提下)至少需准备多少张床位?(注:出院人数不少于新增发病人数时,总床位不再增加)
某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游,若旅游团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若旅游团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.旅游团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出旅游团人数为45人时,飞机票的价格是多少;
(2)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(3)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润.
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(吨)有如下关系:P=120x2,0≤x≤83x+810,8
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
近年来,我国积极参与国际组织,承担国际责任,为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇,因此,面临职业选择时,越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.其中,某位大学生带领其团队自主创业,通过直播带货的方式售卖特色农产品,下面为三年来农产品销售量的统计表:
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况,该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标,经过创业团队所有队员的共同努力,2019年实际销售123万斤,超额完成预定目标.
(1)将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年,现有两个函数模型:二次函数模型为fx=ax2+bx+ca≠0;幂函数模型为gx=kx3+mx+nk≠0.请你通过计算分析确定:选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系;
(2)依照目前的形势分析,你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗?
某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x−1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的函数为R(x)=5x−12x2(0≤x≤5),其中x是产品生产并售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数.
(2)年产量为多少时,企业所得利润最大?
(3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)?
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象,分段函数,待定系数法,二次函数求最值,学生根据实际问题选择函数类型的能力,属于中档题.
由图象知函数为分段函数,根据待定系数法分别求出函数P在(0,20),(20,30)上的解析式,再根据表格求出一次函数Q的解析式,从而写出交易额函数的解析式,在各段上根据二次函数求最值即可.
【解答】
解:当时,设,
根据图象过点(0,2),(20,6),所以b=26=20a+b,
解得b=2,a=15,所以P=15t+2,
同理可得当20≤t≤30,,
综上可得,P=15t+2,0
解得,所以,
y=P·Q=(15t+2)(−t+40),0
当20≤t≤30时,y=110(t−80)(t−40)在20,30上单调递减,
所以t=20时,万元,
综上可得,第15日的交易额最大为125万元.
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查对数运算的应用,考查运算求解能力和应用意识,是中档题.
张飞大喝一声的声强为I=I0×1014=10−12×1014=100(W/m2),每一个士兵大喝一声的声强为I1=I0×1010,计算II1能求出张飞大喝一声的响度相当于10000土兵同时大喊一声的响度.
【解答】
解:由题意得140=10lgII0,
解得张飞大喝一声的声强为:
I=I0×1014=10−12×1014=100(W/m2),
每一个士兵大喝一声的声强为:
I1=I0×1010=10−12×1010=10−2(W/m2),
∵II1=10010−2=104,
∴如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,
那么这群土兵的人数为10000.
故选:C.
3.【答案】C
【解析】解:设用水量为xm3,水费为y元,
(1)当0≤x≤12时,y=3x,
令3x=54可得x=18(舍);
(2)当12
(3)当x>18时,y=12×3+6×6+9(x−18)=9x−90,
令9x−90=54可得x=16(舍).
故选:C.
求出水费y关于用水量x的函数,再根据函数值计算用水量.
本题考查了分段函数的解析式与函数值计算,考查分类讨论思想,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数不等式的求解、函数模型的应用等知识点,考查应用能力.
由题意,可列出经过n年之后投入的资金y=5000×1+20%n>12800,求解不等式即可得到答案.
【解答】
解:设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金为y=5000×1+20%n,
由题意可得:y=5000×1+20%n>12800,
即1.2n>2.56,
∴nlg1.2>lg2.56,
∴n>lg2.56lg1.2≈5.16,
,∴n≥6,
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,
故选C.
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及分段函数求解析式和指数不等式的求解,同时考查了计算能力,属于中档题.
根据图象先求出函数的解析式,然后解不等式f(t)≥0.25,可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻,他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间.
【解答】
解:由题意,当0≤t≤1时,函数图象是一条线段,
由于图象过原点与点M(1,4),
故其解析式为y=4t,0≤t≤1;
当t≥1时,函数的解析式为y=(12)t−a,
此时M(1,4)在曲线上,
将此点的坐标代入函数解析式得4=(12)1−a,
解得a=3,
故函数的解析式为y=(12)t−3,t≥1.
所以y=f(t)=4t(0≤t<1)(12)t−3(t≥1).
当0≤t<1时,令f(t)=4t≥0.25,解得116≤t<1,
当t≥1时,令f(t)=(12)t−3≥0.25,解得1≤t≤5,
∴服药一次治疗疾病有效的时间为5−116=41516个小时.
故选C.
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的实际应用,考查学生计算能力,属于中档题.
根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t*−50)=0.95K,解出t*即可.
【解答】
解:由已知可得K1+e−0.23(t*−50)=0.95K,解得e−0.23(t*−50)=119,
两边取对数有−0.23(t*−50)=−ln19,
解得t*≈63.
故选D.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的实际应用,属于基础题.
设实际面积为该县面积的k倍,则由题意,得k0.7 = 10,化为 lg k0.7 = lg 10,再利用对数运算求解.
【解答】
解:设实际面积为该县面积的k倍,
则由题意,得k0.7 = 10
化为lg k0.7 = lg 10,
所以0.7 lg k = 1
所以lg k =107≈1.4285≈0.4771×3
得 lg k≈3 lg 3 = lg 27,
∴ k≈27.
故选D
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的实际应用,考查计算能力,属于中档题.
先求出纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系,分别求出(x−800)×0.14=420和11.2%·x=420的x值,即可得到答案.
【解答】
解:由题意知,纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y=0,0
令(x−800)×0.14=420,解得x=3800,
令11.2%·x=420,得x=3750(舍去).
故这个人应得稿费(扣税前)3800元,
故选C.
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
先利用函数关系式,结合前5个小时消除了10%的污染物,求出k,当P=50%P0时,有50%P0=P0e15ln0.9t,即可得出结论.
【解答】解:由题意,前5个小时消除了10%的污染物,
∵P=P0e−kt,
∴(1−10%)P0=P0e−5k,
∴k=−15ln0.9;
即P=P0e15ln0.9t,
当P=50%P0时,有50%P0=P0e15ln0.9t,
∴t5ln0.9=ln0.5
∴t=−2lg3≈33,
即污染物减少50%需要花33h.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对数函数模型及其应用,属于中档题.
由已知分别把两种声音代入f(x)=10lg(100x),求出对应的声音强度,作比即可得结论.
【解答】
解:设听力会受到严重影响及室内正常交谈的声音强度分别为x1,x2,
∵听力会受到严重影响的声音约为90dB,
∴10lg(100x1)=90,得x1=107,
∵室内正常交谈的声音约为60dB,
∴10lg(100x2)=60,得x2=104,
∴x1x2=107104=103,
即听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为103.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分段函数的应用,属于基础题.
设该居民这个月用电为x度,该居民这个月交纳的电费为380元,由题意列出一元一次方程,再解此方程即可得出该居民这个月用电量.
【解答】
解:设该居民这个月用电为x度,
因为不超过230度的部分电费最多为230×0.5=115元,
超过230度但不超过400度的部分电费最多为400−230×0.6=102元,
则有x−400×0.8=380−115−102,
解得x=603.75(度).
故选D.
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查指数函数、对数函数与幂函数模型的应用,属于基础题.
根据题意可选择y=pax(p>0,a>1),于是pa1=6pa3=13.5,进而可求得结果.
【解答】
解:该植物生长蔓延的速度越来越快,而y=pax(p>0,a>1)的增长速度越来越快,y=mlgax(m>0,a>1)和y=nxα(n>0,0<α<1)的增长速度越来越慢,
故应选择y=pax(p>0,a>1).
由题意知pa1=6pa3=13.5,解得a=32p=4,
所以y=4(32)x.
故选A.
13.【答案】6
10240
【解析】
【分析】
由该种鸟类在耗氧量为80个单位时,其飞行速度为18m/s,代入公式即可求出a的值,再令v≥60即可求出Q的最小值.
本题主要考查了函数的实际应用,考查了对数的运算性质,是中档题.
【解答】
解:∵v=alg2Q10,当Q=80个单位时,v=18m/s,
∴18=alg28010,
解得:a=6,
∴v=6lg2Q10,
又∵v≥60m/s,
∴6lg2Q10≥60,
解得:Q≥10×210,即Q≥10240,
故答案为:6;10240.
14.【答案】2ln2
1024
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数模型的应用,解题的关键是根据已知求出函数解析式.
由题意可得,在函数y=ekt中,当t=1时,y=4,从而可求k,然后利用所求函数解析式可求当t=5时的函数值.
【解答】
解:∵某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,
∴在函数y=ekt中,当t=1时,y=4
∴4=ek,即k=ln4=2ln2,
当t=5时,ekt=e5×2ln2=eln210=210=1024.
故答案为2ln2;1024.
15.【答案】4 000
−40x+2 480(0≤x≤99,x∈N)
【解析】
【分析】
本题考查二次函数模型应用,属于中档题.
(1)由题意得C(0)=4 000,即可得常数b的值;
(2)求得C(x),即可得P(x),由题中定义知MP(x)=P(x+1)−P(x),即可得结果.
【解答】
解:(1)由题意得C(0)=4 000,所以b=4 000;
(2)因为b=4 000,
所以C(x)=500x+4 000,
故P(x)=R(x)−C(x)=3 000x−20x2−500x−4 000
=−20x2+2 500x−4 000(0≤x≤100,x∈N).
由题中定义知MP(x)=P(x+1)−P(x)
=−40x+2 480(0≤x≤99,x∈N).
故答案为4 000;−40x+2 480(0≤x≤99,x∈N).
16.【答案】y=2500×0.8x,x∈[0,+∞)
7.2
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数模型的应用问题,属于较难题.
(1)利用指数函数模型求得函数y与x的关系式;
(2)根据题意列不等式,利用指数函数的单调性求得再次注射该药物的时间不能超过的时间.
【解答】
解:(1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,
给某病人注射了该药物2500mg,经过x个小时后,
药物在病人血液中的量为y=2500×(1−20%)x=2500×0.8x(mg),
即y与x的关系式为y=2500×0.8x,x∈[0,+∞);
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险.
令2500×0.8x≥500,
∴0.8x≥0.2,
∵0.87.2≈0.2,y=0.8x是单调减函数,
∴x≤7.2,
所以要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
故答案为:(1)y=2500×0.8x,x∈[0,+∞);(2)7.2.
17.【答案】5
8
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数模型的应用,函数的最值,以及基本不等式,属于基础题,根据题目给的条件,列出年平均利润的表达式,然后求解最值即可.
【解答】
解:根据题意,年平均利润为yx=−x−25x+18,
因为x>0,所以x+25x≥2x·25x=10,
当且仅当x=5时,取等号,
所以当x=5时,年平均利润最大,最大值是−10+18=8万元,
故答案为5;8.
18.【答案】解:(1)当x∈[200,300]时,该项目获利为S,则
S=200x−12x2−200x+80000=−12x−4002,
∴当x∈[200,300]时,S<0,因此,该项目不会获利,
当x=300时,S取得最大值−5000,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损;
(2)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为:
yx=13x2−80x+5040,x∈[120,144)12x+80000x−200,x∈[144,500)
当x∈[120,144)时,yx=13x−1202+240
所以当x=120时,取得最小值240;
当x∈[144,500)时,yx=12x+80000x−200≥212x·80000x−200=200,
当且仅当12x=80000x,即x=400时,取得最小值200,
因为240>200,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
【解析】本题主要考查了分段函数模型的运用,二次函数最值的求法,基本不等式求最值,考查了分析和运用能力,属于中档题.
(1)根据题意,当当x∈[200,300]时,该项目获利S=200x−12x2−200x+80000=−12x−4002,易知当x∈[200,300]时,S<0,因此,该项目不会获利,且当x=300时,S取得最大值−5000,即得政府每月至少需要补贴金额;
(2)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为:yx=13x2−80x+5040,x∈[120,144)12x+80000x−200,x∈[144,500),分别求出每段函数的最小值再进行比较即可求解.
19.【答案】解:(1)当x∈[200,300)时,该项目获利为S,
则
∴当x∈[200,300)时,S<0,
因此,该项目不会获利
(2)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为:
yx=13x2−80x+5040x∈[120,144)12x−200+80000xx∈[144,500)
当x∈[120,144)时,yx=13x2−80x+5040=13x−1202+240
所以当x=120时,yx取得最小值240;
当x∈[144,500)时,yx=12x−200+80000x⩾2x2⋅80000x−200=400−200=200
当且仅当x2=80000x,即x=400时,yx取得最小值200
因为240>200,所以当每月处理量为400吨时,每吨的平均处理成本最低.
【解析】本题考查函数模型和基本不等式的实际应用,属于一般题.
(1)由当x∈[200,300)时,S<0,故项目不会获利;
(2)求出成本函数的解析式,然后分段求出最小值,对比即可.
20.【答案】解:(1)a2=eλ0=2,
当1≤t≤5时,at=eλ0t−1=2t−1;
当6≤t≤9时,at=eλ09−t=29−t.
∴a5=24=16,a6=23=8,a7=22=4.
故第5,6,7周新增发病人数分别为16千人,8千人,4千人.
(2)bt=eλ0t−3=2t−31≤t≤9,t∈N*.
记ct=at−bt−1,则
当2≤t≤5时,ct=at−bt−1=2t−1−2t−4>0,
当6≤t≤9时,ct=at−bt−1=29−t−2t−4,
所以c6>0,c7<0,c8<0,c9<0.
至少需准备的床位数为
a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6−b1+b2+⋅⋅⋅+b5
=0.3+(20+21+⋅⋅⋅+24)+8−(2−2+2−1+⋅⋅⋅+22)=31.55.
故该城市前9周至少需准备31.55千张床位.
【解析】本题主要考查函数模型的实际应用,指数型函数的性质,属于中档题.
(1)根据题意得a2=eλ0=2,进而根据当1≤t≤5和6≤t≤9的关系式计算该城市第5,6,7周新增发病人数;
(2)由bt=eλ0t−3=2t−31≤t≤9,t∈N*,设ct=at−bt−1得到当2≤t≤5和6≤t≤9时的关系式,进而计算该城市前9周至少需准备的床位数.
21.【答案】解:(1)根据优惠政策,当旅游团人数为45人时,飞机票的价格是900−150=750元.
(2)设旅行团人数为x,每张飞机票价格为y元,
当0
当0
当30
所以当旅行社人数为60时,旅行社可获得最大利润.
【解析】【解析】
本题考查函数模型的应用.
(1)根据优惠政策直接求解.
(2)根据自变量x的取值范围,分0
即可得到结论.
22.【答案】解:(1)由题意,知当0≤x≤8时,
y=0.6x+0.2(14−x)−120x2=−120x2+25x+145;
当8
所以y=−120x2+25x+145,0⩽x⩽8110x+2,8
所以当x=4时,ymax=185=3.6;
当8
因为3.6>3.4,
所以当x=4时,ymax=3.6.
故当精加工蔬菜4t时,总利润最大,最大利润为3.6万元.
【解析】本题主要考查函数模型的应用、函数的最值,属于中档题.
(1)根据定义域,可得y=−120x2+25x+145,0⩽x⩽8110x+2,8
23.【答案】解:(1)若选择二次函数模型:
依题意,将前三年数据分别代入fx=ax2+bx+ca≠0,
得f1=41,f2=55,f3=83,即a+b+c=41,4a+2b+c=55,9a+3b+c=83,
解得a=7,b=−7,c=41.
所以fx=7x2−7x+41,
将x=4代入fx,得f4=7×42−7×4+41=125,
所以,此与2019年实际销售量误差为125−123=2(万斤).
若选择幂函数模型:依题意,将前三年数据分别代入gx=kx3+mx+nk≠0,
得g1=41,g2=55,g3=83,即k+m+n=41,8k+2m+n=55,27k+3m+n=83,
解得k=76,m=356,n=34.
所以gx=76x3+356x+34.
将x=4代入gx,得g4=76×43+356×4+34=132,
所以,此与2019年销售量的实际误差为132−123=9(万斤).
显然2<9,
因此,选用二次函数fx=7x2−7x+41模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系.
(2)依据(1),选用二次函数模型fx=7x2−7x+41进行预测,
得f5=7×52−7×5+41=181(万斤).
即预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤.
【解析】本题主要考查函数模型的实际应用,二次函数模型,函数解析式的求解,幂函数模型,属于中档题.
(1)分别利用前三年的数据求出两个函数的解析式,然后求出两个函数在x=4处的函数值,然后作比较即可;
(2)利用二次函数的解析式求出答案即可.
24.【答案】解:(1)因为每件商品的售价为0.05万元,则x千件商品的销售额为(0.05×1000x)万元,
依题意得,当0
所以L(x)=−13x2+40x−250,0
当x≥80时,L(x)=1200−(x+10000x)⩽1200−2x⋅10000x=1200−200=1000,
当且仅当,即x=100时等号成立,
L(x)取得最大值1000万元.
由于950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【解析】【试题解析】
本题考查基本不等式的应用以及二次函数的性质,属于中档题.
(1)分两种情况进行研究,当0
则y=R(x)−0.5−0.25x(0≤x≤5)R(5)−0.5−0.25x(x>5),
即y=−12x2+194x−12(0≤x≤5)12−14x(x>5).
(2)当0≤x≤5时,y=−12x2+194x−12=−12(x−194)2+34532,
当x=194=4.75时,ymax=34532;
当x>5时,y<434.
所以当x=4.75,即年产量为475台时,企业所得利润最大.
(3)要使企业不亏本,则y≥0,
即0⩽x⩽5−12x2+194x−12⩾0或12−14x⩾0x>5,
解得19−3454⩽x⩽5或5
又19−3454≈0.11,
即年产量在11台到4800台之间时,企业不亏本.
【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用,考查分段函数,属于中档题.
(1)根据题意,分0≤x≤5和x>5两种情况,分别根据利润=销售收入−成本,列出函数关系,即可得到利润表示为年产量的函数;
(2)根据(1)所得的分段函数,分类讨论,分别求出两段函数的最值,然后进行比较,即可得到答案;
(3)工厂不亏本时,则利润大于等于0,从而根据利润的表达式,列出不等式,求解即可得到答案.
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度
年份
2016
2017
2018
销售量/万斤
41
55
83
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