2022届高考一轮复习第三章函数专练13_幂函数（Word含答案解析）

第三章函数专练13—幂函数

一．单选题

1．已知幂函数满足（2），若，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

2．已知幂函数在上为增函数、则实数的值为　　

A．0 B．1 C．2 D．0或2

3．已知幂函数在上单调递增，函数，任意，时，总存在，使得，则的取值范围是　　

A． B． C．或 D．或

4．已知幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则　　

A． B． C． D．

5．已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是　　

A．1 B． C．1或 D．

6．幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为　　

A．0 B．1 C．0或1 D．2

7．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则（a）（b）的值　　

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

二．多选题

9．已知幂函数，则下列结论正确的有　　

A． 

B．的定义域是 

C．是偶函数 

D．不等式（2）的解集是，，

10．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有　　

A．函数为增函数 

B．函数为偶函数 

C．若，则 

D．若，则

11．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，，且（a）（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有　　

A．， B．， C．， D．，

12．已知幂函数，，互质），下列关于的结论正确的是　　

A．当，都是奇数时，幂函数是奇函数 

B．当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数 

C．当是奇数，是偶数时，幂函数是偶函数 

D．当时，幂函数在上是减函数

三．填空题

13．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为　　．

14．若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为　　．

15．已知幂函数在区间上递增，则实数　　．

16．已知，则的取值范围　　．

四．解答题

17．已知幂函数在是单调减函数，且为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）讨论的奇偶性，并说明理由．

18．已知函数为偶函数，且（3）（2）．

（Ⅰ）求的值，并确定的解析式；

（Ⅱ）若，且，是否存在实数，使得在区间，上为减函数．

19．已知幂函数是奇函数，且（1）（2）．

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）求，，的值域．

20．已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数．

（1）求实数的值及函数的零点；

（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

第三章函数专练13—幂函数答案

1．解：幂函数中，（2），

所以，即，

所以，解得，

所以，

所以是定义域为上的单调增函数；

又，，，

且，，，

所以，

即，

所以．

故选：．

2．解：由题意得：，

解得：，

故选：．

3．解：幂函数在上单调递增，

，且，求得，．

函数，任意，时，总存在，使得，

和在区间，上有交点．

，时，，，，，

则由题意可得，，，

故，解得：，

故选：．

4．解：根据幂函数，，，在第一象限的图象知，

，

即．

故选：．

5解：由函数是幂函数，

所以，解得或；

当时，在上单调递减，满足题意；

当时，在上单调递增，不满足题意；

所以．

故选：．

6．解：幂函数是偶函数，且在上是减函数，

所以，，

所以整数的值可以为0，1；

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

所以．

故选：．

7．解：因为幂函数的图象过点，

所以，且，

所以且，所以，

所以函数在上为单调递增函数

故不等式，即为，

解得，所以，

所以的取值范围为．

故选：．

8．解：由题意得：，解得：或，

若对任意，，且，满足，

则在单调递增，

时，，符合题意，时，，不合题意，

故，由于，，且，

所以，由于函数为单调递增函数和奇函数，故（a），

所以（a）（b），

所以（a）（b），

即（a）（b）的值恒大于0，

故选：．

9．解：幂函数，

，

，

，定义域为，，，

故选项错误，

，

选项正确，

，定义域，，关于原点对称，

又，

是偶函数，选项正确，

，

在上单调递减，在上单调递增，

不等式（2）等价于（2），

解得：，或，

故选项正确，

故选：．

10．解：设幂函数，为实数，

其图像经过点，所以，

解得，

所以，定义域为，，为非奇非偶函数，错误；

且在，上为增函数，正确；

且时，（9），选项正确；

因为函数是凸函数，所以对定义域内任意的，

都有成立，选项错误．

故选：．

11．解：函数是幂函数，，求得 或．

对任意，，且，满足，故在上是增函数，

，，．

若，，且（a）（b） 的值为负值．

若成立，则（a）（b），不满足题意；

若成立，则（a）（b），满足题意；

若成立，则（a）（b），满足题意；

若成立，则（a）（b），不满足题意，

故选：．

12．解：幂函数，，互质），

故，都是奇数时，幂函数是奇函数，故正确；

当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数，故正确；

当是奇数，是偶数时，幂函数不一定是偶函数，

如，它的定义域为，，不是偶函数，故错误．

当时，幂函数在上是增函数，故错误，

故选：．

13．解：函数是幂函数，且其图象过点，

，且，求得，，可得，

则函数的单调增区间为，

故答案为：．

14．解：由函数是幂函数，

所以，解得或；

当时，，图象不经过原点，满足题意；

当时，，图象经过原点，不满足题意；

所以．

故答案为：．

15．解：幂函数在区间上递增，

，

解得．

故答案为：．

16．解：幂函数当时为偶函数，

在上是减函数，在上是增函数，

所以由，有，

解得且，

故答案为：．

17．解：（1）由幂函数在是单调减函数，

得：，又，或1或2，

时；时，时，

又函数是偶函数，．

（2），

当时，，，函数是奇函数；

当时，，，函数是偶函数；

当且时，（1），，

（1），函数对，，，不成立，也不成立，

函数是非奇非偶函数．

18．解：（Ⅰ）由函数，且（3）（2）．

则函数在上单调递增，

，即，

，

又，或1或2，

当时，；

当时，；

当时，；

又函数为偶函数，必为偶数，

当或2时，；

故或2，的解析式为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设，，，

当时，为减函数，

只有在，为增函数时，且（1）时，在区间，上为减函数．

，．

当时，为增函数，

只有在，为减函数时，且（2）时，在区间，上为减函数．

，．

综上，当或时，在区间，上为减函数．

故存在实数，，使得在区间，上为减函数．

19．解：（1）幂函数是奇函数，且（1）（2）．

是正奇数，且，

，．

（2）

，

，，

当时，取最小值，

当时，取最大值11．

，的值域为，．

20．解：（1）令，解得或．（1分）

当时，，它不是奇函数，不符合题意；

当时，，它是奇函数，符合题意．

所以．  （3分）

此时．

令，即，解得．

所以函数的零点是．（5分）

（2）设函数，．因为它们都是增函数，所以是增函数．（7分）

又因为（9），．    （9分）

由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．（10分）