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2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．0.01
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣3x）2×（﹣4x）＝﹣12x3 D．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12
3．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
4．（3分）如图，AB∥CE，BC平分∠ABD，若∠C＝28°，则∠BDE的度数是（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
5．（3分）在正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的平面展开图，那么在原正方体中与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝 B．你 C．大 D．牛
6．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
9．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，平均每人每周比原来多投递40件，已知快递公司的快递员人数不变，若设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1﹣（3.14﹣π）0﹣2cos45°＝ ．
12．（3分）五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ．
13．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为 cm．
14．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，然后从不等式组的整数解中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
17．（9分）某学校为了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）．
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图，（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79．
c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次测试中，小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是 年级的学生（填“八”或“九”）；
（2）若该学校八、九年级各有学生400人，假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 人；
②如果八年级排名（从高分到低分）在前10名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到 分才可以入选．
（3）根据信息，推断 年级学生运动状况更好，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
18．（9分）在某次航展上，一架飞机飞行到A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为65°，此时飞机飞行路线改为沿坡脚30°的方向朝斜上方直线飞行，飞机飞行6km到达B处，此时飞机飞行高度为5km，另一个观礼台D恰好在飞机的正下方，求两个观礼台C与D之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据tan65°≈2.14，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，≈1.73）
19．（9分）探究函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）．
（1）当x≥0时，列出函数y与x的几组对应值如表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
观察表中数据发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．请你在所给的平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时函数y的图象；
（2）当﹣4≤x＜0时，函数y1＝|x|即y1＝﹣x，∴当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小，且y1＞0．
对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而 ，且y2＞0．
结合上述分析，你发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而 ．
（3）直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象的交点情况是 ．
20．（9分）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
（2）为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
21．（10分）如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
23．（11分）问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围．
（1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD；
（2）解决问题：求线段AD长度的取值范围；
（3）方法运用：
如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．0.01
【分析】根据数的比较大小，正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行比较即可．
【解答】解：由数的比较可知，﹣5＜＜0＜0.01．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣3x）2×（﹣4x）＝﹣12x3 D．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，去括号的法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、3x与2x2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x2＝x4，故B不符合题意；
C、（﹣3x）2×（﹣4x）
＝9x2×（﹣4x）
＝﹣36x3，
故C不符合题意；
D、﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12，故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【分析】根据B、C表示的数的绝对值相等，可得原点的位置，根据原点的位置，可得A点表示的数．
【解答】解：如图：
由点B，C表示的数的绝对值相等，得
原点O的位置，
∴A点表示的数是﹣4．
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CE，BC平分∠ABD，若∠C＝28°，则∠BDE的度数是（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
【分析】由AB∥CD得到∠ABC＝∠C，又因为BC平分∠ABD，所以∠DBC＝∠ABC由此得到∠C＝∠CBD．在△BCD中利用三角形外角定理可以求出∠BDE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴∠C＝∠CBD，
在△BCD中，∠BDE＝2∠C＝2×28°＝56°．
故选：D．
5．（3分）在正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的平面展开图，那么在原正方体中与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝 B．你 C．大 D．牛
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”的特征可得，
“你”的对面是“年”，
“牛”的对面是“大”，
“祝”的对面是“吉”，
故选：A．
6．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合反比例函数的增减性分别分析得出答案．
【解答】解：A．反比例函数，图象必经过点（﹣1，﹣2），原说法正确，故此选项不合题意；
B．反比例函数，图象在第一、三象限，原说法正确，故此选项不合题意；
C．若x＜﹣1，则y＞﹣2，原说法错误，故此选项符合题意；
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2，原说法正确，故此选项不合题意；
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．
【解答】解：＝91.5（分），
即小明的总成绩是91.5分，
故选：B．
9．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，平均每人每周比原来多投递40件，已知快递公司的快递员人数不变，若设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则快递员更换了快捷的交通工具，后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：．
故选：C．
10．（3分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，则可对A选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到＝，＝，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，
∴＝＝，
∴∠COM＝∠COD＝∠DON，所以A选项的结论正确；
当OM＝MN，
而OM＝ON，
∴此时△MON为等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，则＝，
∴＝，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，所以C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，
∴3CD＞MN，所以D选项错误．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1﹣（3.14﹣π）0﹣2cos45°＝ ﹣1 ．
【分析】先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2﹣﹣1﹣2×
＝2﹣﹣1﹣
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ．
【分析】由四张背面完全相同的卡片上，正面分别是等边三角形、平行四边形、菱形、圆，不是中心对称图形的是直角三角形、等边三角形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵四张背面完全相同的卡片上，正面分别是直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，不是中心对称图形的是直角三角形，等边三角形，
∴从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
13．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为 8 cm．
【分析】根据题意可得，△ADE的最大面积是6（cm2），此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE＝2，再根据30度特殊角即可求出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：
△ADE的最大面积是6（cm2），
此时点D与点C重合，
如图，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
设DE＝x，则AE＝x，
∴S△ADE＝AE•DE
＝x•x
＝x2，
∴x2＝6，
解得x＝2（负值舍去），
∴DE＝2，
∴AD＝AC＝2DE＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴＝，
∴AB＝8cm．
故答案为：8．
14．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 4π ．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，
∵DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC＝20°，
∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，
∴S扇形DBE＝＝4π．
故答案为：4π．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 4或10﹣2 ．
【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝4；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝2，证明△PDN∽△MBP，得出比例线段，可求出答案
【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAM＝∠PAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
∴AN＝AM＝4；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝6，
∴BM＝AB﹣AM＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴，即，
∴PD＝x，
∴，
解得：x＝10﹣2或10+2（不合题意舍去），
综上所述，AN的长为4或10﹣2．
故答案为：4或10﹣2．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，然后从不等式组的整数解中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
【分析】先进行分式的混合运算化简，注意先算小括号里面的，然后算括号外面的，然后解不等式组确定不等式组的整数解，最后根据分式成立的条件确定x的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝；
解不等式组，
得：﹣1≤x≤，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2．
若分式有意义，只能取x＝2，
∴原式＝﹣＝﹣2
17．（9分）某学校为了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）．
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图，（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79．
c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次测试中，小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是 八 年级的学生（填“八”或“九”）；
（2）若该学校八、九年级各有学生400人，假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 160 人；
②如果八年级排名（从高分到低分）在前10名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到 80 分才可以入选．
（3）根据信息，推断 九 年级学生运动状况更好，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
【分析】（1）根据a、b的信息，可以推断76分在八年级的名次，再根据c中的信息，可以得到76分所在的位置，从而可以解答本题；
（2）①根据九年级的优秀率，可以计算出九年级学生达到优秀的人数；
②根据直方图中的数据，可以得到八年级学生至少要达到多少分才可以入选；
（3）先写出几年级的学生运动状况更好，然后根据题目中的数据说明理由即可．
【解答】解：（1）由a和b中信息可知，76分在八年级排在第16名，由c中九年级的中位数可知，76分排在第20名或21名，而小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是八年级学生，
故答案为：八；
（2）①400×40%＝160（人），
故预估九年级学生达到优秀的约有160人；
②由a中直方图中的数据可知，预估八年级学生至少要达到80分才可以入选；
故答案为：①160；②80；
（3）根据信息，推断九年级学生运动状况更好，
理由：从中位数看，八年级的中位数是（71+73）÷2＝71（分），小于九年级的中位数，说明九年级学生的成绩好于八年级；从优秀率看，八年级的优秀率是（3+9）÷40＝30%，小于九年级的优秀率，说明九年级的学生成绩要好一些．
18．（9分）在某次航展上，一架飞机飞行到A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为65°，此时飞机飞行路线改为沿坡脚30°的方向朝斜上方直线飞行，飞机飞行6km到达B处，此时飞机飞行高度为5km，另一个观礼台D恰好在飞机的正下方，求两个观礼台C与D之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据tan65°≈2.14，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，≈1.73）
【分析】过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，构造直角三角形，求出AE和AF的长，即可得到CD的长．
【解答】解：如图所示，过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，
则四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝6km，
∴BF＝AB＝3（km），AF＝＝＝3（km），
∵BD＝5km，
∴CE＝DF＝BD﹣BF＝2（km），
在Rt△ACE中，∠CAE＝65°，
∴tan∠CAE＝，
∴AE＝≈≈0.93（km），
∴EF＝AF﹣AE≈3﹣0.93≈4.3（km），
∴CD≈4.3（km），
答：两个观礼台C与D之间的距离约为4.3km．
19．（9分）探究函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）．
（1）当x≥0时，列出函数y与x的几组对应值如表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
观察表中数据发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．请你在所给的平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时函数y的图象；
（2）当﹣4≤x＜0时，函数y1＝|x|即y1＝﹣x，∴当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小，且y1＞0．
对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而 减小 ，且y2＞0．
结合上述分析，你发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
（3）直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象的交点情况是 0或1或2 ．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）利用一次函数、二次函数的性质解决问题即可；
（3）分a＞0，a＝0或a＜0三种情况，观察图象、结合（2）问的结论即可解答．
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）∵函数y2＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
∴当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小；
（3）由（1）（2）可得当﹣4≤x＜0时，时，y随x增大而减小，
把x＝﹣4代入y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4），
得×4×（42+4+1）＝14，
∵y＝|x|（x2﹣x+1）＝|x|•[（x﹣）2+]≥0，
∴a＜0时，直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象无交点；
当﹣4≤x＜0时，y随x增大而减小，x≥0时，y随x的增大而增大，x＝0时，y＝0．
∴a＝0时，直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象有且仅有1个交点；
a＞0时，直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象有2个交点，
故答案为：0或1或2．
20．（9分）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
（2）为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2）先求出该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；
当30＜x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70＜x≤100时，y＝2；
故y＝；
（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w的最大值为32，不合题意；
当30＜x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w的最大值为48，不合题意；
当70＜x≤100时，w＝2x﹣（x+1）﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，
所以产量至少要达到80吨．
21．（10分）如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式求解．
（2）先通过待定系数法求出直线解析式，作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，由OD将△AOB的面积分成1：2时可得AE：EF＝1：2或AE：EF＝2：1，求出点E横坐标代入直线解析式求解．
（3）设点P坐标为（m，n），分别讨论四边形AOBP为平行四边形、四边形APOB为平行四边形、四边形AOPB为平行四边形，根据对角线交点为对角线中点求解．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（2，6）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2+2x．
（2）设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），B（2，6）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝x+4，
作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，
当OD将△AOB的面积分成1：2时，AE：EF＝1：2或AE：EF＝2：1，
∵AF＝xB﹣xA＝2﹣（﹣4）＝6，
∴AE＝AF＝2或AE＝AF＝4，
①当AE＝2时，点D横坐标为﹣4+2＝﹣2，
把x＝﹣2代入y＝x+4得y＝﹣2+4＝2，
∴点D坐标为（﹣2，2）．
②当AE＝4时，点D横坐标为﹣4+4＝0，
把x＝0代入y＝x+4得y＝4，
∴点D坐标为（0，4）．
综上所述，点D坐标为（﹣2，2）或（0，4）．
（3）存在，
设点P坐标为（m，n），
∵点A坐标为（﹣4，0），点O坐标为（0，0），点B坐标为（2，6），
∴当四边形AOBP为平行四边形时，xA+xB＝xO+xP，yA+yB＝yO+yP，
即﹣4+2＝0+m，0+6＝0+n，
解得m＝﹣2，n＝6，
∴点P坐标为（﹣2，6）．
同理当四边形APOB为平行四边形时，由xA+xO＝xB+xP，yA+yO＝yB+yP可得m＝﹣6，n＝﹣6，
∴点P坐标为（﹣6，﹣6）．
当四边形AOPB为平行四边形时，由xA+xP＝xO+xB，yA+yP＝yO+yB可得m＝4，n＝6，
∴点P坐标为（4，6）．
综上所述，点P坐标为（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）或（4，6）时，以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【分析】（1）由D是的中点可得OD⊥AC，得出∠FAO+∠AOD＝90°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠C，得出∠CAE＝∠AOD，进而得出OA⊥AE，即可得出结论；
（2）连接AD，由D是的中点，得出DA＝DC，得∠DAC＝∠C，由DH＝9，tanC＝，可求出AD的长，进而在Rt△ADC中求出BD的长度，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠FAO+∠AOD＝90°，
∵∠CAE＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOD，
∴∠FAO+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AD，
∵D是的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADH中，tan∠DAC＝＝，
∵DH＝9，
∴，
∴AD＝12
∵∠B＝∠C，
∴tanB＝tanC＝，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴，
∴BD＝16，
∴AB＝＝＝20．
23．（11分）问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围．
（1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD；
（2）解决问题：求线段AD长度的取值范围；
（3）方法运用：
如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5；
（3）证明：如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，
∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝＝＝，且CD＝NF，
∴＝，
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．0.01
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣3x）2×（﹣4x）＝﹣12x3 D．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12
3．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
4．（3分）如图，AB∥CE，BC平分∠ABD，若∠C＝28°，则∠BDE的度数是（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
5．（3分）在正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的平面展开图，那么在原正方体中与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝 B．你 C．大 D．牛
6．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
9．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，平均每人每周比原来多投递40件，已知快递公司的快递员人数不变，若设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1﹣（3.14﹣π）0﹣2cos45°＝ ．
12．（3分）五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ．
13．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为 cm．
14．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，然后从不等式组的整数解中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
17．（9分）某学校为了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）．
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图，（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79．
c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次测试中，小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是 年级的学生（填“八”或“九”）；
（2）若该学校八、九年级各有学生400人，假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 人；
②如果八年级排名（从高分到低分）在前10名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到 分才可以入选．
（3）根据信息，推断 年级学生运动状况更好，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
18．（9分）在某次航展上，一架飞机飞行到A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为65°，此时飞机飞行路线改为沿坡脚30°的方向朝斜上方直线飞行，飞机飞行6km到达B处，此时飞机飞行高度为5km，另一个观礼台D恰好在飞机的正下方，求两个观礼台C与D之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据tan65°≈2.14，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，≈1.73）
19．（9分）探究函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）．
（1）当x≥0时，列出函数y与x的几组对应值如表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
观察表中数据发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．请你在所给的平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时函数y的图象；
（2）当﹣4≤x＜0时，函数y1＝|x|即y1＝﹣x，∴当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小，且y1＞0．
对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而 ，且y2＞0．
结合上述分析，你发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而 ．
（3）直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象的交点情况是 ．
20．（9分）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
（2）为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
21．（10分）如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
23．（11分）问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围．
（1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD；
（2）解决问题：求线段AD长度的取值范围；
（3）方法运用：
如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
2021年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．0.01
【分析】根据数的比较大小，正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行比较即可．
【解答】解：由数的比较可知，﹣5＜＜0＜0.01．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣3x）2×（﹣4x）＝﹣12x3 D．﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，去括号的法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、3x与2x2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x2＝x4，故B不符合题意；
C、（﹣3x）2×（﹣4x）
＝9x2×（﹣4x）
＝﹣36x3，
故C不符合题意；
D、﹣3（x﹣4）＝﹣3x+12，故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【分析】根据B、C表示的数的绝对值相等，可得原点的位置，根据原点的位置，可得A点表示的数．
【解答】解：如图：
由点B，C表示的数的绝对值相等，得
原点O的位置，
∴A点表示的数是﹣4．
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CE，BC平分∠ABD，若∠C＝28°，则∠BDE的度数是（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
【分析】由AB∥CD得到∠ABC＝∠C，又因为BC平分∠ABD，所以∠DBC＝∠ABC由此得到∠C＝∠CBD．在△BCD中利用三角形外角定理可以求出∠BDE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴∠C＝∠CBD，
在△BCD中，∠BDE＝2∠C＝2×28°＝56°．
故选：D．
5．（3分）在正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的平面展开图，那么在原正方体中与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝 B．你 C．大 D．牛
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”的特征可得，
“你”的对面是“年”，
“牛”的对面是“大”，
“祝”的对面是“吉”，
故选：A．
6．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合反比例函数的增减性分别分析得出答案．
【解答】解：A．反比例函数，图象必经过点（﹣1，﹣2），原说法正确，故此选项不合题意；
B．反比例函数，图象在第一、三象限，原说法正确，故此选项不合题意；
C．若x＜﹣1，则y＞﹣2，原说法错误，故此选项符合题意；
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2，原说法正确，故此选项不合题意；
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．
【解答】解：＝91.5（分），
即小明的总成绩是91.5分，
故选：B．
9．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，平均每人每周比原来多投递40件，已知快递公司的快递员人数不变，若设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则快递员更换了快捷的交通工具，后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：．
故选：C．
10．（3分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，则可对A选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到＝，＝，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，
∴＝＝，
∴∠COM＝∠COD＝∠DON，所以A选项的结论正确；
当OM＝MN，
而OM＝ON，
∴此时△MON为等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，则＝，
∴＝，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，所以C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，
∴3CD＞MN，所以D选项错误．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1﹣（3.14﹣π）0﹣2cos45°＝ ﹣1 ．
【分析】先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2﹣﹣1﹣2×
＝2﹣﹣1﹣
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ．
【分析】由四张背面完全相同的卡片上，正面分别是等边三角形、平行四边形、菱形、圆，不是中心对称图形的是直角三角形、等边三角形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵四张背面完全相同的卡片上，正面分别是直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，不是中心对称图形的是直角三角形，等边三角形，
∴从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
13．（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为 8 cm．
【分析】根据题意可得，△ADE的最大面积是6（cm2），此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE＝2，再根据30度特殊角即可求出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：
△ADE的最大面积是6（cm2），
此时点D与点C重合，
如图，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
设DE＝x，则AE＝x，
∴S△ADE＝AE•DE
＝x•x
＝x2，
∴x2＝6，
解得x＝2（负值舍去），
∴DE＝2，
∴AD＝AC＝2DE＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴＝，
∴AB＝8cm．
故答案为：8．
14．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 4π ．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，
∵DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC＝20°，
∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，
∴S扇形DBE＝＝4π．
故答案为：4π．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 4或10﹣2 ．
【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝4；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝2，证明△PDN∽△MBP，得出比例线段，可求出答案
【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAM＝∠PAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
∴AN＝AM＝4；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝6，
∴BM＝AB﹣AM＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴，即，
∴PD＝x，
∴，
解得：x＝10﹣2或10+2（不合题意舍去），
综上所述，AN的长为4或10﹣2．
故答案为：4或10﹣2．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，然后从不等式组的整数解中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
【分析】先进行分式的混合运算化简，注意先算小括号里面的，然后算括号外面的，然后解不等式组确定不等式组的整数解，最后根据分式成立的条件确定x的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝；
解不等式组，
得：﹣1≤x≤，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2．
若分式有意义，只能取x＝2，
∴原式＝﹣＝﹣2
17．（9分）某学校为了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）．
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图，（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79．
c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次测试中，小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是 八 年级的学生（填“八”或“九”）；
（2）若该学校八、九年级各有学生400人，假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 160 人；
②如果八年级排名（从高分到低分）在前10名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到 80 分才可以入选．
（3）根据信息，推断 九 年级学生运动状况更好，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
【分析】（1）根据a、b的信息，可以推断76分在八年级的名次，再根据c中的信息，可以得到76分所在的位置，从而可以解答本题；
（2）①根据九年级的优秀率，可以计算出九年级学生达到优秀的人数；
②根据直方图中的数据，可以得到八年级学生至少要达到多少分才可以入选；
（3）先写出几年级的学生运动状况更好，然后根据题目中的数据说明理由即可．
【解答】解：（1）由a和b中信息可知，76分在八年级排在第16名，由c中九年级的中位数可知，76分排在第20名或21名，而小勇的成绩是76分，在年级排名（从高分到低分）是第16名，由此可知他是八年级学生，
故答案为：八；
（2）①400×40%＝160（人），
故预估九年级学生达到优秀的约有160人；
②由a中直方图中的数据可知，预估八年级学生至少要达到80分才可以入选；
故答案为：①160；②80；
（3）根据信息，推断九年级学生运动状况更好，
理由：从中位数看，八年级的中位数是（71+73）÷2＝71（分），小于九年级的中位数，说明九年级学生的成绩好于八年级；从优秀率看，八年级的优秀率是（3+9）÷40＝30%，小于九年级的优秀率，说明九年级的学生成绩要好一些．
18．（9分）在某次航展上，一架飞机飞行到A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为65°，此时飞机飞行路线改为沿坡脚30°的方向朝斜上方直线飞行，飞机飞行6km到达B处，此时飞机飞行高度为5km，另一个观礼台D恰好在飞机的正下方，求两个观礼台C与D之间的距离．（结果精确到0.1km，参考数据tan65°≈2.14，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，≈1.73）
【分析】过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，构造直角三角形，求出AE和AF的长，即可得到CD的长．
【解答】解：如图所示，过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，
则四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝6km，
∴BF＝AB＝3（km），AF＝＝＝3（km），
∵BD＝5km，
∴CE＝DF＝BD﹣BF＝2（km），
在Rt△ACE中，∠CAE＝65°，
∴tan∠CAE＝，
∴AE＝≈≈0.93（km），
∴EF＝AF﹣AE≈3﹣0.93≈4.3（km），
∴CD≈4.3（km），
答：两个观礼台C与D之间的距离约为4.3km．
19．（9分）探究函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）．
（1）当x≥0时，列出函数y与x的几组对应值如表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
观察表中数据发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．请你在所给的平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时函数y的图象；
（2）当﹣4≤x＜0时，函数y1＝|x|即y1＝﹣x，∴当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小，且y1＞0．
对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而 减小 ，且y2＞0．
结合上述分析，你发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
（3）直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象的交点情况是 0或1或2 ．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）利用一次函数、二次函数的性质解决问题即可；
（3）分a＞0，a＝0或a＜0三种情况，观察图象、结合（2）问的结论即可解答．
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）∵函数y2＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
∴当﹣4≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣4≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小；
（3）由（1）（2）可得当﹣4≤x＜0时，时，y随x增大而减小，
把x＝﹣4代入y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4），
得×4×（42+4+1）＝14，
∵y＝|x|（x2﹣x+1）＝|x|•[（x﹣）2+]≥0，
∴a＜0时，直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象无交点；
当﹣4≤x＜0时，y随x增大而减小，x≥0时，y随x的增大而增大，x＝0时，y＝0．
∴a＝0时，直线y＝a（a为实数）与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象有且仅有1个交点；
a＞0时，直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣4）的图象有2个交点，
故答案为：0或1或2．
20．（9分）某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0＜x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．
（2）为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2）先求出该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；
当30＜x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70＜x≤100时，y＝2；
故y＝；
（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w的最大值为32，不合题意；
当30＜x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w的最大值为48，不合题意；
当70＜x≤100时，w＝2x﹣（x+1）﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，
所以产量至少要达到80吨．
21．（10分）如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式求解．
（2）先通过待定系数法求出直线解析式，作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，由OD将△AOB的面积分成1：2时可得AE：EF＝1：2或AE：EF＝2：1，求出点E横坐标代入直线解析式求解．
（3）设点P坐标为（m，n），分别讨论四边形AOBP为平行四边形、四边形APOB为平行四边形、四边形AOPB为平行四边形，根据对角线交点为对角线中点求解．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（2，6）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2+2x．
（2）设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），B（2，6）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝x+4，
作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，
当OD将△AOB的面积分成1：2时，AE：EF＝1：2或AE：EF＝2：1，
∵AF＝xB﹣xA＝2﹣（﹣4）＝6，
∴AE＝AF＝2或AE＝AF＝4，
①当AE＝2时，点D横坐标为﹣4+2＝﹣2，
把x＝﹣2代入y＝x+4得y＝﹣2+4＝2，
∴点D坐标为（﹣2，2）．
②当AE＝4时，点D横坐标为﹣4+4＝0，
把x＝0代入y＝x+4得y＝4，
∴点D坐标为（0，4）．
综上所述，点D坐标为（﹣2，2）或（0，4）．
（3）存在，
设点P坐标为（m，n），
∵点A坐标为（﹣4，0），点O坐标为（0，0），点B坐标为（2，6），
∴当四边形AOBP为平行四边形时，xA+xB＝xO+xP，yA+yB＝yO+yP，
即﹣4+2＝0+m，0+6＝0+n，
解得m＝﹣2，n＝6，
∴点P坐标为（﹣2，6）．
同理当四边形APOB为平行四边形时，由xA+xO＝xB+xP，yA+yO＝yB+yP可得m＝﹣6，n＝﹣6，
∴点P坐标为（﹣6，﹣6）．
当四边形AOPB为平行四边形时，由xA+xP＝xO+xB，yA+yP＝yO+yB可得m＝4，n＝6，
∴点P坐标为（4，6）．
综上所述，点P坐标为（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）或（4，6）时，以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【分析】（1）由D是的中点可得OD⊥AC，得出∠FAO+∠AOD＝90°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠C，得出∠CAE＝∠AOD，进而得出OA⊥AE，即可得出结论；
（2）连接AD，由D是的中点，得出DA＝DC，得∠DAC＝∠C，由DH＝9，tanC＝，可求出AD的长，进而在Rt△ADC中求出BD的长度，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠FAO+∠AOD＝90°，
∵∠CAE＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOD，
∴∠FAO+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AD，
∵D是的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADH中，tan∠DAC＝＝，
∵DH＝9，
∴，
∴AD＝12
∵∠B＝∠C，
∴tanB＝tanC＝，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴，
∴BD＝16，
∴AB＝＝＝20．
23．（11分）问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围．
（1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD；
（2）解决问题：求线段AD长度的取值范围；
（3）方法运用：
如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5；
（3）证明：如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，
∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝＝＝，且CD＝NF，
∴＝，
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
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