高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时训练

课时素养评价  三十七

函数的零点与方程的解

(15分钟　35分)

1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是              (　　)

A.f(3)<0

B.函数f(x)在定义域内是增函数

C.f(3)>0

D.函数f(x)在定义域内是减函数

【解析】选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点.若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数.

2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是 (　　)

【解析】选B.根据题意，函数f(x)=mx+1，

当m=0时，f(x)=1，没有零点，

当m≠0时，f(x)为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点，必有f(1)f(2)<0，即(m+1)(2m+1)<0，解可得：-1<m<-，

即m的取值范围为.

3.(2020·杭州高一检测)函数y=ln x+x-2的零点所在的区间是 (　　)

A.   B.(1，2)

C.(e，3)   D.(2，e)

【解析】选B.因为函数的定义域为(0，+∞)，是单调增函数，又f(1)=0-1<0，f(2)=ln 2>0，

故有f(1)·f(2)<0，所以函数零点所在区间是(1，2).

【补偿训练】

　　方程ln x+x-4=0的实根所在的区间为 (　　)

A.(1，2)    B.(2，3)

C.(3，4)    D.(4，5)

【解析】选B.令f(x)=ln x+x-4，在定义域上连续且单调递增，f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>0，

f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0，

故f(2)f(3)<0，故实根所在区间是(2，3).

4.已知函数f(x)=2x+x-8，若f(x0)=0，则 (　　)

A.0<x0<1   B.1<x0<2

C.2<x0<3   D.3<x0<4

【解析】选C.函数f(x)=2x+x-8，函数是增函数，

f(2)=4+2-8=-2<0，

f(3)=8+3-8=3>0，

f(2)f(3)<0，函数的零点在区间(2，3)内，

若f(x0)=0，则2<x0<3.

5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_______. 

【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，

所以即

所以g(x)=6x2-5x-1，

所以g(x)的零点为1和-.

答案：1和-

6.已知函数f(x)=

(1)在如图所示的坐标系中，作出函数f(x)的图象并写出单调区间.

(2)若f(a)=2，求实数a的值.

(3)当m为何值时，f(x)+m=0有三个不同的零点.

【解析】(1)函数图象如图，

由图可知，函数的减区间为 ；增区间为，(1，+∞).

(2)由f(a)=2，得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.

(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点，则-<-m≤0，解得0≤m<.

【补偿训练】

　　(2020·普宁高一检测)已知a>0，函数f(x)=，(x∈R).

(1)证明：f(x)是奇函数.

(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解，求a的值.

【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R)，可得定义域为R，且f(-x)=-=-f(x)，

所以f(x)为奇函数.

(2)方程f(x)=1只有一个实数解，

即为x2-ax+1=0，即Δ=a2-4=0，

解得a=2(-2舍去)，

所以a的值为2.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.(2020·十堰高一检测)若点(log147，log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上，则f(x)的零点为              (　　)

A.1   B.    C.2   D.

【解析】选D.根据题意，点(log147，log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上，

则log1456=k×log147+3，

解得k=-2，

则f(x)=-2x+3，若f(x)=0，则x=，

即f(x)的零点为.

2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是              (　　)

A.a<α<b<β    B.a<α<β<b

C.α<a<b<β    D.α<a<β<b

【解析】选C.因为α，β是函数f(x)的两个零点，

所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0，

结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间.

3.已知函数f(x)=若函数y=f(x)+2x+a有两个零点，则实数a的取值范围是              (　　)

A.(1，2]    B.[-2，-1)

C.[2，4]    D.[-4，-2)

【解析】选D.因为函数y=f(x)+2x+a有两个零点，

所以直线y=-2x-a与y=f(x)的图象有两个零点，

作出y=f(x)的图象如图所示：

若直线y=-2x-a经过点(1，0)，则a=-2，

若直线y=-2x-a经过点(1，2)，则a=-4.

所以当直线y=-2x-a与y=f(x)的图象有2个交点时，-4≤a<-2.

4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】选B.由题意，令f(f(x))-1=0，得

f(f(x))=1，令f(x)=t，由f(t)=1，得t=-1或t=，

作出函数f(x)的图象，如图所示，

结合函数f(x)的图象可知，f(x)=-1有1个解，f(x)=有2个解，

故y=f(f(x))-1的零点个数为3.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是 (　　)

A.-2   B.-1   C.-4   D.-3

【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，则<0，解得-4<a<-1，所以a的值可能是-2，-3.

6.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点，则m的值可以是 (　　)

A.m>4    B.4

C.0<m<4   D.0

【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|，

作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示：

因为f(x)恰好有两个不同的零点，

所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点，

所以m=0或m>4.

【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.(2020·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·

ln(x-2)的零点个数为_______. 

【解析】函数的定义域为{x|x>2}，

令(2x-3)·ln(x-2)=0，因为2x-3>0，

可得ln (x-2)=0，解得x=3.所以函数的零点只有1个.

答案：1

【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误，误认为零点个数为2.

8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-5是它的一个零点，且在(0，+∞)上是减函数，则该函数有_______个零点，这几个零点的和等于_______. 

【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，+∞)上是减函数，所以f(0)=0.

又因为f(-5)=0，所以f(5)=-f(-5)=0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.

答案：3　0

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.(2020·大庆高一检测)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x++m.

(1)确定实数m的值并求函数f(x)在R上的解析式.

(2)求满足方程f(x)=0的x的值.

【解析】(1)根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时，f(0)=4+m=0，解得：m=-4.

设x<0，则-x>0，

则f(-x)=2-x+-4=3·2x+-4，

又由f(-x)=-f(x)，

则f(x)=-3·2x-+4(x<0)，

故

(2)当x≥0时，f(x)=2x+-4，

令f(x)=0，得f(x)=2x+-4=0，

即(2x)2-4·2x+3=0，

解可得 2x=1或2x=3，即x1=0，x2=log23；

又由f(x)是定义在R上的奇函数，

则当x<0时，根为x3=-log23；

综合可得，方程f(x)=0的根为

x1=0，x2=log23，x3=-log23.

10.已知函数f(x)=(c为常数)，若1为函数f(x)的零点.

(1)求c的值.

(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数.

(3)已知函数g(x)=f(ex)-，求函数g(x)的零点.

【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点，

所以f(1)=0，即c=1.

(2)设0≤x1<x2≤2，

则f(x2)-f(x1)=-=，

因为0≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0，x2+1>0，x1+1>0，

所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数.

(3)令g(x)=f(ex)-=-=0，

所以ex=2，即x=ln 2，所以函数g(x)的零点是ln 2.

1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点，则g(x0)=              (　　)

A.4   B.5   C.2   D.3

【解析】选C.函数f(x)=ln x+x-4在x>0时是连续的增函数，

因为f(e)=1+e-4<0，f(3)=ln 3-1>0，

所以函数的零点所在的区间为(e，3)，

g(x0)=[x0]=2.

2.已知函数f(x)=x2-bx+3.

(1)若f(0)=f(4)，求函数f(x)的零点.

(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.

【解析】(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3，

即b=4，所以f(x)=x2-4x+3，

令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3，x2=1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.

需f(1)<0，即1-b+3<0，所以b>4.

故b的取值范围为(4，+∞).

关闭Word文档返回原板块