北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试精品单元测试课后练习题

绝密★启用前

北师大版初中数学八年级上册第一单元《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第一单元 满分：120分 考试时间：120分钟； 命题人：xxx

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的高为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为

A.  B.  C.  D.

3. 如图：三个正方形和一个直角三角形，图形的面积是   

A.
B.
C.
D. 无法确定

4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 下列五组数：、、、、、、、、、、，其中是勾股数的组数为   

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为     

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是，，，一只蚂蚊想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，以相同的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点若，，则等于     

A.  B.  C.  D.

9. 如图，透明的圆柱形玻璃容器容器厚度忽略不计的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是．

A.
B.
C.
D.

11. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在的正方形网格中有个格点，已经取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的概率是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为，高为的矮台，马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度                    ．

14. 如图，在中，，，以，为直径的半圆的面积分别为，，则           结果保留
    
     

15. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为，则的取值范围是_______．
16. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，蚂蚁爬行的最短距离为          ．

17. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为______边缘部分的厚度忽略不计

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）

18. 一块钢板形状如图所示，量得，，，，，请你计算一下这块钢板的面积．
    
     

19. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
    
    求证：；
    从三角板的刻度可知，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度的大小每块砖的厚度相等．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，，线段，，一机器人在点处．

若，求线段的长．

在的条件下，若机器人从点出发，以的速度沿着的三条边逆时针走一圈回到点，设行走的时间为，则为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形






 

21. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
     

若点在上，且满足时，求出此时的值；

若点恰好在的角平分线上，求的值．






 

22. 如图，在四边形中，，，试说明：．
    
     

23. 课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心把三角板掉到两墙之间如图，，，从三角板的刻度可知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方每块砖的厚度相等为          ．

24. 如图，长方形纸片沿对角线折叠，设点落在处，交于点，，，求阴影部分的面积．
    
    
     

25. 探究题：
    小明在玩积木游戏时，把三个正方体积木摆成一定的形状，从正面看到的图形如图所示．
    问题若为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为             
    问题若的面积为，的面积为，的面积为，则为             三角形
    图形变化：如图，分别以的三边为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间有什么关系吗请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理的运用及直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】
解：直角三角形的两条直角边分别为，，，
斜边为，
设斜边上的高为，则
，
解得．
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
又，
中，，
，
故选：．
先根据是等腰直角三角形，得出，再根据，在中，得到，最后利用勾股定理进行计算．
本题主要考查了勾股定理，解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据勾股定理列式计算即可得解；本题考查了勾股定理，是基础题，主要是对勾股定理的理解与应用．
【解答】
解：设的边长为，由勾股定理得，，
故A的面积．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理逆定理的运用，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】 中
中的数不全是正整数
中
中
中．
故有组勾股数．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积．
【解答】
解：如图，连接．

在中，
，，，
，
，
又，
是直角三角形，
这块地的面积的面积的面积
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】解：长方体展开，
可得：，
故最短路程为；
故选：．
将长方体展开，进而得出最短路线．
此题主要考查了平面展开最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键；在中，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得，解之即可得到答案．
【解答】
解：在中，
由勾股定理得，
连接，

从作法可知是的垂直平分线，
根据性质得出，
在中，
由勾股定理得，
即，
解得，
在中，
，
由勾股定理得，
解得．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】解：如图：将圆柱展开，为上底面圆周长的一半，
作关于的对称点，连接交于，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为的长，即，

延长，过作于，
，
，
中，由勾股定理得：，
则该圆柱底面周长为．
故选：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．
先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，；

如图，．

，
所以最短路线长是．
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用有关知识熟练掌握勾股定理是本题解题的关键观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出四个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】
解：如图所示：

，
，
大正方形的面积为
又大正方形的面积为，
，
，
即个直角三角形的面积之和为，
小正方形的面积为．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
由取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题主要考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：如图，，，，均可与点和组成直角三角形，

则使为直角三角形的概率是：．
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】如图，作，，

 ，
，
在和中，

，
，，
即，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故，
．
马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为．
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：如图所示：

当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
此时；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
由题意知，即，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是．
故答案是：．  

16.【答案】
 

【解析】分三种情况进行讨论：
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段，
在中，由勾股定理得
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段，
在中，由勾股定理得
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段段
在中，由勾股定理得．
因为，
所以情况的路线最短，故蚂蚁需要爬行的最短路程是．

 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决，属于中档题．
要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】
解：如图是其侧面展开图：

，，，
在中，，
，则．
故他滑行的最短距离约为．
故答案为：．  

18.【答案】解：，，
即，故，
同理，，



．
 

【解析】本题考查了勾股定理和它的逆定理，三角形的面积计算方法，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明是直角三角形是关键．
由勾股定理逆定理可得与均为直角三角形，进而可求解其面积．
 

19.【答案】证明：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，

；
解：由题意得：
一块墙砖的厚度为，
，，
由得：，
，
在中：，
，
，
解得，
答：砌墙砖块的厚度为．
 

【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可．
由题意得：，，根据全等可得，根据勾股定理可得，再解即可．
 

20.【答案】解：设为，则，．
由勾股定理得，
又，
，
解得，
线段的长为；
如图，作于点，

在的条件下，，，
则，
，则，
．
在中，，
，则，
，
当为时，是以点为直角顶点的直角三角形．
 

【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
设为，则，利用勾股定理得，解出即可；
由勾股定理知，作于点，在中，利用勾股定理可得，再利用时间路程速度即可得．
 

21.【答案】解：中，，，，
故AC，
，故AC，
设存在点，使得，
此时，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，；
当点在的平分线上时，
如图，过点作于点，则，
为的角平分线，
，
在和中，

≌，
此时，，
，
在中，，

即：，
解得：，
当时，在的角平分线上．
 

【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于中档题．
设存在点，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
当点在的平分线上时，如图，过点作于点，此时，，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
 

22.【答案】解：连接，

因为，
所以．
所以．
又因为，
所以．
所以 ，即．
所以．
 

【解析】见答案
 

23.【答案】
 

【解析】略
 

24.【答案】解：在和中，，，，

，
．

设 ，则．

在中，，

即，

，
 ．

【解析】见答案
 

25.【答案】解： ；直角．

理由：因为是直角三角形，所以．

因为， ，，

所以．

所以．

【解析】见答案