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湘教版（2019）必修 第二册1.4 向量的分解与坐标表示课后作业题
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这是一份湘教版（2019）必修 第二册1.4 向量的分解与坐标表示课后作业题，共27页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】C，【答案】D，因为BE⊥AC，等内容，欢迎下载使用。
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若BE=λBA+μBC，则λ+μ的值为( )
A. 107B. 98C. 2516D. 2918
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC=23，BM+12CB=0，DC=λDN，若AM⋅AN=29，则λ=( )
A. 18B. 17C. 16D. 15
已知，，，则的最大值为
A. B. C. D.
如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=( )
A. 23AB+13AD
B. 13AB+23AD
C. 34AB+34AD
D. 23AB+23AD
已知|OA|=3，|OB|=3，OA⋅OB=0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则mn的值为 ( )
A. 2B. 52C. 3D. 4
正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=( )
A. 2B. 83C. 65D. 85
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上的一点，BE⊥AC，若BA=λBE+μAC，则λ+μ的值为( )
A. -925B. 725C. 1625D. 1
在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM+AN=1，设AC=xAM+yAN，则2x+3y的最小值为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O.若OA=mOC+nOJ，则mn=( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 1
如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF·AE=|AE|2，则|AF|=( )
A. 3
B. 5
C. 32
D. 52．
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，▵ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若BE→=λBA→+μBC→，则λ+μ的值为( )
A. -925B. 725C. 2516D. 1
如图，点A，B，C，P均在正方形刚格的格点上．若AP=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+2μ=( )
A. 1B. C. D. 2
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
在△ABC中，M，N分别在AB，BC上，且AM=2MB,BN=3NC，AN交CM于点P，若BP=xPA+yBC，则x= ，y= ．
如图在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，且满足AE=13ED，F为BE上一点，且满足，AF=mAB+nAD(m>0,n>0)，则mn的最大值为 ，4n+mmn的最小值为 ．
已知向a=(3,-2)，b=(2,-1)，c=(7,- 4)，且c=λa+μb，则λ= ，μ= ；
已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的动点，若AC=xAP+yDE，则AC⋅AP的最小值是 (1) ，x+y的最大值是 (2) ．
已知O为△ABC的外心，且BO=λBA+μBC．
①若∠C=90°，则λ+μ= ；
②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在ΔABC中，BC=4,csB=14，AE=EC,P为BE上一点，且满足AP=34AB+mAC．(1)求实数m的值；
(2)求AP⋅AC的最小值．
如图，扇形OAB的圆心角为90°，OA=2，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点．
(1)若∠BON=30°，试用向量OA，OB表示向量ON；
(2)求MB⋅ON的取值范围．
如下图，在▵OAB中，P为边AB上的一点，BP=2PA，|OA|=6，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°．
(1)设OP=xOA+yOB，求x，y的值；
(2)求OP⋅AB的值．
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(1)用向量OA，OB表示向量CB；
(2)若点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
已知向量OA=(-1,-2)，OB=(-m,2)，OC=(3,-1)，O为坐标原点．
(1)若AB⊥AC，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，试用OA，OB表示OC．
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查平面向量的坐标运算、向量垂直的判断与证明，考查数形结合思想，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题意建立直角坐标系，得到A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，计算求解即可得到答案．
【解答】
解：由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为AB=3，BC=4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，
设E(a,3)，则AC=4,-3，BE=a,3，
因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4,-3·a,3=4a-9=0，
解得a=94，
由BE=λBA+μBC，得(94,3)=λ0,3+μ4,0，
所以4μ=943λ=3，解得λ=1μ=916,
所以λ+μ=2516，
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．
【解答】
解：作出图形，建立如图所示的坐标系，
设N(x,y)，因为AC=23，∠ABC=120∘，故BD=2，
则A(-3,0)，M(32,12)，D(0,-1)，C(3,0)，
则AM=(332,12)，DC=(3,1)=λDN=λ(x,y+1)．
由题可知λ≠0，
故N(3λ,1λ-1)，
所以AN=(3λ+3,1λ-1)，
故AM⋅AN=5λ+4=29，
解得λ=15．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的坐标运算及平面向量的基本定理，属于中档题．
由题可知△OMN为等边三角形，则OM⋅ON=|OM|⋅|ON|⋅cs60∘=12，通过向量坐标运算进行转化可得|PO|=23，即可求得|2PM-PN|的最大值．
【解答】
解：由题可知，M，N为单位圆O:x2+y2=1上的两个动点且满足|MN|=1，
由|MN|=1可知，△OMN为等边三角形，
则OM⋅ON=|OM|⋅|ON|⋅cs60∘=12，
所以，(2OM-ON)2=4-4OM⋅ON+1=3，则|2OM-ON|=3.由PM=PO+OM，PN=PO+ON，
得|2PM-PN|=|PO+2OM-ON|≤|PO|+|2OM-ON|，又P(3,3)，
则|PO|=23，因此当PO与2OM-ON同向时，等号成立，
此时|2PM-PN|的最大值为33．
故选B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)，∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34，
∴AG=34AB+34AD．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用，利用坐标法使问题变得简单化，属于基础题．
由已知建立平面直角坐标系，得到OA、OB的坐标，结合OC=mOA+nOB求得OC的坐标，再由OC与OA的夹角为30°求解．
【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系．
由|OA|=1，|OB|=3，OA⋅OB=0，得OA=(1,0)，OB=(0,3)，
∴OC=mOA+nOB=(m,3n)，
∴tan30∘=3nm=33，∴mn=3．
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．
【解答】
解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(12,1)，
所以AM=(1,12)，
BN=(-12,1)，AC=(1,1)．
∵AC=λAM+μBN，
∴λ-12μ=112λ+μ=1，解得λ=65μ=25．
∴λ+μ=85，
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
首先建立平面坐标系，根据已知找出各个点的坐标，然后求出BA=(0,3)，AC=(4,-3)，根据向量垂直得出方程求出参数，进而利用向量相等列出方程组即可求出结果．
【解答】
解：由题意建立如图所示直角坐标系．
因为AB=3，BC=4，则B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，
BA=(0,3)，AC=(4,-3)，
设BE=(a,3).因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4a-9=0，解得a=94，
由BA=λBE+μAC，
得0,3=λ94,3+μ4,-3
所以94λ+4μ=03λ-3μ=3,
解得λ=1625μ=-925,
所以λ+μ=725，
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用．
建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据条件得到2x+3y的表达式，再利用基本不等式即可求得结果．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)．
设M(m,0)，N(0,n)，
因为2AM+AN=1，所以2m+n=1，0因为AC=xAM+yAN，所以x=4m，y=3n．
所以2x+3y=8m+9n=(8m+9n)(2m+n)
=25+8nm+18mn⩾25+24=49，
当且仅当8nm=18mn，即m=27，n=37时取等号．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，属于中档题，
根据题意得到点O，J，A，C位置关系，并建立坐标系进行求解即可．
【解答】
解：显然等边△AIE和等边△KGC边长相等，
设等边三角形边长为6，由题意，O，J，A，C位置关系如图所示，
且ΔOAC为等边三角形，OJ⊥OA，3OJ=OA=23，
以O为原点，过OJ的直线为x轴，过OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴O(0,0)，J(-2,0)，A(0,23)，C(3,3)，
∴根据OA=mOC+nOJ可得
23=3m0=3m-2n，解得m=2n=3,
∴mn=23，
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可．
法二：由题意，根据向量的运算，可得AE⊥EF，即EF⊥AE，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案．
【解答】
解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0,0)，E(2,1).设|DF|=x，则F(x,2)，故AF=(x,2)，AE=(2,1)．
∵AF·AE=|AE|2，∴(x,2)·(2,1)=2x+2=5，解得x=32，
∴|AF|=322+22=52．
故选D．
法二：连接EF
由题意，∵AF·AE=|AF|·|AE|cs∠EAF=|AE|2，
∴|AF|cs∠EAF=|AE|，
∴EF⊥AE.∵E是BC的中点，
∴BE=CE=1.设DF=x，
则CF=2-x，
在Rt△AEF中，AE2+EF2=AF2，
即22+12+(2-x)2+12=22+x2，
解得x=32，∴AF=AD2+DF2=52．
故选D．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题．
建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设BE=(a,3)，由AC⋅BE=0可得a=94，再由BA=λBE+μAC，利用坐标表示建立方程组求解即可．
【解答】
解：由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为AB=3，BC=4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，
设E(a,3)，则AC=4,-3，BE=a,3，
因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4,-3·a,3=4a-9=0，
解得a=94，
由BE=λBA+μBC，得(a,3)=λ(0,3)+μ(4,0)，
所以4μ=94,3λ=3,解得λ=1,μ=916,
所以λ+μ=2516．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理的应用，利用向量的坐标运算求解．
建立直角坐标系，求得三个向量的坐标，由向量相等求得λ,μ的值即可．
【解答】
解：以A为坐标原点，AC所在方向为x轴建立直角坐标系，
则AC=(4,0),AB=(-2,2),AP=(1,1)，
由AP=λAB+μACλ,μ∈R，
得(1,1)=(-2λ,2λ)+(4μ,0)=(-2λ+4μ,2λ)，
所以-2λ+4μ=1,2λ=1,
得λ=12,μ=12，
即λ+2μ=32，
故选B．
13.【答案】18
34
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理以及向量的线性运算，平面向量共线定理，属于中档题．
方法一：以BA，BC为该平面的基底，利用向量运算法则得PA=BA-BP，则(1+x)BP=xBA+yBC，再利用A,P,N三点共线，M,P,C三点共线，即可得到结论．
方法二：特殊化处理，建平面直角坐标系，设点B(-2,0),C(2,0),A(0,3)，则M(-43,1),N(1,0),P(89,13)，根据坐标运算即可得到答案．
【解答】
法一：平面向量基本定理
解：以BA，BC为该平面的基底，
则PA=BA-BP，
所以BP=x(BA-BP)+yBC,⇒(1+x)BP=xBA+yBC，
由AM=2MB得到BA=3BM，由BN=3NC得到BC=43BN，
所以(1+x)BP=xBA+43yBN(1+x)BP=3xBM+yBC
因为三点P,A,N共线，且三点P,C,M共线，
所以1+x=x+43y1+x=3x+y⇒x=18y=34
法二：特殊化处理
解：如图，设点B(-2,0),C(2,0),A(0,3)，
则M(-43,1),N(1,0),P(89,13)，
即有：BP=(269,13),PA=(-89,83),BC=(4,0)
由BP=xPA+yBC
得：269=-89x+4y13=83x+0⇒x=18y=34．
故答案为：18，34．
14.【答案】116
16
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的运算及基本不等式在求最值方面的应用，属于中档题，
由B，F，E三点共线，可得m+4n=1，转化为基本不等式求最值．
【解答】
解：因为AF=mAB+nAD(m,n>0)，AE=13ED，
所以AF =mAB+4nAE，因为B，F，E三点共线，所以m+4n=1(m,n>0)，
m+4n≥24mn,mn≤116，当且仅当m=12,n=18时取等号，
4n+mmn=4n+mmn×(m+4n)=4n+mn+4(4n+m)m=4+mn+4+16nm=
8+mn+16nm≥8+216=16，当且仅当m2=16n2,m=4n=12时取等号，
故答案为116 ； 16．
15.【答案】1
2
【解析】
【分析】
本题考查向量的基本运算，平面向量基本定理的应用，考查计算能力．通过向量的坐标运算，转化求出λ、μ，即可得到结果．
【解答】
解：a=(3,-2)，b=(2,-1)，c=(7,- 4)，
若c=λa+μb
可得7,-4=λ3,2+μ2,-1 =3λ+2μ,2λ-μ
解得3λ+2μ=72λ-μ=-4
则 λ=1，μ=2,
故答案为 λ=1，μ=2.
16.【答案】1
5
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积和平面向量的基本定理．解决向量问题常用数形结合，借助坐标法，将所求向量的数量积表示为相应的函数，确定函数的定义域，通过观察函数或对函数进行求导即可求出函数的最大值或最小值．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，
AC=(2,1)，DE=(1,-1)，直线BD的方程为x2+y=1，
∴设点P(2-2t,t)(0≤t≤1)，则AP=(2-2t,t)，
∴AC⋅AP=4-4t+t=4-3t(0≤t≤1)，
∴当t=1时，AC⋅AP取得最小值为1．
由AC=xAP+yDE，得(2-2t)x+y=2,tx-y=1⇒x=32-t,y=4t-22-t,
∴x+y=4t+12-t=92-t-4(0≤t≤1)，
∴当t=1时，x+y取得最大值为5．
故答案为1；5．
17.【答案】12
23
【解析】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；
∴BO=12BA，
∴λ=12，μ=0，
∴λ+μ=12；
②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
设A(1,0)，C(-12,32)，B(x,y)，
则BA=(1-x,-y)，BC=(-12-x,32-y)，BO=(-x,-y)，
∵BO=λBA+μBC，
∴λ(1-x)-μ(12+x)=-x-λy+μ(32-y)=-y，解得x=λ-12μλ+μ-1y=32μλ+μ-1，
∵B在圆x2+y2=1上，
∴(λ-12μ)2+(32μ)2=(λ+μ-1)2，
∴λμ=2(λ+μ)-13≤(λ+μ2)2，
∴14(λ+μ)2-23(λ+μ)+13≥0，
解得λ+μ≤23或λ+μ≥2，
∵B只能在优弧AC上，∴λ+μ≤23，
即λ+μ得最大值为23．
故答案为：(1)12，(2)23．
①外心为斜边中点，根据图形即可得出λ，μ的值，
②以外接圆圆心为半径建立坐标系，设B(x,y)，列方程用λ，μ表示出x，y，代入圆的方程，再利用不等式解出λ+μ的范围．
本题考查了平面向量的基本定理，转化为坐标运算是常用方法之一，属于中档题．
18.【答案】解：(1)P为BE上一点，可设BP=λBE，
则AP=AB+λBE，
而BE=12AC-AB，得AP=(1-λ)AB+λ2AC，
由AP=34AB+mAC
可得1-λ=34λ2=m,
所以m=18
(2)建立如图所示直角坐标系，设AB=c，则B(0,0)，C(4,0)，A(c4,15c4)，E(2+c8,15c8)
可知AB=(-c4,-15c4)，
AC=(4-c4,-15c4)
所以AB⋅AC=-c+c2，AC2=(4-c4)2+(-15c4)2=16-2c+c2
由AP=34AB+18AC，可知AP⋅AC=34AB⋅AC+18AC2
所以AP⋅AC=34(c2-c)+18(c2-2c+16)=78c2-c+2
从而当c=47时，AP⋅AC取最小值127．
【解析】本题考查平面向量基本定理和向量的数量积，属于中档题．
(1)AP=(1-λ)AB+λ2AC，由AP=34AB+mAC，可得1-λ=34λ2=m，即可求出m的值；
(2)建立直角坐标系，设AB=c，可知AB=(-c4,-15c4)，AC=(4-c4,-15c4)
可知AP⋅AC=34AB⋅AC+18AC2，所以AP⋅AC=78c2-c+2，根据二次函数的性质即可求解；
19.【答案】解：(1)如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， ∠BON=30°，OA=2，
则O(0,0)，A(0,2)，B(2,0)，N(3,1)，
所以OA=(0,2)，OB=(2,0)，ON=(3,1).
设ON=xOA+yOB，
则2x=1,2y=3,解得x=12,y=32,
所以ON=12OA+32OB．
(2)设∠BON=θ(0°≤θ≤90°)，则N(2csθ,2sinθ)，
点M为线段OA的中点，则M(0,1)，
则MB=(2,-1)，ON=(2cs θ,2sin θ)．
所以MB⋅ON=4cs θ-2sin θ=25cs (θ+φ)，其中cs φ=255，sin φ=55(φ为锐角)．
因为0°≤θ≤90°，所以φ≤θ+φ≤φ+90°，
则cs (θ+φ)max=cs φ=255，cs (θ+φ)min=cs (90∘+φ)=-sin φ=-55，
所以MB⋅ON的取值范围为[-2,4]．
【解析】本题考查平面向量基本定理，考查平面向量数量积的问题，考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
(1)以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，设ON=xOA+yOB，利用向量的坐标运算与基本定理可求出x，y，继而得到结果；
(2)设∠BON=θ(0°≤θ<90°)，由坐标运算可得MB⋅ON=25cs (θ+φ)，其中cs φ=255，sin φ=55(φ为锐角).结合三角函数的性质即可求其结果．
20.【答案】解：(1)法一：因为BP=2PA，由定比分点公式，
得OP=11+2OB+21+2OA=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以，x=23，y=13，
法二：如下图，过点P做PM//OB，PN//OA分别交OA，OB点M，N，
因为BP=2PA，所以APBP=12，所以OMOA=23,ONOB=13，
又四边形OMPN为平行四边形，所以OP=OM+ON=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以x=23，y=13．
法三：因为P为线段AB上的一点，即P，A，B三点共线，
所以x+y=1，即y=1-x，OP=xOA+(1-x)OB，
移项可得：OP-OB=xOA-xOB 即BP=xBA ，
因为BP=2PA，所以BP=23BA ，
因为BA≠0，即x=23，此时y=1-x=13，
所以x=23，y=13；
法四：因为BP=2PA，所以BP=23BA，
OP=OB+BP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB，
又OP=xOA+yOB，
又因为OA、OB不共线，
所以x=23，y=13；
法五：因为P为线段AB上的一点，BP=2PA，
所以OP-OB=2(OA-OP)，移项可得：OP=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以x=23，y=13；
法六(坐标法)：(1)如下图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
因为|OB|=2，，|OA|=6，所以B(1,3)，A(6,0)，
所以OA=(6,0)，OB=(1,3)，
又OP=xOA+yOB， 所以OP=(6x+y,3y)，
所以P(6x+y,3y)，
所以BP=(6x+y-1,3(y-1))，PA=(6-6x-y,-3y)，
因为BP=2PA，
所以6x+y-1=2(6-6x-y)3(y-1)=-23y解得x=23，y=13；
(2)由(1)知AB=(-5,3)，OP=(133,33)，
所以AB⋅OP=(-5)×133+3×33=-623．
【解析】本题考查了向量的加减运算，平面向量基本定理的运用，向量数量积的运算，考查了分析和运算能力，属于中档题．
(1)法一：运用定比分点公式，得到OP=11+2OB+21+2OA=23OA+13OB，即可求出x，y；
法二：过点P做PM//OB，PN//OA分别交OA，OB点M，N，运用几何关系即可求出x，y；
法三：根据P，A，B三点共线，得到x+y=1，运用向量加减运算得到BP=xBA，结合BP=2PA即可求出x，y；
法四：根据BP=2PA，结合向量加减运算得到OP=23OA+13OB，进而得到x，y；
法五：由P为线段AB上的一点，BP=2PA，得到OP-OB=2(OA-OP)，移项可得：OP=23OA+13OB，即可得到x，y；
法六(坐标法)：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，建立坐标关系，解方程组即可得到x，y；
(2)根据(1)可得AB=(-5,3)，OP=(133,33)，代入坐标运算即可求解．
21.【答案】解：(1)∵CD=2BO，OA=2AD，
∴DO=32AO，
∴CB=CD+DO+OB
=2BO+32AO+OB=-OB-32OA．
(2)因为OB//CD，OA//AD，所以点O，A，D共线．
因为∠D=90°，所以∠O=90°．
以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以AB=(-2,1)，AC=(1,2)，CB=(-3,-1)，
因为点P在线段上，且AB=3AP，
所以AP=13AB=(-23,13)，
所以 CP=AP-AC=(-53,-53)，
所以 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+53532×10=255．
【解析】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．
(1)直线利用向量的线性运算即可．
(2)以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．可得 CP=AP-AC=(-53,-53)，cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+53532×10=255，即可．
22.【答案】解：(1)因为向量OA=(-1,-2)，OB=(-m,2)，OC=(3,-1)， 所以向量AB=(-m+1,4)，AC=(4,1)， 又因为AB⊥AC， 所以4(-m+1)+4=0， 解得m=2．
(2)设OC=xOA+yOB 由(1)知：(3,-1)=x(-1,-2)+y(-2,2)，
∴-x-2y=3,-2x+2y=-1,解得x=-23，y=-76，
∴OC=-23OA-76OB．
【解析】本题考查了平面向量坐标运算，向量垂直关系以及向量基本定理的应用，属于较易题目．
(1)由AB⊥AC可得AB·AC=0，即可求解m;
(2)设OC=xOA+yOB，根据向量坐标运算以及向量基本定理即可求解．
23.【答案】解：以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
设B(-1,0)，C(1,0)，A(a,b)(b≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因为AB=mAM，AC=nAN，
所以(-1-a,-b)=m(x1-a,y1-b)，(1-a,-b)=n(x2-a,y2-b)，
所以-1-a=mx1-ma，-b=my1-mb，1-a=nx2-na，-b=ny2-nb，
所以ma-1-a=mx1，mb-b=my1，na+1-a=nx2，nb-b=ny2，
因为M，O，N三点共线，
所以x1y2=x2y1，
所以(ma-1-a)(nb-b)=(mb-b)(na+1-a)，
化简得m+n=2．
【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量基本定理，属于中档题．
以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，设B(-1,0)，C(1,0)，A(a,b)(b≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，由M，O，N三点共线，可得x1y2=x2y1，再由AB=mAM，AC=nAN列出关于m，n，a，b的式子，进而可得出m+n的值．
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若BE=λBA+μBC，则λ+μ的值为( )
A. 107B. 98C. 2516D. 2918
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC=23，BM+12CB=0，DC=λDN，若AM⋅AN=29，则λ=( )
A. 18B. 17C. 16D. 15
已知，，，则的最大值为
A. B. C. D.
如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=( )
A. 23AB+13AD
B. 13AB+23AD
C. 34AB+34AD
D. 23AB+23AD
已知|OA|=3，|OB|=3，OA⋅OB=0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则mn的值为 ( )
A. 2B. 52C. 3D. 4
正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=( )
A. 2B. 83C. 65D. 85
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上的一点，BE⊥AC，若BA=λBE+μAC，则λ+μ的值为( )
A. -925B. 725C. 1625D. 1
在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM+AN=1，设AC=xAM+yAN，则2x+3y的最小值为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O.若OA=mOC+nOJ，则mn=( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 1
如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF·AE=|AE|2，则|AF|=( )
A. 3
B. 5
C. 32
D. 52．
“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，▵ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若BE→=λBA→+μBC→，则λ+μ的值为( )
A. -925B. 725C. 2516D. 1
如图，点A，B，C，P均在正方形刚格的格点上．若AP=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+2μ=( )
A. 1B. C. D. 2
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
在△ABC中，M，N分别在AB，BC上，且AM=2MB,BN=3NC，AN交CM于点P，若BP=xPA+yBC，则x= ，y= ．
如图在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，且满足AE=13ED，F为BE上一点，且满足，AF=mAB+nAD(m>0,n>0)，则mn的最大值为 ，4n+mmn的最小值为 ．
已知向a=(3,-2)，b=(2,-1)，c=(7,- 4)，且c=λa+μb，则λ= ，μ= ；
已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的动点，若AC=xAP+yDE，则AC⋅AP的最小值是 (1) ，x+y的最大值是 (2) ．
已知O为△ABC的外心，且BO=λBA+μBC．
①若∠C=90°，则λ+μ= ；
②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在ΔABC中，BC=4,csB=14，AE=EC,P为BE上一点，且满足AP=34AB+mAC．(1)求实数m的值；
(2)求AP⋅AC的最小值．
如图，扇形OAB的圆心角为90°，OA=2，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点．
(1)若∠BON=30°，试用向量OA，OB表示向量ON；
(2)求MB⋅ON的取值范围．
如下图，在▵OAB中，P为边AB上的一点，BP=2PA，|OA|=6，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°．
(1)设OP=xOA+yOB，求x，y的值；
(2)求OP⋅AB的值．
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(1)用向量OA，OB表示向量CB；
(2)若点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
已知向量OA=(-1,-2)，OB=(-m,2)，OC=(3,-1)，O为坐标原点．
(1)若AB⊥AC，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，试用OA，OB表示OC．
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查平面向量的坐标运算、向量垂直的判断与证明，考查数形结合思想，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题意建立直角坐标系，得到A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，计算求解即可得到答案．
【解答】
解：由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为AB=3，BC=4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，
设E(a,3)，则AC=4,-3，BE=a,3，
因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4,-3·a,3=4a-9=0，
解得a=94，
由BE=λBA+μBC，得(94,3)=λ0,3+μ4,0，
所以4μ=943λ=3，解得λ=1μ=916,
所以λ+μ=2516，
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．
【解答】
解：作出图形，建立如图所示的坐标系，
设N(x,y)，因为AC=23，∠ABC=120∘，故BD=2，
则A(-3,0)，M(32,12)，D(0,-1)，C(3,0)，
则AM=(332,12)，DC=(3,1)=λDN=λ(x,y+1)．
由题可知λ≠0，
故N(3λ,1λ-1)，
所以AN=(3λ+3,1λ-1)，
故AM⋅AN=5λ+4=29，
解得λ=15．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的坐标运算及平面向量的基本定理，属于中档题．
由题可知△OMN为等边三角形，则OM⋅ON=|OM|⋅|ON|⋅cs60∘=12，通过向量坐标运算进行转化可得|PO|=23，即可求得|2PM-PN|的最大值．
【解答】
解：由题可知，M，N为单位圆O:x2+y2=1上的两个动点且满足|MN|=1，
由|MN|=1可知，△OMN为等边三角形，
则OM⋅ON=|OM|⋅|ON|⋅cs60∘=12，
所以，(2OM-ON)2=4-4OM⋅ON+1=3，则|2OM-ON|=3.由PM=PO+OM，PN=PO+ON，
得|2PM-PN|=|PO+2OM-ON|≤|PO|+|2OM-ON|，又P(3,3)，
则|PO|=23，因此当PO与2OM-ON同向时，等号成立，
此时|2PM-PN|的最大值为33．
故选B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)，∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34，
∴AG=34AB+34AD．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用，利用坐标法使问题变得简单化，属于基础题．
由已知建立平面直角坐标系，得到OA、OB的坐标，结合OC=mOA+nOB求得OC的坐标，再由OC与OA的夹角为30°求解．
【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系．
由|OA|=1，|OB|=3，OA⋅OB=0，得OA=(1,0)，OB=(0,3)，
∴OC=mOA+nOB=(m,3n)，
∴tan30∘=3nm=33，∴mn=3．
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．
【解答】
解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(12,1)，
所以AM=(1,12)，
BN=(-12,1)，AC=(1,1)．
∵AC=λAM+μBN，
∴λ-12μ=112λ+μ=1，解得λ=65μ=25．
∴λ+μ=85，
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
首先建立平面坐标系，根据已知找出各个点的坐标，然后求出BA=(0,3)，AC=(4,-3)，根据向量垂直得出方程求出参数，进而利用向量相等列出方程组即可求出结果．
【解答】
解：由题意建立如图所示直角坐标系．
因为AB=3，BC=4，则B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，
BA=(0,3)，AC=(4,-3)，
设BE=(a,3).因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4a-9=0，解得a=94，
由BA=λBE+μAC，
得0,3=λ94,3+μ4,-3
所以94λ+4μ=03λ-3μ=3,
解得λ=1625μ=-925,
所以λ+μ=725，
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用．
建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据条件得到2x+3y的表达式，再利用基本不等式即可求得结果．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)．
设M(m,0)，N(0,n)，
因为2AM+AN=1，所以2m+n=1，0
所以2x+3y=8m+9n=(8m+9n)(2m+n)
=25+8nm+18mn⩾25+24=49，
当且仅当8nm=18mn，即m=27，n=37时取等号．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，属于中档题，
根据题意得到点O，J，A，C位置关系，并建立坐标系进行求解即可．
【解答】
解：显然等边△AIE和等边△KGC边长相等，
设等边三角形边长为6，由题意，O，J，A，C位置关系如图所示，
且ΔOAC为等边三角形，OJ⊥OA，3OJ=OA=23，
以O为原点，过OJ的直线为x轴，过OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴O(0,0)，J(-2,0)，A(0,23)，C(3,3)，
∴根据OA=mOC+nOJ可得
23=3m0=3m-2n，解得m=2n=3,
∴mn=23，
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可．
法二：由题意，根据向量的运算，可得AE⊥EF，即EF⊥AE，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案．
【解答】
解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0,0)，E(2,1).设|DF|=x，则F(x,2)，故AF=(x,2)，AE=(2,1)．
∵AF·AE=|AE|2，∴(x,2)·(2,1)=2x+2=5，解得x=32，
∴|AF|=322+22=52．
故选D．
法二：连接EF
由题意，∵AF·AE=|AF|·|AE|cs∠EAF=|AE|2，
∴|AF|cs∠EAF=|AE|，
∴EF⊥AE.∵E是BC的中点，
∴BE=CE=1.设DF=x，
则CF=2-x，
在Rt△AEF中，AE2+EF2=AF2，
即22+12+(2-x)2+12=22+x2，
解得x=32，∴AF=AD2+DF2=52．
故选D．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题．
建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设BE=(a,3)，由AC⋅BE=0可得a=94，再由BA=λBE+μAC，利用坐标表示建立方程组求解即可．
【解答】
解：由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为AB=3，BC=4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，
设E(a,3)，则AC=4,-3，BE=a,3，
因为BE⊥AC，
所以AC·BE=4,-3·a,3=4a-9=0，
解得a=94，
由BE=λBA+μBC，得(a,3)=λ(0,3)+μ(4,0)，
所以4μ=94,3λ=3,解得λ=1,μ=916,
所以λ+μ=2516．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理的应用，利用向量的坐标运算求解．
建立直角坐标系，求得三个向量的坐标，由向量相等求得λ,μ的值即可．
【解答】
解：以A为坐标原点，AC所在方向为x轴建立直角坐标系，
则AC=(4,0),AB=(-2,2),AP=(1,1)，
由AP=λAB+μACλ,μ∈R，
得(1,1)=(-2λ,2λ)+(4μ,0)=(-2λ+4μ,2λ)，
所以-2λ+4μ=1,2λ=1,
得λ=12,μ=12，
即λ+2μ=32，
故选B．
13.【答案】18
34
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理以及向量的线性运算，平面向量共线定理，属于中档题．
方法一：以BA，BC为该平面的基底，利用向量运算法则得PA=BA-BP，则(1+x)BP=xBA+yBC，再利用A,P,N三点共线，M,P,C三点共线，即可得到结论．
方法二：特殊化处理，建平面直角坐标系，设点B(-2,0),C(2,0),A(0,3)，则M(-43,1),N(1,0),P(89,13)，根据坐标运算即可得到答案．
【解答】
法一：平面向量基本定理
解：以BA，BC为该平面的基底，
则PA=BA-BP，
所以BP=x(BA-BP)+yBC,⇒(1+x)BP=xBA+yBC，
由AM=2MB得到BA=3BM，由BN=3NC得到BC=43BN，
所以(1+x)BP=xBA+43yBN(1+x)BP=3xBM+yBC
因为三点P,A,N共线，且三点P,C,M共线，
所以1+x=x+43y1+x=3x+y⇒x=18y=34
法二：特殊化处理
解：如图，设点B(-2,0),C(2,0),A(0,3)，
则M(-43,1),N(1,0),P(89,13)，
即有：BP=(269,13),PA=(-89,83),BC=(4,0)
由BP=xPA+yBC
得：269=-89x+4y13=83x+0⇒x=18y=34．
故答案为：18，34．
14.【答案】116
16
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的运算及基本不等式在求最值方面的应用，属于中档题，
由B，F，E三点共线，可得m+4n=1，转化为基本不等式求最值．
【解答】
解：因为AF=mAB+nAD(m,n>0)，AE=13ED，
所以AF =mAB+4nAE，因为B，F，E三点共线，所以m+4n=1(m,n>0)，
m+4n≥24mn,mn≤116，当且仅当m=12,n=18时取等号，
4n+mmn=4n+mmn×(m+4n)=4n+mn+4(4n+m)m=4+mn+4+16nm=
8+mn+16nm≥8+216=16，当且仅当m2=16n2,m=4n=12时取等号，
故答案为116 ； 16．
15.【答案】1
2
【解析】
【分析】
本题考查向量的基本运算，平面向量基本定理的应用，考查计算能力．通过向量的坐标运算，转化求出λ、μ，即可得到结果．
【解答】
解：a=(3,-2)，b=(2,-1)，c=(7,- 4)，
若c=λa+μb
可得7,-4=λ3,2+μ2,-1 =3λ+2μ,2λ-μ
解得3λ+2μ=72λ-μ=-4
则 λ=1，μ=2,
故答案为 λ=1，μ=2.
16.【答案】1
5
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积和平面向量的基本定理．解决向量问题常用数形结合，借助坐标法，将所求向量的数量积表示为相应的函数，确定函数的定义域，通过观察函数或对函数进行求导即可求出函数的最大值或最小值．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，
AC=(2,1)，DE=(1,-1)，直线BD的方程为x2+y=1，
∴设点P(2-2t,t)(0≤t≤1)，则AP=(2-2t,t)，
∴AC⋅AP=4-4t+t=4-3t(0≤t≤1)，
∴当t=1时，AC⋅AP取得最小值为1．
由AC=xAP+yDE，得(2-2t)x+y=2,tx-y=1⇒x=32-t,y=4t-22-t,
∴x+y=4t+12-t=92-t-4(0≤t≤1)，
∴当t=1时，x+y取得最大值为5．
故答案为1；5．
17.【答案】12
23
【解析】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；
∴BO=12BA，
∴λ=12，μ=0，
∴λ+μ=12；
②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
设A(1,0)，C(-12,32)，B(x,y)，
则BA=(1-x,-y)，BC=(-12-x,32-y)，BO=(-x,-y)，
∵BO=λBA+μBC，
∴λ(1-x)-μ(12+x)=-x-λy+μ(32-y)=-y，解得x=λ-12μλ+μ-1y=32μλ+μ-1，
∵B在圆x2+y2=1上，
∴(λ-12μ)2+(32μ)2=(λ+μ-1)2，
∴λμ=2(λ+μ)-13≤(λ+μ2)2，
∴14(λ+μ)2-23(λ+μ)+13≥0，
解得λ+μ≤23或λ+μ≥2，
∵B只能在优弧AC上，∴λ+μ≤23，
即λ+μ得最大值为23．
故答案为：(1)12，(2)23．
①外心为斜边中点，根据图形即可得出λ，μ的值，
②以外接圆圆心为半径建立坐标系，设B(x,y)，列方程用λ，μ表示出x，y，代入圆的方程，再利用不等式解出λ+μ的范围．
本题考查了平面向量的基本定理，转化为坐标运算是常用方法之一，属于中档题．
18.【答案】解：(1)P为BE上一点，可设BP=λBE，
则AP=AB+λBE，
而BE=12AC-AB，得AP=(1-λ)AB+λ2AC，
由AP=34AB+mAC
可得1-λ=34λ2=m,
所以m=18
(2)建立如图所示直角坐标系，设AB=c，则B(0,0)，C(4,0)，A(c4,15c4)，E(2+c8,15c8)
可知AB=(-c4,-15c4)，
AC=(4-c4,-15c4)
所以AB⋅AC=-c+c2，AC2=(4-c4)2+(-15c4)2=16-2c+c2
由AP=34AB+18AC，可知AP⋅AC=34AB⋅AC+18AC2
所以AP⋅AC=34(c2-c)+18(c2-2c+16)=78c2-c+2
从而当c=47时，AP⋅AC取最小值127．
【解析】本题考查平面向量基本定理和向量的数量积，属于中档题．
(1)AP=(1-λ)AB+λ2AC，由AP=34AB+mAC，可得1-λ=34λ2=m，即可求出m的值；
(2)建立直角坐标系，设AB=c，可知AB=(-c4,-15c4)，AC=(4-c4,-15c4)
可知AP⋅AC=34AB⋅AC+18AC2，所以AP⋅AC=78c2-c+2，根据二次函数的性质即可求解；
19.【答案】解：(1)如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， ∠BON=30°，OA=2，
则O(0,0)，A(0,2)，B(2,0)，N(3,1)，
所以OA=(0,2)，OB=(2,0)，ON=(3,1).
设ON=xOA+yOB，
则2x=1,2y=3,解得x=12,y=32,
所以ON=12OA+32OB．
(2)设∠BON=θ(0°≤θ≤90°)，则N(2csθ,2sinθ)，
点M为线段OA的中点，则M(0,1)，
则MB=(2,-1)，ON=(2cs θ,2sin θ)．
所以MB⋅ON=4cs θ-2sin θ=25cs (θ+φ)，其中cs φ=255，sin φ=55(φ为锐角)．
因为0°≤θ≤90°，所以φ≤θ+φ≤φ+90°，
则cs (θ+φ)max=cs φ=255，cs (θ+φ)min=cs (90∘+φ)=-sin φ=-55，
所以MB⋅ON的取值范围为[-2,4]．
【解析】本题考查平面向量基本定理，考查平面向量数量积的问题，考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
(1)以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，设ON=xOA+yOB，利用向量的坐标运算与基本定理可求出x，y，继而得到结果；
(2)设∠BON=θ(0°≤θ<90°)，由坐标运算可得MB⋅ON=25cs (θ+φ)，其中cs φ=255，sin φ=55(φ为锐角).结合三角函数的性质即可求其结果．
20.【答案】解：(1)法一：因为BP=2PA，由定比分点公式，
得OP=11+2OB+21+2OA=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以，x=23，y=13，
法二：如下图，过点P做PM//OB，PN//OA分别交OA，OB点M，N，
因为BP=2PA，所以APBP=12，所以OMOA=23,ONOB=13，
又四边形OMPN为平行四边形，所以OP=OM+ON=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以x=23，y=13．
法三：因为P为线段AB上的一点，即P，A，B三点共线，
所以x+y=1，即y=1-x，OP=xOA+(1-x)OB，
移项可得：OP-OB=xOA-xOB 即BP=xBA ，
因为BP=2PA，所以BP=23BA ，
因为BA≠0，即x=23，此时y=1-x=13，
所以x=23，y=13；
法四：因为BP=2PA，所以BP=23BA，
OP=OB+BP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB，
又OP=xOA+yOB，
又因为OA、OB不共线，
所以x=23，y=13；
法五：因为P为线段AB上的一点，BP=2PA，
所以OP-OB=2(OA-OP)，移项可得：OP=23OA+13OB，
又因为OA、OB不共线，所以x=23，y=13；
法六(坐标法)：(1)如下图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
因为|OB|=2，，|OA|=6，所以B(1,3)，A(6,0)，
所以OA=(6,0)，OB=(1,3)，
又OP=xOA+yOB， 所以OP=(6x+y,3y)，
所以P(6x+y,3y)，
所以BP=(6x+y-1,3(y-1))，PA=(6-6x-y,-3y)，
因为BP=2PA，
所以6x+y-1=2(6-6x-y)3(y-1)=-23y解得x=23，y=13；
(2)由(1)知AB=(-5,3)，OP=(133,33)，
所以AB⋅OP=(-5)×133+3×33=-623．
【解析】本题考查了向量的加减运算，平面向量基本定理的运用，向量数量积的运算，考查了分析和运算能力，属于中档题．
(1)法一：运用定比分点公式，得到OP=11+2OB+21+2OA=23OA+13OB，即可求出x，y；
法二：过点P做PM//OB，PN//OA分别交OA，OB点M，N，运用几何关系即可求出x，y；
法三：根据P，A，B三点共线，得到x+y=1，运用向量加减运算得到BP=xBA，结合BP=2PA即可求出x，y；
法四：根据BP=2PA，结合向量加减运算得到OP=23OA+13OB，进而得到x，y；
法五：由P为线段AB上的一点，BP=2PA，得到OP-OB=2(OA-OP)，移项可得：OP=23OA+13OB，即可得到x，y；
法六(坐标法)：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，建立坐标关系，解方程组即可得到x，y；
(2)根据(1)可得AB=(-5,3)，OP=(133,33)，代入坐标运算即可求解．
21.【答案】解：(1)∵CD=2BO，OA=2AD，
∴DO=32AO，
∴CB=CD+DO+OB
=2BO+32AO+OB=-OB-32OA．
(2)因为OB//CD，OA//AD，所以点O，A，D共线．
因为∠D=90°，所以∠O=90°．
以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为 A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，
所以AB=(-2,1)，AC=(1,2)，CB=(-3,-1)，
因为点P在线段上，且AB=3AP，
所以AP=13AB=(-23,13)，
所以 CP=AP-AC=(-53,-53)，
所以 cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+53532×10=255．
【解析】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．
(1)直线利用向量的线性运算即可．
(2)以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．可得 CP=AP-AC=(-53,-53)，cs∠PCB=CP⋅CB|CP|⋅|CB|=5+53532×10=255，即可．
22.【答案】解：(1)因为向量OA=(-1,-2)，OB=(-m,2)，OC=(3,-1)， 所以向量AB=(-m+1,4)，AC=(4,1)， 又因为AB⊥AC， 所以4(-m+1)+4=0， 解得m=2．
(2)设OC=xOA+yOB 由(1)知：(3,-1)=x(-1,-2)+y(-2,2)，
∴-x-2y=3,-2x+2y=-1,解得x=-23，y=-76，
∴OC=-23OA-76OB．
【解析】本题考查了平面向量坐标运算，向量垂直关系以及向量基本定理的应用，属于较易题目．
(1)由AB⊥AC可得AB·AC=0，即可求解m;
(2)设OC=xOA+yOB，根据向量坐标运算以及向量基本定理即可求解．
23.【答案】解：以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
设B(-1,0)，C(1,0)，A(a,b)(b≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因为AB=mAM，AC=nAN，
所以(-1-a,-b)=m(x1-a,y1-b)，(1-a,-b)=n(x2-a,y2-b)，
所以-1-a=mx1-ma，-b=my1-mb，1-a=nx2-na，-b=ny2-nb，
所以ma-1-a=mx1，mb-b=my1，na+1-a=nx2，nb-b=ny2，
因为M，O，N三点共线，
所以x1y2=x2y1，
所以(ma-1-a)(nb-b)=(mb-b)(na+1-a)，
化简得m+n=2．
【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量基本定理，属于中档题．
以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，设B(-1,0)，C(1,0)，A(a,b)(b≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，由M，O，N三点共线，可得x1y2=x2y1，再由AB=mAM，AC=nAN列出关于m，n，a，b的式子，进而可得出m+n的值．
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