初中数学人教版七年级上册1.2.3 相反数学案

数轴与相反数（提高）

【学习目标】

1．熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用；

2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；

3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；

4. 掌握多重符号的化简；

5. 通过例子，体会数形结合的思想.

【要点梳理】

要点一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．

（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．

2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.

要点诠释：

（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.

（2）互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .

要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.

【典型例题】

类型一、数轴的概念

1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．

【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.

【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示．

【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.

  举一反三：

【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．

【答案】3，-5，8

类型二、相反数的概念

2．在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（　　）

A．﹣2   B．8     C．﹣2或8     D．5

【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.

【答案】B

【解析】解：因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个:A和B，如下图所示：

      而点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，

      又因为8为正数，

      故正确答案选:B.

【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好．

举一反三：

【变式1】

(1) 如果a＝－13，那么－a＝______；(2) 如果 －a＝－5.4，那么a ＝______；

(3) 如果－x＝－6，那么x＝______；(4) －x＝9，那么x＝______.

【答案】（1）13；（2）；（3）6；（4）-9

【变式2】－4的倒数的相反数是（      ）

A．－4    B．4    C．－     D．

【答案】D

【高清课堂：数轴和相反数 例1（1）~（7）】

【变式3】填空：

(1) －(－2.5)的相反数是     ；(2)    是-100的相反数；(3) 是     的相反数；

(4)     的相反数是-1.1；(5)8.2和     互为相反数；（6）a和      互为相反数.

（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．

【答案】(－2.5)；100；；1.1；-8.2；-a；负数；0

【高清课堂：数轴和相反数 例1（8）】

3．已知互为相反数，则         ．

【答案】2

【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.

【总结升华】若互为相反数，则或.

举一反三：

【变式】已知与 互为相反数，求的值.

【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得：.

类型三、多重符号的化简

4．化简：

（1）﹣{+[﹣（+3）]}；                  

（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．

【解析】

解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；

（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．

【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

举一反三：

【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为：                  ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为：                  ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为：                  .

【答案】6；-6；6

类型四：利用数轴比较大小

【高清课堂：数轴和相反数 例4（4）】

5．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．

①p______q；    ②－p______0；  ③－p______－q； ④－p______q；

【答案】>; <;<;>

【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p, -q均表示在数轴上，如下图：

然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案.

【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.

举一反三：

【变式】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（　　）

1. 点B与点D    B.  点A与点C       C. 点A与点D     D. 点B与点C

【答案】C.

类型五、数形结合的应用

6．点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来．

【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加．

【答案与解析】

解：如图所示，B点表示A点移动后的位置．则AB＝2．因为A、B表示一对相反数．所以原点O是AB的中点，AO＝OB，所以A点表示1．

【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.