高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.1 向量测试题

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1.1向量同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 有关向量和向量，下列四个说法中：
   若，则；
   若，则或；
   若，则；
   若，则．
   其中的正确有     

A.  B.  C.  D.

2. 下列结论中正确的为     

A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向

3. 如图，网格纸上小正方形的边长为，，分别是的边，的中点，则     

A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
 

4. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是

长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

平行且模相等的两个向量是相等向量；

若，则；

两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A.  B.  C.  D.

5. 给出下列结论：数轴是向量角度有正角和负角之分，所以角度是向量下列说法正确的是

A. 正确，错误 B. 错误，正确
C. 都正确 D. 都错误

6. 给出下列结论：数轴是向量；角度有正角和负角之分，所以角度是向量．它们的正、误情况是       

A. 正确，错误 B. 错误，正确
C. 都正确 D. 都错误

7. 下列关于向量的命题正确的是

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则

8. 已知平面向量满足对任意都有，成立，，，则的值为   

A.  B.  C.  D.

9. 判断下列命题：两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；若，则与的方向相同或相反；若且，则；若，则其中正确的命题个数为   

A.  B.  C.  D.

10. 已知平行四边形，下列各组向量中，是该平面内所在向量基底的是     

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数

A.  B.  C.    D.  

12. 下列命题：零向量没有方向；单位向量都相等；向量就是有向线段；两向量相等，若起点相同，终点也相同；若四边形为平行四边形，则其中正确命题的个数是   

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知向量，满足，，则的最小值是          ，最大值是          ．
14. 如图，已知网格小正方形的边长为，点是阴影区域内的一个动点包括边界，，在格点上，则的最小值是          ；最大值是          ．
     

15. 如图，在平行四边形中，          ，          ．
    
     

16. 在复平面内，是原点，向量对应的复数为若点关于虚轴的对称点为点，则向量对应的复数为          ；若点关于原点的对称点为点，则向量对应的复数为          ．
17. 已知向量，，则          ；若，则          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 一辆消防车从地去地执行任务，先从地向北偏东方向行驶千米到地，然后从地沿北偏东方向行驶千米到达地，从地又向南偏西方向行驶千米才到达地．

在图中作出，，，；

求地相对于地的位置．






 

19. 已知向量，，，其中．

当时，求值的集合；

求的最大值．






 

20. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点设，．
     

用，表示．

过点的直线与边，分别交于点，设，，求的值．






 

21. 如图，在中，分别是的中点，
    
    用，表示；
    若为线段上的点，且，用向量方法证明：三点共线．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示，中，，，，分别是边，上的点，且，，设与相交于，用向量，表示．
     

23. 如图，在四边形中，是边长为的正三角形，设．
    若，求；
    若，，求、．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念，向量相等的概念，属于基础题．
根据向量的概念对各选项逐项进行分析、判断即可．

【解答】

解：若，则，故正确；
若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故错误；
若，则向量的长度不一定相等，故错误；
若，则，故正确．
故正确的有，共个．
故选B ．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的相关概念，属于基础题．
根据向量的概念判断各个选项．

【解答】解：选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确
选项，向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确
选项，当时，无意义，故C不正确
选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量模的计算及平面向量几何表示，属基础题目．
结合图形可求向量的模长及平面向量几何表示，

【解答】

解：由题意，
因为，分别是的边，的中点，
所以，
故选B．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的概念、相等向量、向量的模，属于基础题．
根据向量相等概念，向量的模对选项逐一判断．

【解答】

解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正确；
当时，也有，不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，不正确．
综上可知只有正确，
故选B．

5.【答案】
 

【解析】略
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念，向量是具有大小又有方向的量，所以根据概念即可得到答案．

【解答】

解：数轴具有方向，但无长度，故不是向量，所以错误；

角度无方向，只有大小，故不是向量，所以错误，

故选D．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，属于基础题．
根据向量的定义即可判断A错误，根据向量共线的定义即可判断B错误，显然正确，对于选项D，当时，便得不出，即得出选项D错误．
【解答】
解：对于：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；
对于：长度相等不能得出向量相互平行，故该选项错误；
对于：若，，显然可得出，故该选项正确；
对于：若，不共线，，则该选项错误．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的加减运算及正余弦定理的应用，同时考查平面向量的几何表示，属于较难题．
由已知得，然后画出图形，结合已知和正余弦定理求解即可．
【解答】
解： 如下图，

因为任意都有，
所以由图知，
同理，
记，
则，都在以为直径的圆上，如下图，

因为，，
所以，，
所以由余弦定理有，
又，
所以，
所以由正弦定理有．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量的运算法则、向量是矢量不能比较大小，是基础题．
利用向量的定义以及向量共线基本定理判断命题的真假即可．

【解答】
解：对于，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同；故正确；
对于，当是零向量时，不能说与方向相同或相反，故不正确；
对于，如果，则与可以不共线，故不正确；
对于，向量不能比较大小，故不正确；
故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查基底的概念，属于基础题．
熟练掌握基底的定义是解答的关键．分析向量之间是否共线后，可得答案．

【解答】

解：如下图所示：不平行，又不共线的向量只有，
故选D．

11.【答案】
 

【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为．


则，，．
向量，
．
，，
实数．
故选：．
如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为可得，，坐标，根据向量，即可得出．
本题考查了平面向量坐标运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的概念及几何表示以及单位、零、共线、相等向量的概念，属于基础题；

零向量的方向是任意的可判断；单位向量方向不一定相同可判断；有向线段只是向量的一种表示形式可判断；根据向量的二要素可判断；由相等向量的定义可判断，进而可得正确答案．

【解答】

解：对于：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故不正确．

对于：单位向量只是模均为单位，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故不正确．

对于：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故不正确，

对于：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故正确；

对于：如图：

若四边形为平行四边形，则，且方向相同，所以，
与的模长相等但方向相反，所以与不相等，故不正确；

所以正确的有一个，

故选A．

13.【答案】

【解析】解：设，，
记，则，如图，

由余弦定理可得：
，
，
令，，
则、，其图象为一段圆弧，如图，

令，则，
则直线过、时，最小，，
当直线与圆弧相切时，最大，
由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，
也就是圆弧所在圆的半径的倍，
所以．
综上所述，的最小值是，最大值是．
故答案为：；．
根据题意，可知，，转化为线性规划问题，计算即得结果．
本题考查向量的模，余弦定理，线性规划等基础知识，考查数形结合能力，考查运算求解能力，属于较难题．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的减法运算，属于基础题，由题意，，问题转化为求点到阴影区域中的点距离的最值即可．
【解答】
解：由题意，，问题转化为求点到阴影区域中的点距离的最值，
当点在阴影正方形右下顶点时，取最小值为网格小正方形的对角线长；
当点在阴影正方形左上顶点时，取最大值为网格小正方形的对角线长的倍，即．
故答案为；．  

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何表示，向量的运算法则和相等向量，属于基础题．
根据向量的几何表示，向量的运算法则和相等向量等知识，可得出结果．

【解答】

解：根据向量的平行四边形法则可得：；
根据向量的三角形法则可得：
，
又四边形是平行四边形，
和不仅方向相同，模长也相等，故，
故答案为：；或；

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的几何意义，根据向量，复数的几何意义是解决本题的关键．比较基础．
根据向量，复数的几何意义，结合点的对称性进行求解即可．

【解答】
解：向量对应的复数为，即，
点关于虚轴的对称点为，
则向量对应的复数是，
点关于原点的对称点为点，则，
向量对应的复数为，
故答案为；．

17.【答案】   

【解析】

【分析】

本题考查向量模的求法，考查向量的坐标运算，是基础题．
直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．

【解答】

解：，；
由，，且，
得，即．
故答案为：；．

18.【答案】解：向量，，，，如图所示：

由题意知，
所以，则四边形为平行四边形，
所以，
则地相对于地的位移为“在北偏东的方向距地千米”．
 

【解析】本题考查向量的概念及几何表示、向量相等的概念，属于基础题．
根据题意直接画图即可；
由题意知，所以，则四边形为平行四边形，得出，即可求出结果．
 

19.【答案】解：，


，
解得，，解得
值的集合为
，

，
时，的最大值为．
 

【解析】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，可得，解得．
，利用向量模的计算公式即可得出．
 

20.【答案】解：，，设，
，
．
，，三点共线，
，共线，从而
又，
，
即，，三点共线，
，共线，
即 
联立解得
故．
，，
，
，
，共线，
即．
故：．
 

【解析】本题考查平面向量的基本定理，向量的加减法以及向量的数乘运算，向量共线的充要条件，属于中档题．
设，利用向量的减法法则得，结合，共线得到关于，的方程：，同理得联立求解即可得到结论．
应用题中条件结合中结论得，．
结合，共线得，整理即可得到欲证结论．
 

21.【答案】解：
．

，

，        
所以．
所以三点共线．
 

【解析】本题考查了学生对向量加减运算的掌握以及对向量共线充要条件应用的理解，属于中档题．
由平面向量加法的三角形法则进一步表示可得结果，证明向量与共线，根据与共线有公共点，可证得结论．
 

22.【答案】解：，，
设，，
则，
与不共线，

．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量基本定理，考查向量的加减运算，考查分析问题解决问题的能力，属中档题根据题意，用表示出，再用表示出来即可．  

23.【答案】解：当时，，由题意可得，，
所以，
因为；
因为，
，
由可得，．
 

【解析】本题考查了平面向量的应用，主要考查了向量模的求解、平面向量数量积定义的应用以及平面向量数量积的运算律，属于中档题．
利用平面向量数量积的定义求出，然后由求解即可；
利用平面向量数量积的运算律分别表示出，，得到关于，的方程组，求解即可．