高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后练习题，共14页。试卷主要包含了3 对数，有下列说法等内容，欢迎下载使用。
新20版练B1数学人教A版4.3对数
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
第1课时 对数的概念和运算性质
考点1 对数的概念
1.(2019·湖北枝江一中月考)有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫作常用对数;
④以e为底的对数叫作自然对数。
其中正确的个数为(　　)。
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
答案:C
解析: ①③④正确,②不正确,只有a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式。
2.(2019·辽宁盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)。
A.e0=1与ln 1=0
B.log39=2与912 =3
C.8-13=12与log812=-13
D.log77=1与71=7
答案:B
解析: log39=2化为指数式为32=9,故选B。
3.(2019·成都四中月考)在b=loga-2(5-a)中,实数a的取值范围是(　　)。
A.(-∞,2)∪(5,+∞) B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5) D.(3,4)
答案:C
解析: 由对数的定义知5-a>0,a-2>0,a-2≠1,解得20,且a≠1,c>0,则将ab=c化为对数式为(　　)。
A.logab=c B.logac=b
C.logbc=a D.logca=b
答案:B
解析: 由对数的定义直接可得logac=b。
7.(2019·陕西西安中学期中考试)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(　　)。
A.d=ac B.a=dc
C.c=ad D.d=a+c
答案:B
解析: 由已知得5a=b,10c=b,∴5a=10c。∵5d=10,∴5dc=10c,∴5dc=5a,∴dc=a,故选B。
8.(2019·湖北武汉外国语学校期末考试)已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-12等于(　　)。
A.13 B.36 C.24 D.33
答案:C
解析: 由条件,知log3(log2x)=1,所以log2x=3,即x=23=8,所以x-12=8-12=1812=122=24。
9.(2019·江西临川一中周测)已知log12x=3,则x13=　　　　。 
答案: 12
解析: 由log12x=3,得x=123=18,所以x13=1813=12。
10.(2019·昆明一中单元检测)若a=lg 2,b=lg 3,则100a-b2的值为　　　　。 
答案:43
解析: ∵a=lg 2,∴10a=2。∵b=lg 3,∴10b=3,∴100a-b2=(10a)210b=43。
11.(2019·重庆巴蜀中学单元测试)若log31-2x9=1,则x=　　　　。 
答案: -13
解析: ∵log31-2x9=1,∴1-2x9=3,∴x=-13。
12.(2019·北大附中单元测评)已知4a=2,lg x=a,则x=　　　　。 
答案: 10
解析: ∵4a=2,∴a=12。∵lg x=a,∴x=10a=10。
考点2　对数的运算性质
13.(2019·河南郸城一高期中考试)若a>0且a≠1,b>0,c>0,则下列式子中正确的个数为(　　)。
①logabc=logablogac;
②loga(b·c)=loga(b+c);
③loga(b·c)=logab+logac;
④loga(b-c)=logablogac;
⑤loga(b+c)=logab·logac;
⑥logabc=logab-logac。
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析: 由对数运算法则loga(b·c)=logab+logac,logabc=logab-logac,知③⑥正确,易知其他都不正确,故选C。
14.(2019·湖南长沙一中期中考试)已知log3x=m,log3y=n,则log3xy·3y 用m,n可表示为(　　)。
A.12m-43n B.23m-13n
C.m-3n2 D.12m-23n
答案:D
解析: log3xy·3y=log3x-log3y·3y=log3x12-log3(y·y13)12=12log3x-23log3y=12m-23n。
15.(2019·深圳中学单元测试)若lg x=lg a+2lg b-31g c,则x=(　　)。
A.a+2b-3c B.a+b2-c3
C.ab2c3 D.2ab3c
答案:C
解析: ∵lg x=lg a+2lg b-3lg c=lgab2c3,∴x=ab2c3,故选C。
16.(2019·宁波二中月考)计算12log64+log63(log312-2log32)=(　　)。
A.0 B.1 C.2 D.4
答案:B
解析: 12log6 4+log6 3=log6 412+log6 3=log62+log6 3=log6 6=1,log3 12-2log3 2=log3 12-log3 4=log3 3=1,∴12log64+log63·(log3 12-2log3 2)=1,故选B。
17.(2019·广西河池示范性高中课改联盟体高一联考)若xlog43=12,则log23x+9x等于(　　)。
A.3 B.5 C.7 D.10
答案:B
解析: xlog4 3=12⇒log4 3x=12 ,则log2 3x=1,∴3x=2,则log2 3x+9x=5。
18.(2019·南宁二中月考)已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值是(　　)。
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:C
解析: 由题意得lg a+lg b=2,lg a·lg b=12,则lg ab2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×12=2,故选C。
19.(2019·北京第四中学高一期中)log64+log69-823=　　　　。 
答案: -2
解析: 原式=log6 36-(23)23=2-4=-2,故答案为-2。
20.(2019·桂林一中月考)若lg x-lg y=a,则lgx23-lgy23=　　　　。(用含有a的式子表示) 
答案: 3a
解析: ∵lg x-lg y=a,∴lg xy=a,∴lgx23-lg y23=lg x23y23=lg xy3=3lg xy=3a。
考点3　对数恒等式
21.(2019·湖北黄石二中月考)若a=log43,则2a+2-a=　　　　。 
答案:433
解析: 2a+2-a=2log43+2-log43=2log2 3+2-log23=3+13=433。
22.(2019·南京一中单元测试)52log510+log(2-1)(3+22)=　　　　。 
答案: 98
解析: 52log510=(5log510)2=102=100,log2-1(3+22)=log2-1(2+1)2=log2-1(2-1)-2=-2。所以原式=98。
23.(2019·合肥一中周练)3log9(6+2)2+5log25(2-6)2=　　　　。 
答案: 26
解析: 3log9(6+2)2+5log25(2-6)2=3log3(6+2)+5log5(6-2)=6+2+6-2=26。
24.(2019·河北衡水中学高一期中)计算log327+lg 25+lg 4+7log72的结果为　　　　。 
答案:7
解析: log3 27+lg 25+lg 4+7log72=log3 33+lg 52+lg 22+2=3+2(lg 5+lg 2)+2=3+2+2=7。
考点4　对数的概念和运算性质的综合
25.(2019·石家庄二中月考)已知ab>0,给出下面四个等式:
①lg(ab)=lg a+lg b;
②lg ab=lg a-lg b;
③12lgab2=lgab;
④lg(ab)=1logab10。
其中正确的个数为(　　)。
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析:当a0,12lgab2=lgab,③正确;当ab=1时,④错误。因此只有一个正确,故选B。
26.(2019·太原二中单元测试)若alog53=1,则3a+9a的值为(　　)。
A.15 B.20 C.25 D.30
答案:D
解析: alog5 3=1,∴a=1log53=log3 5,∴3a+9a=3log35+(3log35)2=5+25=30。
27.(2019·黄冈中学单元测试)完成下列问题。
(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值;
答案: ∵log189=a,log1854=b,∴18a=9,18b=54,∴182a-b=182a18b=9254=32。
(2)已知logx27=31+log32,求x的值。
答案: ∵logx27=31+log32=3·3log32=3×2=6,
∴x6=27,∴x6=33,又x>0,∴x=3。
28.(2018·昆明一中单元测试)已知lg 2=a,lg 3=b。
(1)用a,b表示lg 15;
答案: lg 15=lg 302=lg 30-lg 2=1+lg 3-lg 2=1+b-a。
(2)用a,b表示lg 45。
答案: lg 45=12lg 45=12lg 902=12(lg 9+lg 10-lg 2)=12(2lg 3+1-lg 2)=12(2b+1-a)。
第2课时　换底公式和对数运算的综合问题答案　 P235
考点1　对数的换底公式
1.(2019·湖大附中单元测试)log38·log49=(　　)。
A.14　　　　　B.12　　　　　C.2　　　　　D.3
答案:D
解析: 原式=lg8lg3·lg9lg4=3lg2lg3·2lg32lg2=3。
2.(2019·长沙一中月考)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为(　　)。
A.160 B.60 C.2003 D.320
答案:B
解析: 由已知得logm(xyz)=logm x+logm y+logm z=112,logm x=124,logm y=140,故logm z=112-logm x-logm y=112-124-140=160,所以logz m=60。
3.(2019·江西赣州十三县市高一期中考试)若log2x·log34·log59=8,则x等于(　　)。
A.8 B.25 C.16 D.4
答案:B
解析: ∵log2 x·log3 4·log5 9=lgxlg2·lg4lg3 ·lg9lg5 =lgxlg2 ·2lg2lg3 ·2lg3lg5 =8,∴lg x=2lg 5,∴x=25。
4.(2019·四川南充一中高一月考)log29·log34等于(　　)。
A.14 B.12 C.2 D.4
答案:D
解析: log2 9·log3 4=lg9lg2·lg4lg3=2lg3·2lg2lg2·lg3=4。
5.(教材习题改编)已知3m=4n=12,则1m+1n=　　　　。 
答案:1
解析: 由3m=4n=12可知m=log3 12,n=log4 12,故1m=log12 3,1n=log12 4,从而1m+1n=log12 3+log12 4=log12 12=1。
6.(2019·南昌一中月考)化简(log43+log83)(log32+log92)=　　　　。 
答案:54
解析: 原式=log23log24+log23log281log23+1log2 32=54。
7.(2019·上海理工大附中高一期中)已知log32=a,则log3218用a表示为　　　　。 
答案: a+25a
解析: 因为log3 2=a,所以log2 3=1a,所以log32 18=15log2(2×32)=15(1+2log23)=151+2×1a=a+25a。
8.(2019·湖南岳阳一中月考)计算log9427的值为　　　　。 
答案:38
解析: log9427=lg433lg9=lg 334lg 32=34lg32lg3=38。
9.(2019·湖北孝感高中期中考试)若log23·log36m·log96=12,则实数m的值为　　　　。 
答案:4
解析: ∵log2 3·log36 m·log9 6=lg3lg2·lgmlg36·lg6lg9=lgm4lg2=14log2m=12,∴log2 m=2,∴m=4。
10.(2019·昆明一中单元测试)已知a=lg 2,10b=3,那么用a,b表示log125=　　　　。 
答案: 1-ab+2a
解析: ∵10b=3,∴b=lg 3,∴log125=lg102lg(3×22)=lg10-lg2lg3+2lg2=1-ab+2a。
考点2　对数的运算性质和换底公式的应用
11.(2019·哈尔滨三中月考)计算2log63+log64的结果是(　　)。
A.2 B.log62
C.log63 D.3
答案:A
解析: 2log6 3+log6 4=log6 9+log6 4=log636=2。
12.(2019·兰州九中单元测试)若lg x=m,lg y=n,则lgx-lgy102的值等于(　　)。
A.12m-2n-2 B.12m-2n-1
C.12m-2n+1 D.12m-2n+2
答案:D
解析: lgx-lgy102=12lg x-2(lg y-lg10)=12m-2n+2。
13.(2019·武汉中学单元测试)log225·log34·log59的值为(　　)。
A.6 B.8 C.15 D.30
答案:B
解析: log225·log3 4·log5 9=2log2 5·2log23·2log23log25=8,故选B。
14.(2019·安徽毛坦厂中学月考)式子log32·log227的值为(　　)。
A.2 B.3 C.13 D.-3
答案:B
解析: log3 2·log2 27=lg2lg3·lg27lg2=lg27lg3=log3 27=3,故选B。
15.(2019·东北育才中学月考)已知函数f(x)=aln x+blg x+2,且f12 009=4,则f(2 009)的值为(　　)。
A.-4 B.2 C.0 D.-2
答案:C
解析: 依题意得,f12 009=aln12009+blg12 009+2=-(aln 2 009+blg 2 009)+2=4,所以aln 2 009+blg 2 009=-2,则f(2 009)=aln 2 009+blg 2 009+2=-2+2=0。故选C。
16.(2019·江西九江一中单元测评)2723-2log23×log218+2lg(3+5+3-5)=。
答案:19
解析: 原式=(33)23-2log23×log2 2-3+lg(3+5+3-5)2=32-3×(-3)+lg[6+2(3+5)(3-5)]=18+lg 10=19。
17.(2019·青岛一中单元测试)已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg 2)+flg12=　　　　。 
答案:2
解析: ∵f(x)+f(-x)=ln(1+9x2-3x)+1+ln(1+9x2+3x)+1=2+ln(1+9x2-9x2)=2,∴f(lg 2)+flg 12=f(lg 2)+f(-lg 2)=2。
18.(2019·广西南宁三中高一段考)计算:
(1)log225·log322·log59;
答案: 原式=2log2 5×32log32×2log5 3=6×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5=6。
(2)log23·log32-12-2log43+492560.5+6427-23。
答案: ∵log2 3·log3 2=1,12-2log43=4log43=3,
492560.5=4925612=716,6427-23=433×-23=43-2=916,∴log2 3·log3 2-12-2log43+492560.5+6427-23=1-3+716+916=-1。
考点3　对数运算的实际应用
19.(2019·西安调考)某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数。经检测,当t=2时,μ=0.9μ0,则当稳定性系数降为0.5μ0时,该种汽车已使用的年数为　　　　(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)。 
答案: 13
解析: 由0.9μ0=μ0e-2λ=μ0(e-λ)2,得e-λ=0.9 。令0.5μ0=μ0(e-λ)t,得0.5=(0.9)t,两边取常用对数,得lg0.5=t2lg 0.9,故t=2lg21-2lg3≈13。
20.(2019·镇江一中单元测试)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙,研究某种候鸟的专家发现,该种候鸟的飞行速度v(单位:m·s-1)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是常数)。据统计,该种鸟类在静止时的耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,飞行速度为1 m·s-1。若这种候鸟为赶路程,飞行的速度不能低于2 m·s-1,求其耗氧量至少要多少个单位。
答案: 解:由题意,知a+blog3 3010=0,a+blog3 9010=1,解得a=-1,b=1,所以v=-1+log3 Q10,要使飞行速度不低于2 m·s-1,则有v≥2,即-1+log3 Q10≥2,即log3Q10≥3,解得Q10≥27,即Q≥270。所以耗氧量至少要270个单位。
考点4　对数的综合
21.(2019·湖南师大附中单元测评)设f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*),现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n叫作“贺数”,则在区间(1,2 015)内所有“贺数”的个数是(　　)。
A.9 B.10 C.29 D.210
答案: A
22.(2018·海淀二模)定义ab=a12+b-13,a*b=lg a2-lg b12。若M=948125,N=2*125,则M+N=　　　　。 
答案:5
解析: M=9412+8125-13=32+52=4,N=lg(2)2-lg12512=lg 2+lg 5=1,故M+N=5。
23.(2019·广西北海模块统考)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py。
(1)求p的值;
答案: 解:设3x=4y=6z=k(k>1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k。由2x=py,得2log3k=plog4 k=p·log3klog34。
∵log3 k≠0,∴p=2log3 4=4log32。
(2)求证:1z-1x=12y。
答案: 证明:1z-1x=1log6k-1log3k=logk 6-logk 3=logk 2,
又∵12y=12logk 4=logk2,∴1z-1x=12y。
24.(2019·广东阳江高一期末调考)已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值。
答案: 解:原等式可化为
loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],
∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1)。
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,∴xy=3,x=2y。∴yx=12。
∴log8yx=log8 12=log232-1=-13log2 2=-13。