2021学年第5章 概率5.2 概率及运算巩固练习
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5.2.2概率的运算同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
- 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是
A.
B.
C.
D.
- 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为
A. B. C. D.
- 下列各对事件中，不互为相互独立事件的是
A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现点或点”
B. 袋中有白、黑共个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”
C. 袋中有白、黑共个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
D. 甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出名男生”，事件“从乙组中选出名女生”
- 从，，，，，这个数字中任取三个数字，其中：至少有一个偶数与都是偶数；至少有一个偶数与都是奇数；至少有一个偶数与至少有一个奇数；恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是
A. B. C. D.
- 某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为则透镜落地次以内含次被打破的概率是 ．
A. B. C. D.
- 某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为
A. B. C. D.
- 从名男老师和名女老师中任选名老师，那么互斥而不对立的事件是
A. 至少有一名男老师与都是男老师
B. 至少有一名男老师与都是女老师
C. 恰有一名男老师与恰有两名男老师
D. 至少有一名男老师与至少有一名女老师
- 排球比赛的规则是局胜制无平局，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是
A. B. C. D.
- 甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A. B. C. D.
- 某保险公司把被保险人分为类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”统计资料表明，这类人在一年内发生事故的概率依次为，和如果“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则一个被保险人在一年内出事故的概率是
A. B. C. D.
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 已知件产品中有件合格品，件次品，为找出这件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为 ；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为 ．
- 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立则该选手恰好回答了个问题就晋级下一轮的概率为 ，该选手回答了个问题结束的概率为
- 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
- 在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和在同一时间内，求：
甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为
至少有一个气象台预报准确的概率为 ．
- 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设两次都击中飞机，两次都没击中飞机，恰有一次击中飞机，至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是 ，互为对立事件的是 ______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．
求至少回答对一个问题的概率；
求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列；
求这位挑战者闯关成功的概率．
- 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．
用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
- 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
求甲连续射击次，至少有次未击中目标的概率
求两人各射击次，甲恰有次击中目标且乙恰有次击中目标的概率
假设每人连续次未击中目标，则终止其射击问：乙恰好射击次后，被终止射击的概率是多少
- 甲、乙、丙三人在同一办公室工作办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立，求：
这三个电话是打给同一个人的概率；这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．
- 小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有个红球，个黄球，个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球．
若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率
若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查事件的关系及概率计算．
设开关，，闭合的事件分别为，，，则灯亮这一事件，
由于，，相互独立，可得，，互斥，即可得
，
计算即可求得结果．
【解答】
解：设开关，，闭合的事件分别为，，，
则灯亮这一事件，
且，，相互独立，，，互斥，
所以
．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件和对立事件的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．
【解答】
解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．
他们不去北京旅游的概率分别为，，，
至少有人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，
至少有人去北京旅游的概率为．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：根据事件的特点易知，事件是否发生对事情发生的概率没有影响，故与是相互独立事件，故A，，属于相互独立事件．
对于：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件；
故选：．
利用对立事件和互斥事件的概念求解．
本题考查对立事件的判断，解题时要认真审题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：从，，，，，这个数字中任取三个数字，
在中，至少有一个偶数与都是偶数能同时发生，不是互斥事件，故不成立；
在中，至少有一个偶数与都是奇数是对立事件，故不成立；
在中，至少有一个偶数与至少有一个奇数能同时发生，不是互斥事件，故不成立；
在中，恰有一个偶数与恰有两个偶数不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立的事件，故成立．
故选：．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
本题考查互斥但不对立的事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥、对立事件的性质的合理运用．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要．
分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可．
【解析】
解：透镜落地次，恰在第一次落地打破的概率为，
恰在第二次落地打破的概率为，
恰在第三次落地打破的概率为，
落地次以内被打破的概率．
故选．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，互斥事件与对立事件，属于中档题．
根据题意得到，进而得到即可．
【解答】
解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则，
所以，
所以，
所以该同学一个社团都不进入的概率：
．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，属于基本概念题．
根据互斥事件和对立事件的定义对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】
解：中的两个事件不是互斥事件，所以不正确；
中的两个事件是对立事件，所以不正确；
中的两个事件互斥，但不对立，所以正确；
中的两个事件不是互斥事件，所以不正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与独立事件的概率公式．
最后乙队获胜含种情况：第三局乙胜，第三局甲胜，第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．
【解答】
解：根据题意，最后乙队获胜含种情况：
第三局乙胜，概率为；
第三局甲胜，第四局乙胜，概率为；
第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，概率为；
最后乙队获胜的概率为：．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
根据题意，两个零件中恰有一个一等品，即甲加工的零件为一等品而乙不是，或乙加工的零件为一等品而甲不是，结合对立事件和互相独立事件的概率公式计算即可得解．
【解答】
解：设事件：甲实习生加工的零件为一等品，
事件：乙实习生加工的零件为一等品，
则，，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
．
10.【答案】
【解析】解：某保险公司把被保险人分为类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．
统计资料表明，这类人在一年内发生事故的概率依次为，和．
“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，
则一个被保险人在一年内出事故的概率是：
．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出一个被保险人在一年内出事故的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品有两种可能：正次正次，正正次次，利用概率公式即可求出答案．
【解答】
解：第一次和第二次都检验出次品的概率为，
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品有两种可能：正次正次，正正次次，其概率为，
故答案为；．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的计算，解题的关键是要分析题意，确定满足条件的情况，再根据独立事件的概率公式求得结果，考查学生的计算能力和应用能力，属于一般题．
根据题意得到必有第个问题回答错误，第、个回答正确，第个问题可对可错，计算概率得到答案；
根据题意，设答对的事件为，可分第个问题回答正确与错误两类，若第个问题回答正确有或两类情况，若第个问题回答错误，第，两个问题回答均错误或有且只有个错误，再根据相互独立事件的概率计算可得．
【解答】
解：根据题意，记该选手恰好回答了个问题就晋级下一轮为，
若该选手恰好回答了个问题就晋级下一轮，必有第个问题回答错误，第、个回答正确，第个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
由相互独立事件的概率公式得：．
根据题意，设答对的事件为，可分第个问题回答正确与错误两类，若第个问题回答正确则有或两类情况，其概率为：
，
若第个问题回答错误，第，两个问题回答均错误或有且只有个错误，则所求概率为：
，
所以选手回答了个问题结束的概率为：，
故答案为：，．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件与相互独立事件同时发生的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
根据互斥事件与相互独立事件同时发生的的概率公式计算即可．
【解答】
解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，
则甲、乙两球都落入盒子的概率，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相互独立事件的判断与概率计算，是基础题．
记“甲气象台预报天气准确”为事件，“乙气象台预报天气准确”为事件根据独立事件概率即可得出结果；
至少有一个气象台预报准确的概率为，从而得出结果．
【解答】
解：记“甲气象台预报天气准确”为事件，“乙气象台预报天气准确”为事件．
．
至少有一个气象台预报准确的概率为，
故答案为；．
15.【答案】与 ； 与 ；与 ；与
与
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件和对立事件的概念，根据事件的关系即可求解．
【解答】
解：全集共包含三个基本事件：“两次都击中飞机”“两次都没击中”“恰有一弹击中飞机”．
显然：，，，，故A与，与，与，与为彼此互斥的事件，
而，显然，，故B与互为对立事件．
故答案为与，与，与，与；与．
16.【答案】解：依题意，设事件表示“至少回答对一个问题”，则事件的对立事件表示“三个问题全部回答错误”，
；
这位挑战者回答这三个问题的总得分所有可能的取值为，，，，，，
，，
，，
，．
所以的分布列为：
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| |||
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|
依题意总分不低于分就算闯关成功，
这位挑战者闯关成功的概率．
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法，考查离散型随机变量的概率分布列，考查运算求解能力，是中档题．
设事件表示“至少回答对一个问题”，则事件的对立事件表示“三个问题全部回答错误”，求出，根据互为对立事件的概率关系即可得到结论；
依题意，这位挑战者回答这三个问题的总得分所有可能的取值为，，，，，，分别求出对应概率，列出分布列即可；
结合闯关成功为不低于分，即由中分布列即可得到结论．
17.【答案】解：单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，人数比为：：：，
从中抽取人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人．
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．
用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，
随机变量的取值为：，，，，，，，，．
所以随机变量的分布列为：
|
| |||
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|
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随机变量的数学期望；
设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件为：抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，事件为抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，
则：，且，，
故．
所以事件发生的概率：．
【解析】本题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定的可能取值，求出相应的概率是关键．
利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；
若用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数的可能值，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解数学期望；
利用互斥事件的概率加法公式求解即可．
18.【答案】解：记“甲连续射击次，至少有次未击中目标”为事件，
则事件的对立事件为“甲连续射击次，全部击中目标”．
由题意，知射击次相当于做次独立重复试验，
所以，
所以，
所以甲连续射击次，至少有次未击中目标的概率为．
记“甲射击次，恰好有次击中目标”为事件，
“乙射击次，恰好有次击中目标”为事件，
则，
．
由于甲、乙射击相互独立，
故．
所以两人各射击次，甲恰有次击中目标且乙恰有次击中目标的概率为．
记“乙恰好射击次后，被终止射击”为事件，
“乙第次射击未击中”为事件，
则，且．
由于各事件相互独立，故
．
所以乙恰好射击次后，被终止射击的概率为．
【解析】
【分析】首先求解出甲连续射击次，全部击中目标的概率，然后利用对立事件进行求解即可；
本题是条件概率，首先求解出甲射击次，恰好有次击中目标的概率，然后求解出乙射击次，恰好有次击中目标的概率，然后利用相互独立条件进行求解即可；
因为每人连续次未击中目标，则终止其射击，然而乙恰好射击次后被终止射击，所以可以判断乙和没有射中，也就是第次一定要中，和次可以有一次不中，按照这样列出等式进行求解即可．
19.【答案】解：Ⅰ由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：．
Ⅱ这是，的独立重复试验，
故所求概率为：．
【解析】三个电话是打给同一个人的包括打给甲的，打给乙的，打给丙的，因各个电话相互独立且前面所说的三件事不可能同时发生，由互斥事件和相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
三个电话有两个是打给甲的，打给甲的概率是，三次试验打给甲发生了两次，根据独立重复试验公式得到结果．
本题考查了相互独立事件同时发生的概率和互斥事件以及二项分布，是一般题．
20.【答案】解：甲盒子中装有个大小和质地相同的球，取到个红球的概率为，取到个黄球的概率为，取到个蓝球的概率为，
乙盒子中装有个大小和质地相同的球，取到个红球的概率为，取到个黄球的概率为，取到个蓝球的概率为，
则两个同学各取一个球，取出的两个球颜色相同的概率为：，
所以取出的两个球颜色不相同的概率为：．
由题意可知：，则的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为：
期望．
【解析】
【分析】本题主要考查概率的求法，考查对立事件，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
根据题意取出的两球是不同颜色的对立事件是取出的两球是相同颜色，取出的两球是相同颜色包含取出的两球都是红色，都是白色，都是黑色，写出事件包含的基本事件数，得到概率，根据对立事件的概率得到最后结果．
变量为球颜色相同的次数，则的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望．
数学湘教版（2019）第5章 概率5.2 概率及运算课后练习题： 这是一份数学湘教版（2019）第5章 概率5.2 概率及运算课后练习题，共4页。
高中湘教版（2019）第5章 概率5.2 概率及运算精练： 这是一份高中湘教版（2019）第5章 概率5.2 概率及运算精练，共5页。
湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算练习题： 这是一份湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算练习题，共11页。试卷主要包含了3B等内容，欢迎下载使用。
