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2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷 解析版，共46页。试卷主要包含了某宾馆共有80间客房，如图，点A在反比例函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y＝的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（ ）
A．4 B． C． D．5
2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．2
3．对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（ ）
A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
5．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
8．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（ ）
A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
二．填空题（共8小题）
9．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 ．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝ ．
11．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 度．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 ．
13．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是 ．
14．如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的角平分线于点F，若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为 ．
15．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为 ．
三．解答题（共13小题）
17．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）如图①所示，求证：AP＝OA；
（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
20．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；
（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，AB，CD是⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，过点D作⊙O的切线交CE的延长线于点P，连接BD交CE于点G．
（1）求证：PD＝PG；
（2）若OC＝4，PG＝6，求CE的长．
22．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
23．某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
26．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
27．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
28．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD＝CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y＝的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（ ）
A．4 B． C． D．5
【分析】将点P的横坐标x＝2，代入直线y＝﹣2x+8可求出点P的坐标，进而求出矩形OCPD的面积，根据反比例函数k的几何意义，可得S△AOC＝S△BOD＝2，进而求出四边形OAPB的面积，最后做出选择．
【解答】解：如图，当x＝2时，y＝﹣2×2+8＝4，即点P（2，4），
∴S矩形OCPD＝2×4＝8，
又∵点A、点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOC＝S△BOD＝|k|＝×4＝2，
∴S四边形OAPB＝8﹣2﹣2＝4，
故选：A．
2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．2
【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN＝MN，由折叠的性质，可得BG＝3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵∠EMB＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE＝BM，
由折叠的性质得：AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90°，
∴EG＝BM，
∵∠ENG＝∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG＝NM，
∴CM＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED＝BM＝CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF＝BM：CM，
∴BN＝NF，
∴NM＝CF＝，
∴NG＝，
∵BG＝AB＝CD＝CF+DF＝3，
∴BN＝BG﹣NG＝3﹣＝，
∴BF＝2BN＝5，
∴BC＝＝＝2，
故选：D．
3．对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得a的取值范围；当a＝8时，解方程可得其与x轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，得其顶点坐标，则易得旋转180°之后的函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝3，且开口向上
∴当x＜2时．y随x的增大而减小，故①正确；
当△＝36﹣4a≥0，即a≤9时，函数图象与x轴有交点，故②错误；
当a＝8时，y＝x2﹣6x+8，解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4
∴函数图象与x轴交于（2，0）、（4，0）
∵函数图象开口向上
∴当2＜x＜4时，函数图象在x轴下方，故③正确；
y＝x2﹣6x+a＝（x﹣3）2+a﹣9
∴顶点坐标为（3，a﹣9）
函数图象绕坐标原点旋转180°后，顶点坐标为（﹣3，9﹣a），故④正确．
综上，正确的有①③④
故选：C．
4．如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（ ）
A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
【分析】过点O2作O2B⊥直线l于B．求出两种特殊情形的O1P的值即可判断．
【解答】解：过点O2作O2B⊥直线l于B．
当O2B＝1+＝时，⊙O2上有且只有一个点到直线l的距离为，
∵AO1∥PB，
∴∠BPO2＝∠AO1P＝30°，
∴PO2＝2O2B＝，
∴O1P＝O1O2﹣O2P＝3﹣＝，
当O2B′＝1﹣＝时，同法可得P′O2＝2O2B′＝此时O1P′＝3﹣＝，
观察图可知：＜O1P＜，
故选：D．
5．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000
＝﹣x2+129x﹣8416
＝﹣（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：A．
7．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（ ）
A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数）”，再代入2n＝100即可求出结论．
【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6＝600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 3或 ．
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．
【解答】解：分两种情况：
①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，
连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3；
②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝，
设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，
∴＝，
解得x＝，
∴CD＝，
综上所述，CD的长为3或，
故答案为：3或．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝ 2n﹣2 ．
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA1＝，
∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，
∴A2B1＝2﹣1＝1，
∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，
∴Sn＝2n﹣2，
故答案为：2n﹣2．
11．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 70 度．
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝35°，
∴∠AEB＝55°，
由翻折变换可得∠AEF＝110°，
∴∠BFE＝70°．
故答案为：70．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 4.8 ．
【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．
【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴A'B'＝AB＝10，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，
∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，
∴CP＝＝4.8．
故答案为：4.8．
13．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是 14 ．
【分析】根据根与系数的关系求得平行四边形的两条邻边的长的和，再乘2即可求解．
【解答】解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，
∴平行四边形的两条邻边的长的和是7，
故该平行四边形的周长是7×2＝14．
故答案为：14．
14．如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的角平分线于点F，若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE、EC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EF＝EC＝5，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝3，EC＝AC＝5，DE∥BC，
∴∠F＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的角平分线，
∴∠FCE＝∠FCM，
∴∠F＝∠FCE，
∴EF＝EC＝5，
∴DF＝DE+EF＝8，
故答案为：8．
15．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3），即可得出OQ+PQ＝x+（﹣x2+2x+3）＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：设平移后的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ＝x+（﹣x2+2x+3）
＝﹣x2+3x+3
＝﹣（x﹣）2+，
∴OQ+PQ的最大值为，
故答案为．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为 2 ．
【分析】连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC＝60°，再判断DE平分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质得DC＝DA＝2．
【解答】解：连接CE，如图，
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∴DE平分∠AEC，
∴DE垂直平分AC，
∴DC＝DA＝2．
故答案为2．
三．解答题（共13小题）
17．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）如图①所示，求证：AP＝OA；
（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）由SAS证得△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA；
（2）PQ在BC的延长线上时，与（1）同理可证△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA；PQ在BC的反向延长线上时，同理可证△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
（2）解：PQ在BC的延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
PQ在BC的反向延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，
∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，
∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程可得BC＝4，AB＝3，由OA＝2OB，可求OA＝2，OB＝1，即可求点D坐标；
（2）分点两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∴点D（﹣2，4）
（2）如图，
当0≤t＜4时，AP＝t，DP＝4﹣t，
∴S＝3×4﹣×3×t﹣×2×（4﹣t）﹣×1×4＝﹣+6；
当4≤t＜6时，PE＝6﹣t，
∴S＝×PE×OE＝×（6﹣t）×4＝12﹣2t；
综上所述：S＝
（3）∵OB＝1，OE＝4，
∴BE＝＝＝，
若BE＝EP＝，
∴DE2+DP2＝EP2＝17，
∴4+DP2＝17，
∴DP＝，
∴点P（﹣2，4﹣）
若BE＝BP＝，
∴AB2+AP2＝BP2＝17，
∴9+AP2＝17
∴AP＝2，
∴点P（﹣2，），
综上所述：当点P坐标为（﹣2，4﹣）或（﹣2，）时，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCH，
∴∠BCH+∠BCO＝90°，
∴∠HCO＝90°，
∴CH是⊙O的切线；
（2）解：∵B为DH的中点，
∴设BD＝BH＝x，
∴DH＝2x，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，
∴∠D＝∠BCH，
∵∠H＝∠H，
∴△DCH∽△CBH，
∴＝，
∴CH＝＝，
∵∠H＝90°，
∴tanD＝＝＝．
20．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；
（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A、B的坐标；因为抛物线的顶点为点A，所以设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）△AOP的面积＝×OA×yP＝2×yP＝3，解得：yP＝3，即可求解；
（3）t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），则点E（2﹣t，t），而点N（0，t），故NE＝2﹣t，当四边形AMNE是菱形时，NE＝MN，即可求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，
故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2），
∵抛物线的顶点为点A（2，0），
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2，
将点B的坐标代入上式得：2＝a（0﹣2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2；
（2）∵点A（2，0），则OA＝2，
∴△AOP的面积＝×OA×yP＝2×yP＝3，
解得：yP＝3，
则yP＝3＝（x﹣2）2，解得：x＝2，
故点P的坐标为：（2+，3）或（2﹣，3）；
（3）存在，理由：
由题意得：t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），
当y＝t时，y＝t＝﹣x+2，解得：x＝2﹣t，故点E（2﹣t，t），
而点N（0，t），故NE＝2﹣t，
当四边形AMNE是菱形时，NE＝MN，
即t2+（t）2＝（2﹣t）2，
解得：t＝或﹣2（舍去﹣2），
故t＝．
21．如图，AB，CD是⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，过点D作⊙O的切线交CE的延长线于点P，连接BD交CE于点G．
（1）求证：PD＝PG；
（2）若OC＝4，PG＝6，求CE的长．
【分析】（1）由垂径定理得出∠ADB＝90°，AB⊥CE，证∠PDG＝∠PGD，即可得出PD＝PG；
（2）连接DE，由（1）得PD＝PG＝6，由勾股定理得出PC＝10，由三角形面积得出DE＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，
∴AB⊥CE，
∴∠BGF+∠B＝90°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDG+∠ODB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠BGF＝∠PDG，
∵∠PGD＝∠BGF，
∴∠PDG＝∠PGD，
∴PD＝PG；
（2）解：连接DE，由（1）得：PD＝PG＝6，
∵CD是⊙O的直径，
∴CD＝2OC＝8，∠DEC＝90°，
∴DE⊥CP，
∵PD为⊙O的切线，
∴PD⊥CD，
∴PC＝＝＝10，
∵△CDP的面积＝PC×DE＝CD×PD，
∴DE＝＝＝，
∴CE＝＝＝．
22．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
【分析】（1）四边形ADCE是菱形，根据点E是AD的中点，得到AE＝AD．由BC＝AD，可知AE＝BC．因此四边形ABCE是平行四边形，又AC⊥CD，点E是AD的中点，所以CE＝AE＝DE，得到四边形ABCE是菱形；
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形，求出AF＝AE＝2，当PA+PF最小时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，易证△ACE是等边三角形．，AC＝AE＝CE＝4．由勾股定理CF＝2，所以△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
【解答】解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD．
∵BC＝AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，
∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
23．某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 7 辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 36° ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【分析】（1）依据3月的销量以及百分比，即可得到1～5月份汽车销售总量，进而得出1月和2月的销售量以及对应的扇形的圆心角大小；
（2）依据1月和2月的销售量即可补全图1中销售量折线统计图；
（3）通过列举法即可得到共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，进而得出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【解答】解：（1）1～5月份汽车销售总量为2÷10%＝20（辆），
∴1～2月份共销售汽车20﹣2﹣5﹣4＝9（辆），
∵1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，
∴2月的销售量为9÷4.5＝2（辆），1月的销售量为2×3.5＝7（辆），
2月销售量所对应的扇形圆心角为＝36°，
故答案为：7，36°；
（2）补全图1中销售量折线统计图：
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，
∴“抽到的两辆车都是国产车“的概率P＝＝．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．
【分析】（1）连接OC，证明∠OBH+∠BOD＝90°，可得∠BCD+∠OCB＝90°，则结论得证；
（2）证得∠ECG＝∠HCE，根据AAS可证明△CHE≌△CGE；
（3）由条件可得∠ACF＝∠ABC，设AC＝a，则AB＝3a，由勾股定理得BC＝a，证明△ACF∽△CFB，可得＝，求出CF＝，BF＝2，AB＝1，则OC＝，BC＝，则HE＝EG可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OE⊥BC，
∴∠OHB＝90°，
∴∠OBH+∠BOD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBH＝∠OCB，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵点C为⊙O上一点，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝90°，
∴∠ECG+∠OCE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠ECG+∠OEC＝90°，
∵∠OEC+∠HCE＝90°，
∴∠ECG＝∠HCE，
在△CHE和△CGE中，，
∴△CHE≌△CGE（AAS）；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵DF为⊙O的切线，
∴∠OCA+∠FCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FCA＝∠ABC，
∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，
∴BC＝＝＝a，
∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，
∴△ACF∽△CFB，
∴＝＝＝，
∵AF＝1，
∴CF＝，
∴BF＝＝2，
∴BF﹣AF＝AB＝1，
∴OC＝，BC＝，
∵OE⊥BC，
∴CH＝BC＝，
∴OH＝＝＝，
∴HE＝OE﹣OH＝﹣，
∵△CHE≌△CGE，
∴EG＝HE＝﹣．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）将点B（2，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式，再结合﹣＝，联立即可求a、b、c的值；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），由S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC，分别求出S四边形OCPB和S△BOC的面积得到S△PBC＝﹣（m﹣）2+，即可求△PBC面积的最大值；
（3）先求出A（﹣，0），在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，求出∠MAC＝60°，由ME＝NE＝AE＝DE，可得点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∵B（2，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m，m2﹣m﹣3），
连接OP，则S△POC＝×OC×m＝m，
S△POB＝×OB×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+m+3，
∴S四边形OCPB＝S△OPC+S△POB＝﹣m2+3m+3，
∵S△OBC＝×OC×OB＝3，
∴S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，﹣3）；
（3）∠MEN为定值．
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
∴A（﹣，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
26．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到AB＝BC＝4，根据勾股定理得到AF＝＝＝2，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝BF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∵当A、E、F三点在一直线上时，
∵∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，
∴CD＝﹣；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2+2，
∴CD＝+；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为﹣或+；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝2，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴2≤AG≤6，
∴FM≤3．
27．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
28．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD＝CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
【分析】（1）①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC＝180°，推出∠DBC＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE＝CD，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝45°，求得∠CBD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵∠EAC+∠DAC＝180°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD＝CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵DE＝AD+AE，AE＝BD，
∴DE＝AD+BD，
∴AD+BD＝CD；
（2）解：AD﹣BD＝CD；
理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE＝＝＝CD，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BD＝CD．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；
（2）S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；
（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y＝的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（ ）
A．4 B． C． D．5
2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．2
3．对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（ ）
A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
5．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
8．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（ ）
A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
二．填空题（共8小题）
9．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 ．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝ ．
11．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 度．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 ．
13．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是 ．
14．如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的角平分线于点F，若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为 ．
15．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为 ．
三．解答题（共13小题）
17．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）如图①所示，求证：AP＝OA；
（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
20．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；
（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，AB，CD是⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，过点D作⊙O的切线交CE的延长线于点P，连接BD交CE于点G．
（1）求证：PD＝PG；
（2）若OC＝4，PG＝6，求CE的长．
22．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
23．某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
26．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
27．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
28．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD＝CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省宁波市奉化实验学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y＝的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（ ）
A．4 B． C． D．5
【分析】将点P的横坐标x＝2，代入直线y＝﹣2x+8可求出点P的坐标，进而求出矩形OCPD的面积，根据反比例函数k的几何意义，可得S△AOC＝S△BOD＝2，进而求出四边形OAPB的面积，最后做出选择．
【解答】解：如图，当x＝2时，y＝﹣2×2+8＝4，即点P（2，4），
∴S矩形OCPD＝2×4＝8，
又∵点A、点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOC＝S△BOD＝|k|＝×4＝2，
∴S四边形OAPB＝8﹣2﹣2＝4，
故选：A．
2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．2
【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN＝MN，由折叠的性质，可得BG＝3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵∠EMB＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE＝BM，
由折叠的性质得：AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90°，
∴EG＝BM，
∵∠ENG＝∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG＝NM，
∴CM＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED＝BM＝CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF＝BM：CM，
∴BN＝NF，
∴NM＝CF＝，
∴NG＝，
∵BG＝AB＝CD＝CF+DF＝3，
∴BN＝BG﹣NG＝3﹣＝，
∴BF＝2BN＝5，
∴BC＝＝＝2，
故选：D．
3．对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得a的取值范围；当a＝8时，解方程可得其与x轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，得其顶点坐标，则易得旋转180°之后的函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝3，且开口向上
∴当x＜2时．y随x的增大而减小，故①正确；
当△＝36﹣4a≥0，即a≤9时，函数图象与x轴有交点，故②错误；
当a＝8时，y＝x2﹣6x+8，解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4
∴函数图象与x轴交于（2，0）、（4，0）
∵函数图象开口向上
∴当2＜x＜4时，函数图象在x轴下方，故③正确；
y＝x2﹣6x+a＝（x﹣3）2+a﹣9
∴顶点坐标为（3，a﹣9）
函数图象绕坐标原点旋转180°后，顶点坐标为（﹣3，9﹣a），故④正确．
综上，正确的有①③④
故选：C．
4．如图，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为⊙O1上一点，∠AO1O2＝30°，点P为线段O1O2上的一个动点，过P作O1A的平行线l，如果在⊙O2上有且仅有2个点到直线l的距离为，则O1P的取值范围是（ ）
A．＜O1P≤ B．＜O1P＜3 C．＜O1P≤ D．＜O1P＜
【分析】过点O2作O2B⊥直线l于B．求出两种特殊情形的O1P的值即可判断．
【解答】解：过点O2作O2B⊥直线l于B．
当O2B＝1+＝时，⊙O2上有且只有一个点到直线l的距离为，
∵AO1∥PB，
∴∠BPO2＝∠AO1P＝30°，
∴PO2＝2O2B＝，
∴O1P＝O1O2﹣O2P＝3﹣＝，
当O2B′＝1﹣＝时，同法可得P′O2＝2O2B′＝此时O1P′＝3﹣＝，
观察图可知：＜O1P＜，
故选：D．
5．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000
＝﹣x2+129x﹣8416
＝﹣（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：A．
7．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（ ）
A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数）”，再代入2n＝100即可求出结论．
【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6＝600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 3或 ．
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．
【解答】解：分两种情况：
①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，
连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3；
②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝，
设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，
∴＝，
解得x＝，
∴CD＝，
综上所述，CD的长为3或，
故答案为：3或．
10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝ 2n﹣2 ．
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA1＝，
∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，
∴A2B1＝2﹣1＝1，
∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，
∴Sn＝2n﹣2，
故答案为：2n﹣2．
11．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 70 度．
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝35°，
∴∠AEB＝55°，
由翻折变换可得∠AEF＝110°，
∴∠BFE＝70°．
故答案为：70．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 4.8 ．
【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．
【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴A'B'＝AB＝10，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，
∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，
∴CP＝＝4.8．
故答案为：4.8．
13．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是 14 ．
【分析】根据根与系数的关系求得平行四边形的两条邻边的长的和，再乘2即可求解．
【解答】解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，
∴平行四边形的两条邻边的长的和是7，
故该平行四边形的周长是7×2＝14．
故答案为：14．
14．如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的角平分线于点F，若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE、EC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EF＝EC＝5，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝3，EC＝AC＝5，DE∥BC，
∴∠F＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的角平分线，
∴∠FCE＝∠FCM，
∴∠F＝∠FCE，
∴EF＝EC＝5，
∴DF＝DE+EF＝8，
故答案为：8．
15．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3），即可得出OQ+PQ＝x+（﹣x2+2x+3）＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：设平移后的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ＝x+（﹣x2+2x+3）
＝﹣x2+3x+3
＝﹣（x﹣）2+，
∴OQ+PQ的最大值为，
故答案为．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为 2 ．
【分析】连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC＝60°，再判断DE平分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质得DC＝DA＝2．
【解答】解：连接CE，如图，
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∴DE平分∠AEC，
∴DE垂直平分AC，
∴DC＝DA＝2．
故答案为2．
三．解答题（共13小题）
17．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）如图①所示，求证：AP＝OA；
（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）由SAS证得△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA；
（2）PQ在BC的延长线上时，与（1）同理可证△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA；PQ在BC的反向延长线上时，同理可证△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，证明∠AOP＝90°，则△AOP是等腰直角三角形，得出AP＝OA．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
（2）解：PQ在BC的延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
PQ在BC的反向延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，
∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，
∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程可得BC＝4，AB＝3，由OA＝2OB，可求OA＝2，OB＝1，即可求点D坐标；
（2）分点两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∴点D（﹣2，4）
（2）如图，
当0≤t＜4时，AP＝t，DP＝4﹣t，
∴S＝3×4﹣×3×t﹣×2×（4﹣t）﹣×1×4＝﹣+6；
当4≤t＜6时，PE＝6﹣t，
∴S＝×PE×OE＝×（6﹣t）×4＝12﹣2t；
综上所述：S＝
（3）∵OB＝1，OE＝4，
∴BE＝＝＝，
若BE＝EP＝，
∴DE2+DP2＝EP2＝17，
∴4+DP2＝17，
∴DP＝，
∴点P（﹣2，4﹣）
若BE＝BP＝，
∴AB2+AP2＝BP2＝17，
∴9+AP2＝17
∴AP＝2，
∴点P（﹣2，），
综上所述：当点P坐标为（﹣2，4﹣）或（﹣2，）时，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCH，
∴∠BCH+∠BCO＝90°，
∴∠HCO＝90°，
∴CH是⊙O的切线；
（2）解：∵B为DH的中点，
∴设BD＝BH＝x，
∴DH＝2x，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，
∴∠D＝∠BCH，
∵∠H＝∠H，
∴△DCH∽△CBH，
∴＝，
∴CH＝＝，
∵∠H＝90°，
∴tanD＝＝＝．
20．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；
（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A、B的坐标；因为抛物线的顶点为点A，所以设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）△AOP的面积＝×OA×yP＝2×yP＝3，解得：yP＝3，即可求解；
（3）t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），则点E（2﹣t，t），而点N（0，t），故NE＝2﹣t，当四边形AMNE是菱形时，NE＝MN，即可求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，
故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2），
∵抛物线的顶点为点A（2，0），
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2，
将点B的坐标代入上式得：2＝a（0﹣2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2；
（2）∵点A（2，0），则OA＝2，
∴△AOP的面积＝×OA×yP＝2×yP＝3，
解得：yP＝3，
则yP＝3＝（x﹣2）2，解得：x＝2，
故点P的坐标为：（2+，3）或（2﹣，3）；
（3）存在，理由：
由题意得：t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），
当y＝t时，y＝t＝﹣x+2，解得：x＝2﹣t，故点E（2﹣t，t），
而点N（0，t），故NE＝2﹣t，
当四边形AMNE是菱形时，NE＝MN，
即t2+（t）2＝（2﹣t）2，
解得：t＝或﹣2（舍去﹣2），
故t＝．
21．如图，AB，CD是⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，过点D作⊙O的切线交CE的延长线于点P，连接BD交CE于点G．
（1）求证：PD＝PG；
（2）若OC＝4，PG＝6，求CE的长．
【分析】（1）由垂径定理得出∠ADB＝90°，AB⊥CE，证∠PDG＝∠PGD，即可得出PD＝PG；
（2）连接DE，由（1）得PD＝PG＝6，由勾股定理得出PC＝10，由三角形面积得出DE＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB过弦CE的中点F，
∴AB⊥CE，
∴∠BGF+∠B＝90°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDG+∠ODB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠BGF＝∠PDG，
∵∠PGD＝∠BGF，
∴∠PDG＝∠PGD，
∴PD＝PG；
（2）解：连接DE，由（1）得：PD＝PG＝6，
∵CD是⊙O的直径，
∴CD＝2OC＝8，∠DEC＝90°，
∴DE⊥CP，
∵PD为⊙O的切线，
∴PD⊥CD，
∴PC＝＝＝10，
∵△CDP的面积＝PC×DE＝CD×PD，
∴DE＝＝＝，
∴CE＝＝＝．
22．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
【分析】（1）四边形ADCE是菱形，根据点E是AD的中点，得到AE＝AD．由BC＝AD，可知AE＝BC．因此四边形ABCE是平行四边形，又AC⊥CD，点E是AD的中点，所以CE＝AE＝DE，得到四边形ABCE是菱形；
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形，求出AF＝AE＝2，当PA+PF最小时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，易证△ACE是等边三角形．，AC＝AE＝CE＝4．由勾股定理CF＝2，所以△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
【解答】解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD．
∵BC＝AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，
∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
23．某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 7 辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 36° ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【分析】（1）依据3月的销量以及百分比，即可得到1～5月份汽车销售总量，进而得出1月和2月的销售量以及对应的扇形的圆心角大小；
（2）依据1月和2月的销售量即可补全图1中销售量折线统计图；
（3）通过列举法即可得到共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，进而得出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【解答】解：（1）1～5月份汽车销售总量为2÷10%＝20（辆），
∴1～2月份共销售汽车20﹣2﹣5﹣4＝9（辆），
∵1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，
∴2月的销售量为9÷4.5＝2（辆），1月的销售量为2×3.5＝7（辆），
2月销售量所对应的扇形圆心角为＝36°，
故答案为：7，36°；
（2）补全图1中销售量折线统计图：
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，
∴“抽到的两辆车都是国产车“的概率P＝＝．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．
【分析】（1）连接OC，证明∠OBH+∠BOD＝90°，可得∠BCD+∠OCB＝90°，则结论得证；
（2）证得∠ECG＝∠HCE，根据AAS可证明△CHE≌△CGE；
（3）由条件可得∠ACF＝∠ABC，设AC＝a，则AB＝3a，由勾股定理得BC＝a，证明△ACF∽△CFB，可得＝，求出CF＝，BF＝2，AB＝1，则OC＝，BC＝，则HE＝EG可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OE⊥BC，
∴∠OHB＝90°，
∴∠OBH+∠BOD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBH＝∠OCB，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵点C为⊙O上一点，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝90°，
∴∠ECG+∠OCE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠ECG+∠OEC＝90°，
∵∠OEC+∠HCE＝90°，
∴∠ECG＝∠HCE，
在△CHE和△CGE中，，
∴△CHE≌△CGE（AAS）；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵DF为⊙O的切线，
∴∠OCA+∠FCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FCA＝∠ABC，
∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，
∴BC＝＝＝a，
∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，
∴△ACF∽△CFB，
∴＝＝＝，
∵AF＝1，
∴CF＝，
∴BF＝＝2，
∴BF﹣AF＝AB＝1，
∴OC＝，BC＝，
∵OE⊥BC，
∴CH＝BC＝，
∴OH＝＝＝，
∴HE＝OE﹣OH＝﹣，
∵△CHE≌△CGE，
∴EG＝HE＝﹣．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）将点B（2，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式，再结合﹣＝，联立即可求a、b、c的值；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），由S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC，分别求出S四边形OCPB和S△BOC的面积得到S△PBC＝﹣（m﹣）2+，即可求△PBC面积的最大值；
（3）先求出A（﹣，0），在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，求出∠MAC＝60°，由ME＝NE＝AE＝DE，可得点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∵B（2，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m，m2﹣m﹣3），
连接OP，则S△POC＝×OC×m＝m，
S△POB＝×OB×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+m+3，
∴S四边形OCPB＝S△OPC+S△POB＝﹣m2+3m+3，
∵S△OBC＝×OC×OB＝3，
∴S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，﹣3）；
（3）∠MEN为定值．
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
∴A（﹣，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
26．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到AB＝BC＝4，根据勾股定理得到AF＝＝＝2，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝BF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∵当A、E、F三点在一直线上时，
∵∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，
∴CD＝﹣；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2+2，
∴CD＝+；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为﹣或+；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝2，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴2≤AG≤6，
∴FM≤3．
27．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
28．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD＝CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
【分析】（1）①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC＝180°，推出∠DBC＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE＝CD，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝45°，求得∠CBD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵∠EAC+∠DAC＝180°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD＝CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵DE＝AD+AE，AE＝BD，
∴DE＝AD+BD，
∴AD+BD＝CD；
（2）解：AD﹣BD＝CD；
理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE＝＝＝CD，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BD＝CD．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；
（2）S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；
（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
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