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2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三） 解析版
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这是一份2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三） 解析版，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）下面四个实数中最大的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
2．（3分）下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．医疗卫生服务机构 B． 中国红十字会
C． 医疗废物 D．国际急救
3．（3分）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣ab2）3＝a3b6
C．2a2+3a2＝5a4 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
6．（3分）如图，某学校九年级（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（ ）
A．2﹣4小时 B．4﹣6小时 C．6﹣8小时 D．8﹣10小时
7．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）一个不透明的口袋中有红、白两种颜色的球（除颜色外其它都相同），其中有红球3个，白球2个，若从中任意摸出两个球，这两个球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点A在y轴上，对角线AC⊥BC，AB∥x轴，CA的延长线交x轴于点E，连接DE，若双曲线y＝（x＞0）经过点B，且S△ADE＝6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为CD中点，点M为AD上一个动点，过点M作MF⊥BE于点F，交BC于点N，连接BM，EN，若AB＝2，BC＝3，则BM+EN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣3﹣1＝ ．
12．（3分）如图，∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA，垂足为D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 度．
13．（3分）关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，则实数a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，点D落在AB上，且恰好为AB的中点，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点M为斜边AB上一个动点，点N为直角边AC上一个动点，已知BC＝6，AC＝8，BM＝MN，当△AMN为直角三角形时，BM的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．
17．（9分）某校寒假开学后，举行了“疫情防护安全周”活动，并根据防护知识对全体学生进行了测试，校团委从八（1）班和八（2）班各随机抽取10份试卷进行统计分析，根据以下数据，请解决以下问题：
（1）收集数据：
八（1）班
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八（2）班
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
（注：满分100分，90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格）
（2）整理数据：
等级
频数
班级
优秀
良好
及格
不及格
八（1）班
2
3
a
0
八（2）班
1
4
4
1
表中a＝ ；
（3）分析数据：
班级
平均数
众数
中位数
八（1）班
b
c
77
八（2）班
74
74
d
表中b＝ ；c＝ ；d＝ ；
（4）描述数据：
①若该校八年级共600人，其中八（1）班和八（2）班各有50人，请估计八（1）班和八（2）以及整个八年级本次测试达到优秀的人数；
②结合上述数据信息，你认为八（1）班和八（2）班中哪个班学生本次测试的成绩更好，并说明理由．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD．
（1）求证：BD∥OC；
（2）若AB＝6，填空：
①当BE＝ 时，四边形ODBC是菱形；
②当BE＝ 时，S△BCE＝S△ABC．
19．（9分）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）
20．（9分）小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
21．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线第四象限抛物线上一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，连接PC，若△PCN与△BMN相似，求点P的坐标．
22．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6，点P为半圆上一个动点，连接PM，AP，过点A作AN⊥直线PM，垂足为N．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，AN，MN的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）小明设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，MN的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，AN，MN的长度的几组值，如表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
0
y2/cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
6
请计算，当PM⊥AB时，AP＝ cm；
（2）利用表格中的数据，在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，AP的长度约为 cm．（保留一位小数）
23．（11分）问题提出：
（1）在等腰直角三角形ABC中，以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFG，如图1，线段AF与线段BE的数量关系为 ．
深入探究：
（2）将正方形DEFG绕点D在平面内旋转，连接AF，DF，BE，（1）中的结论是否有变化？请说明理由；
拓展延伸：
（3）若AC＝2，正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，F在一条直线上时，直接写出线段BE的长．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）下面四个实数中最大的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【分析】根据实数的大小关系、算术平方根解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系以及算术平方根，得﹣2＜0＜1＜．
∴在﹣2、0、、1中最大．
故选：C．
2．（3分）下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．医疗卫生服务机构 B． 中国红十字会
C． 医疗废物 D．国际急救
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据拼成长方体的4种情况可判断．
【解答】解：拼成长方体的4种情况
1．“一•四•一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种．
2．“二•三•一”（或一•三•二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2个那行，相连的长方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二•二•二”型，成阶梯状．
4．“三•三”型，两行只能有1个长方形相连．
因此剪去①，剩下的图形可以折叠成一个长方体．
故选：A．
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣ab2）3＝a3b6
C．2a2+3a2＝5a4 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
B、原式＝﹣a3b6，不符合题意；
C、原式＝5a2，不符合题意；
D、原式＝4a2﹣b2，符合题意，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，某学校九年级（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（ ）
A．2﹣4小时 B．4﹣6小时 C．6﹣8小时 D．8﹣10小时
【分析】观察频数分布直方图，可得人数最多的一组．
【解答】解：观察频数分布直方图可得，人数最多的一组是4﹣6小时，
故选：B．
7．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．
【解答】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC＝3．
故选：B．
8．（3分）一个不透明的口袋中有红、白两种颜色的球（除颜色外其它都相同），其中有红球3个，白球2个，若从中任意摸出两个球，这两个球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和这两个球都是红球的情况数，则根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有20种等情况数，其中两个球都是红球的有6种，
则这两个球都是红球的概率是＝，
故选：D．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点A在y轴上，对角线AC⊥BC，AB∥x轴，CA的延长线交x轴于点E，连接DE，若双曲线y＝（x＞0）经过点B，且S△ADE＝6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
【分析】设点B的坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，AO＝n，由平行四边形的性质可得CD∥AB∥x轴，所以∠DCA＝∠CAO，结合∠BCA＝∠AOE＝90°，则可证明△ADC∽△OEA，根据相似三角形的性质可得AD•AE＝AO•CD＝mn，再根据S△ADE＝6即可得出k＝12．
【解答】解：设点B的坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，AO＝n，
∵CD∥AB∥x轴，
∴∠DCA＝∠CAO，
∵BC⊥AC，∠AOE＝90°，∠BCA＝∠AOE＝90°，
∴△ADC∽△OAE，
∴，
∴AD•AE＝OA•DC＝mn，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴k＝mn＝AD•AE＝2S△ADE＝12．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为CD中点，点M为AD上一个动点，过点M作MF⊥BE于点F，交BC于点N，连接BM，EN，若AB＝2，BC＝3，则BM+EN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作NP⊥AD于P，延长CD于G，使DG＝CE，连接GP，记PN，BE交于点Q，过点G作AD边的平行线，过M作GP边的平行线，两平行线相交于H，由矩形的性质知AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，CE＝DE＝CD＝1，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，再根据相似三角形的判定与性质可得MP＝，最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：过点N作NP⊥AD于P，延长CD于G，使DG＝CE，连接GP，记PN，BE交于点Q，过点G作AD边的平行线，过M作GP边的平行线，两平行线相交于H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，E为CD的中点，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，CE＝DE＝CD＝1，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵NP⊥AD，
∴NP∥CD，NP＝CD＝2，PD＝NC，
∵MF⊥BE，
∴∠PMN＝90°﹣∠PNM＝∠FGN＝∠BEC，
∴△BEC∽△NMP，
∴，
∴，
∴MP＝，
∵GP∥HM，GH∥AD，
∴四边形HMPG为平行四边形，
∴HG＝MP＝，HM＝GP，
∵PD＝NC，GP＝EC，∠PDG＝∠C＝90°，
∴Rt△GPD≌Rt△ENC（HL），
∴EN＝GP＝HM，
∴BM+EN＝BM+HM，
要使BM+HM最短，取需BM，HM在同一直线上，
此时BM∥EP∥EN，∠AMB＝∠MBC＝∠EHC，∠A＝∠C，
∴△ABM∽△CEN，
∴，
设AM＝x，则CN＝PD＝AD﹣AM﹣PM＝﹣x，
∴，
∴x＝，
∴AM＝，CN＝，
∴BM＝＝，EN＝＝，
∴BM+EN的最小值为：＝．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣3﹣1＝ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA，垂足为D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 140 度．
【分析】依据∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，可得∠AOC＝∠BOC＝25°，再根据CD⊥OA于点D，CE∥OB，即可得出∠DCP＝90°+25°＝115°，∠PCE＝∠POB＝25°，依据∠DCE＝∠DCP+∠PCE进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOP＝25°，
又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB，
∴∠DCP＝90°+25°＝115°，∠PCE＝∠POB＝25°，
∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝115°+25°＝140°，
故答案为：140．
13．（3分）关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，则实数a的取值范围是 a≥﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2a）≥0，
∴a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，点D落在AB上，且恰好为AB的中点，则阴影部分的面积为 ．
【分析】由旋转的性质及直角三角形的性质得出AC＝CD＝AD，得出△CDA是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ACD＝∠A＝60°，求出BC的长，由扇形的面积公式及三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，
∴CA＝DC，
∵D为AB的中点，
∴AD＝DB＝DC，
∴AC＝CD＝AD，
∴△CDA是等边三角形，
∴∠ACD＝∠A＝60°，
∴∠DCB＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∵AC＝1，
∴BC＝，
∴阴影部分的面积为＝S△ABC+S扇形BCE﹣S△DCE﹣S△ACD
＝S扇形BCE﹣S△ACD
＝﹣
＝．
故答案为．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点M为斜边AB上一个动点，点N为直角边AC上一个动点，已知BC＝6，AC＝8，BM＝MN，当△AMN为直角三角形时，BM的长为 或 ．
【分析】在Rt△ABC中，AB＝＝10，分两种情况①、②，利用相似三角形的线段比例关系即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
①当∠MNA＝90°时，
∵∠MNA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
∴，
∴MN＝，
∴BM＝，
②当∠NMA＝90°时，
∵∠NMA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝，
∴BM＝．
综上BM＝或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其解集，结合分式有意义的条件得出x的值，分别代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）•
＝••
＝，
解不等式组得﹣2＜x≤3，
所以整数解为﹣1，0，1，2，3，
要使原式有意义，x≠﹣1，0，2，
当x＝1时，原式＝＝1；
当x＝3时，原式＝．
17．（9分）某校寒假开学后，举行了“疫情防护安全周”活动，并根据防护知识对全体学生进行了测试，校团委从八（1）班和八（2）班各随机抽取10份试卷进行统计分析，根据以下数据，请解决以下问题：
（1）收集数据：
八（1）班
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八（2）班
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
（注：满分100分，90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格）
（2）整理数据：
等级
频数
班级
优秀
良好
及格
不及格
八（1）班
2
3
a
0
八（2）班
1
4
4
1
表中a＝ 5 ；
（3）分析数据：
班级
平均数
众数
中位数
八（1）班
b
c
77
八（2）班
74
74
d
表中b＝ 76 ；c＝ 74 ；d＝ 78 ；
（4）描述数据：
①若该校八年级共600人，其中八（1）班和八（2）班各有50人，请估计八（1）班和八（2）以及整个八年级本次测试达到优秀的人数；
②结合上述数据信息，你认为八（1）班和八（2）班中哪个班学生本次测试的成绩更好，并说明理由．
【分析】（2）根据收集的数据求解即可；
（3）根据众数、平均数及中位数的定义求解即可；
（4）①用总人数乘以样本中七、八年级成绩合格的人数和所占比例即可；
②比较平均数、优秀率，即可求解．
【解答】解：（2）由表可知，八（1）班及格的人数为5，
故答案为：5；
（3）八（1）班的平均数b＝×（80+74+83+63+90+91+74+61+82+62）＝76，
八（1）班的众数c＝74，
八（2）班的中位数d＝＝78，
故答案为：76，74，78；
（4）①八（1）班本次测试达到优秀的人数约有50×＝10（人），
八（2）班本次测试达到优秀的人数约有50×＝5（人），
整个八年级本次测试达到优秀的人数约有600×＝90（人）；
（3）八（1）班学生本次测试的成绩更好，
理由：因为八（1）班的平均成绩高于八（2）班，八（1）班的优秀率高于八（2）班，
所以八（1）班学生本次测试的成绩更好．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD．
（1）求证：BD∥OC；
（2）若AB＝6，填空：
①当BE＝ 2 时，四边形ODBC是菱形；
②当BE＝ 3 时，S△BCE＝S△ABC．
【分析】（1）连接CD，由C为优弧ABD的中点，可得△ACO≌△DCO（SSS），即得∠A＝∠ODC，可得∠ODC＝∠CDB，而OD＝OC，可得∠CDB＝∠OCD，故BD∥OC；
（2）①由BE是⊙O的切线，得∠ABE＝90°，又四边形ODBC是菱形，可得△OBC是等边三角形，∠OBC＝60°，从而∠A＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AB•tanA＝2；
②由∠ABE＝∠BCE＝90°，∠E＝∠E，得△ABE∽△BCE，有＝＝，根据S△BCE＝S△ABC，得＝，设CE＝t，则AC＝4t，AE＝5t，即得＝＝，解得t＝，即知BE＝t＝3．
【解答】（1）证明：连接CD，如图：
∵C为优弧ABD的中点，
∴AC＝CD，
又OA＝OD，OC＝OC，
∴△ACO≌△DCO（SSS），
∴∠A＝∠ODC，
∵＝，
∴∠A＝∠CDB，
∴∠ODC＝∠CDB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠CDB＝∠OCD，
∴BD∥OC；
（2）①解：如图：
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE＝90°，
∵四边形ODBC是菱形，
∴OC＝BC，
而OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝AB•tanA＝6×tan30°＝2，
故答案为：2；
②解：如图：
由（2）知∠ABE＝∠BCE＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△ABE∽△BCE，
∴＝＝，
∵S△BCE＝S△ABC，
∴＝，
设CE＝t，则AC＝4t，AE＝5t，
∴＝＝，
∴BE＝t，＝＝，
∴BC＝，
∴AC＝＝，
∴4t＝，
∴t＝，
∴BE＝t＝3，
故答案为：3．
19．（9分）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据坡度的概念得到CE＝AE，根据正切的定义列方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，
设AE＝x米，
∵CD⊥BD，AB⊥CD，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BE＝CD＝3米，CE＝DB，
∵斜坡AC的坡比i＝1：1，
∴CE＝AE＝x米，
∴AB＝（x+3）米，
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，即≈1.43，
解得：x≈6.98，
则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米），
答：土坡AB的高度约为10.0米．
20．（9分）小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
【分析】（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，根据购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元，列方程组求解即可；
（2）①设购买大卷壁纸x卷，根据总费用等于大、小卷费用之和列出函数关系式即可；②根据买壁纸的预算不能超过15000元，可求出x的最大值，再根据函数的性质求面积的最大值即可．
【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，
由题意得：，
解得：，
答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；
（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，
则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，
∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；
②∵y≤15000，
∴150x+10000≤15000，
解得：x≤，x为整数，
设贴墙壁的面积为S，
则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，
∵5＞0，
∴S随x的增大而增大，
∵x最大值为33，
∴Smax＝5×33+200＝365，
答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．
21．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线第四象限抛物线上一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，连接PC，若△PCN与△BMN相似，求点P的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求解．
（2）设点P（m，m2﹣m﹣3），分类讨论∠MPC＝90°和∠BCP＝90°两种情况，通过相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）将（4，0），（0，﹣3）代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）设点P（m，m2﹣m﹣3），
①当∠MPC＝90°时，如图，
∵MB//PC，
∴△MBN∽△PCN，
∵抛物线对称轴为直线x＝＝，点C坐标为（0，﹣3），
∴点P坐标为（，﹣3）．
②当∠BCP＝90°时，如图，作PQ⊥y轴于点Q，
∵∠BMN＝∠PCN＝90°，∠BNM＝∠PNC，
∴△BMN∽△PCN，
∵∠OCB+∠PCQ＝90°，∠PCQ+∠QPC＝90°，
∠PQC＝∠COB＝90°，
∴△PQC∽△COB，
∴，
∴，
解得m＝0（舍）或m＝．
∴m2﹣m﹣3＝﹣，
∴点P坐标为（，﹣）．
综上所述，点P坐标为（，﹣3）或（，﹣）．
22．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6，点P为半圆上一个动点，连接PM，AP，过点A作AN⊥直线PM，垂足为N．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，AN，MN的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）小明设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，MN的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，AN，MN的长度的几组值，如表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
0
y2/cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
6
请计算，当PM⊥AB时，AP＝ 4 cm；
（2）利用表格中的数据，在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，AP的长度约为 4.4或7.8 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）连接PB，由PM⊥AB，AB是半圆O直径，可得△APM∽△PBM，从而＝，PM2＝12，在Rt△APM中，即得AP＝4；
（2）根据（1）中列表，描点画出图象即可；
（3）观察y1与y2图象交点的横坐标即可得答案．
【解答】解：（1）连接PB，如图：
∵PM⊥AB，AB是半圆O直径，
∴∠AMP＝∠PMB，∠APM＝90°﹣∠BPM＝∠B，
∴△APM∽△PBM，
∴＝，
∵AB＝8，AM＝6，
∴BM＝2，
∴＝，
∴PM2＝12，
在Rt△APM中，AP＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象如下：
（3）由图可得：当AN＝MN时，AP的长度约为4.4cm或7.8cm，
故答案为：4.4或7.8．
23．（11分）问题提出：
（1）在等腰直角三角形ABC中，以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFG，如图1，线段AF与线段BE的数量关系为 AF＝BE ．
深入探究：
（2）将正方形DEFG绕点D在平面内旋转，连接AF，DF，BE，（1）中的结论是否有变化？请说明理由；
拓展延伸：
（3）若AC＝2，正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，F在一条直线上时，直接写出线段BE的长．
【分析】（1）根据△ABC是等腰直角三角形，得AF＝BC，再由正方形的性质即可得出结论；
（2）连接BD，CD，根据△ABD和△DEF都是等腰直角三角形，可证明△BDE∽△ADF，得，则有AF＝BE；
（3）分当点F在线段AE上或点F在线段AE的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得AE，从而得出AF的长，再根据（2）中结论即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AF＝BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴BC＝GF＝BE，
∴AF＝BE，
故答案为：AF＝BE；
（2）无变化，理由如下：
如图2，连接BD，CD，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝，
在正方形DEFG中，sin，
∴，
∵∠EDF＝∠BDA＝45°，
∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDA﹣∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∴△BDE∽△ADF，
∴，
∴AF＝BE，
∴线段AF与BE的数量关系无变化；
（3）线段BE的长为或，
如图，当点F在线段AE上时，
由（1）知，DE＝FE＝DG＝2，
在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝4，
根据勾股定理得：AE＝2，
∴AF＝AE﹣FE＝2﹣2，
由（2）知，AF＝BE，
∴BE＝﹣，
当点F在线段AE的延长线时，如图，
由（1）知，DE＝FE＝DG＝2，在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝4，
根据勾股定理得：AE＝2，
∴AF＝AE+FE＝2+2，
由（2）知，AF＝BE，
∴BE＝，
即当正方形DEFG旋转到A、E、F三点共线时，BE＝或．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）下面四个实数中最大的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
2．（3分）下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．医疗卫生服务机构 B． 中国红十字会
C． 医疗废物 D．国际急救
3．（3分）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣ab2）3＝a3b6
C．2a2+3a2＝5a4 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
6．（3分）如图，某学校九年级（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（ ）
A．2﹣4小时 B．4﹣6小时 C．6﹣8小时 D．8﹣10小时
7．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）一个不透明的口袋中有红、白两种颜色的球（除颜色外其它都相同），其中有红球3个，白球2个，若从中任意摸出两个球，这两个球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点A在y轴上，对角线AC⊥BC，AB∥x轴，CA的延长线交x轴于点E，连接DE，若双曲线y＝（x＞0）经过点B，且S△ADE＝6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为CD中点，点M为AD上一个动点，过点M作MF⊥BE于点F，交BC于点N，连接BM，EN，若AB＝2，BC＝3，则BM+EN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣3﹣1＝ ．
12．（3分）如图，∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA，垂足为D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 度．
13．（3分）关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，则实数a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，点D落在AB上，且恰好为AB的中点，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点M为斜边AB上一个动点，点N为直角边AC上一个动点，已知BC＝6，AC＝8，BM＝MN，当△AMN为直角三角形时，BM的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．
17．（9分）某校寒假开学后，举行了“疫情防护安全周”活动，并根据防护知识对全体学生进行了测试，校团委从八（1）班和八（2）班各随机抽取10份试卷进行统计分析，根据以下数据，请解决以下问题：
（1）收集数据：
八（1）班
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八（2）班
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
（注：满分100分，90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格）
（2）整理数据：
等级
频数
班级
优秀
良好
及格
不及格
八（1）班
2
3
a
0
八（2）班
1
4
4
1
表中a＝ ；
（3）分析数据：
班级
平均数
众数
中位数
八（1）班
b
c
77
八（2）班
74
74
d
表中b＝ ；c＝ ；d＝ ；
（4）描述数据：
①若该校八年级共600人，其中八（1）班和八（2）班各有50人，请估计八（1）班和八（2）以及整个八年级本次测试达到优秀的人数；
②结合上述数据信息，你认为八（1）班和八（2）班中哪个班学生本次测试的成绩更好，并说明理由．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD．
（1）求证：BD∥OC；
（2）若AB＝6，填空：
①当BE＝ 时，四边形ODBC是菱形；
②当BE＝ 时，S△BCE＝S△ABC．
19．（9分）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）
20．（9分）小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
21．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线第四象限抛物线上一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，连接PC，若△PCN与△BMN相似，求点P的坐标．
22．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6，点P为半圆上一个动点，连接PM，AP，过点A作AN⊥直线PM，垂足为N．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，AN，MN的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）小明设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，MN的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，AN，MN的长度的几组值，如表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
0
y2/cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
6
请计算，当PM⊥AB时，AP＝ cm；
（2）利用表格中的数据，在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，AP的长度约为 cm．（保留一位小数）
23．（11分）问题提出：
（1）在等腰直角三角形ABC中，以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFG，如图1，线段AF与线段BE的数量关系为 ．
深入探究：
（2）将正方形DEFG绕点D在平面内旋转，连接AF，DF，BE，（1）中的结论是否有变化？请说明理由；
拓展延伸：
（3）若AC＝2，正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，F在一条直线上时，直接写出线段BE的长．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）下面四个实数中最大的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【分析】根据实数的大小关系、算术平方根解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系以及算术平方根，得﹣2＜0＜1＜．
∴在﹣2、0、、1中最大．
故选：C．
2．（3分）下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．医疗卫生服务机构 B． 中国红十字会
C． 医疗废物 D．国际急救
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据拼成长方体的4种情况可判断．
【解答】解：拼成长方体的4种情况
1．“一•四•一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种．
2．“二•三•一”（或一•三•二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2个那行，相连的长方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二•二•二”型，成阶梯状．
4．“三•三”型，两行只能有1个长方形相连．
因此剪去①，剩下的图形可以折叠成一个长方体．
故选：A．
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣ab2）3＝a3b6
C．2a2+3a2＝5a4 D．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
B、原式＝﹣a3b6，不符合题意；
C、原式＝5a2，不符合题意；
D、原式＝4a2﹣b2，符合题意，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：B．
6．（3分）如图，某学校九年级（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（ ）
A．2﹣4小时 B．4﹣6小时 C．6﹣8小时 D．8﹣10小时
【分析】观察频数分布直方图，可得人数最多的一组．
【解答】解：观察频数分布直方图可得，人数最多的一组是4﹣6小时，
故选：B．
7．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D，E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点M；④分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点；⑤作直线GH，交AB于点N，连接MN．则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．
【解答】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC＝3．
故选：B．
8．（3分）一个不透明的口袋中有红、白两种颜色的球（除颜色外其它都相同），其中有红球3个，白球2个，若从中任意摸出两个球，这两个球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和这两个球都是红球的情况数，则根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有20种等情况数，其中两个球都是红球的有6种，
则这两个球都是红球的概率是＝，
故选：D．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点A在y轴上，对角线AC⊥BC，AB∥x轴，CA的延长线交x轴于点E，连接DE，若双曲线y＝（x＞0）经过点B，且S△ADE＝6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
【分析】设点B的坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，AO＝n，由平行四边形的性质可得CD∥AB∥x轴，所以∠DCA＝∠CAO，结合∠BCA＝∠AOE＝90°，则可证明△ADC∽△OEA，根据相似三角形的性质可得AD•AE＝AO•CD＝mn，再根据S△ADE＝6即可得出k＝12．
【解答】解：设点B的坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，AO＝n，
∵CD∥AB∥x轴，
∴∠DCA＝∠CAO，
∵BC⊥AC，∠AOE＝90°，∠BCA＝∠AOE＝90°，
∴△ADC∽△OAE，
∴，
∴AD•AE＝OA•DC＝mn，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴k＝mn＝AD•AE＝2S△ADE＝12．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为CD中点，点M为AD上一个动点，过点M作MF⊥BE于点F，交BC于点N，连接BM，EN，若AB＝2，BC＝3，则BM+EN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作NP⊥AD于P，延长CD于G，使DG＝CE，连接GP，记PN，BE交于点Q，过点G作AD边的平行线，过M作GP边的平行线，两平行线相交于H，由矩形的性质知AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，CE＝DE＝CD＝1，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，再根据相似三角形的判定与性质可得MP＝，最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：过点N作NP⊥AD于P，延长CD于G，使DG＝CE，连接GP，记PN，BE交于点Q，过点G作AD边的平行线，过M作GP边的平行线，两平行线相交于H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，E为CD的中点，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，CE＝DE＝CD＝1，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵NP⊥AD，
∴NP∥CD，NP＝CD＝2，PD＝NC，
∵MF⊥BE，
∴∠PMN＝90°﹣∠PNM＝∠FGN＝∠BEC，
∴△BEC∽△NMP，
∴，
∴，
∴MP＝，
∵GP∥HM，GH∥AD，
∴四边形HMPG为平行四边形，
∴HG＝MP＝，HM＝GP，
∵PD＝NC，GP＝EC，∠PDG＝∠C＝90°，
∴Rt△GPD≌Rt△ENC（HL），
∴EN＝GP＝HM，
∴BM+EN＝BM+HM，
要使BM+HM最短，取需BM，HM在同一直线上，
此时BM∥EP∥EN，∠AMB＝∠MBC＝∠EHC，∠A＝∠C，
∴△ABM∽△CEN，
∴，
设AM＝x，则CN＝PD＝AD﹣AM﹣PM＝﹣x，
∴，
∴x＝，
∴AM＝，CN＝，
∴BM＝＝，EN＝＝，
∴BM+EN的最小值为：＝．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣3﹣1＝ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA，垂足为D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 140 度．
【分析】依据∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，可得∠AOC＝∠BOC＝25°，再根据CD⊥OA于点D，CE∥OB，即可得出∠DCP＝90°+25°＝115°，∠PCE＝∠POB＝25°，依据∠DCE＝∠DCP+∠PCE进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝50°，OP平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOP＝25°，
又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB，
∴∠DCP＝90°+25°＝115°，∠PCE＝∠POB＝25°，
∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝115°+25°＝140°，
故答案为：140．
13．（3分）关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，则实数a的取值范围是 a≥﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣2a＝0有实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2a）≥0，
∴a≥﹣．
故答案为：a≥﹣．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，点D落在AB上，且恰好为AB的中点，则阴影部分的面积为 ．
【分析】由旋转的性质及直角三角形的性质得出AC＝CD＝AD，得出△CDA是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ACD＝∠A＝60°，求出BC的长，由扇形的面积公式及三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△DEC，
∴CA＝DC，
∵D为AB的中点，
∴AD＝DB＝DC，
∴AC＝CD＝AD，
∴△CDA是等边三角形，
∴∠ACD＝∠A＝60°，
∴∠DCB＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∵AC＝1，
∴BC＝，
∴阴影部分的面积为＝S△ABC+S扇形BCE﹣S△DCE﹣S△ACD
＝S扇形BCE﹣S△ACD
＝﹣
＝．
故答案为．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点M为斜边AB上一个动点，点N为直角边AC上一个动点，已知BC＝6，AC＝8，BM＝MN，当△AMN为直角三角形时，BM的长为 或 ．
【分析】在Rt△ABC中，AB＝＝10，分两种情况①、②，利用相似三角形的线段比例关系即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
①当∠MNA＝90°时，
∵∠MNA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
∴，
∴MN＝，
∴BM＝，
②当∠NMA＝90°时，
∵∠NMA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝，
∴BM＝．
综上BM＝或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其解集，结合分式有意义的条件得出x的值，分别代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）•
＝••
＝，
解不等式组得﹣2＜x≤3，
所以整数解为﹣1，0，1，2，3，
要使原式有意义，x≠﹣1，0，2，
当x＝1时，原式＝＝1；
当x＝3时，原式＝．
17．（9分）某校寒假开学后，举行了“疫情防护安全周”活动，并根据防护知识对全体学生进行了测试，校团委从八（1）班和八（2）班各随机抽取10份试卷进行统计分析，根据以下数据，请解决以下问题：
（1）收集数据：
八（1）班
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八（2）班
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
（注：满分100分，90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格）
（2）整理数据：
等级
频数
班级
优秀
良好
及格
不及格
八（1）班
2
3
a
0
八（2）班
1
4
4
1
表中a＝ 5 ；
（3）分析数据：
班级
平均数
众数
中位数
八（1）班
b
c
77
八（2）班
74
74
d
表中b＝ 76 ；c＝ 74 ；d＝ 78 ；
（4）描述数据：
①若该校八年级共600人，其中八（1）班和八（2）班各有50人，请估计八（1）班和八（2）以及整个八年级本次测试达到优秀的人数；
②结合上述数据信息，你认为八（1）班和八（2）班中哪个班学生本次测试的成绩更好，并说明理由．
【分析】（2）根据收集的数据求解即可；
（3）根据众数、平均数及中位数的定义求解即可；
（4）①用总人数乘以样本中七、八年级成绩合格的人数和所占比例即可；
②比较平均数、优秀率，即可求解．
【解答】解：（2）由表可知，八（1）班及格的人数为5，
故答案为：5；
（3）八（1）班的平均数b＝×（80+74+83+63+90+91+74+61+82+62）＝76，
八（1）班的众数c＝74，
八（2）班的中位数d＝＝78，
故答案为：76，74，78；
（4）①八（1）班本次测试达到优秀的人数约有50×＝10（人），
八（2）班本次测试达到优秀的人数约有50×＝5（人），
整个八年级本次测试达到优秀的人数约有600×＝90（人）；
（3）八（1）班学生本次测试的成绩更好，
理由：因为八（1）班的平均成绩高于八（2）班，八（1）班的优秀率高于八（2）班，
所以八（1）班学生本次测试的成绩更好．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD．
（1）求证：BD∥OC；
（2）若AB＝6，填空：
①当BE＝ 2 时，四边形ODBC是菱形；
②当BE＝ 3 时，S△BCE＝S△ABC．
【分析】（1）连接CD，由C为优弧ABD的中点，可得△ACO≌△DCO（SSS），即得∠A＝∠ODC，可得∠ODC＝∠CDB，而OD＝OC，可得∠CDB＝∠OCD，故BD∥OC；
（2）①由BE是⊙O的切线，得∠ABE＝90°，又四边形ODBC是菱形，可得△OBC是等边三角形，∠OBC＝60°，从而∠A＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AB•tanA＝2；
②由∠ABE＝∠BCE＝90°，∠E＝∠E，得△ABE∽△BCE，有＝＝，根据S△BCE＝S△ABC，得＝，设CE＝t，则AC＝4t，AE＝5t，即得＝＝，解得t＝，即知BE＝t＝3．
【解答】（1）证明：连接CD，如图：
∵C为优弧ABD的中点，
∴AC＝CD，
又OA＝OD，OC＝OC，
∴△ACO≌△DCO（SSS），
∴∠A＝∠ODC，
∵＝，
∴∠A＝∠CDB，
∴∠ODC＝∠CDB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠CDB＝∠OCD，
∴BD∥OC；
（2）①解：如图：
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE＝90°，
∵四边形ODBC是菱形，
∴OC＝BC，
而OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝AB•tanA＝6×tan30°＝2，
故答案为：2；
②解：如图：
由（2）知∠ABE＝∠BCE＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△ABE∽△BCE，
∴＝＝，
∵S△BCE＝S△ABC，
∴＝，
设CE＝t，则AC＝4t，AE＝5t，
∴＝＝，
∴BE＝t，＝＝，
∴BC＝，
∴AC＝＝，
∴4t＝，
∴t＝，
∴BE＝t＝3，
故答案为：3．
19．（9分）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据坡度的概念得到CE＝AE，根据正切的定义列方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，
设AE＝x米，
∵CD⊥BD，AB⊥CD，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BE＝CD＝3米，CE＝DB，
∵斜坡AC的坡比i＝1：1，
∴CE＝AE＝x米，
∴AB＝（x+3）米，
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，即≈1.43，
解得：x≈6.98，
则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米），
答：土坡AB的高度约为10.0米．
20．（9分）小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
【分析】（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，根据购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元，列方程组求解即可；
（2）①设购买大卷壁纸x卷，根据总费用等于大、小卷费用之和列出函数关系式即可；②根据买壁纸的预算不能超过15000元，可求出x的最大值，再根据函数的性质求面积的最大值即可．
【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，
由题意得：，
解得：，
答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；
（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，
则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，
∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；
②∵y≤15000，
∴150x+10000≤15000，
解得：x≤，x为整数，
设贴墙壁的面积为S，
则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，
∵5＞0，
∴S随x的增大而增大，
∵x最大值为33，
∴Smax＝5×33+200＝365，
答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．
21．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线第四象限抛物线上一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，连接PC，若△PCN与△BMN相似，求点P的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求解．
（2）设点P（m，m2﹣m﹣3），分类讨论∠MPC＝90°和∠BCP＝90°两种情况，通过相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）将（4，0），（0，﹣3）代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）设点P（m，m2﹣m﹣3），
①当∠MPC＝90°时，如图，
∵MB//PC，
∴△MBN∽△PCN，
∵抛物线对称轴为直线x＝＝，点C坐标为（0，﹣3），
∴点P坐标为（，﹣3）．
②当∠BCP＝90°时，如图，作PQ⊥y轴于点Q，
∵∠BMN＝∠PCN＝90°，∠BNM＝∠PNC，
∴△BMN∽△PCN，
∵∠OCB+∠PCQ＝90°，∠PCQ+∠QPC＝90°，
∠PQC＝∠COB＝90°，
∴△PQC∽△COB，
∴，
∴，
解得m＝0（舍）或m＝．
∴m2﹣m﹣3＝﹣，
∴点P坐标为（，﹣）．
综上所述，点P坐标为（，﹣3）或（，﹣）．
22．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6，点P为半圆上一个动点，连接PM，AP，过点A作AN⊥直线PM，垂足为N．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，AN，MN的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）小明设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，MN的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，AN，MN的长度的几组值，如表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
0
y2/cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
6
请计算，当PM⊥AB时，AP＝ 4 cm；
（2）利用表格中的数据，在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AN＝MN时，AP的长度约为 4.4或7.8 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）连接PB，由PM⊥AB，AB是半圆O直径，可得△APM∽△PBM，从而＝，PM2＝12，在Rt△APM中，即得AP＝4；
（2）根据（1）中列表，描点画出图象即可；
（3）观察y1与y2图象交点的横坐标即可得答案．
【解答】解：（1）连接PB，如图：
∵PM⊥AB，AB是半圆O直径，
∴∠AMP＝∠PMB，∠APM＝90°﹣∠BPM＝∠B，
∴△APM∽△PBM，
∴＝，
∵AB＝8，AM＝6，
∴BM＝2，
∴＝，
∴PM2＝12，
在Rt△APM中，AP＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象如下：
（3）由图可得：当AN＝MN时，AP的长度约为4.4cm或7.8cm，
故答案为：4.4或7.8．
23．（11分）问题提出：
（1）在等腰直角三角形ABC中，以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFG，如图1，线段AF与线段BE的数量关系为 AF＝BE ．
深入探究：
（2）将正方形DEFG绕点D在平面内旋转，连接AF，DF，BE，（1）中的结论是否有变化？请说明理由；
拓展延伸：
（3）若AC＝2，正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，F在一条直线上时，直接写出线段BE的长．
【分析】（1）根据△ABC是等腰直角三角形，得AF＝BC，再由正方形的性质即可得出结论；
（2）连接BD，CD，根据△ABD和△DEF都是等腰直角三角形，可证明△BDE∽△ADF，得，则有AF＝BE；
（3）分当点F在线段AE上或点F在线段AE的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得AE，从而得出AF的长，再根据（2）中结论即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AF＝BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴BC＝GF＝BE，
∴AF＝BE，
故答案为：AF＝BE；
（2）无变化，理由如下：
如图2，连接BD，CD，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝，
在正方形DEFG中，sin，
∴，
∵∠EDF＝∠BDA＝45°，
∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDA﹣∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∴△BDE∽△ADF，
∴，
∴AF＝BE，
∴线段AF与BE的数量关系无变化；
（3）线段BE的长为或，
如图，当点F在线段AE上时，
由（1）知，DE＝FE＝DG＝2，
在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝4，
根据勾股定理得：AE＝2，
∴AF＝AE﹣FE＝2﹣2，
由（2）知，AF＝BE，
∴BE＝﹣，
当点F在线段AE的延长线时，如图，
由（1）知，DE＝FE＝DG＝2，在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝4，
根据勾股定理得：AE＝2，
∴AF＝AE+FE＝2+2，
由（2）知，AF＝BE，
∴BE＝，
即当正方形DEFG旋转到A、E、F三点共线时，BE＝或．
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