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2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．（3分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．（3分）下列选项中，与xy2是同类项的是（ ）
A．x2y2 B．2x2y C．xy D．﹣2xy2
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（3分）已知一组数据x，y，z的平均数为3，方差为4，那么数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A．15π B．24π C．20π D．10π
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
9．（3分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
10．（3分）已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）
11．（2分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
12．（2分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133000000剂次，将133000000用科学记数法表示为 ．
13．（2分）在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为 ．
14．（2分）某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式 ．
15．（2分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
16．（2分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG：GD：DF＝2：1：5，则＝ ．
17．（2分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ．
18．（2分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线y＝（k1＞0）上，顶点B，D在双曲线y＝（k2＜0）上，且BD经过点O．若k1+k2＝8，则菱形ABCD面积的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（8分）（1）计算：（﹣π）0+（）﹣2﹣2cos60°；
（2）化简：x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．
22．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
23．（8分）现有四位“抗疫”英雄（依次标记为A、B、C、D）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 ；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
24．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．
25．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG＝．
26．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
27．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP＝BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
28．（10分）在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE．
（1）如图1，求证：△BCF∽△FDE；
（2）如图2，矩形ABCD的一边BC落在平面直角坐标系的x轴上，CD⊥x轴，且点C坐标为（n，0）（n＜0），
①若点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出n的值；
②如图3，若二次函数的图象经过A、F两点，其顶点为M（m﹣5，h），连接AM、OA，若∠OAM＝90°，求此二次函数的表达式．
2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．（3分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．
【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【分析】二次根式的被开方数大于等于零．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
3．（3分）下列选项中，与xy2是同类项的是（ ）
A．x2y2 B．2x2y C．xy D．﹣2xy2
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，直接判断即可．
【解答】解：与xy2是同类项的是﹣2xy2，故选D．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．
故选：D．
5．（3分）P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，根据勾股定理求出AP，根据垂径定理求出BP＝AP＝4，再求出答案即可．
【解答】解：
如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP＝＝＝4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
6．（3分）已知一组数据x，y，z的平均数为3，方差为4，那么数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
【分析】根据平均数的变化规律当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x，y，z的平均数为3，
∴数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数是3﹣2＝1；
∵数据x，y，z的方差为4，
∴数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的方差不变，也是4；
故选：B．
7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A．15π B．24π C．20π D．10π
【分析】根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，先计算出圆锥的底面圆的面积＝9π，圆锥的底面圆的周长为6π，根据扇形的面积公式得到×5×π×6＝15π，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积．
【解答】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，
所以圆锥的底面圆的面积＝π×（）2＝9π，
圆锥的侧面积＝×5×π×6＝15π，
所以圆锥的全面积＝9π+15π＝24π．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
【分析】连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，由切线的性质证明FE⊥AD，设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，OE＝x﹣R，由勾股定理得出（x﹣R）2+（）2＝R2，解得R＝x．比较C1与C2的大小则可得出答案．
【解答】解：连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，
∵CB与⊙O相切，
∴OF⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，
∴FE⊥AD，
∴四边形EFCD为矩形，AE＝DE，
∴EF＝CD，
设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，
∴OE＝x﹣R，
在Rt△ODE中，OE2+ED2＝OD2，
即（x﹣R）2+（）2＝R2，
解得R＝x．
∴正方形ABCD的周长C1＝4x，⊙O的周长C2＝2πR＝2π•x＝x，
∵4＞，
∴C1＞C2，
故选：A．
9．（3分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
【分析】延长CD交AB于F．如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF平分AB，CD＝2DF，则CF＝AB＝CA，所以CD＝CA，再利用旋转的性质可判断△CDE为等腰直角三角形，于是可判定△CDE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质计算△CDE的周长．
【解答】解：延长CD交AB于F．如图，
∵点D是等腰直角△ABC的重心，
∴CF平分AB，CD＝2DF，
∴CF＝AB＝•CA＝CA，
∴CD＝CF＝CA，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE的周长：△CAB的周长＝CD：CA＝，
∴△CDE的周长＝×6＝2．
故选：A．
10．（3分）已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
【分析】先证得点M（m，y3）是该抛物线的顶点，根据点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，y3≥y2＞y1，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线x＝m，则m＞，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵2am+b＝0，
∴m＝﹣，
∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，
∴m＞，
解得m＞1，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）
11．（2分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
12．（2分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133000000剂次，将133000000用科学记数法表示为 1.33×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：133000000＝1.33×108．
故答案为：1.33×108．
13．（2分）在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为 3 ．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中，是轴对称图形的有线段、正三角形、矩形、圆，是中心对称图形的有线段、平行四边形、矩形、圆，故既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、矩形、圆，共3个．
故答案为：3．
14．（2分）某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式 y＝x ．
【分析】答案不唯一，它可以是正比例函数和反比例函数，利用一个点可以求解析式，也可以是一次函数，确定一个字母系数，可得一个符合条件的解析式，要是二次函数必须开口向下，不经过第二象限，确定两个字母系数，可得答案．
【解答】解：答案不唯一，
如果是正比例函数：设函数表达式为：y＝kx，
把（2，1）代入得：1＝2k，
∴k＝，
∴函数表达式为：y＝x；
如果是一次函数可以是：y＝x﹣1；
如果是反比例函数可以是：y＝；
故答案为：y＝x（答案不唯一）．
15．（2分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
16．（2分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG：GD：DF＝2：1：5，则＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AG：GD：DF＝2：1：5，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．（2分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
18．（2分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线y＝（k1＞0）上，顶点B，D在双曲线y＝（k2＜0）上，且BD经过点O．若k1+k2＝8，则菱形ABCD面积的最小值是 16 ．
【分析】先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC＝OB，进而得出OM＝BN，CM＝ON，设点B的坐标为（m，），求出C（﹣，m），进而得出k1＝﹣3k2，进而求出k1＝12，k2＝﹣4，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD＝2（m﹣）2+16，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC，
∴∠OMC＝∠BNO＝90°，
∴∠COM+∠OCM＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COM+∠BON＝90°，
∴∠OCM＝∠OBN，
∴△COM∽△OBN，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵OC⊥BD，
∴OC＝OB，
∴，
∴OM＝BN，CM＝ON，
设点B的坐标为（m，），
∴BN＝m，ON＝﹣，
∴OM＝m，CM＝×（﹣）＝﹣，
∴C（﹣，m），
∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴﹣×m＝k1，
∴k1＝﹣3k2
，∵k1+k2＝8，
∴k1＝12，k2＝﹣4，
∴C（，m），B（m，﹣），
∴OC＝，OB＝，
∴S菱形ABCD＝2×BD•OC＝2OB•OC
＝2×
＝2（m2+）
＝2（m﹣）2+16，
∴当m＝时，S菱形ABCD最小＝16，
故答案为：16．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（8分）（1）计算：（﹣π）0+（）﹣2﹣2cos60°；
（2）化简：x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算法则解决此题．
（2）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题．
【解答】解：（1）
＝1+
＝1+4﹣1
＝4．
（2）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+3xy﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+3xy﹣4x2+y2
＝3xy+y2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）将方程的左边因式分解后即可求得方程的解；
（2）分别求解两个不等式，然后取其公共部分即可求得不等式组的解集．
【解答】解：（1）因式分解得：（x+1）（x﹣3）＝0，即x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）解不等式组：由①得：x≥﹣1，
由②得：x≤3，
则﹣1≤x≤3．
21．（8分）已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．
【分析】由已知AB∥ED，AF＝DC可以得出∠A＝∠D，AC＝DF，又因为AB＝DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A＝∠D，
又∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
∴EF＝BC
22．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400人，
故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）＝240，
补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×＝100人．
23．（8分）现有四位“抗疫”英雄（依次标记为A、B、C、D）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 ；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小明和小兰两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号，
∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，
则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为＝．
24．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．
【分析】（1）连接OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连接BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
理由如下：
连接OP，
∵∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝120°，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PAO＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，
∵AB＝2，AC＝AB•sin45°＝，
∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴
∴＝2．
25．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG＝．
【分析】（1）如图1中，取格点M，N，连接MN交AC于点E，点E即为所求．
（2）如图2中，取格点T，连接AT交BC于点F，连接DF，点F即为所求．
（3）如图3中，取格点R，连接AR，得到AR的中点J，连接CJ交AB于点G，点G即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求．
（2）如图2中，点F即为所求．
（3）如图3中，点G即为所求．
26．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15﹣（13.5+0.5m）＜13.5+0.5m﹣14，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
27．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP＝BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
【分析】（1）由题意可得：∠ACP＝∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP＝CQ；
（2）作CH⊥PQ于H，由题意可求PQ＝2，可得CH＝，根据勾股定理可求AH＝，即可求AP的长；
（3）作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O，由题意可证△CNP≌△CMQ，可得CN＝CM，QM＝PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45°，则可求得EP、EQ、EC之间的数量关系．
【解答】证明：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ且AC＝BC，CP＝CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA＝BQ
（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H
∵A、P、Q共线，PC＝2，
∴PQ＝2，
∵PC＝CQ，CH⊥PQ
∴CH＝PH＝
在Rt△ACH中，AH＝＝
∴PA＝AH﹣PH＝﹣
（3）解：结论：EP+EQ＝EC
理由：如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO＝∠OBE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠OEB＝∠ACO＝90°，
∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°，
∴∠MCN＝∠PCQ＝90°，
∴∠PCN＝∠QCM，
∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN＝CM，QM＝PN，
∴CE＝CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45°
∴EP+EQ＝EN+PN+EM﹣MQ＝2EN，EC＝EN，
∴EP+EQ＝EC
28．（10分）在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE．
（1）如图1，求证：△BCF∽△FDE；
（2）如图2，矩形ABCD的一边BC落在平面直角坐标系的x轴上，CD⊥x轴，且点C坐标为（n，0）（n＜0），
①若点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出n的值；
②如图3，若二次函数的图象经过A、F两点，其顶点为M（m﹣5，h），连接AM、OA，若∠OAM＝90°，求此二次函数的表达式．
【分析】（1）结合翻折的性质，利用两个角相等即可证相得似．
（2）分情况讨论：①当OB、BF为菱形边时，则OB＝BF，当BF、OF为菱形边时，则BF＝DF，当OF＝OB为菱形边时，则OB＝OF，由菱形的性质可得C坐标；
②设C（m，0），则B（m﹣9，0），F（m，12），A（m﹣9，15），把A、F代入抛物线中，得抛物线解析式：y＝﹣（x﹣m+5）2+，可求得m的坐标；
连接MO过M向AD作垂线交AD于N，交x轴于G，过M向y轴作垂线，交y轴于H，在Rt△MOH中，由勾股定理求MO，可得HO＝MG，在Rt△MNA中，由勾股定理得AM，在Rt△ABO中，由勾股定理得OA，在Rt△AMO中，再根据勾股定理OA2+AM2＝OM2，即可求出m的值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△EFB是由△EAB翻折得到的，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFC+∠DFE＝90°，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，
∴∠BFC+∠FBC＝90°，
∴∠DFE＝∠FBC，
∴△BCF∽△FDE；
（2）解：有三种情况，
①当OB、BF为菱形边时，
则OB＝BF，
∵C点坐标为（m，0），
∴OC＝﹣m，
∴OB＝9﹣m，
由（1）知，BF＝15，
即15＝9﹣m，
∴m＝﹣6，
∴C坐标为（﹣6，0）；
当BF、OF为菱形边时，
则BF＝OF，
∵C点坐标为（m，0），
∴OC＝﹣m，
又∵CF＝12，
∴OF＝，
又∵BF＝15，
∴15＝，
∴m＝﹣9或m＝9，
∵m＜0，
∴m＝9舍去，
∴C坐标为（﹣9，0）；
当OF、OB为菱形边时，
则OB＝OF，
则OB＝9﹣m，
OF＝，
∴9﹣m＝，
∴m＝﹣3.5，
∴C点坐标为（﹣3.5，0）；
②∵C坐标（m，0），
则B（m﹣9，0），F（m，12），A（m﹣9，15），
∵A、F两点在抛物线y＝a（x﹣m+5）2+h上，
代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m+5）2+，
∴抛物线顶点M坐标为（m﹣5，），
连接MO过M向AD作垂线交AD于N，交x轴于G，
过M向y轴作垂线，交y轴于H，
∴MH＝|m﹣5|＝5﹣m，
∴HO＝，
∴MO＝＝，
∵MG＝HO＝，NG＝DC＝15，
∴MN＝MG﹣NG＝，
∵AN＝BG＝BO﹣OG＝BO﹣MH＝9﹣m﹣（5﹣m）＝4，
∴AM＝＝，
OA＝＝，
又∵∠OAM＝90°，
∴OA2+AM2＝OM2，
即（9﹣m）2+152+（）2＝（5﹣m）2+（）2，
解得m＝﹣11，
∴a的值是﹣，h的值是，m的值是﹣11．
2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．（3分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．（3分）下列选项中，与xy2是同类项的是（ ）
A．x2y2 B．2x2y C．xy D．﹣2xy2
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（3分）已知一组数据x，y，z的平均数为3，方差为4，那么数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A．15π B．24π C．20π D．10π
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
9．（3分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
10．（3分）已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）
11．（2分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
12．（2分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133000000剂次，将133000000用科学记数法表示为 ．
13．（2分）在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为 ．
14．（2分）某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式 ．
15．（2分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
16．（2分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG：GD：DF＝2：1：5，则＝ ．
17．（2分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ．
18．（2分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线y＝（k1＞0）上，顶点B，D在双曲线y＝（k2＜0）上，且BD经过点O．若k1+k2＝8，则菱形ABCD面积的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（8分）（1）计算：（﹣π）0+（）﹣2﹣2cos60°；
（2）化简：x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．
22．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
23．（8分）现有四位“抗疫”英雄（依次标记为A、B、C、D）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 ；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
24．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．
25．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG＝．
26．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
27．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP＝BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
28．（10分）在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE．
（1）如图1，求证：△BCF∽△FDE；
（2）如图2，矩形ABCD的一边BC落在平面直角坐标系的x轴上，CD⊥x轴，且点C坐标为（n，0）（n＜0），
①若点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出n的值；
②如图3，若二次函数的图象经过A、F两点，其顶点为M（m﹣5，h），连接AM、OA，若∠OAM＝90°，求此二次函数的表达式．
2021年江苏省无锡市新吴区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．（3分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．
【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【分析】二次根式的被开方数大于等于零．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
3．（3分）下列选项中，与xy2是同类项的是（ ）
A．x2y2 B．2x2y C．xy D．﹣2xy2
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，直接判断即可．
【解答】解：与xy2是同类项的是﹣2xy2，故选D．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．
故选：D．
5．（3分）P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，根据勾股定理求出AP，根据垂径定理求出BP＝AP＝4，再求出答案即可．
【解答】解：
如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP＝＝＝4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
6．（3分）已知一组数据x，y，z的平均数为3，方差为4，那么数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
【分析】根据平均数的变化规律当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x，y，z的平均数为3，
∴数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的平均数是3﹣2＝1；
∵数据x，y，z的方差为4，
∴数据x﹣2，y﹣2，z﹣2的方差不变，也是4；
故选：B．
7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A．15π B．24π C．20π D．10π
【分析】根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，先计算出圆锥的底面圆的面积＝9π，圆锥的底面圆的周长为6π，根据扇形的面积公式得到×5×π×6＝15π，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积．
【解答】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，
所以圆锥的底面圆的面积＝π×（）2＝9π，
圆锥的侧面积＝×5×π×6＝15π，
所以圆锥的全面积＝9π+15π＝24π．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
【分析】连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，由切线的性质证明FE⊥AD，设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，OE＝x﹣R，由勾股定理得出（x﹣R）2+（）2＝R2，解得R＝x．比较C1与C2的大小则可得出答案．
【解答】解：连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，
∵CB与⊙O相切，
∴OF⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，
∴FE⊥AD，
∴四边形EFCD为矩形，AE＝DE，
∴EF＝CD，
设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，
∴OE＝x﹣R，
在Rt△ODE中，OE2+ED2＝OD2，
即（x﹣R）2+（）2＝R2，
解得R＝x．
∴正方形ABCD的周长C1＝4x，⊙O的周长C2＝2πR＝2π•x＝x，
∵4＞，
∴C1＞C2，
故选：A．
9．（3分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
【分析】延长CD交AB于F．如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF平分AB，CD＝2DF，则CF＝AB＝CA，所以CD＝CA，再利用旋转的性质可判断△CDE为等腰直角三角形，于是可判定△CDE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质计算△CDE的周长．
【解答】解：延长CD交AB于F．如图，
∵点D是等腰直角△ABC的重心，
∴CF平分AB，CD＝2DF，
∴CF＝AB＝•CA＝CA，
∴CD＝CF＝CA，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE的周长：△CAB的周长＝CD：CA＝，
∴△CDE的周长＝×6＝2．
故选：A．
10．（3分）已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
【分析】先证得点M（m，y3）是该抛物线的顶点，根据点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，y3≥y2＞y1，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线x＝m，则m＞，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵2am+b＝0，
∴m＝﹣，
∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，
∴m＞，
解得m＞1，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）
11．（2分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
12．（2分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133000000剂次，将133000000用科学记数法表示为 1.33×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：133000000＝1.33×108．
故答案为：1.33×108．
13．（2分）在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为 3 ．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：在线段、正三角形、平行四边形、矩形、圆中，是轴对称图形的有线段、正三角形、矩形、圆，是中心对称图形的有线段、平行四边形、矩形、圆，故既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、矩形、圆，共3个．
故答案为：3．
14．（2分）某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式 y＝x ．
【分析】答案不唯一，它可以是正比例函数和反比例函数，利用一个点可以求解析式，也可以是一次函数，确定一个字母系数，可得一个符合条件的解析式，要是二次函数必须开口向下，不经过第二象限，确定两个字母系数，可得答案．
【解答】解：答案不唯一，
如果是正比例函数：设函数表达式为：y＝kx，
把（2，1）代入得：1＝2k，
∴k＝，
∴函数表达式为：y＝x；
如果是一次函数可以是：y＝x﹣1；
如果是反比例函数可以是：y＝；
故答案为：y＝x（答案不唯一）．
15．（2分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
16．（2分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG：GD：DF＝2：1：5，则＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AG：GD：DF＝2：1：5，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．（2分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
18．（2分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线y＝（k1＞0）上，顶点B，D在双曲线y＝（k2＜0）上，且BD经过点O．若k1+k2＝8，则菱形ABCD面积的最小值是 16 ．
【分析】先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC＝OB，进而得出OM＝BN，CM＝ON，设点B的坐标为（m，），求出C（﹣，m），进而得出k1＝﹣3k2，进而求出k1＝12，k2＝﹣4，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD＝2（m﹣）2+16，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC，
∴∠OMC＝∠BNO＝90°，
∴∠COM+∠OCM＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COM+∠BON＝90°，
∴∠OCM＝∠OBN，
∴△COM∽△OBN，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵OC⊥BD，
∴OC＝OB，
∴，
∴OM＝BN，CM＝ON，
设点B的坐标为（m，），
∴BN＝m，ON＝﹣，
∴OM＝m，CM＝×（﹣）＝﹣，
∴C（﹣，m），
∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴﹣×m＝k1，
∴k1＝﹣3k2
，∵k1+k2＝8，
∴k1＝12，k2＝﹣4，
∴C（，m），B（m，﹣），
∴OC＝，OB＝，
∴S菱形ABCD＝2×BD•OC＝2OB•OC
＝2×
＝2（m2+）
＝2（m﹣）2+16，
∴当m＝时，S菱形ABCD最小＝16，
故答案为：16．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（8分）（1）计算：（﹣π）0+（）﹣2﹣2cos60°；
（2）化简：x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算法则解决此题．
（2）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题．
【解答】解：（1）
＝1+
＝1+4﹣1
＝4．
（2）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+3xy﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+3xy﹣4x2+y2
＝3xy+y2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）将方程的左边因式分解后即可求得方程的解；
（2）分别求解两个不等式，然后取其公共部分即可求得不等式组的解集．
【解答】解：（1）因式分解得：（x+1）（x﹣3）＝0，即x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）解不等式组：由①得：x≥﹣1，
由②得：x≤3，
则﹣1≤x≤3．
21．（8分）已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．
【分析】由已知AB∥ED，AF＝DC可以得出∠A＝∠D，AC＝DF，又因为AB＝DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A＝∠D，
又∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
∴EF＝BC
22．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400人，
故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）＝240，
补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×＝100人．
23．（8分）现有四位“抗疫”英雄（依次标记为A、B、C、D）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 ；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小明和小兰两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号，
∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，
则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为＝．
24．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．
【分析】（1）连接OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连接BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
理由如下：
连接OP，
∵∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝120°，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PAO＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，
∵AB＝2，AC＝AB•sin45°＝，
∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴
∴＝2．
25．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG＝．
【分析】（1）如图1中，取格点M，N，连接MN交AC于点E，点E即为所求．
（2）如图2中，取格点T，连接AT交BC于点F，连接DF，点F即为所求．
（3）如图3中，取格点R，连接AR，得到AR的中点J，连接CJ交AB于点G，点G即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求．
（2）如图2中，点F即为所求．
（3）如图3中，点G即为所求．
26．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15﹣（13.5+0.5m）＜13.5+0.5m﹣14，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
27．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP＝BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；
（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
【分析】（1）由题意可得：∠ACP＝∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP＝CQ；
（2）作CH⊥PQ于H，由题意可求PQ＝2，可得CH＝，根据勾股定理可求AH＝，即可求AP的长；
（3）作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O，由题意可证△CNP≌△CMQ，可得CN＝CM，QM＝PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45°，则可求得EP、EQ、EC之间的数量关系．
【解答】证明：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ且AC＝BC，CP＝CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA＝BQ
（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H
∵A、P、Q共线，PC＝2，
∴PQ＝2，
∵PC＝CQ，CH⊥PQ
∴CH＝PH＝
在Rt△ACH中，AH＝＝
∴PA＝AH﹣PH＝﹣
（3）解：结论：EP+EQ＝EC
理由：如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO＝∠OBE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠OEB＝∠ACO＝90°，
∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°，
∴∠MCN＝∠PCQ＝90°，
∴∠PCN＝∠QCM，
∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN＝CM，QM＝PN，
∴CE＝CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45°
∴EP+EQ＝EN+PN+EM﹣MQ＝2EN，EC＝EN，
∴EP+EQ＝EC
28．（10分）在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE．
（1）如图1，求证：△BCF∽△FDE；
（2）如图2，矩形ABCD的一边BC落在平面直角坐标系的x轴上，CD⊥x轴，且点C坐标为（n，0）（n＜0），
①若点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出n的值；
②如图3，若二次函数的图象经过A、F两点，其顶点为M（m﹣5，h），连接AM、OA，若∠OAM＝90°，求此二次函数的表达式．
【分析】（1）结合翻折的性质，利用两个角相等即可证相得似．
（2）分情况讨论：①当OB、BF为菱形边时，则OB＝BF，当BF、OF为菱形边时，则BF＝DF，当OF＝OB为菱形边时，则OB＝OF，由菱形的性质可得C坐标；
②设C（m，0），则B（m﹣9，0），F（m，12），A（m﹣9，15），把A、F代入抛物线中，得抛物线解析式：y＝﹣（x﹣m+5）2+，可求得m的坐标；
连接MO过M向AD作垂线交AD于N，交x轴于G，过M向y轴作垂线，交y轴于H，在Rt△MOH中，由勾股定理求MO，可得HO＝MG，在Rt△MNA中，由勾股定理得AM，在Rt△ABO中，由勾股定理得OA，在Rt△AMO中，再根据勾股定理OA2+AM2＝OM2，即可求出m的值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△EFB是由△EAB翻折得到的，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFC+∠DFE＝90°，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，
∴∠BFC+∠FBC＝90°，
∴∠DFE＝∠FBC，
∴△BCF∽△FDE；
（2）解：有三种情况，
①当OB、BF为菱形边时，
则OB＝BF，
∵C点坐标为（m，0），
∴OC＝﹣m，
∴OB＝9﹣m，
由（1）知，BF＝15，
即15＝9﹣m，
∴m＝﹣6，
∴C坐标为（﹣6，0）；
当BF、OF为菱形边时，
则BF＝OF，
∵C点坐标为（m，0），
∴OC＝﹣m，
又∵CF＝12，
∴OF＝，
又∵BF＝15，
∴15＝，
∴m＝﹣9或m＝9，
∵m＜0，
∴m＝9舍去，
∴C坐标为（﹣9，0）；
当OF、OB为菱形边时，
则OB＝OF，
则OB＝9﹣m，
OF＝，
∴9﹣m＝，
∴m＝﹣3.5，
∴C点坐标为（﹣3.5，0）；
②∵C坐标（m，0），
则B（m﹣9，0），F（m，12），A（m﹣9，15），
∵A、F两点在抛物线y＝a（x﹣m+5）2+h上，
代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m+5）2+，
∴抛物线顶点M坐标为（m﹣5，），
连接MO过M向AD作垂线交AD于N，交x轴于G，
过M向y轴作垂线，交y轴于H，
∴MH＝|m﹣5|＝5﹣m，
∴HO＝，
∴MO＝＝，
∵MG＝HO＝，NG＝DC＝15，
∴MN＝MG﹣NG＝，
∵AN＝BG＝BO﹣OG＝BO﹣MH＝9﹣m﹣（5﹣m）＝4，
∴AM＝＝，
OA＝＝，
又∵∠OAM＝90°，
∴OA2+AM2＝OM2，
即（9﹣m）2+152+（）2＝（5﹣m）2+（）2，
解得m＝﹣11，
∴a的值是﹣，h的值是，m的值是﹣11．
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