专题14 中位线和相似三角形（解析版）-2021年中考数学真题分项汇编

专题14中位线和相似三角形

一、中线与中位线

1．（2021·江苏连云港市）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．

【答案】

【分析】

连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．

【详解】

解：连接ED

是的中线，

，

设，

与是等高三角形，

，

故答案为：．

本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

2．（2021·江苏泰州市）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．

【答案】0＜S≤2

【分析】

过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；

【详解】

解：过点M作ME⊥PN于E，

∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，

∴PM=PN=AB=CD=2，

∴△PMN的面积S==ME，

∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，

∴M、N不重合，

∴ME＞0，

∵ ME≤MP=2，

∴0＜S≤2

本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键

3．（2021·江苏南京市）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．

【答案】6

【分析】

根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．

【详解】

设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；

点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点

得

得

点B的横坐标是6．

故答案为6．

本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．

二、相似三角形

4．（2021·江苏南京市）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．

（1）求证；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；

（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．

【详解】

解：（1）∵，

又∵，

∴；

（2）∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的长为．

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．

5．（2021·江苏连云港市）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．

【详解】

解：过点C作的延长线于点，

与是等高三角形，

设

，

故选：A．

本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

6．（2021·江苏徐州市）如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．

【答案】

【分析】

先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．

【详解】

解：∵，

∴ 

∴

∵∠B=∠B，

∴，

∴

∴与四边形的面积的比=．

故答案是：．

本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．

7．（2021·江苏无锡市）如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．

【答案】

【分析】

过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解．

【详解】

解：过点F作FM⊥AC于点M，

∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，

∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，

∴EG=，

∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，

∴，

∴，

∴=，，

∴AM=AE+EM=，

∴．

故答案是：．

本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．

8．（2021·江苏宿迁市）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．

【答案】

【分析】

连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．

【详解】

解：如图，连接DF，

∵CD=2BD，CF=2AF，

∴，

∵∠C=∠C，

∴△CDF∽△CBA，

∴,∠CFD=∠CAB，

∴DF∥BA，

∴△DFE∽△ABE，

∴,

∴,

∵CF=2AF，

∴,

∴,

∵CD=2BD，

∴,

∴,

∵△ABC中，AB=4，BC=5，

∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，

此时△AFE面积最大为．

故答案为：

本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．

9．（2021·江苏扬州市）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．

【答案】3

【分析】

根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，

∴AB=2CD=10，

∵BC=8，

∴AC==6，

∵DE⊥BC，AC⊥BC，

∴DE∥AC，

∴，即，

∴DE=3，

故答案为：3．

本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．