(山东版)2021年中考数学模拟练习卷17（含答案）

中考数学模拟练习卷

一．选择题（共12小题，满分48分）

1．下列各数中，相反数等于本身的数是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．

【解答】解：相反数等于本身的数是0．

故选：B．

【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．

2．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．

【解答】解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．

故选：D．

【点评】本题考查平移、旋转的性质：

①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．

3．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°

【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．

【解答】解：3点40分时针与分针相距4+=份，

30°×=130，

故选：B．

【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．

4．如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．

故选：A．

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

5．解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（　　）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） 

C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．

【解答】解：方程变形得：﹣=3，

去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），

故选：D．

【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

A．18分，17分 B．20分，17分 C．20分，19分 D．20分，20分

【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．

7．若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y=﹣2x+m上，则a与b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＜b 

C．a=b D．与m的值有关

【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可用m分别表示出a和b，比较其大小即可．

【解答】解：

∵点A（1，a）和点B（4，b）在直线y=﹣2x+m上，

∴a=﹣2+m，b=﹣8+m，

∵﹣2+m＞﹣8+m，

∴a＞b，

故选：A．

【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（　　）

A．42° B．66° C．69° D．77°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC．

【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，

∴∠B=90°﹣∠A=66°．

由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，

∴∠BDC=180°﹣∠BCD﹣∠B

=69°．

故选：C．

【点评】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．

9．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m﹣1；②；③；④40m+10=43m+1，其中正确的是（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．③④

【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．

【解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，①错误，④正确；

根据客车数列方程，应该为，②错误，③正确；

所以正确的是③④．

故选：D．

【点评】此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b=2a＞0，则可对③进行判断；利用x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），

∴A（﹣3，0），

∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，

∴b=2a＞0，

∴ab＞0，所以③错误；

∵x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，

而a＞0，

∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．

11．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（　　）个黑子．

A．37 B．42 C．73 D．121

【分析】观察图象得到第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，…，据此规律可得．

【解答】解：第1、2图案中黑子有1个，

第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，

第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，

第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个，

故选：C．

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

12．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，若函数y=（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（　　）

A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20

【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围，本题得以解决．

【解答】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，

∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，

将y=5代入y=﹣x+6，得x=1；将x=4代入y=﹣x+6得，y=2，

∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），

∵函数y=（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），

∴1×5≤k≤4×5

即5≤k≤20，

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

13．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是　m≥2　．

【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答．

【解答】解：，

解不等式①，2x﹣1＞3x﹣3，

2x﹣3x＞﹣3+1，

﹣x＞﹣2，

x＜2，

∵不等式组的解集是x＜2，

∴m≥2．

故答案为：m≥2．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），

14．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜1　．

【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0，

解得：k＜1．

故答案为：k＜1．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．

15．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是　　．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．

【解答】解：列表如下：

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，

∴积为大于﹣4小于2的概率为=，

故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长为　2　．

【分析】作OH⊥CD于H，连结OD，由AE=2，EB=6，易得OD=OB=4，则OE=2，在Rt△OHE中根据含30度的直角三角形三边的关系得到OH=OE=1，再利用勾股定理可计算出DH=，然后根据垂径定理由OH⊥CD得到CH=DH=，再利用CD=2DE求解．

【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OD，如图，[来源:学科网ZXXK]

∵AE=2，EB=6，

∴直径AB=8，

∴OD=OB=4，

∴OE=OA﹣AE=2，

在Rt△OHE中，∠DEB=30°，OE=2，

∴OH=OE=1，

在Rt△OHD中，OD=4，OH=1，

∴DH==，

∵OH⊥CD，

∴CH=DH=，

∴CD=2．

故答案为．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．

17．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为　65°　．

【分析】先由AB∥CD，可得∠1+∠BEF=180°，而∠1=50°，易求∠BEF，而EG是∠BEF的角平分线，从而可求∠BEG，又AB∥CD，可知∠2=∠BEG，即可求∠2．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1+∠BEF=180°，

又∵∠1=50°，

∴∠BEF=130°，

又∵EG平分∠BEF，

∴∠FEG=∠BEG=65°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠BEG=65°．

故答案为：65°．

【点评】本题考查了角平分线定义、平行线性质．解题的关键是求出∠BEF．

18．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为=（m，n），已知：

=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：

①=（2，1），=（﹣1，2）；

②=（cos30°，tan45°），=（﹣1，sin60°）；

③=（﹣，﹣2），=（ +，）；

④=（π0，2），=（2，﹣1）．

其中互相垂直的是　①②③④　（填上所有正确答案的符号）．

【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；

【解答】解：①∵2×（﹣1）+1×2=0，

∴与垂直．

②∵cos30°•（﹣1）+tan45°•sin60°=﹣+=0，

∴与垂直．

③∵（﹣）（+）+（﹣2）×=0，

∴与垂直．

④∵π0×2+2×（﹣1）=0，

∴与垂直．

故答案为①②③④．

【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三．解答题（共7小题，满分78分）

19．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2﹣2x﹣2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．

【解答】解：原式=[﹣]÷

=•

=，

∵x2﹣2x﹣2=0，

∴x2=2x+2=2（x+1），

则原式==．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20．（10分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　30　°；

（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为　300　人；

（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．

【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；

（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；

∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，

∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=30°；

故答案为：60，30；[来源:学§科§网Z§X§X§K]

（2）根据题意得：900×=300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，

故答案为：300；

（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，

所以P（抽到女生A）==．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．[来源:学科网ZXXK]

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；

（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图，

连接BD，∵∠BAD=90°，

∴点O必在BD上，即：BD是直径，

∴∠BCD=90°，

∴∠DEC+∠CDE=90°，

∵∠DEC=∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE=90°，

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，

∵∠BDE=90°，

∴∠BFC=90°，

∴CB=AB=8，AF=CF=AC，

∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，

∴∠CDE=∠CBD，

∵∠DCE=∠BCD=90°，

∴△BCD∽△DCE，

∴，

∴，

∴CD=4，

在Rt△BCD中，BD==4

同理：△CFD∽△BCD，

∴，

∴，

∴CF=，

∴AC=2AF=．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．

22．（12分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．

（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；

（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．

【分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；

（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

【解答】解；（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1=0.85x，

乙商场写出y关于x的函数解析式y2=200+（x﹣200）×0.75=0.75x+50  （x＞200），

y2=x  （0≤x≤200）；

（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，

x＞500，

当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；

由y1=y2得0.85x=0.75x+50，

x=500时，到两家商场去购物花费一样；

由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，

x＜500，

当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；

综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．

23．（12分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；

（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．

【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，

∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；

（2）由题意得：CE=AB=30m，

在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，

在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，

∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，

则教学楼的高约为20.4m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

24．（12分）七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，如图①整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成，如图②是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12cm，则梯形MNGH的周长是　24+24　cm（结果保留根号）．

【分析】仔细观察梯形从而发现其各边与原正方形各边之间的关系，则不难求得梯形的周长．

【解答】解：观察图形得MH=GN=AD=12，HG=AC，

∵AD=DC=12，

∴AC=12，

∴HG=6．

∴梯形MNGH的周长=HG+HM+MN+NG=2HM+4HG=24+24．

故答案为：24+24．

【点评】此题主要考查学生对等腰梯形的性质及正方形的性质的运用及观察分析图形的能力．

25．（14分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【分析】（1）先求得点C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣），最后，将点C的坐标代入求得a的值即可；

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．先求得AC的解析式，然后再求得BM的解析式，从而可求得点M的坐标，依据两点间的距离公式可求得MC=BM，最后，依据等腰直角三角形的性质可得到∠ACB的度数；

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点E．依据题意可得到∠ECD＞45°，然后依据相似三角形的性质可得到∠CAO=∠ECD，则CE=AE，设点E的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a+1）2=32+a2，从而可得到点E的坐标，然后再求得CE的解析式，最后求得CE与抛物线的交点坐标即可．

【解答】解：（1）当x=0，y=3，

∴C（0，3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．

将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，

∴tan∠CAO=3．

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为﹣．

设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．

∴BM的解析式为y=﹣x+．

将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．

∴MC=BM═=．

∴△MCB为等腰直角三角形．

∴∠ACB=45°．

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，

∴∠ECD＞45°．

又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，

∴∠CAO=∠ECD．

∴CF=AF．

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．

∴F（4，0）．

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．

∴CF的解析式为y=﹣x+3．

将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．

将x=代入y=﹣x+3得：y=．

∴D（，）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间距离公式的应用、相似三角形的性质、等腰三角形的判定，依据相似三角形的性质、等腰三角形的判定定理得到AF=CF是解题的关键．