高中数学人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示习题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示习题，共8页。试卷主要包含了用区间表示下列数集，与函数y＝x－1为同一函数的是等内容，欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)
2．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3.用区间表示下列数集：
(1){x|x≤5}＝________；
(2){x|－3≤x＜9}＝________.
4．已知全集U＝R，A＝{x|－15.函数y＝eq \r(1－x)＋eq \r(x)的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
6．已知函数f(x)＝eq \f(6,x2－1)，求f(2)＝________.
7．已知矩形的周长为1，它的面积S是其一边长为x的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．
8．已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域为________.
9.与函数y＝x－1为同一函数的是( )
A．y＝eq \f(x2－x,x) B．m＝(eq \r(n－1))2
C．y＝x－x0 D．y＝eq \r(3,t－13)
10．下列各组函数中是相等函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1)
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
关键能力综合练
一、选择题
1．下列图象中表示函数图象的是( )
2．函数f(x)＝eq \r(1＋x)＋eq \f(x,1－x)的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
4．(易错题)下列各组函数中表示同一函数的是( )
①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；②f(x)＝|x|与g(x)＝eq \r(3,x3)；③f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
5．若函数f(x)＝eq \f(x－4,mx2＋4x＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
6．(探究题)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
二、填空题
7．设函数f(x)＝eq \f(1,x＋2)，则f(1)＝________；若f(f(x))＝eq \f(1,3)，则x＝________.
8．函数y＝eq \r(3－2x－x2)＋eq \f(1,4－x2)的定义域为________(用区间表示)．
9．(探究题)已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________________________________________________________________________.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2).
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
学科素养升级练
1．(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )
A．f(x)＝eq \f(1,x2) B．f(x)＝|x|
C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝x＋eq \f(1,x)
2．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))的值．
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
必备知识基础练
1．解析：对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
答案：B
2．解析：①x∈[0,1]不符合，②符合，③y∈[0,3]不符合，④不是函数，所以正确个数为1，选B.
答案：B
3．解析：(1)不等式中的“≤”对应闭区间，故{x|x≤5}＝(－∞，5]．
(2)不等式中的“≤”对应闭区间，“<”对应开区间，故{x|－3≤x<9}＝[－3,9)．
答案：(1)(－∞，5] (2)[－3,9)
4．解析：∁UA＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪(5，＋∞)
5．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1，故选D.
答案：D
6．解析：f(2)＝eq \f(6,4－1)＝2.
答案：2
7．解析：由实际意义知x>0，又矩形的周长为1，所以x答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
8．解析：∵f(x)的定义域为[－1,1]，
∴－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.
∴函数f(2x－1)的定义域为[0,1]．
答案：[0,1]
9．解析：A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.
答案：D
10．解析：对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域与对应关系相同，是相等函数；对于选项C，因为定义域不同，所以不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B.
答案：B
关键能力综合练
1．解析：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C.
答案：C
2．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x≥0，,1－x≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x≠1.))
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.
答案：D
3．解析：f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
答案：A
4．解析：①中，两函数定义域相同，都是(－∞，0]，但f(x)＝eq \r(－2x3)＝－xeq \r(－2x)与g(x)对应关系不同，不是同一函数；②中，两函数定义域相同，都是R，但g(x)＝eq \r(3,x3)＝x与f(x)对应关系不同，不是同一函数；③中，定义域相同，对应关系也相同；④中虽然表示自变量的字母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同．故选C.
答案：C
5．解析：①当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意．
②当m≠0时，由题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝16－4×3m<0，))解得m>eq \f(4,3).
由①②，知实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)).
答案：C
6．解析：要使g(x)＝eq \f(f2x,x－1)有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤2，,x－1≠0，))即0≤x＜1，故g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域为[0,1)，选B.
答案：B
7．解析：f(1)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3)；由f(f(x))＝eq \f(1,3)，
即eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,3)，得f(x)＝1，由eq \f(1,x＋2)＝1，解得x＝－1.故答案为eq \f(1,3)，－1
答案：eq \f(1,3)，－1
8．解析：使根式eq \r(3－2x－x2)有意义的实数x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x|－3≤x≤1}，使分式eq \f(1,4－x2)有意义的实数x的集合是{x|x≠±2}，所以函数y＝eq \r(3－2x－x2)＋eq \f(1,4－x2)的定义域是{x|－3≤x≤1}∩{x|x≠±2}＝{x|－3≤x≤1，且x≠－2}．
答案：[－3，－2)∪(－2,1]
9．解析：f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
答案：3
10．解析：(1)使根式eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq \f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是
{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1；
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；
f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).
学科素养升级练
1．解析：对于A，f(x)＝eq \f(1,x2)，当定义域分别为(－1,0)与(0,1)时，值域均为(1，＋∞)，所以f(x)＝eq \f(1,x2)为同族函数，所以A正确；对于B，f(x)＝|x|，当定义域分别为[－1,0]与[0,1]时，值域均为[0,1]，所以f(x)＝|x|为同族函数，所以B正确；对于C，f(x)＝eq \f(1,x)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以C错误；对于D，f(x)＝x＋eq \f(1,x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当定义域分别为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))与[1,2]时，值域均为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，所以D正确，综上，故选ABD.
答案：ABD
2．解析：x∈{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，∴x＝1时，f(1)＝－1；x＝2时，f(2)＝1；x＝3时，f(3)＝3；x＝4时，f(4)＝5；x＝5时，f(5)＝7，∴f(x)∈{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
3．解析：(1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝1.
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝2 018.
知识点一
函数关系的判断
知识点二
区间的表示
知识点三
求函数的定义域、函数值
知识点四
同一函数的判断