湘教版（2019）5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质课后复习题

这是一份湘教版（2019）5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质课后复习题，共27页。试卷主要包含了0分），试问，【答案】B，【答案】D，【答案】A，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
函数的部分图象如图所示，则( )
A. y=2sin(x+π6)
B. y=2sin(2x-π6)
C. y=2sin(x+π3)
D. y=2sin(2x-π3)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，若g(π4)=2，则f(3π8)=( )
A. -2B. -2C. 2D. 2
下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线x=π3对称的是( )
A. y=2sin2x+π3B. y=2sin2x-π6
C. y=2sinx2+π3D. y=2sin2x-π3
设函数 的最小正周期为π，则下列说法正确的是( )
A. 函数fx的图象关于直线x=π3对称
B. 函数fx的图象关于点 π12 , 0 对称
C. 函数fx在 -5π12 , π12 上单调递减
D. 将函数fx的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是偶函数
已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)，A(13,0)为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f(x)的单调递增区间是( )
A. (2k-23,2k+43)，k∈ZB. (2kπ-23π,2kπ+43π)，k∈Z
C. (4k-23,4k+43)，k∈ZD. (4kπ-23π,4kπ+43π)，k∈Z
已知a=(2sin ωx2,cs ωx2)，b=(3cs ωx2,2cs ωx2)，函数f(x)=a⋅b在区间[0,4π3]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为( )
A. [85,52)B. (74,52]C. [53,74)D. (74,2]
已知函数f(x)=2sin(2x+π3)-2sin2(x+π6)+1，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，若x1、x2是g(x)=m在[0,π2]内的两根，则sin(x1+x2)的值为
( )
A. 255B. 55C. -55D. -255
将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到y=f(x)的图象．若函数f(x)在区间0,π4上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间-5π12,-π6上，则φ的取值范围是( )
A. π6,π4B. π6,π2C. π12,π4D. π12,π2
函数f(x)=sin (ωx+φ)(其中ω>0，0<φ⩽π2)的图象如图所示，为了得到y=sinx的图象，则需将y=f(x)的图象( )
A. 横坐标缩短到原来的12，再向右平移π4个单位
B. 横坐标缩短到原来的12，再向左平移π8个单位
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位
D. 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π8个单位
函数y=sinx+π6的一条对称轴方程是( )
A. x=π2B. x=π6C. x=π3D. x=-π6
将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )
A. 在区间[-π4,π4]上单调递增B. 在区间[-π4,0]上单调递减
C. 在区间[π4,π2]上单调递增D. 在区间[π2,π]上单调递减
已知曲线C1：y=csx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0，ω>0.如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是 ，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B(x,y)，动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 ．
已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为2，若线段AP是圆O的直径，则AP⋅AB= (1) ；若点P为圆O上的动点，则AP⋅AB的取值范围是 (2) ．
利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图像时，其五点的坐标分别为-π16,13，3π16,0，7π16,-13，11π16,0，15π16,13，则A= (1) ，周期T= (2) ．
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ| <π2在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为 ，方程fx-lgx=0的实根个数为 ．
已知函数f(x)=3cs2x+sinxcsx-32，则函数f(x)的单调递增区间是 ，若x∈0,π4，则函数f(x)的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
设f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω为正整数，φ<π2，当φ=0时，函数f(x)在[-π5,π5]单调递增且在[-π3,π3]不单调．
(1)求正整数ω的值；
(2)在①函数f(x)向右平移π12个单位得到奇函数；②函数f(x)在[0,π3]上的最小值为-12；③函数f(x)的一条对称轴为x=-π12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答．
已知函数f(x)满足______，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a已知函数fx=sinxcsπ2+x+3sinxcsx．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)若fx=a在区间0,π2上有两个不同的解x1，x2，求a的范围及x1+x2的值．
在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且2csinC=(2b-a)sinB+(2a-b)sinA．
(1)求角C；
(2)若c=23，求△ABC的周长l的取值范围．
设向量m=(cs(ωx+φ2),3cs(ωx+φ2+π))，n=(sin(ωx+φ2),cs(ωx+φ2))，其中ω>0，|φ|<π2.又函数f(x)=m·n的图象关于直线x=π3对称且两条相邻对称轴之间的距离为π2．
(Ⅰ)求ω和φ的值及f(x)的解析式；
(Ⅱ)若fα2=1-234且α∈(π6,2π3)，试求cs (α+3π2)的值．
已知函数f(x)=3sinx2csx2+cs2x2+12．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数y=f(x)的图象上的各点________；得到函数y=g(x)的图象，当x∈-π6,π4时，方程g(x)=a有解，求实数a的取值范围．
在①、②中选择一个，补在(2)中的横线上，并加以解答．
①向左平移3π2个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移π4个单位．
已知函数f(x)=sinx+csx，f'(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+(f(x))2的最大值和最小正周期；
(2)若f(θ)=2f'(θ)，求1+sin2θcs2θ-sinθcsθ的值．
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，如图所示．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在[0,m]上单调递增，当实数m取最大值时，求函数f(x)在[0,m]的值域．
设函数fx=sinx⋅sinπ2+x+3cs2x+2-32．
(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间；
(Ⅱ)在锐角ΔABC中，若fA=1，且能盖住ΔABC的最小圆的面积为4π，求ΔABC周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质，属于基础题．
根据图像可得周期T，进而求得ω，代入π3,2可得φ．
【解答】解：由题知A=2，，
T=2π3+π6=π，
∴ω=2，
即y=2sin(2x+φ)过点π3,2，
即2sin(2×π3+φ)=2，解得2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=-π6+2kπ,k∈Z，
当k=0时，y=2sin(2x-π6)．
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g(x)的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．
本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．
【解答】
解：∵f(x)是奇函数，|φ|<π，∴φ=0，
∵f(x)的最小正周期为π，
∴2πω=π，得ω=2，
则f(x)=Asin2x，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
则g(x)=Asinx，
若g(π4)=2，则g(π4)=Asinπ4=22A=2，即A=2，
则f(x)=2sin2x，则f(3π8)=2sin(2×3π8)=2sin3π4=2×22=2，
故选：C．

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的周期与对称性，直接由三角函数的性质求出最小正周期，以及当x=π3时，y可取得最值即可得到答案．
【解答】
解：由题意知，，当x=π3时，y可取得最值．
对于A，将x=π3代入y=2sin2x+π3，可得y=0≠±2，故排除A；
对于B，将x=π3代入y=2sin2x-π6，可得y=2，故B正确；
对于C，y=2sinx2+π3的周期为4π，故排除C；
对于D，将x=π3代入y=2sin2x-π3，可得y=3≠±2，故排除D．
故选B．

4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．
先根据函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0) 的最小正周期为π，求出ω=2，再根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：∵函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0) 的最小正周期为π，
∴2πω=π，解得ω=2，则f(x)=12sin(2x+π3)，
对于A.当x=π3时，f(π3)=12sin(2×π3+π3)=0，∴函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故A不正确；
对于B.当x=π12时，f(π12)=12sin(2×π12+π3)=12，∴函数f(x)的图象关于直线x=π12对称，故 B不正确；
对于C．f(x)=12sin(2x+π3)的单调递减区间满足：2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z，
解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z，k=-1时不符合，故C不正确；
对于D.将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到新函数为g(x)=f(x-5π12)=12sin(2x-π2)=-12cs2x，
是偶函数，故D正确．
故选D．

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．
由题意可得(23)2+(T2)2=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．
【解答】
解：函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)，
A(13,0)为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，
∴(23)2+(T2)2=42，即12+π2ω2=16，求得ω=π2．
再根据π2⋅13+φ=kπ，k∈Z，-π2<φ<π2，可得φ=-π6，
∴f(x)=3sin(π2x-π6).
令2kπ-π2≤π2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z，
求得4k-23≤x≤4k+43，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为(4k-23,4k+43)，k∈Z，
故选：C．

6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数图象及其性质运用，运用导数研究函数的极值，涉及三角函数两角和差公式，二倍角公式，向量数量积运算等基础知识的运用，考查了分析和运用能力，属于拔高题．
先结合向量数量积运算以及三角恒等变换公式得到，再根据函数f(x)=a⋅b在区间[0,4π3]上恰有3个极值点，可得在[0,4π3]上有三个变号零点，结合三角函数图象建立不等式组求解即可．
【解答】
解：由题意，f(x)=a⋅b=(2sin ωx2,cs ωx2)·(3cs ωx2,2cs ωx2)=23sinωx2csωx2+2cs2ωx2
，
因为函数f(x)在区间[0,4π3]上恰有3个极值点，
所以在[0,4π3]上有三个变号零点，
又因为ω>0，
所以结合f'x图象可得，只需使，解得：74<ω≤52，
故选B．

7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的平移变换及函数零点问题，属于较难题目．
由函数图像的变换法则可得到g(x)的表达式，求出g(x)的对称轴，即可得x1+x2=π2-φ，即可求解．
【解答】
解：f(x)=2sin(2x+π3)+cs(2x+π3)=5sin(2x+π3+φ)，
(sinφ=55,csφ=255)
所以g(x)=5sin[2(x-π6)+π3+φ]=5sin(2x+φ)，
由2x+φ=π2+kπ,k∈Z，可得x=π4+kπ2-φ2，取k=0，
可得g(x)在[0,π2]内的对称轴方程为x=π4-φ2，
因为x1、x2是g(x)-m=0在[0,π2]内的两根，
所以x1+x2=π2-φ，
所以sin(x1+x2)=csφ=255．
故选A．

8.【答案】C
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到y=f(x)=sin(2x-2φ)的图象．
若函数f(x)在区间[0,π4]上单调递增，则-π2≤-2φ，且π2-2φ≤π2，求得0<φ≤π4 ①．
令2x-2φ=kπ，求得x=kπ2+φ，k∈Z，故函数的零点为x=kπ2+φ，k∈Z．
∵f(x)的最大负零点在区间(-5π12,-π6)上，∴-5π12由①②令k=-1，可得π12<φ≤π4，
故选：C．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的性质求得φ的取值范围．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
由函数f(x)=sin (ωx+φ)(其中ω>0，0<φ⩽π2)的图象可得ω=2，φ=π4，可得函数f(x)=sin(2x+π4)，再由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)在一个周期内的图象，
可得，解得ω=2．
再把点(7π8,0)代入函数的解析式可得0=sin(2×7π8+φ)，
即sin(7π4+φ)=0．
再由0<φ⩽π2，可得φ=π4，
故函数f(x)=sin(2x+π4).
把函数y=sin(2x+π4)的图象先把横坐标伸长到原来的2倍，
可得的图象，再向右平移个单位可得y=sinx，
故选C．

10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
由正弦函数的对称轴得到结果．
【解答】
解：∵依题意得：x+π6=kπ+π2,k∈Z，
∴x=kπ+π3,k∈Z．
令k=0，则x=π3，
即x=π3是函数y=sinx+π6的一条对称轴方程．
故选C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象变换及其性质，是基础题．
由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin(ωx+φ)型函数的单调性得答案．
【解答】
解：将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin2x．
当x∈[-π4,π4]时，2x∈[-π2,π2]，函数单调递增，A正确；
当x∈[-π4,0]时，2x∈[-π2,0]，函数单调递增，B错误；
当x∈[π4,π2]时，2x∈[π2,π]，函数单调递减，C错误；
当x∈[π2,π]时，2x∈[π,2π]，函数先减后增，D错误．
故选：A．

12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用．
利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，
得到函数y=cs2x图象，
再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，
得到函数y=cs2(x+π12)=cs(2x+π6)
=sin(2x+2π3)的图象，即曲线C2，
故选D．
13.【答案】A(rcsα,rsinα)
y=rsin(ωt+α)
【解析】
【分析】
由任意角三角函数的定义，A(rcsα,rsinα)，根据题意∠BOx=ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．
本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．
【解答】
解：由任意角三角函数的定义，A(rcsα,rsinα)，
若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B(x,y)，
则∠BOx=ωt+α，
点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=rsin(ωt+α)．
故答案为：A(rcsα,rsinα)；y=rsin(ωt+α)．

14.【答案】2
[1-2,2+1]
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，体现了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
由题意画出图形并求出∠BAP=45°，代入数量积公式求得AP⋅AB；求出A、B的坐标，设出P的坐标，可得AP、AB的坐标，把AP⋅AB转化为三角函数求最值．
【解答】
解：如图，
若线段AP是圆O的直径，由题意可得，∠BAP=45°，
∴AP⋅AB=|AB||AP|cs45°=2×2×22=2；
若点P为圆O上的动点，由题意得A(1,0)，B(0,1)，设P(csθ,sinθ)，
则AB=(-1,1)，AP=(csθ-1,sinθ)，
∴AP⋅AB=-csθ+1+sinθ=sinθ-csθ+1=2sin(θ-π4)+1．
∴AP⋅AB的取值范围是[1-2,2+1].
故答案为：2；[1-2,2+1].
15.【答案】13
π
【解析】
【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图像性质，难度一般．
【解答】
解：根据五点法很容易知道，A=13，T=21116π-316π=π．
故答案为13；π．
16.【答案】f(x)=2sin (2x+π6)
63
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，对数函数的性质，函数的零点与方程根的关系，为难题．
由已知图象的最高点得到A=2，由f(0)=1求出φ的值，11π12,0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点，从而求得ω的值即可求得函数的解析式.在同一坐标系内作出函数fx=2sin2x+π6和函数的图象，结合图象和函数的周期性即可求解．
【解答】
解：显然A=2，由图象过点0,1，得f0=1， 即sinφ=12，
又|φ|<π2，所以φ=π6，
又点11π12,0在图象上，所以f11π12=0，即sin11π12ω+π6=0，
由图象可知，11π12,0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点，
所以11π12ω+π6=2π，解得ω=2．
所以函数的解析式为fx=2sin2x+π6．
在同一坐标系内作出函数fx=2sin2x+π6和函数的图象，如图．
因为fx的最大值为2，令得x=100．
令17π12+kπ<100，得k≤30，而11π12+31π>100，
所以在0,100内有31个形如11π12+kπ,17π12+kπ,0≤k≤30,k∈Z的区间．
而在每一个区间上，函数fx=2sin2x+π6和函数y=lgx的图象都有2个交点，
故这两个图象在11π12,100内有62个交点，另外在0,11π12内还有1个交点．
所以方程fx-lgx=0共有63个实根．
故答案为f(x)=2sin (2x+π6)；63．

17.【答案】-5π12+kπ,π12+kπ，k∈Z
12,1
【解析】
【分析】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于一般题．
由条件利用三角恒等变换求出函数解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间；
由x∈0,π4 ，利用正弦函数定义域和值域，求得f(x)的取值范围．
【解答】
解：f(x)=31+cs2x2+12sin2x-32=
32cs2x+12sin2x=sin2x+π3，由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得-5π12+kπ
≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ,π12+kπk∈Z.因为x∈0,π4，所以2x+π3∈π3,5π6，所以当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)max=1，当2x+π3=5π6，即x=π4时，f(x)max=12，所以12≤f(x)≤1．
故范围是12,1

18.【答案】解：(1)因为函数f(x)在[-π5,π5]上单调递增且在[-π3,π3]上不单调，
所以π5≤14⋅2πω<π3，
即32<ω≤52，
又ω为正整数，
所以ω=2．
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+φ)，
若选①.则函数y=sin(2(x-π12)+φ)=sin(2x-π6+φ)是奇函数，
所以sin(φ-π6)=0，
因φ<π2，所以-2π3<φ-π6<π3，
所以φ-π6=0，
即φ=π6，f(x)=sin(2x+π6)，
在锐角ΔABC中，π6<2A+π6<7π6，π6<2B+π6<7π6，
又a所以2A+π6+2B+π6=π，
所以A+B=π3，C=2π3，
故锐角ΔABC不存在．
若选②.由x∈[0,π3]，即φ≤2x+φ≤2π3+φ，
又φ<π2，所以2π3+φ<7π6，
从而sinφ=-12，
所以φ=-π6，f(x)=sin(2x-π6)，
在锐角ΔABC中，-π6<2A-π6<5π6，-π6<2B-π6<5π6，
又a所以2A-π6+2B-π6=π，
所以A+B=2π3，即C=π3．
若选③.函数f(x)的一条对称轴为x=-π12，
所以sin(φ-π6)=±1，
由φ<π2，得-2π3<φ-π6<π3，
所以φ-π6=-π2，
即φ=-π3，f(x)=sin(2x-π3)，
在锐角ΔABC中，-π3<2A-π3<2π3，-π3<2B-π6<2π3，
又a所以2A-π3+2B-π3=π，
所以A+B=5π6，即C=π6.
【解析】本题主要考查了函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
(1)因为函数f(x)在[-π5,π5]上单调递增且在[-π3,π3]上不单调，所以π5≤14⋅2πω<π3，即可求解．
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+φ)，分情况讨论①，②，③，分别进行求解即可．
19.【答案】解：(1)函数fx=sinxcsπ2+x+3sinxcsx
=-sin2x+32sin2x=-1-cs2x2+32sin2x=sin2x+π6-12．
由，解得，
所以函数fx的单调递增区间为：．
(2)由于0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，
所以在12≤sin2x+π6<1时，fx=a在区间0,π2上有两个不同的解x1，x2，故a的范围为0,12．
又令，解得，
所以函数fx的图象在区间0,π2上关于x=π6对称，故x1+x2=2×π6=π3，
所以x1+x2=π3．
【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．
(1)先化简f(x)，再解不等式得到函数fx的单调递增区间；
(2)先结合三角函数的图象与性质，求出在12≤sin2x+π6<1时，fx=a在区间0,π2上有两个不同的解x1，x2，进而求出a的范围，然后求出函数f(x)的对称轴方程，再结合区间所在范围，求得x1+x2的值．
20.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a，
即c2=b2+a2-ab，
则cs C=b2+a2-c22ab=12，
因为0所以C=π3．
(2)因为c=23，C=π3，
所以由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=4，
则a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π3-A)，
△ABC的周长
=4sinA+4sin (2π3-A)+23
=43sin (A+π6)+23，
在锐角三角形ABC中，
0得π6所以π3所以32所以6+23<43sin(A+π6)+23≤63，
所以△ABC的周长l∈6+23,63．
【解析】【试题解析】
本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理的应用及正弦型三角函数的性质 ，属于中档题．
(1)由条件，利用正弦定理，得到c2=b2+a2-ab，结合余弦定理，得到C=π3；
(2)利用正弦定理，得到a=4sin A,b=4sin B=4sin (2π3-A)，表示出三角形的周长，利用角的范围，根据正弦型三角函数的性质得到结果．
21.【答案】解：(Ⅰ)根据f(x)=m⋅n=cs(ωx+φ2)⋅sin(ωx+φ2) -3cs2(ωx+φ2)
=12sin(2ωx+φ)-32[1+cs(2ωx+φ)]
=sin(2ωx+φ-π3)-32，
因为函数f(x)的图象关于直线x=π3对称且两条相邻对称轴之间的距离为π2，
所以 2ω⋅π3+φ-π3=kπ+π2T2=12⋅2π2ω=π2-π2<φ<π2,
解得：
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：
即
又α∈(π6,2π3)，0<α-π6<π2，
所以．
所以cs(α+3π2)=sin[(α-π6)+π6]
=32sin(α-π6)+12cs(α-π6)
=32×14+12×154=3+158．
【解析】本题考查三角形函数的图象与性质以及三角恒等变换，平面向量的向量积的坐标运算，属于中档题．
(Ⅰ)根据数量积公式以及三角恒等变换得到f(x)=sin(2ωx+φ-π3)-32，再根据已知条件，得到ω和φ的方程，解得ω和φ的值，进而得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)由已知条件以及(Ⅰ)中结论，求出再通过两角和差公式计算，即可得到答案．
22.【答案】解：(1)f(x)=32sinx+12(1+csx)+12=sin(x+π6)+1．
最小正周期为2π;
(2)选①：g(x)=sin(2x+3π2+π6)+1=1-cs(2x+π6).
由x∈[-π6,π4]得2x+π6∈[-π6,2π3]，cs(2x+π6)∈[-12,1]，
故g(x)∈[0,32].
因为当x∈[-π6,π4]时，方程g(x)=a有解，所以a∈[0,32].
选②：g(x)=sin[2(x-π4)+π6]+1=1+sin(2x-π3).
由x∈[-π6,π4]得2x-π3∈[-2π3,π6]，sin(2x-π3)∈[-1,12]，
故g(x)∈[0,32].
因为当x∈[-π6,π4]时，g(x)=a有解，所以a∈[0,32].
【解析】本题考查三角函数的图象变换和性质，函数与方程的综合应用，属于中档题．
(1)由条件可得f(x)=sin(x+π6)+1，即可得到结果；
(2)选①得g(x)=1-cs(2x+π6).求出x∈[-π6,π4]时g(x)的值域，即可得解；
选②得g(x)=1+sin(2x-π3).求出x∈[-π6,π4]时g(x)的值域，即可得解．
23.【答案】解：(1)已知函数f(x)=sinx+csx，
则f'(x)=csx-sinx，
代入F(x)=f(x)f'(x)+(f(x))2，
可得F(x)=cs2x+sin2x+1=2sin(2x+π4)+1，
当2x+π4=2kπ+π2(k∈Z)，
即x=kπ+π8(k∈Z)时，F(x)max=2+1，
则F(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)由f(θ)=2f'(θ)，
得sinθ+csθ=2csθ-2sinθ，
易知csθ≠0，解得tanθ=13．
故1+sin2θcs2θ-sinθcsθ=2sin2θ+cs2θcs2θ-sinθcsθ
=2tan2θ+11-tanθ=116．
【解析】本题考查了导数的运算，同角三角函数的基本关系，三角函数的化简求值和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．
(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+(f(x))2的最大值和最小正周期，必须先求f(x)的导数，再进行化简F(x)，再决定如何求最值和周期．
(2)根据f(θ)=2f'(θ)，易得sinθ+csθ=2csθ-2sinθ，得到tanθ=13，再求1+sin2θcs2θ-sinθcsθ的值，可以采用“齐次化切法”．
24.【答案】解：(Ⅰ)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=3，12·2πω=5π6-π3=π2，所以ω=2．
再根据五点法作图可得2·π3+φ=π，
所以φ=π3，f(x)=3sin(2x+π3).
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，
可得y=3sin[2(x-π3)+π3]=3sin(2x-π3)的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，
得到函数g(x)=3sin(4x-π3)的图象，
因为函数g(x)在[0,m]上单调递增，
所以4m-π3≤π2，m≤5π24，m的最大值为5π24，
由x∈[0,5π24]，可得2x+π3∈[π3,3π4]，
所以sin(2x+π3)∈[22,1]，
所以3sin(2x+π3)∈[62,3]，
所以函数f(x)在[0,5π24]上的值域为[62,3].
【解析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，考查了正弦函数的单调性和值域．
(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；
(Ⅱ)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，由g(x)在[0,m]上单调递增，可得m的取值范围，即可求得m的最大值，利用正弦函数的图象与性质可求得函数f(x)在[0,m]的值域．
25.【答案】解：(Ⅰ)因为fx=sinxcsx+3cs2x+2-32
=12sin2x+3×1+cs2x2-32+1=12sin2x+32cs2x+1
=sin2x+π3+1，
由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12k∈Z．
(Ⅱ)因为fA=1，所以sin2A+π3=0．
又因为ΔABC为锐角三角形，所以0所以2A+π3=π，故有A=π3．
已知能盖住ΔABC的最小圆为ΔABC的外接圆，而其面积为4π．
所以πR外2=4π，解得，
ΔABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由正弦定理．
所以a=4sinπ3=23，b=4sinB，c=4sinC，
b+c=4sin B+4sin C
=4sin B+4sin (2π3-B)
=6sinB+23csB=43sin (B+π6)，
由ΔABC为锐角三角形，所以π6所以π3故6故此ΔABC的周长的取值范围为(6+23,63]．
【解析】本题考查了三角函数的性质，三角恒等变换以及正弦定理的运用，属于中档题．
(1)化简f(x)，利用正弦型函数的单调区间求出f(x)的单调递增区间即可；
(2)能盖住△ABC的最小圆为△ABC的外接圆，利用正弦定理把边化为角求周长的取值范围．