(广西版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案）

这是一份(广西版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案），试卷主要包含了的绝对值是，如图所示的几何体的主视图是，下列因式分解正确的是，有一组数据，有下列四个命题等内容，欢迎下载使用。

1．的绝对值是（ ）
A．﹣4B．C．4D．0.4
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（ ）
A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×105
5．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．重心
C．内心D．外心
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+1=（x+1）2B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
7．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（ ）
A．选科目E的有5人
B．选科目A的扇形圆心角是120°
C．选科目D的人数占体育社团人数的
D．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有140人
8．有一组数据：6，4，6，5，3，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ）
A．4.8，6，5B．5，5，5C．4.8，6，6D．5，6，5
9．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．其中假命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣5B．y=（x+2）2+5C．y=（x﹣2）2﹣5D．y=（x﹣2）2+5
11．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
12．下列四个命题，正确的有（ ）个．
①有理数与无理数之和是有理数
②有理数与无理数之和是无理数
③无理数与无理数之和是无理数
④无理数与无理数之积是无理数．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．若代数式的值不小于代数式的值，则x的取值范围是 ．
14．已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，若往原纸箱中再放入x个白球，然后从箱中随机取出一个白球的概率是，则x的值为
15．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，则cs∠AOA′= ．
16．观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为 ．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AB=4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：sin30°﹣+（π﹣4）0+|﹣|．
20．（6分）计算：
21．（6分）反比例函数y=与y=在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数y=，y=的图象交点依次为P、Q两点．若PQ=2，求PA的长．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF分别与BD交于点G和H，且AB=2．
（1）若tan∠ABE=2，求CF的长；
（2）求证：BG=DH．
23．（8分）口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是．
求：（1）口袋里黄球的个数；
（2）任意摸出一个球是红色的概率．
24．（10分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．
25．（10分）如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：△BEF∽△DBC．
（2）若⊙O的半径为3，∠C=30°，求BE的长．
26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．的绝对值是（ ）
A．﹣4B．C．4D．0.4
【分析】直接用绝对值的意义求解，
【解答】解：的绝对值是．
故选：B．
【点评】此题是绝对值题，掌握绝对值的意识解本题的关键．
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可解决问题；
【解答】解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．
4．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（ ）
A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00007m，这个数据用科学记数法表示7×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．重心
C．内心D．外心
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+1=（x+1）2B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（ ）
A．选科目E的有5人
B．选科目A的扇形圆心角是120°
C．选科目D的人数占体育社团人数的
D．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有140人
【分析】A选项先求出调查的学生人数，再求选科目E的人数来判定，
B选项先求出A科目人数，再利用×360°判定即可，
C选项中由D的人数及总人数即可判定，
D选项利用总人数乘以样本中B人数所占比例即可判定．
【解答】解：调查的学生人数为：12÷24%=50（人），选科目E的人数为：50×10%=5（人），故A选项正确，
选科目A的人数为50﹣（7+12+10+5）=16人，选科目A的扇形圆心角是×360°=115.2°，故B选项错误，
选科目D的人数为10，总人数为50人，所以选科目D的人数占体育社团人数的，故C选项正确，
估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有1000×=140人，故D选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．
8．有一组数据：6，4，6，5，3，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ）
A．4.8，6，5B．5，5，5C．4.8，6，6D．5，6，5
【分析】根据众数、中位数、平均数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，
则平均数为：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，
众数为：6，
中位数为：5．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
9．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．其中假命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据对顶角的性质，平行线的性质，镶嵌的知识，逐一判断．
【解答】解：①对顶角有位置及大小关系，相等的角不一定是对顶角，假命题；
②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，假命题；
③同一种正五边形一定能进行平面镶嵌，假命题；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与证明．对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念．关键是熟悉这些概念，正确判断．
10．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣5B．y=（x+2）2+5C．y=（x﹣2）2﹣5D．y=（x﹣2）2+5
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
11．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．
【解答】解：A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；
D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
12．下列四个命题，正确的有（ ）个．
①有理数与无理数之和是有理数
②有理数与无理数之和是无理数
③无理数与无理数之和是无理数
④无理数与无理数之积是无理数．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据无理数、有理数的定义及实数的混合运算进行解答即可．
【解答】解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；
②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；
③例如﹣+=0，0是有理数，故本小题错误；
④例如（﹣）×=﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．若代数式的值不小于代数式的值，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得．
【解答】解：根据题意，得：≥，
6（3x﹣1）≥5（1﹣5x），
18x﹣6≥5﹣25x，
18x+25x≥5+6，
43x≥11，
x≥，
故答案为：x≥．
【点评】本题主要考查解不等式得基本技能，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
14．已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，若往原纸箱中再放入x个白球，然后从箱中随机取出一个白球的概率是，则x的值为 4
【分析】先根据概率公式得到=，解得x=4．
【解答】解：根据题意得=，
解得x=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，则cs∠AOA′= ．
【分析】依据点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，即可得到A'O=1，AA'=2，AO=，进而得出cs∠AOA′的值．
【解答】解：如图所示，点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，
∴A'O=1，AA'=2，
∴AO=，
∴cs∠AOA′===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
16．观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是 53 ．
【分析】由n行有n个数，可得出第10行第8个数为第53个数，结合奇数为正偶数为负，即可求出结论．
【解答】解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，
∴第9行9个数，
∴第10行第8个数为第1+2+3+…+9+8=53个数．
又∵第2n﹣1个数为2n﹣1，第2n个数为﹣2n，
∴第10行第8个数应该是53．
故答案为：53．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数的变化找出变化规律是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为 （，） ．
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，
则△DEF的边长是△ABC边长的倍，
∴点F的坐标为（1×，×），即（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AB=4，则图中阴影部分的面积为 4﹣π （结果保留π）．
【分析】由在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，可求得直角边AC与BC的长，继而求得△ABC的面积，又由扇形的面积公式求得扇形EAD和扇形FBD的面积，继而求得答案．
【解答】解：∵在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，
∴AC=BC=AB•sin45°=AB=2，
∴S△ABC=AC•BC=4，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=AB=2，
∴S扇形EAD=S扇形FBD=×π×22=π，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD=4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积．注意S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：sin30°﹣+（π﹣4）0+|﹣|．
【分析】原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣2+1+=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）计算：
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣
=
=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）反比例函数y=与y=在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数y=，y=的图象交点依次为P、Q两点．若PQ=2，求PA的长．
【分析】设P（m，n），则Q（m，n+2），根据反比例函数图象上点的坐标特征，将P（m，n），则Q（m，n+2）两点分别代入y=与y=，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【解答】解：设P（m，n），则Q（m，n+2）．
根据题意，知，
解得，；
∴PA=．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化，降低了题的难度．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF分别与BD交于点G和H，且AB=2．
（1）若tan∠ABE=2，求CF的长；
（2）求证：BG=DH．
【分析】（1）由平行四边形的性质，结合三角函数的定义，在Rt△CFD中，可求得CF=2DF，利用勾股定理可求得CF的长；
（2）利用平行四边形的性质结合条件可证得△AGD≌△CHB，则可求得BH=DG，从而可证得BG=DH．
【解答】（1）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDF=∠ABE，DC=AB=2，
∵tan∠ABE=2，
∴tan∠CDF=2，
∵CF⊥AD，
∴△CFD是直角三角形，
∴=2，
设DF=x，则CF=2x，
在Rt△CFD中，由勾股定理可得（2x）2+x2=（2）2，解得x=2或x=﹣2（舍去），
∴CF=4；
（2）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠GAD=∠HCB=90°，
∴△AGD≌△CHB，
∴BH=DG，
∴BG=DH．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，注意全等三角形的应用．
23．（8分）口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是．
求：（1）口袋里黄球的个数；
（2）任意摸出一个球是红色的概率．
【分析】（1）用绿球个数除以其概率即可得总数量，用总数量减去其它颜色球的个数即可得黄球的个数；
（2）根据概率公式即可得．
【解答】解：（1）总球数：5÷=15，
黄球：15﹣4﹣5=6个；
（2）∵红球有4个，一共有15个，
∴P（红球）=．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
24．（10分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．
【分析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，
根据题意得：﹣=1.5，
解得：x=325，
经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，
则高铁的速度是325千米/小时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
25．（10分）如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：△BEF∽△DBC．
（2）若⊙O的半径为3，∠C=30°，求BE的长．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得出∠ABO=90°，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据等角的余角相等可得出∠EBF=∠CDB，根据平行线的性质结合直径对的圆周角为90度，即可得出∠EFB=∠CBD=90°，进而即可证出△BEF∽△DCB；
（2）通过解直角三角形可得出BD、BC的长，由三角形中位线定理可得出BF的长，再利用相似三角形的性质即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示．
∵AE与⊙O相切，
∴∠ABO=90°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ODB+∠ABD=90°．
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠EBF+∠ABD=90°，
∴∠EBF=∠ODB，即∠EBF=∠CDB．
∵OE∥BD，
∴∠CFO=90°，
∴∠EFB=∠CBD=90°，
∴△BEF∽△DCB．
（2）解：在Rt△BCD中，∠CBD=90°，∠C=30°，CD=6，
∴BD=3，BC=3．
∵OE∥BD，点O为CD的中点，
∴OF为△BCD的中位线，
∴OF=BD=，BF=BC=．
∵△BEF∽△DCB，
∴=，即=，
∴BE=3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、三角形的中位线以及解含30度角的直角三角形，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等找出∠EBF=∠CDB；（2）通过角直角三角形及三角形中位线定理，求出BD、BC、BF的长．
26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3
∵A、B在y=x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）
∴EQ=4﹣3t，PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得t=
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2
当N在抛物线上时，8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．