2022届高考一轮复习第四章导数专练_极值与极值点问题(Word含答案)

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第四章导数专练_极值与极值点问题1．已知函数，其中且．（1）讨论的单调区间，并指出其单调性；（2）若，，是的极大值点，求证：．解：（1），，时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；综上：时，在递增，在递减，时，在递减，在递增；（2）证明：时，，，令，则，在递减，而，（1），故存在，使得，则，故时，，递减，时，，递增，，时，，递减，是的极大值点，，，令，，则，故在递减，而，（1），故，．2．已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，（1），又，故（1），故曲线在点，（1）处的切线方程是；（Ⅱ），，当时，有，令，解得：，，，的变化如下：00递减极小值递增当时，函数只有1个极值点，当时，令，解得：或，①当时，，，，的变化如下：000递增极大值递减极小值递增故当时，函数有2个极值点，②当时，恒成立，故在上单调递增，故当时，函数无极值点，③当时，，，，的变化如下：000递增极大值递减极小值递增故当时，函数有2个极值点，综上：当时，函数有1个极值点，当或时，函数有2个极值点，当时，函数无极值点；（Ⅲ）（1）若，由（Ⅱ）可知，在递减，在递增，故，故符合题意，（2）若，当时，，，又，故不恒成立，故不合题意，综上：的取值范围是，．3．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．解：（1），，令，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无单调递减区间．（2）若有两个极值点，即有两个变号零点，令，①当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；②当时，，由（1）得最多只有一个零点，不合题意；③当时，令，得，当，，当，，，所以在上单调递减，在，上单调递增，则，而当时，，，又，根据零点存在性定理可知，使得，，令，则式，所以，，使得，又在上单调递减，在，上单调递增，故在上有唯一零点，在，上有唯一零点，综上所述，若有两个极值点，的取值范围为．4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若极大值大于2，求的取值范围．解：，（Ⅰ）时，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，单增；时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，单增；时，，在单增，的单调递增区间为；时，令，解得：或令，解得：，故在递增，在，递减，在单增；综上：时，在递减，在，单增，时，在递增，在递减，在，单增，时，在单调递增，时，在递增，在，递减，在单增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当和时，无极大值，不成立，当时，函数的极大值是，解得：，由于，故，当时，函数的极大值是（a），得，令，则，，在时取得极大值（4），且（1），，，而在递增，，解得：，故，故的取值范围是，综上：的取值范围是，，．5．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值点，求的取值范围．解：（1），若函数为上的凸函数，，即，令，，当时，，当时，单调递减，时，单调递增，的最小值是，即，解得：，故的取值范围是．（2）由题意知，则，由题意得在有零点，即在有解，，令，，，，故在上单调递增，（1），，即，在上单调递增，且，，（1），，即，故的取值范围是，．6．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．解：（1）根据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于任意，恒成立，；；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为（1），所以在的值域为，所以当时，有解，设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．故的取值范围为．7．已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值，证明：．解：（1）由题意，函数，则，当时，令，单调递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，综上：当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在上单调递增，时，在递增，在，递减，在递增；（2）证明：由函数，则，令，可得，令，解得：，当时，，在递增，此时，故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在，上单调递增，在上存在极大值，故，解得：，，，，，易证，存在，，存在，，使得，故在上单调递增，在，上单调递减，故当时，函数取得极大值，即，，由，，故． 8．已知函数．（1）若，，求的最小值；（2）若函数在处取得极小值，且，证明：．解：（1）由已知，，得对恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在，上单调递减，故，故，，，令，则，当时，，在递减，当时，，在递增，故（1），即，当，时，的最小值是；（2）证明：由题意知，，，当时，令，，故函数在上单调递增，又，（a），根据零点存在性定理可知，存在，使得，即，且当时，，，在递减，当时，，，在，递增，故在处取极小值，故当时，存在，使得，即，又，即，故，，，即，在上单调递增，且（1），，．