专题42双曲线-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型学案

这是一份专题42双曲线-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型学案，文件包含专题42双曲线--2022年新高考数学高频考点+重点题型原卷版docx、专题42双曲线--2022年新高考数学高频考点+重点题型解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。

专题42双曲线--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0)
对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．
a，b，c的关系,c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．
四、高频考点+重点题型
考点一.双曲线的定义及其应用

题组一（定义法求轨迹方程）
1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为__________．
答案：x2－＝1(x≤－1)　
解析：如图10.3­1所示,设动圆M与圆C1及圆C2外切于点A和点B．

图10.3­1
根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|,所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.
这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2) C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．

题组二（焦点三角形之定义使用）

1.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.
答案：
解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2,又|PF1|＝2|PF2|,∴|PF1|＝4,|PF2|＝2,
则cos∠F1PF2＝＝＝.
2.过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案　12
解析：由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.
∵PF1＋QF1＝PQ＝4，∴PF2＋QF2－4＝4，∴PF2＋QF2＝8.
∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
3.已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．1　　 　B. C．2 D.
解析：选A　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.


题组三（线段的转移）

1.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.

2.（2020·河南省孟州市第一中学模拟）已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是________．
【答案】8　
【解析】设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.
3．设双曲线C：x28−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（　　）
A．82 B．8 C．42 D．4
【解答】A
解：如图，由双曲线方程可得a=22．
由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝42，
|F1N|﹣|F2N|＝2a＝42，∴|F2M|＝|F1M|+42，|F1N|＝|F2N|+42，
∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+82，
∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝82．


考点二.双曲线的标准方程
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
2.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B　
法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
答案：－＝1

解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
4．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
考点三、焦点三角形
1．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为　　．
答案：92
解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，
设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，
则△BF1F2的面积为S△ABF2−S△AF1F2=12×3×4−12×1×3=92．
故答案为：92．
2．已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∵M是线段PF1的中点，∴|MF1|=|PM|=12|PF1|，
∵O是线段F1F2的中点，∴|MO|=12|PF2|，
∴12|PF1|−12|PF2|=a⇒|MF1|−|OM|=a⇒|OM|=|MF1|−a，
即圆心距等于两圆的半径之差，
∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．
故选：B．

3．从双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（　　）

A．c﹣a B．b﹣a C．a﹣b D．c﹣b
【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：|OM|=12|PF′|=12（|PF|﹣2a）=12|PF|﹣a
＝|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，
则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，
∴|FT|=丨OF丨2−丨OT丨2=b．
∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．
故选：B．





考点三.双曲线的离线率

题组一（离心率的值）
1.设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)
A．5 B.
C. D.
[答案]　A
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.





2.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
【答案】2
【解析】如图，由＝，得F1A＝AB.
又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，
即BF2//OA，BF2＝2OA.
由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，
则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，
又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，
得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，
又渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，
所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2
3.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
解析：选C　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b.在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.

题组二（离心率的范围）
1.已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[答案]　(1)B
[解析]　(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.

2.已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.

考点四 双曲线的渐近线
1.（2020·新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点
不妨设D为在第一象限，在第四象限
联立，解得 故
联立，解得 故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
C的焦距的最小值为8。
2.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　
【解析】法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．已知斜率为1的直线l与双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±3x B．y＝±3x C．y＝±13x D．y＝±33x
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12a2−y12b2=1，x22a2−y22b2=1
两式相减可得：(x1+x2)(x1−x2)a2−(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
∵斜率为1的直线l与双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），
∴k•kOM=b2a2=3，∴y=±bax＝±3x．
故选：B．
4．过双曲线M：x2−y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（　　）
A．10 B．5 C．103 D．52
【解答】解：过双曲线M：x2−y2b2=1的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y＝x+1，
若l与双曲线M的两条渐近线x2−y2b2=0分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
联立方程组x2−y2b2=0y=x+1
代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，
∴x1+x2=2b2−1x1x2=11−b2，∴x1+x2＝﹣2x1x2，
又|AB|＝|BC|，则B为AC中点，2x1＝﹣1+x2，
代入解得x1=−14x2=12，
∴b2＝9，双曲线M的离心率e=ca=10，
故选：A．


考点五、双曲线上的点
1.已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.
2.(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP＝OF，则△OPF的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知OF＝3，所以OP＝OF＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝OF·y0＝×3×＝.
考点六.双曲线中的范围与最值问题

题组一（不等式求范围）
1．（2021·甘肃省陇南模拟）设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
【答案】(2，8)
【解析】如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足
解得－1＋ 又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2<2m＋2<8
2.（2021·陕西省宝鸡市模拟）已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
【答案】(0，2)
【解析】对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4
题组二（函数求范围）
1．已知双曲线C：x22−y2=1的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|•|MF2|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．3
【解答】解：根据题意可得F1（−3，0），F2（3，0），设M（x，y），其中x（﹣∞，−2]∪[2，+∞），则y2=x22−1，
则|MF1|•|MF2|=(x+3)2+y2•(x−3)2+y2=(x+3)2+x22−1•(x−3)2+x22−1=(32x2−2)2，
因为x∈（﹣∞，−2]∪[2，+∞），所以32x2≥3，
则当x＝±2时，|MF1|•|MF2|取最小值，最小值=(3−2)2=1，
故选：A．
2．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案　2
解析　由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．




题组三（数形结合求范围）
1．P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为　　．
【解答】9
解：双曲线x29−y216=1中，∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，
∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|＝6+1+2＝9．
故答案为：9．
2．已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，66）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　　．
【解答】126
解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为x−3+y66=1与x2−y28=1联立可得y2+66y﹣96＝0，
∴P的纵坐标为26，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×66−12×6×26=126．
故答案为：126．

3．(2021·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案　(－2,2)
解析　如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵AF＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．
由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，
∴PF＝PE＋2，
又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．

考点七 直线与双曲线的位置关系
例7-1（弦长）
（2020·河北衡水中学调研）若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，所以
即即
所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝，又1＜k＜，所以k＝，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由＝m(＋)得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)，因为点C是双曲线上一点，所以80m2－64m2＝1，得m＝±，故k＝，m＝±.





例7-2（中点弦问题）
已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析　由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.[4分]
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　[7分]
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.[10分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[14分]





例7-3（设而不求法）
（2021辽宁鞍山模拟）一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．
【解析】因为e＝，所以b2＝2a2，所以双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.设直线l的方程为y＝x＋m，由得x2－2mx－m2－2a2＝0，所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，所以直线l一定与双曲线相交．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.因为＝3，xR＝＝0，所以x1＝－3x2，所以x2＝－m，－3x＝－m2－2a2，消去x2，得m2＝a2.又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.
考点八、双曲线的探究
1．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
答案　ACD
解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝2，
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．
故选ACD.
2.（多选）（八省新高考统一适应性模拟考试 2021届高三二模T11）已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．大于 D．的内切圆半径为
答案：ABD




课后作业
一、单项选择题
1．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1 2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴ b2＝3，双曲线方程为y2－＝1．
3． 椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2．∴ m2＝1，即m＝±1．
4． 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．
5． 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵ ＝，∴ ＝＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝．又双曲线的焦点在y轴上，∴ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴ 所求双曲线的渐近线方程为y＝±x．
6． 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：分别过双曲线的右顶点A，右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则△OBA∽△OCF，∴ ＝＝，∴ ＝，∴ ＝2，故渐近线方程为y＝±2x．
二、多项选择题
7．已知F1、F2是双曲线C:y24−x22=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的渐近线方程为y=±2x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2
C. 点M的横坐标为±2 D. ΔMF1F2的面积为23
答案 ACD
解析 双曲线C:y24−x22=1，其中a=2,b=2,c=6， F1F2=2c=26，
双曲线C的渐近线方程为y=±abx=±2x，故A正确；
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=6，故B错误；
由y=±2xx2+y2=6得到x2=2，所以x=±2，即点M的横坐标为±2，故C正确；
的面积为12×26×2=23，故D正确;
 故选ACD．
8．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN=60∘，则有(     )
A. 渐近线方程为y=±33x B. e=322
C. e=223 D. 渐近线方程为y=±3x
答案 AC
解析 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为Aa,0，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，
若∠MAN=60∘，利用点到直线的距离公式可得A到渐近线y=±bax的距离为bcos300=32b，
∴aba2+b2=32b，即ac=32，∴e=233，∴ba=c2−a2a2=43−1=33x，∴渐近线方程为y=±33x．
故选AC．
三、填空题
9．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________．
答案：0
解析：由题知b2＝2，故y0＝±＝±1，F1(－2，0)，F2(2，0)，∴ ·＝(－2－，1)·(2－，1)＝3－4＋1＝0或·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝3－4＋1＝0．
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．
答案：3x2－y2＝1
解析：双曲线的焦点为(c，0)，渐近线为bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为b，则b＝1，e＝＝2，则c2＝4a2＝a2＋1，3a2＝1，则a2＝，则该双曲线的方程为3x2－y2＝1．
11．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝________．
答案：4
解析：双曲线的右焦点为F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0得y2＝12，y＝±2，∴ |AB|＝4．
12．设F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为________．
答案：5
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，
解得e＝5或e＝1．又e＞1，所以e＝5．
四、解答题
13．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．

14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1) 求双曲线方程；
(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3) 求△F1MF2的面积．
解：(1) ∵ e＝，∴ 设双曲线方程为x2－y2＝λ．
又双曲线过点(4，－)，∴ λ＝16－10＝6，∴ 双曲线方程为x2－y2＝6．
(2) 证明：(证法1)由(1)知a＝b＝，c＝2，
∴ F1(－2，0)，F2(2，0)，∴ kMF1＝，kMF2＝，
∴ kMF1·kMF2＝＝．又点(3，m)在双曲线上，∴ m2＝3，
∴ kMF1·kMF2＝－1，∴ MF1⊥MF2，即·＝0．
(证法2)∵ ＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴ ·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2．
∵ M在双曲线上，
∴ 9－m2＝6，∴ m2＝3，∴ ·＝0．
(3) 解：∵ 在△F1MF2中，F1F2＝4，且|m|＝，
∴ S△F1MF2＝·F1F2·|m|＝×4×＝6．